二维随机变量函数的分布

第三章多维随机变量及其分布
第五节
二维随机变量的函数分布
复习：已知一维随机变量X 的概率特性——分布函数或概率密度（分布律）
Y = g ( X )
求随机变量Y的概率特性
方法：将与Y有关的事件转化成X的事件
如果g (x k )中有一些是相同的,则Y 取该值的概率为所有g (x i )所对应的P i 之和.
一般，若X 是离散型r.v ，X 的概率函数为
X
n n p p p x x x 21
21
～则Y=g (X )～
n n p p p x g x g x g 21
21)()()
(一维离散型随机变量函数的分布
一维连续型随机变量函数的分布
X f x Y =g X 设为连续型随机变量,其概率密度为,则的概率密度的求解可通过求其分布函数得到.一般过程为:
方法一:分布函数法
Y 1.求出的分布函数.
1
-Y F y =P Y y =P g x y =P x g y
1-g y -=f x dx.
一、离散型分布的情形
问题: 已知二维离散型随机变量(X,Y )的分布律, g (x,y )为已知的二元函数, 则Z =g (X,Y )也是离散型随机变量,求Z 的分布律.
1k
k k i
j .Z =z =g x ,y
2.k k
i j k
k k k i j g x ,y =z P Z =z =
P X =x ,Y =y k =1,2,…
设X ~B (n 1, p ), Y ~B (n 2, p ), 且独立，具有可加性的两个离散分布 设X ~ P ( 1), Y ~ P ( 2), 且独立，则X + Y ~ B ( n 1+n 2,p )
则X + Y ~ P ( 1+ 2)
二、连续型分布的情形
问题：已知二维随机变量( X ,Y )的概率密度，g(x,y)为已知的二元函数，Z = g( X ,Y )求：Z 的概率密度函数.
方法：
1）从求Z 的分布函数出发，将Z 的分布函数转化为( X ,Y )的事件的概率(分布函数法). 2）代公式(公式法).
•z
•
z += z
x
（通过分布函数）
则
),
(z
F
Z
2,()
z F z
时
x 1
y o
解法二（公式法-------图形定限法）
其他,
02,10,3),(x
z x x x x z x f
dx
x z x f z f Z ),()(由公式（1）
其他,
00,10,3),(x
y x x y x f
正态随机变量的情形
1）若X ,Y 相互独立,)
,(~),,(~22
221
1 N Y N X 则),(~2221
21 N Y X 2）若(X ,Y ));,;,(~22
2211 N 则)
2,(~22
2121
21 N Y X n
i N X i
i i ,,2,1),,(~2 若n X X X ,,,21 相互独立
则
)
,(~1
21
1
n
i i
n i i n i i N X
(3)M=max(X,Y) 及N=min(X,Y) 的分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布
函数分别为F
X (x)和F
Y
(y),我们来求:
M=max(X,Y)及N=min(X,Y)
的分布函数.
由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有
P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)
又由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:
即有
F M (z )= F X (z )F Y (z )
F M (z )=P (M ≤z )=P (X ≤z )P (Y ≤z )=P (X ≤z ,Y ≤z )类似地，可得N=min(X ,Y )的分布函数是：F N (z )=P (N ≤z )=1-P (N >z )
=1-P (X >z ,Y >z )=1-P (X >z )P (Y >z )
即有
F N (z)= 1-[1-F X (z )][1-F Y (z )]
推广:设X 1,…,X n 是n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为求M=max(X 1,…,X n )和N=min(X 1,…,X n )的分布函数,则：
)(x F i X (i =0,1，…, n ),N=min(X 1,…,X n )的分布函数为:
M=max(X 1,…,X n )的分布函数为:
111()[()]N X F z F z …1[()]
n X F z 1()()M X F z F z ()
n X F z …
特别，当X 1,…,X n 相互独立且具有相同分布函数F (x )时，有
F M (z )=[F (z )] n , F N (z )=1-[1-F (z )] n 若X 1,…,X n 是连续型随机变量，在求得M=max(X 1,…,X n )和N=min(X 1,…,X n )的分布函数后，不难求得M 和N 的密度函数.
例3设系统L 由相互独立的n 个元件组成，连接方式为:(1) 串联；(2) 并联；如果n 个元件的寿命分别为12,,,n X X X 12~(),,,,i X E i n 且求在以上2种组成方式下，系统L 的寿命X 的密度函数.解
0,(),
i x
X e x f x
其它10
0,(),
i x
X e x F x
其它
(1)
}
,,,min{21n X X X X n
i X X x F x F i 1
))
(1(1)(
,
00,
)(x x e
n x f x
n X
,
1,0,
)(1x x e x F x
X i (2)
}
,,,max{21n X X X X n
i X X x F x F i 1)()(
,0,
0,
)1(x x e n
x
,
00,
)1()(1
x x e e
n x f n x x
X
y=
y=
z
•z
•z
x +y =
z
z -11x
1•z
•z
1
x
y
z
2 2
1
x
= 1
-
z
= 1
-
z。