完整版勾股定理中的折叠问题
勾股定理在折叠问题中的应用（讲义和习题）含答案
勾股定理在折叠问题中的应用（讲义和习题）含答案勾股定理在折叠问题中的应用（讲义）课前预习1. 观察图形，回顾轴对称的性质：（1）全等变换：对应边________，对应角_________；（2）对应点所连的线段被对称轴_____________．2. 如图，乐乐将△ABC 沿DE ，EF 分别翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO ，若∠DOF =139°，则∠C 的度数为（） A ．38°B ．39°C ．40°D ．41°3. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6，BC =8，点D 在BC 边上，将直角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处．设DE 的长为x ，则CD =__________，BD =_________．（用含x 的代数式表示）知识点睛1. 轴对称（折叠）的思考层次（1）全等变换：对应边_______、对应角_______．（2）对应点与对称轴：①对应点所连线段_____________________；lA'B'C'CBAOFED CB ADEABC②对称轴上的点_______________________．（3）组合搭配：长方形背景下的折叠常出现______三角形．（4）作图：核心是确定_______和_______，有时需要依据不变特征分析转化，然后再补全图形．特征举例：①对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线；②折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上．精讲精练1. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm ，点D 在BC 边上，将直角边AC沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处，则线段CD 的长为__________．第1题图第2题图2. 如图，在长方形ABCD 中，AB =5 cm ，在DC 上存在一点E ，将△AED 沿直线AE 折叠，使点D落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为30 cm 2，则EF 的长为_______．3. 如图，在长方形ABCD 中，点E 在AB 边上，将长方形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处．若AE =5，BF =3，则CF 的长为_______．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，将△ABC折叠，使点B 与点A 重合，折痕分别交AB ，BC 于点D ，E ，则BE=__________，DE=__________．第4题图第5题图5. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B'处，点A 的对应点为A'．若B'C =3，则AM 的长为__________．DEA BC F ED C BA BFCDA EDEAB CMCBDAB'A'6. 如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN ，若AB =2，BC =4，则AM =______．第6题图第7题图7. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =5，现将该长方形沿BD 折叠，使点C 落在点C′处，BC′交AD 于点E ，则AE 的长为________．8. 如图，在长方形ABCD 中，AB =15 cm ，点E 在AD 上，且AE =9 cm ，连接EC ，将长方形ABCD 沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A'处，则A'C =_________．9. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =9，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则EF 的长为_________．第9题图第10题图10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC=2，将△ABC 沿直线l 翻折，点A 落在边BC 的中点D处，直线l 与边AC 交于点E ，则AE 的长为_________．11. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点P 在线段AC 上．若将△PBC 沿PB 折叠，使点C 的对应点C ′落在AB 边上，则BP 的长为_________．BC FAENMD EDCBAC′A'B ADCEFCBEDAC'第11题图第12题图12.如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是边BC上一点，BE=5，点F是射线BA上一动点，连接EF，将△BEF沿着EF折叠，使点B的对应点P落在长方形一边的垂直平分线上，连接BP，则BP的长为_________．13.如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△B′CE为直角三角形时，BE的长为_________．【参考答案】课前预习1.（1）相等，相等；（2）垂直平分.2. D3.x，8x知识点睛1.（1）相等、相等（2）①被对称轴垂直平分；②到对应点的距离相等（3）等腰（4）对称轴，对应点精讲精练1. 3 cm2.13cm 53.124.5 25.26.138AC BFEDCBAPDCBAEB′7.8 58.8 cm10.5 411.12.13.32或3勾股定理在折叠问题中的应用（习题）例题示范例1：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC 沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在AC边上的点B′处，若折痕交BC于点E，则B′E的长为_________．思路分析：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4由勾股定理，得AC=5找折痕，转移，表达设B′E=x，由折叠，得BE=B′E=x，AB′=AB=3∴CE=4-x，B′C=2利用勾股定理列方程在Rt△EB′C中，由勾股定理，得x2+22=(4-x)2解得x=32B'ACB复习巩固1. 如图，直角三角形纸片OAB ，∠AOB =90°，OA =1，OB =2，折叠该纸片，使点B 与点A 重合，若折痕交OB 于点C ，交AB 于点D ，则OC 的长为_________．2. 如图，折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，若AB =4 cm ，BC =5 cm ，则EF 的长为________．3. 如图，在长方形纸片ABCD 中，AD =8，折叠纸片使点B 落在线段AC 上的点F 处，折痕交BC 于点E ，若EF =3，则AB 的长为_________．4. 如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，若折痕交BC 于点D ，交AB 于点E ，则CD =________，DE =_________．5. 如图，正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将AB ，AD 分别沿AE ，AF 折叠，点B ，D 恰好都落在点G 处，已知BE =1，则EF 的长为_________．O BCADFCBEDFEABC DDCBA6. 如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，对应点为D′，点C 落在C′处．若AB =6，AD′=2，则DM =________，CN =_________．7. 如图，长方形ABCD 中，AB =8，BC =4，将长方形沿AC 折叠，点D 落在点D′处，则重叠部分△AFC 的面积为_________．8. 如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ．若BC =8，AB =4，则AE =_______，EF =________．9. 如图，将长方形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕分别交AD ，BC 于点E ，F ，若AB =3，AD =4，则DE 的长为______．GF E DCBA D'C'NMDAD'D'EABC DF10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若点D在线段BC上，将△ABC沿AD折叠，使点C的对应点C′恰好落在AB边上，则BD的长为_________．11.如图，长方形ABCD中，AB=10，点P是射线AD上一动点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A的对应点A′ 到直线BC的距离等于6，则AP的长为_________．12.如图，长方形ABCD中，AB=12，AD=5，点E是CD边上一点，连接AE，把∠D沿AE折叠，使点D落在点D′处．当△CD′E为直角三角形时，DE的长为____________．【参考答案】例题示范4.3 2复习巩固1.34B CA DAPAB CDA'D'EBCAD2.5 cm 23. 64.7cm4，15cm45.5 26.103，437.109.7 810.5 311.5或2012.103或5。
勾股定理折叠问题
CB ADE一、折叠问题1、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？2、折叠矩形ABCD 的一边AD ，使D 落在BC 边上的F 处，得折痕AE ，若AB ＝8，BC=10， 求CE,CF,EF3、如图，将矩形ABCD 纸片沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在边BC 的F 处，已知3,CE cm =8AB cm =，求图中阴影部分的面积．4、如图，已知长方形ABCD 中AB =8 cm,BC =10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.5、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于________ 。
A CD F ／E图56、将矩形ABCD（A B﹤AD）沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8㎝，AB=4㎝，求三角形BED的面积。
7、如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为8、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长。
9、P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE为边长的正方形的面积.二、生活应用D ˊABCD A ˊ B ˊC ˊ1、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.2、八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面。
勾股定理应用中的翻折问题
3 x 2
C
2
1 1 3 (4 x ) 5 x 2 2 3 12 3 x 5 x x 2
3
A x
3
x
E5
3 B
G
4
4-x
训练1:
长方形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处， 已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
42 (8 x)2 x 2
解： H
x2+32=(9-x)2
x=4 9-x=5
D
3 A 9-x
E
5 5 10 9-x
C 3
4 x 9 F 1 G
B
1、如图，在△ABC中，AB=AC=17， BC=16，求△ABC的面积。
(2)求腰AC上的高。
A
17 8
17 15 B 8 D 16
C
2、如图6，在锐角△ABC中，AD⊥BC， AB=15 ， AD=12 ， AC=13 ，求△ ABC 的 周长和面积。
B
D x
如图，∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3， BC=4，DE=EF=2，则求AF的长。 A 3 B 3 2 4 C 3 D
10 E 2 2 F
4
2
如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km， CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B 两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两 村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 B A 1 C 1 A′ P 4 4 5 2 D 1 E
A 15 B 9 12 13 C
D 5
如图，将一根25cm长的细木棍放入长，宽 高分别为8cm、6cm、和 10 3 cm的长方体 无盖盒子中，求细木棍露在外面的最短长 度是多少？ 25
利用勾股定理解决折叠问题
三角形中的折叠
例1：一张直角三角形的纸片，如图1所 示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若 ∠B=30°，AC= 3，求DC的长。 B
E D
C
图1
A(B)
长方形中的折叠
例2：如图2所示，将长方形纸片ABCD的一边 AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知 AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE，
∴AF=AD=10cm，EF=ED，
AB=8 cm，EF＋EC=DC=8cm， ∴在Rt△ABF中
A
D
BF AF2 AB2 102 82 6cm
FC=BC-BF=4cm 设EC=xcm ,则EF=DC－EC=(8－x)cm
E
在Rt△EFC中，根据勾股定理得
3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转化到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
课堂小结
❖ 1、标已知； ❖ 2、找相等； ❖ 3、设未知，利用勾股定理，列方程； ❖ 4、解方程，得解。
EC²=FC²=EF² 即x²＋4²=（8－x）²，x=3cm，
B
F 图2
C
∴EC的长为3cm。
发挥你的想象力
❖ 长方形还可以怎样折叠，要求折叠 一次，给出两个已知条件，提出问题， 并解答问题。
EAEຫໍສະໝຸດ DDCAD
F
B F
C
C
A
B
B
E FC
课堂小结
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三 角形中，设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。
勾股定理中的折叠问题(分类整理版)
勾股定理中的折叠问题
1、如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求
线段BN的长．
2、在一张直角三角形纸片中,两条直角边BC等于6,AC等于8,将三角形ABC按如图所示的方式折叠,使点A 和点B重合,折痕为DE,求CD的长
3、如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）
的面积．
变式：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在
斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。
4、如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10CM,求DE的长
5、在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,将长方形ABCD沿CE折叠后,点D恰好在对角线AC上的点F处、求EF的长。
6、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落
在CD边上的点G处，求BE的长.
7、如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．
（1）试说明：AF=FC；
（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长．。
勾股定理中的折叠问题
1、标已知；2、找相等；3、设未知，利用勾股定理，列方程；4、解方程，得解。
(3) 折叠重合的两部分图形关于哪条直线成轴对称？
2.折叠直角三角形纸片，使点 C 落在 AB 上的点 E 处．已知 BC=12，∠B=30°， ∠C=90°，求 DE 的长 4.一张直角三角形的纸片，如图所示折叠，使两个锐角的顶点 A、B 重合。若
A E B∠B=30°，A Nhomakorabea=，求 DC 的长。
D
勾股定理中的折叠问题
1.如图，折叠直角三角形纸片，使点 C 落在 AB 上的点 E 处．折痕为 AD。 (1)你能找出其中全等的三角形吗？ (2)图中有哪些相等的角和相等的线段？ 3.直角三角形纸片 ABC，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠△ABC 的一角，使点 B 与 点 A 重合，展开得折痕 DE，求 BD 的长．
E A F D
B
C
6. 如 图 ， 将 一 矩 形 纸 片 OABC 放 在 直 角 坐 标 系 中 ,O 为 原 点 ,C 在 x 轴 上,OA=6,OC=10.，OA 上取一点 E，将△EOC 沿 EC 折叠，使 O 落在 AB 边上的 D 点，求 E 点的坐标。
8.如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落到点 B′的位置，AB′与 CD 交于点 E.若 AB=8，DE=3，P 为线段 AC 上的任意一点，PG⊥AE 于 G，PH⊥EC 于 H， 试求 PG+PH 的值，并说明理由.
C
1、标已知；2、找相等；3、设未知，利用勾股定理，列方程；4、解方程，得解。
勾股定理中的折叠问题
5.如图所示，将长方形纸片 ABCD 的一边 AD 向下折叠，点 D 落在 BC 边的 F 处。 已知 AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求 EC 的长。 7． 如图， 将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠， 点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F ， 连结 AE ． （1）证明： BF DF ． （2）若 AB=6，BC=10，求 AF 的长
利用勾股定理解决图形折叠和求图形面积的问题
思路点拨:
（1）折叠问题的变与不变，变的是折叠前后图形的位置， 不变的是折叠前后图形的形状和大小，因此折叠前后的 两个图形是全等的，进而可以利用全等的性质求解。
（2）注意折叠中90度角的位置变化，通常在折叠后， 因为90度角的位置变化，会产生直角三角形，进而可以 运用勾股定理求解。
（3）学会将待求量设为未知数，通过勾股定理建立等 量关系式，从方程的思想看待问题，从而将几何问题代 数化。
题一
如图，长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC 上的F处，已知AB＝6，BC=10，则EC等于( ) A．3 B．C＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线 BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段 DE的长为( ) A．3
思路点拨:
（1）折叠问题的变与不变，变的是折叠前后图形的位置，
不变的是折叠前后图形的形状和大小，因此折叠前后的
两个图形是全等的，进而可以利用全等的性质求解。
思路点拨:
（1）折叠问题的变与不变，变的是折叠前后图形的位置， 不变的是折叠前后图形的形状和大小，因此折叠前后的 两个图形是全等的，进而可以利用全等的性质求解。
（2）利用数形结合思想，将已知条件和 分析过程标在图上，通过勾股定理建立 等量关系式，将几何问题代数化，进行 求解。
B.15/4 C．5
D.15/2
题三
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图
中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，
那么△ADC′的面积是(
)．
总结：
（1）在折叠问题中注意找相等的边和相 等的角，注意90度角位置发生的变化。
勾股定理折叠问题
勾股定理折叠问题勾股定理是数学中最基础的定理之一，又被称为“经典的三角形定理”。
它的核心概念是当两条边的平方相加等于第三条边的平方，那么这个三角形便是直角三角形，这时这条等式就可以写成a2 + b2 = c2。
勾股定理也可以用来解决各种折叠问题。
折叠问题是一种要求将若干张尺寸不同的纸条组合成特定形状的搭建问题。
例如有一张尺寸为的纸条，要求将其折叠成三角形的形状，那么就可以使用勾股定理来解决这样的折叠问题。
已知三角形的两条边a和b，要求折叠纸条拼凑成直角三角形，可以使用勾股定理来解决。
首先，将纸条折叠成两个小三角形，其中一个三角形的边长为a，另一个三角形的边长为b，根据勾股定理，就可以求出两小三角形的高度，即c，将两个小三角形拼接成一个直角三角形，假设将其拼接的角度为γ，则γ的大小可以根据勾股定理求出，即γ = arccos（）。
可以看出，使用勾股定理可以很方便地解决折叠问题，有助于提高工作效率。
然而，由于折叠问题的复杂性，有些折叠问题可能是无法通过勾股定理来解决的。
比如，当纸条尺寸比较大时，很难将其精确地折叠成要求的形状，或者特定形状需要纸条折叠多次，在折叠过程中精确度可能会有所损失，从而使用勾股定理解决折叠问题变得更加困难。
另外，在折叠问题中，也有一些特殊情况需要考虑。
比如，在折叠一个尺寸为的纸条时，有可能出现三角形不能顺利折叠的情况，或者当纸条数量有限时，也有可能出现无法精确折叠的情况。
此时，就需要考虑其他对解决折叠问题的办法。
总之，在折叠问题中，勾股定理可以作为一种参考，有助于计算纸条折叠后形状的精确度、大小等，但是当出现特殊情况时，就需要采取其他更有效的方法来解决折叠问题了。
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勾股定理中的折叠问题
例1:如图，小红用一张长方形纸片 ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC? 为10cm .当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F:处（折痕为AE ）⑴ 求BF 的长；⑵
对应练习：1、如图折叠长方形的一边 BC,使点B 落在AD 边的F 处，已知：AB=3, BC=5 求折痕EF 的长.
已知，如图长方形ABCD 中, AB=3cmAD=9cm 将此长方形折叠，使点B 与点D 重合, 折痕为 EF,则△ ABE 的面积为（
）A 6cm B 、8cm C 、10cm D 12cm N 二
第11题图F
对应练习：1、如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点 A C 重合，？ 若其长BC 为a ，宽AB 为b 则折叠后不重合部分的面积是多少?
例2： 求EC 的长。
2、如图2-3，把矩形ABCD&直线BD 向上折叠，使点C 落在C 的位置上，已知AB=?3 BC=7求重合部分△ EBD 的面积
例3:有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cn 现将直角边AC 沿/ CAB 勺角平分 线AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗?
E
对应练习：1、如图，在△ ABC 中,/ B=90。
，AB=BC=6把^ ABC 进行折叠，使点
A 与点
D
E
— 求EC 的
例4:如图, 一块直角三角形的纸片，两直角边
AC=6c m ，BC=8c m 。
现将直角边 AC 沿直线AD 折叠,
3
对应练习：1如图，四边形ABCD 是矩形，AB=3, BC=4,把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点F 处，连接DF ，CF 与AD 相交于点E ，求DE 的长和△ ACE 的面积.
2、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对
角线 BD 上，得折痕 DG ，若 AB = 2，BC = 1，求
AG.
AB 上，恰与AE 重合，求CD 使它落在斜边 B B
总结:
三角形中的折叠基本图形
B 、矩形
□
D
C
C
I。