2.4 随机过程通过线性系统解析
2.4-随机过程
242.4-随机过程随机过程是用于描述随机信号的数学模型，它包括了随机信号的全部可能实现，每一次实现都以某一概率出现。
离散时间随机信号用离散时间随机过程来描述，这类信号通常是在时间域对连续信号取样得到。
设给定概率空间，若对于每一整(,,)S F P =P 数，均有定义在上的一个随机变量与之对应，则称依赖于参数的一列()n n Z ∈(,,)S F P =P (,)() x n S ξξ∈n 随机变量为一离散时间随机过程。
它的一次实现为一个时间序列，记为。
(,)x n ξ()x n242.4-随机过程随机过程有下列几种不同的解释：1.它是一族函数或称为这些函数的总体。
此(,)x n ξ(,)x n ξ时，n和都是变量；ξ2.它仅是时间函数（给定过程的一个样本）。
在这种情况下，n是变量，而固定；ξ3.若固定n，而是变量，则是一个随机变量，对应于给定过程n时刻的状态；ξ(,)x n ξ)4.若n和都固定，则是一个数。
ξ(,x n ξ2412.4.1-随机过程的统计描述1.均值：随机过程的均值是时间的函数，也称为(){(,)}(;)x n E x n xp x n dxμξ∞−∞≡=∫均值函数，统计均值是对随机过程中所有样本函数(,)x n ξ在时间的所有取值进行概率加权平均，所以又称为集合平均，它反映了样本函数统计意义下的平均n 变化规律。
2.方差：222(){[(,)()]}[()](;)x x n E x n n x n x n dx σξμμ∞≡−=−x p −∞∫2412.4.1-随机过程的统计描述3.自相关函数：1212(,){(,)(,)}x r n n E x n x n ξξ≡12121212(,;,)x x p x x n n dx dx ∞∞−∞−∞=∫∫自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示随机变量和相关性越强。
如果，1(,)x n ξ2(,)x n ξ12(,)0x r n n =则称和是相互正交的。
第4章 随机历程通过线性系统分析
（3）时不变线性系统的传输函数
由 y(t) h(t) x(t) 有：
Y () H () X ()
X () 、Y () 、 H () 分别为 x(t) 、 y(t) 、 h(t) 的付里叶变换。
称 H () 为系统的传输函数。
4．2 随机过程通过线性系统
基本假设：系统输入 X (t) 是随机过程，系统输出Y (t) 也是随机过程。
性。
4．1 线性系统的基本理论
1．系统的物理表示 系统的物理示意图如图 1。 2．线性系统
x1 (t) 、 x2 (t) 是系统的两个输入，若：
L[1x1 (t) 2 x2 (t)] 1L[x1 (t)] 2 L[x2 (t)]
则称系统 L[] 为线性系统。
3．时不变系统
这一表达在形式上具有方便性，但在计算上较困难。 2、 输出均值
随机过程难以把握，应用的重点是随机过程的均值与相关。
定理： mY (t) h45
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
第4章 随机过程通过线性系统分析
上述积分可用极限形式表示：
、 固定时， 为确定的常用，上式是正态变量 的线性组合，而正态的线性组合还是正态分布。
2．高斯过程的均值与方差近似计算
对于高斯过程，只要均值与方差确定，则整个分布函数便确定。
由于
取定一个合适的 ，利用
可求出求出 均值与方差的近似值。
作业：P1515.1，5.2，5.7，5.8，5.9，5.11，5.14，5.15，5.26，5.28。
等效原则：理想系统与实际系统的输出平均功率相等。
例：设理想输出为 ，理想系统是矩形传输函数
为等效带宽。
如何确定 ？
依等效原则，理想系统的平均功率为 ，而
所以
称 为等效噪声带宽。
3．白噪声通过理想低通线性系统
在实际应用中，设
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
但求输入的概率分布不是一件容易的事为使问题得到简化一般我们假设高斯随机过程通过线性系统定理
第4章随机过程通过线性系统分析
引言：信号与系统的传统理论方法的基础是卷积运算。如图，
图1：系统的物理示意图
是系统的输入， 是系统的输出， 是系统的冲激响应函数
其中 ，为冲激函数。
对于线性系统，系统的数学运算为：
相关时间为
4．白噪声通过理想带通线性系统
理想带通线性系统具有理想矩形频率特性
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
可写成
称为相关函数的包络。
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
相关时间为
5．白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统
随机过程通过线性系统
随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论 中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络） 后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线 性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应 vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
E［ξo(t)］= e[h( ) ξi(t-τ)dτ ]
＝
h(
0
)E[1[i
(t
)]d
a
h( )d
0
式中利用了平稳性假设E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常数)。 又因为
H(W)=
h(t)e
jwtd
t
0
求得
H(0)= h(t)dt
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1 无关。
若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平 稳的。
3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
p0(w)
R0
(
)e
jw
d
0
[h(a)h(
0
)Ri (
)dad ]e jwrd
噪声平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt 0
w wH
其他
解 由上式得|H(ω)|2=
K02
，|ω|≤ωH。输出功率谱密度为
随机过程通过线性系统分析
RY (t1 , t 2 ) Lt1 [ RXY (t1 , t 2 )] h(t1 ) RXY (t1 , t 2 )
若X(t)平稳：
h(t1 ) h(t 2 ) RX (t1 , t 2 )
RXY (t1 , t2 ) h(t2 ) RX (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 u)h(u)du
RYX (t1 , t 2 ) E[Y (t1 ) X (t 2 )] h(t1 ) RX (t1 , t 2 )
RY (t1 , t2 ) Lt1 [ RXY (t1 , t2 )] h(t1 ) RXY (t1 , t2 ) h(t1 ) h(t2 ) RX (t1 , t 2 )
随机过程通过线性系统分析 X(t) L Y(t)
问题：给定输入和线性系统的特性 求解：输出的统计特征 线性系统的描述方法：
微分方程 冲激响应 系统传递函数
微分方程法
冲激响应法
频谱法
随机过程通过线性系统分析
冲激响应法 频谱法 计算举例
1. 冲激响应法 X(t) xi(t,ei)
RXY () RX (t1 t2 u)h(u)du h() RX ()
RYX ( ) h( ) RX ( ) RY ( ) h( ) RXY ( ) h( ) h( ) RX ( )
X(t)
h(t)
Y(t) mY(t)
RX(t1,t2)
RX(t1,t2)
h(t2 )
h(t1)
RXY(t1,t2)
RYX(t1,t2)
h(t1)
RYt1,t2)
相关函数：
RXY (t1 , t 2 ) E[ X (t1 )Y (t 2 )] h(t 2 ) RX (t1 , t 2 ) RYX (t1 , t 2 ) E[Y (t1 ) X (t 2 )] h(t1 ) RX (t1 , t 2 )
随机过程通过线性系统
▪ 频域： 若 h(t)dt 物理可实现，且x(t)有界，则有：
Y ( ) H ( )X ( ) 。 所以对于确定信号，总可以用数学式或列表形式给定其 时域的描述，或用变换的方式给出其“频域”的表述，而且 对于其通过线性时不变系统的表述为：
x(t)
X ()
h(t )
H ( )
e
H ( ) 2 d
0
H ( 0 ) 2
e
o
0
o
e 表示：系统对噪声功率谱的选择性。
线性系统的通频带宽与等效噪声带宽 e 的关系
线性系统通频带的一般定义：系统频率特性曲线半功
率点的通频带宽 （也称为三分贝带宽）。其表示系
统对有用信号的选择性。
因为 ，e 都取决于系统的传输函数H ( )，
E[Y (t )] m X h( )d m X H (0) ，其中 h( )d H (0)
➢ 输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。
2. 系统输出Y(t) 的自相关函数:
RY (t, t ) E[Y (t )Y (t )]
h( )h( )E[ X (t )X (t )]dd
3．输入X(t) 与输出Y(t) 的互相关函数和互谱密度
RXY ( ) RX 1Y1 ( ) RX 1Y2 ( ) RX 2Y1 ( ) RX2Y 2 ( )
G XY ( ) G X 1Y1 ( ) G X 1Y2 ( ) G X 2Y1 ( ) G X2Y 2 ( )
四、白噪声通过线性系统
RXY ( ) RX ( ) h( ) (N 0 / 2) ( ) h( ) (N 0 / 2)h( )
即有
h( )
2 N0
RXY ( )
随机信号分析实验：随机过程通过线性系统的分析
实验三 随机过程通过线性系统的分析实验目的1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。
实验原理1.白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ⋅=ωω （3.1） 输出自相关函数为⎰∞∞-=ωωπτωτd e H N R j Y 20)(4)( （3.2）输出相关系数为)0()()(Y Y Y R R ττγ=（3.3） 输出相关时间为⎰∞=00)(ττγτd Y （3.4）输出平均功率为[]⎰∞=202)(2)(ωωπd H N t Y E （3.5）上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。
2.等效噪声带宽在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。
等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为⎰∞=∆022max)()(1ωωωωd H H e （3.6）或⎰∞∞--=∆j j e ds s H s H H j )()()(212maxωω （3.7）3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。
（2）随机过程的正态化随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。
任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
实验内容设白噪声通过图3.1所示的RC 电路，分析输出的统计特性。
图3.1 RC 电路（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。
通信原理-第三章 随机信号分析
第三章随机信号分析随机过程平稳随机过程噪声随机过程通过系统3.1 随机过程通信过程就是信号和噪声通过系统的过程。
通信中信号特点：具有不可预知性——随机信号。
通信中噪声特点：具有不确定性——随机噪声。
统计学上：随机过程。
一、基本概念二、统计特性一、基本概念随机变量定义分布函数概率密度函数二维随机变量随机变量的数字特征数学期望方差协方差矩基本概念（续）随机过程设E是随机试验，S={e}是其样本空间，如果对于每一个e∈S，有一个时间t的实函数ξ(e,t) t ∈T与之对应，于是对于所有的e∈S，得到时间t的函数族。
该族时间t的函数称为随机过程，族中每个函数称为这个随机过程的样本函数。
ξ(t)={x(t),x2(t),……,x n(t),……}1x1(t),x2(t),……为样本函数基本概念（续）随机过程的一个实现每一个实现都是一个确定的时间函数，即样本。
随机过程其随机性体现在出现哪一个样本是不确定的。
随机过程没有确定的时间函数，只能从统计角度，用概率分布和数字特征来描述。
基本概念（续）二、统计特性概率分布数学期望方差协方差函数相关函数1.概率分布2.数学期望1[()](,)()E t xf x t dx a t ξ∞−∞==∫物理意义：表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心（平均值）3. 方差D(ξ (t )] = E{ξ (t ) − E[ξ (t )]} = σ (t )2 2物理意义：表示随机过程在某时刻t的取 值（随机变量）相对于该时刻的期望a(t) 的偏离程度4. 自相关函数R(t1 , t2 ) = E[ξ (t1 )ξ (t2 )] = ∫∞ −∞ −∞ 1 2 2∫∞x x f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2物理意义：表示随机过程在两个时刻的 取值的关联程度， ξ(t)变化越平缓， 两个时刻取值的相关性越大，R值越大5.自协方差函数B(t1 , t2 ) = E{[ξ (t1 ) − a(t1 )][ξ (t2 ) − a(t2 )]} =∫ ∫−∞∞f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) dx1dx2 x1 − a ( t1 ) ⎤ x2 − a ( t2 ) ⎤ ⎡ ⎡ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −∞∞物理意义：表示随机过程在两个时刻间 的线性依从关系6.互协方差及互相关函数Bξη (t1 , t2 ) = E{[ξ (t1 ) − a (t1 )][η (t2 ) − a (t2 )]}Rξη (t1 , t2 ) = E[ξ (t1 )η (t2 )] = ∫∞−∞ −∞∫∞x1 y 2 f 2 ( x1 , y 2 ; t1 , t2 )dx1dy 23.2 平稳随机过程 定义 各态历经性 自相关函数 功率谱密度一、定义若随机过程的n维概率分布函数Fn ()和n维概 率密度函数fn ()与时间起点无关，则为平稳随 机过程 严平稳过程，狭义平稳过程f n ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,..., tn ) = f n ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 + τ , t2 + τ ,..., tn + τ )定义（续）a (t)Æa; σ2(t)Æ σ2; R(t1,t2)ÆR(τ) 一维分布与t无关： 二维分布只与τ有关 统计特性与时间起点无关 依据数字特征定义宽平稳过程，广义平稳过程二、各态历经性设x (t)是ξ(t)的任一实现，ξ(t)的统计平均= x (t)的 1 T2 时间平均 a=a = x (t ) dtlim T ∫T →∞−T2σ =σ22=lim ∫T →∞T →∞1 TT2 2−T[ x (t ) − a ] 2 dtR (τ ) = R (τ ) = lim1 T∫2 −T 2Tx (t ) x (t + τ ) dt意义 ： 随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能 状态。
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过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。
若线性系统是物理可实现的，则
（2.4-2）
或
v0 (t ) vi ( )h(t )d
t
（2.4-3）
v0 (t ) h( )vi (t )d
0
（2.4-4）
第2章
随机过程
如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则v0(t)可看 作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程ξi(t)的每个样 本与输出过程ξ0(t)的相应样本之间都满足式（2.4 - 4）的关系。 这样，就整个过程而言，便有
0 (t ) h( ) i (t )d
0
(2.4 - 5)
假定输入ξi(t)是平稳随机过程， 现在来分析系统的输出过 程ξ0(t)的统计特性。我们先确定输出过程的数学期望、自相关
函数及功率谱密度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
第2章
随机过程
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
R0 (0) K n f H
2 0 0
第2章
随机过程
4. 输出过程ξ0(t)的概率分布
从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，通过式 （2.4 - 5），即
0 h( ) i (t )d
0
总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是： 如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是 高斯型的。 因为从积分原理来看， 上式可表示为一个和式的极限，即
v0 (t ) vi (t ) h(t ) vi ( )h(t )d
（2.4-1）
第2章
随机过程
若
v 0 (t ) V0 ( ) ， v i (t ) Vi ( ) ， h (t) H ( ) ，则有
V0 ( ) H ( )Vi ( )
2. 输出过程ξo(t)的自相关函数
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
根据平稳性
0
0
0
h( ) i (t1 )d h( ) i (t1 )d
0
h( )h( ) E[ i (t1 ) i (t1 )]dd
第2章
随机过程
2.4 随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一 起的。通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在 以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过 系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情 况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信 号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线 性系统的响应 vo(t) 等于输入信号 vi(t) 与系统的单位冲激响应 h(t)的卷积，即
【例2-2】带限白噪声。试求功率谱密度为n0/2的白噪声 通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和 噪声平均功率。理想低通的传输特性为
K 0 e j t H ( ) 0
H
其他
第2章 解 为
随机过程
由上式得|H(ω)|2=K20，|ω|≤ωH。输出功率谱密度
H ( ) h(t )e jω t dt
0
第2章 求得 所以
随机过程
H (0) h(t )dt
0
E[ 0 (t )] a H (0)
与直流传递函数H(0)的乘积，且E［ξo(t)］与t无关。
（2.4-6）
由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望
第2章
随机过程
令
则有
P0 ( ) h( )e
0 j
d h( )e
0
j
d Ri ( )e
'
j '
d '
即
P0 ( ) H ( ) H ( ) Pi ( ) H ( ) Pi ( )
2
（2.4-8）
o t
第2章
随机过程
3. 输出过程ξ0(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
P0 ( ) R0 ( )e j d [ h( )h( ) Ri ( )dd ]e j d
0 0
2 0
n0 j 2 f K e df 2
K n f
2 0 0 H
sin H
H
第2章
随机过程
图2-5 带限白噪声的功率谱和自相关函数
第2章
随机过程
式 中 ， ωH=2πfH 。 由 此 可 见 ， 带 限 白 噪 声 只 有 在
τ=k/2fH(k=1, 2, 3, …)上得到的随机变量才不相关。它告诉我们， 如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相 关的随机变量。这是一个很重要的概念。 如图 2-5（b）所示，带限白噪声的自相关函数 Ro(τ)在τ=0 处有最大值，这就是带限白噪声的平均功率:
第2章
随机过程
可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度 Pi(ω) 与系 统功率传输函数|H(ω)|2的乘积。这是十分有用的一个重要公式。 当我们想得到输出过程的自相关函数Ro(τ)时，比较简单的方法
是先计算出功率谱密度 Po(ω) ，然后求其反变换，这比直接计
算Ro(τ)要简便得多。
第2章
随机过程
对式（2.4 - 5）两边取统计平均，有
E[ 0 (t )] E
0
0
h( ) i (t )d
0
h( ) E[ i (t )]d a h( )d
式中利用了平稳性假设 E ［ ξi(t-τ) ］ =E ［ ξi(t) ］ =a( 常数 ) 。 又因为
2 2 0
可见，输出噪声的功率谱密度在|ω|≤ωH内是均匀的，在此范 围外则为零，如图2-5（a）所示，通常把这样的噪声称为带 限白噪声。其自相关函数为
n0 P0 ( ) H ( ) Pi ( ) K 2
H
1 R0 ( ) 2
fH fH
P0 ( )e j d
E[ i (t1 ) i (t1 )] Ri ( )
有
R0 (t1 , t1 )
00h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
（2.4-7）
第2章
随机过程
可见，o t 的自相关函数只依赖时间间隔 ， 而与时间起点t0 无关。 由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明： 若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程 也是平稳的。
0 (t ) lim 1 (t k )h( k ) k
rk 0 k 0
第2章
随机过程
由于 ξi(t) 已假设是高斯型的，所以，在任一时刻的每项 ξi(t-τk)h(τk)Δτk 都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任
一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之