数值计算方法思考题和习题
计算方法习题集及解答(总结版)
左边 （ ）- 右边 证明：当 m=0 时
∑∞
= T0 h
T=
∆ i
h
2i
=
i=1
设 时等式成立，即 （ ）- m=k
Tk h
∑∞
T=
∆ h (k ) 2k +2i i
i =1
当 时 m=k+1
∑ ∑ Tk+（1 h）-T=
4k
+1Tk
(
h 2
)
−
Tk
(h)
4k +1 −1
−T=
4k +1[T
+
∞ i =1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1.5 1.44444 1.47929 1.456976 1.47108 1.46209 1.46779 1.4416 1.46647
9 1.4650
10
11
1.46593 1.4653
x* ≈ 1.466
迭代公式（2）：
k
0
xk
1.5
12 1.46572
13 1.46548
14 1.46563
xk +1
=
ln(4 − xk ln 2
)
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
xk 1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386 1.386
x* ≈ 1.386
2. 方程 x3 − x2 −1 = 0 在 x = 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：
《数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
计算方法习题集及答案(总结版)
雅克比法：
3 10 12 5
3 (k ) 2 (k ) x1( k +1) = − 5 x2 − 5 x3 −
，x
( k +1) 2
(k ) 1 (k ) =1 4 x1 − 2 x 3 + 5
18 i
，x
( k +1) 3 −4
(k ) 3 =−1 + 10 x (2 k ) + 5 x1
取初始向量 x
（2） x （3） x
3
= 1+ x2 =
，对应迭代公式 x 对应迭代公式 x
0
k +1
= 3 1 + x k2 ;
2
1 , x −1
k
+1 =
1 xk − 1
。
0
判断以上三种迭代公式在 x 解： （1） ϕ ( x) = 1 + x1
2
= 1 .5
的收敛性，选一种收敛公式求出 x
2 x3
−
2 3
= 1 .5
5
习题 3
1.
设有方程组
5 x1 + 2 x 2 + x3 = −12 − x1 + 4 x 2 + 2 x3 = 20 2 x − 3x + 10 x = 3 2 3 1
( k +1) (k )
∞
(1)
考察用 Jacobi 法，Gauss-Seidal 法解此方程组的收敛性； −x (2) 用 Jacobi 法及 Gauss-Seidal 法解方程组，要求当 x
1.
x
k +1 k k
'
<1
公式收敛
数值计算方法第四章习题部分参考答案
3) 快速弦截法 相应的弦截迭代公式为：
f x k x x x x k 1 k k k 1 f x f x k k 1
x k e 4 c o s x k x x x k k k 1 x x k k 1 e 4 c o s x e 4 c o s x k k 1
2) 弦截法：取 x0
4
, x1
2
相应的弦截迭代公式为：
f xk xk1 xk xk x0 f xk f x0 xk e 4co sxk xk xk x0 exk 4co sxk (e4 4 2 ) 2
因此有 x 1 . 3 , 1 . 6
2 x3
x 又：
,易知 x 为单调递减函数，所以有
2 x 0 . 9 1 0 3 1 3 ( 1 . 3 )
由压缩影像定理知该迭代式收敛。
2） 对于该迭代式，相应的迭代函数为：
x 3 1x2
利用公式作迭代得：
x 1 e 4 c o s x 1 x x x x 0 . 8 7 7 0 0 3 2 1 1 0 x 1 4 e 4 c o s x ( e 4 2) 1 2
x2 e 4cosx2 x3 x2 x2 x0 0.906360 ex2 4cosx2 (e4 4 2 ) 2 x3 e 4cosx3 x4 x3 x3 x0 0.904701 ex3 4cosx3 (e4 4 2 ) 2
2 2 3 x 1 . 6 1 1 . 6 0 . 5 6 4 1 1 3
数值计算方法课后习题答案
习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得 （1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈===4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈ 解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ= =0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121x y x x -=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =（3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x -=；（4）（A）9y =（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
（2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。
故（A ）算得准确些。
（3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。
故（B ）算得准确些。
（4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
数值计算方法思考题和习题
(4) 北京理工大学函大2004-2005学年第1学期计算机科学与技术专业专升本数值计算方法思考题和习题教科书：《科学与工程计算》廖晓钟赖汝编国防工业出版社 2003年版第1 章思考题p26 1,2,3,4,5第1 章习题pp26-27 1,3,4,5,6,11第2 章思考题p66 1,3,6,7,8,9,12.13第2 章习题pp67-68 2,3,4,5,7,11,12,13,14,17,18第3 章思考题p119 1,3,4，5，6,10,18,19第3 章习题pp119-121 1，2,3,4,5,12,13第4 章思考题p144 1,2,3,4,5,7,8第4 章习题pp144-146 1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13第5 章思考题p207 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12.13第5 章习题pp208-209 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15第6 章思考题p257 1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12.14第6 章习题pp257-259 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,15,16,17,18第7 章思考题p292 1,2,3,4,5,6,8,9第7 章习题pp293-295 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,20作业题第1 章习题pp26-27 1(1),(2),3(3),5,6第2 章习题pp67-68 2,4,5,11,13,17第3 章习题pp119-121 1(1),2(1),5(2),12第4 章习题pp144-146 1(1),2,10,11,12,13第5 章习题pp208-209 1,3,4,7,10,13,,15第6 章习题pp257-259 1(2),3,6（1）,12,16第7 章习题pp293-295 1,3,6,11,20数值计算方法复习题第1 章绪论1.说明数值算法的意义，计算机解题步骤和数值算法的特点。
数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题一一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件就是α取值在( )。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 就是三次样条函数,则a =( ),b =( ),c =( )。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ就是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数,则∑==nk kx l0)(( ),∑==nk k jk x lx 0)(( ),当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 与节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 与=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ就是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ϕ,则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 就是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解就是唯一的。
数值计算方法第三版课后习题答案
习题一解答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(4) 北京理工大学函大2004-2005学年第1学期
计算机科学与技术专业专升本
数值计算方法思考题和习题
教科书：《科学与工程计算》廖晓钟赖汝编国防工业出版社 2003年版第1 章思考题p26 1,2,3,4,5
第1 章习题pp26-27 1,3,4,5,6,11
第2 章思考题p66 1,3,6,7,8,9,12.13
第2 章习题pp67-68 2,3,4,5,7,11,12,13,14,17,18
第3 章思考题p119 1,3,4，5，6,10,18,19
第3 章习题pp119-121 1，2,3,4,5,12,13
第4 章思考题p144 1,2,3,4,5,7,8
第4 章习题pp144-146 1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13
第5 章思考题p207 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12.13
第5 章习题pp208-209 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15
第6 章思考题p257 1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12.14
第6 章习题pp257-259 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,15,16,17,18
第7 章思考题p292 1,2,3,4,5,6,8,9
第7 章习题pp293-295 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,20
作业题
第1 章习题pp26-27 1(1),(2),3(3),5,6
第2 章习题pp67-68 2,4,5,11,13,17
第3 章习题pp119-121 1(1),2(1),5(2),12
第4 章习题pp144-146 1(1),2,10,11,12,13
第5 章习题pp208-209 1,3,4,7,10,13,,15
第6 章习题pp257-259 1(2),3,6（1）,12,16
第7 章习题pp293-295 1,3,6,11,20
数值计算方法复习题
第1 章绪论
1.说明数值算法的意义，计算机解题步骤和数值算法的特点。
2.说明误差的四个来源。
3.什么是截断误差？什么是舍入误差？二者的区别是什么？
4.叙述误差的三种表示方法和三者的关系。
5.已知近似数X*有两位有效数字，其相对误差是多少？
6.已知5=2.23606┅，取几位有效数字时,近似数的相对误差不超过0.2%？
7.已知近似数相对误差为0.55%,问其有几位有效数字？
8.近似数x*=0.231对于真值x=0.229有几位有效数字？
9.如何确定用四舍五入得到的近似数的有效数字、绝对误差和相对误差。
10.用四舍五入得到的近似数0.550，有几位有效数字，其绝对误差和相对误差
各是多少？
11.用0.25表示1/4，有几位有效数字.以22
7
作为π的近似值有几位有效数字。
12.说明有效数字位数对绝对误差和相对误差的影响。
13.叙述运算误差分析的四个原则及其应用。
第2 章方程求根
1．说明如何用区间二分法求非线性方程的根。
2．如何确定区间二分法二分的次数？
3．什么是迭代原理？如何判断迭代收敛性？迭代法如何判断计算的终点。
4．迭代法框图中ε和N的作用各是什么？
5．如何判断迭代法的收敛速度？如何加速迭代法？
6．如何用迭代误差判断迭代法的收敛速度？
7．迭代法具有平方收敛速度的迭代函数应满足什么条件？
8．使迭代过程x
1
k = x
k
+c(x2
k
-5)收敛到x*=5，当局部收敛时，c的取值是多
少？当平方收敛时，c的取值是多少？
9．对方程x=e x-在初值0.5附近构造的收敛的迭代格式，并定其收敛的阶数。
10．给定方程x=4-2x，
（1）确定其在[-1，2]有一个根。
（2）用简单迭代法建立求这个根的收敛的迭代格式。
（3）确定其收敛的阶数。
11．牛顿迭代公式是什么？几何意义是什么？
12．设f(x)可微，写出求方程 x=f(x)的根的牛顿切线法迭代格式。
13．叙述牛顿迭代法具有平方收敛速度的条件。
14．写出牛顿迭代法求重根时具有平方收敛速度的迭代公式。
15．求方程x2-6x+9=0的根的牛顿迭代法迭代格式是几阶收敛的。
16．用迭代法x
1
k+= x
k
+c(x
k
)f(x
k
)求方程x3+54x-1=0的根，当有平方收敛速
度时，c(x
k
)是多少？
17．写出牛顿迭代法和弦截法的三个主要不同之处。
第3 章线性方程组的直接法
1．举例说明什么是高斯消去法？说明高斯消去法的计算框图和应用条件。
2．为什么选主元？什么是列主元消去法？说明列主元高斯消去法框图的特点。
3．如何用列主元高斯消去法求线性方程组系数矩阵的行列式。
4．如何用高斯-约当消去法求矩阵的逆？
5．高斯消去法和高斯-约当消去法的三个主要不同之处。
6．如何进行杜里特尔分解？
7．追赶法的分解形式是什么样的？
8．说明追赶法的计算次序。
9．什么是向量的范数和矩阵的范数？如何求取？
第4 章线性方程组的迭代法
1．什么是雅可比迭代法？什么是高-塞迭代法？什么是超松弛算法？
2．写出雅可比迭代和高-塞迭代的矩阵表示形式。
3．如何判定迭代法的终点？
4．什么是严格对角占优矩阵？什么是严格对角占优方程组？
5．如何用两个充分条件判定迭代法收敛性？
第5 章 插值和曲线拟合
1．拉格朗日插值多项式应满足什么条件？
2．已知f(x)=6.8x 3+8x,在点20,21,25,27的函数值，写出其插值多项式。
3．拉格朗日插值基函数有何特点？
4．什么是反插值？如何用反插值确定函数的零点？
5．写出插值余项定理，并说明其应用。
6．如何用迭代插值（埃特金逐次线性插值）求近似值？
7．写出差商的定义及其性质。
8．写出牛顿插值多项式。
差商及导数有什么关系？
9．已知四个节点及其函数值如何用拉格朗日插值和牛顿插值确定函数值。
第6 章 数值积分和微分
1．数值求积的基本方法是什么？什么是代数精度？
2．如何构造插值求积公式？
3．牛顿-科特斯公式的特点、代数精度和余项是什么？
4．柯特斯系数有什么特点。
5个节点的牛顿-柯特斯公式有几次代数精度？
5．说明n+1个节点选取的位置不同时对求积公式代数精度的影响。
6．什么是复化求积？
7．如何进行变步长求积？
8．什么是龙贝格算法？
9．已知函数f （x ）=5x 3，在节点x=0，1，2处的值，用复化梯形法计算dx )x (f 20⎰。
对积分dx )x (f 2
0⎰用变步长梯形法计算T 2。
10．高斯求积公式有何特点。
11．5个节点的插值求积公式至少有几次代数精度，至多有几次代数精度。
12．在区间[-3h,3h]上,取节点-α,0,α时：
（1）确定α,构造代数精度尽可能高的插值求积公式。
（2）确定所构造插值求积公式的代数精度。
（3）根据代数精度说明该求积公式的类型和节点的类型。
第7 章常微分方程的数值解
1．写出尤拉法的基本格式和局部截断误差。
2．什么是两步法、改进尤拉法、梯形格式？
3．用尤拉法解微分方程时，需要读入什么数据？
4．说出龙格-库塔法的基本思路。
5．什么是经典龙格-库塔格式？如何选择步长？
6．常用的经典龙格－库塔格式具有四阶精度，什么是四阶精度？
7．用改进尤拉法和龙格－库塔法解微分方程时，如何判断计算终点。
8．微分方程方程组与高阶微分方程如何求解？。