课时分层作业1 集合的含义
课时分层作业(一)集合的含义
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列各组对象不能构成集合的是()
A．拥有手机的人B．2019年高考数学难题
C．所有有理数D．小于π的正整数
B[B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.]
2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是()
A.5∈M B．0?M
C．1∈M D．－π
2∈M
D[5>1，故A错；－2<0<1，故B错；1不小于1，故C错；－2<－π
2<1，
故D正确．]
3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是() A．3.14 B．－5
C.3
7D．7
D[由题意知a应为无理数，故a可以为7.]
4．已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
D[因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形，故选D.]
5．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()
A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集A[由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.]
二、填空题
6．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1________B(填“∈”或“?”)．∈[由集合相等的定义可知，1∈B.]
7．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．{k|k≠±1}[∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的互异性可知k2≠1，解得k≠±1.]
8．用符号“∈”或“?”填空：
(1)设集合B是小于11的所有实数的集合，则23________B,1＋2 ________B；
(2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C,5________C；
(3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D，(－1,1)________D.
(1)?∈(2)?∈(3)?∈[(1)∵23＝12>11，∴23?B；∵(1＋
2)2＝3＋22<3＋2×4＝11，∴1＋2<11，∴1＋2∈B.
(2)∵n是正整数，∴n2＋1≠3，∴3?C；当n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C.
(3)∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，－1是数，
∴－1?D；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D.]
三、解答题
9．设A是由满足不等式x<6的自然数构成的集合，若a∈A且3a∈A，求a
的值．
[解] ∵a ∈A 且3a ∈A ，
∴???
a <6，3a <6，
解得a <2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.
10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．
[解] 因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.
(1)当x ＝0时，x 2＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去．
(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.
由(1)知x ＝0应舍去．
综上知：x ＝1，y ＝0.
11．(多选题)集合A 中含有三个元素2,4,6，若a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a 为( )
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．0 AC [若a ＝2，则6－2＝4∈A ；
若a ＝4，则6－4＝2∈A ；
若a ＝6，则6－6＝0?A ，故选AC.]
12．已知集合M 是方程x 2－x ＋m ＝0的解组成的集合，若2∈M ，则下列判断正确的是( )
A ．1∈M
B ．0∈M
C ．－1∈M
D ．－2∈M C [由2∈M 知2为方程x 2－x ＋m ＝0的一个解，所以22－2＋m ＝0，解得m ＝－2.
所以方程为x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2.
故方程的另一根为－1.选C.]
13．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2 6 [∵x ∈N,2 ∴结合数轴(图略)知a ＝6.] 14．(一题两空)若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素的个数为________，所有元素的和为________． 3 0 [当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋b b ＝1＋1＝2. 当a ，b 同负时，|a |a ＋|b |b ＝－a a ＋－b b ＝－1－1＝－2. 当a ，b 异号时，|a |a ＋|b |b ＝0. ∴|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素共有3个． 且3个元素的和为2＋(－2)＋0＝0.] 15．设集合A 中的元素均为实数，且满足条件：若a ∈A ，则 11－a ∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． [证明] (1)若a ∈A ，则11－a ∈A . 又因为2∈A ，所以 11－2＝－1∈A . 因为－1∈A ，所以11－(－1) ＝12∈A . 因为1 2∈A，所以 1 1－ 1 2 ＝2∈A. 所以A中另外两个元素为－1，1 2. (2)若A为单元素集， 则a＝1 1－a ， 即a2－a＋1＝0，方程无实数解． 所以a≠1 1－a ， 所以集合A不可能是单元素集．