随机变量及其分布函数

随机变量及其分布函数
将随机事件以数量来标识，即用随机变量描述随机现象的研究方法，它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。

分布函数则完整的表述了随机变量。

一、 随机变量与分布函数
(1) 随机变量：
取值依赖于某个随机试验的结果（样本空间），并随着试验结果不同而变化的变量，称之为随机变量。

分布函数：
[1] 定义：
设X 是一个随机变量，对任意实数x ，记作
(){}F x P X x ≤=，称()F x 为随机变量X 的分
布函数，又称随机变量X 服从分布()F x ，显然，函数
()F x 的定义域为(),-∞+∞，值域为[0,1]。

[2] 性质：
❶()F x 单调非降。

❷()0F -∞=、()1F +∞=。

❸()(0)F x F x =+，即()F x 一定是右连续的。

❹对于任意两个实数a b <，
{}()()P a X b F b F a <≤=-
❺对于任意实数0x ，
00
0{}()()P X x F x F x ==-- ❻000{}1{}1()P X x P X x F x >=-≤=- ❼000{}{)lim }(x x P X x P X x x F →-
=≤<=-
❽000{}1{}1()P X x P X x F x ≥=-<=-- 二、 离散型随机变量与连续型随机变量
(1) 离散型随机变量
[1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者
无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。

其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下：
[2] 性质：
❶0i p ≥
❷
1
1n
i
i p
==∑
❸分布函数()i i x x
F x p ==∑
❹1{}()()i i i P X
x F x F x -==-
(2) 连续型随机变量
[1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非
负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：
()()x
F x f x d x
-∞
=
⎰
则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函数或者密度函数。

[2]
连续型随机变量的密度函数的性质 ❶()0f x ≥
❷
()1f x dx +∞
-∞
=⎰
❸{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞
-∞
<≤=-=
⎰
❹若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '=
(3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别：
[1]
由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是 (),-∞+∞，对于任何x ，0
{}()()0P X x F x F x ==--=；
而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间断点，其图形呈阶梯形。

[2]
概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1.
[3]
连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何给定值的概率都为0.
[4]
对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间取值的概率与区间端点无关，即：
{}{}{}{}()()
()b
a
P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx
<<=≤≤=<≤=≤<=-=
⎰。