南昌工程学院概率统计试卷及答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
南昌工程学院概率统计试卷及答案
一、填空题（每空2分，共22分） 得分| |阅卷人| 1. 设A B C ,,是三个事件，则A B C ,,至少有一个发生表示为 .2. 设甲、乙两人独立对目标进行射击，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为 ，若目标已经被击中，则是甲击中的概率为 . 3. 设),,2(~2σN X且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P ________.4. （X,Y ） (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)P 1/61/91/181/3αβ且X 和Y 相互独立，则α＝_______，β＝________.5. 若),(~p n b X ，且,6.1)(=X E 28.1)(=X D ，则=n ，=p _ . 6. 设),3,10(~N X )2,1(~N Y ，且X 和Y 相互独立，则=-)23(Y X D .7. 设)4,(~μN X ，容量9=n ，均值2.4=X ，则未知参数μ的置信度0.95的置信区间为_________. (查表0.025 1.96Z =)8. 设321,,X X X 是来自正态总体),(~2σμN X 的样本,则当=a ，3212131ˆaX X X ++=μ是总体均值μ的无偏估计. 二、选择题（每题3分，共18分） 得分| |阅卷人|1. 设事件A 与B 互斥，,0)(,0)(>>B P A P 则下列结论中一定成立的有( ) (A ) A 与B 互不相容 (B ) A ,B 为对立事件 (C )A 与B 相互独立 (D ) A 与B 不独立2.设)1,1(~N X ，概率密度为)(x f ，分布函数为)(x F ，则有( ))(A }1{}1{≥=≤X P X P )(B }0{}0{≥=≤X P X P )(C )()(x f x f =- )(D )(1)(x F x F -=-3. 设随机变量X 与Y 的方差满足()()25,36,DX D Y ==()85D X Y +=，则相关系数=XYρ ( ))(A 0.2 )(B 0.3 )(C 0.4 )(D 0.5 4. 设D 是由直线x y =,0=y 和2=x 围成的平面区域，二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，则),(Y X 关于X 的边缘概率密度在1=x 处的值为( ))(A21 )(B 31 )(C 41 )(D 515. 设n X X X ,...,21是正态总体),(~2σμN X 的样本,其中μ已知,σ未知,则下列不是统计量的是( ))(A k nk X ≤≤1max )(B k nk X ≤≤1min )(C μ-X )(D∑=nk kX 1σ6. 设随机变量),(Y X 满足方差)()(Y X D Y X D -=+，则必有())(A X 与Y 独立 )(B X 与Y 不相关)(C X 与Y 不独立 )(D 0)(=X D 或0)(=Y D三、计算题（每题10分，共60分） 得分| |阅卷人| 1. 有三个盒子，第一个盒子中有2个黑球，4个白球，第二个盒子中有4个黑球，2个白球，第三个盒子中有3个黑球，3个白球.今从3个盒子中任取一个盒子，再从中任取1球.(1) 求此球是白球的概率；(2) 若已知取得的为白球，求此球是从第一个盒子中取出的概率.题号 一 二 三 总分 统分人 题分 22 18 60 100得分A21 概率论与数理统计2. 设随机变量X 的概率密度为xAex f -=)( ，求 (1)A 值； (2)X 的分布函数)(x F ；(3)X 落在区间)1,1(-内的概率.3. 设),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其他,00,10),1(),(xy x x Ay y x f ，求 (1)常数A ; (2) 边缘概率密度; (3) X 和Y 是否独立？4.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他,010,1)(x x f X ，⎩⎨⎧>=-其他,00,)(y e y f y Y 求随机变量Y X Z+=的概率密度。
概率统计试题及答案
概率统计试题及答案概率统计是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学、工程技术等多个领域都有着广泛的应用。
本文将提供一套概率统计的试题及答案，以供学习和复习之用。
一、选择题1. 概率论中，如果事件A和B是互斥的，那么P(A∪B)等于：A. P(A) + P(B)B. P(A) - P(B)C. P(A) / P(B)D. 1 - (1 - P(A))(1 - P(B))答案：A2. 以下哪项不是随机变量的典型性质？A. 可测性B. 有界性C. 随机性D. 独立性答案：D3. 标准正态分布的数学期望和方差分别是：A. 0和1B. 1和0C. 1和1D. 0和0答案：A4. 若随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为f(x) = λe^(-λx), x > 0，则λ的值为：A. E(X)B. Var(X)C. E(X)^2D. 1 / Var(X)答案：D5. 在贝叶斯定理中，先验概率是指：A. 基于经验或以往数据得到的概率B. 基于主观判断得到的概率C. 事件实际发生的概率D. 事件未发生的概率答案：B二、填空题1. 事件的空间是指包含所有可能发生的事件的集合，其记作______。
答案：Ω2. 若随机变量X服从均匀分布U(a,b)，则X在区间[a, b]上的概率密度函数是______。
答案：1 / (b - a)3. 两个事件A和B相互独立的必要不充分条件是P(A∩B) = ______。
答案：P(A)P(B)4. 若随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其概率密度函数为f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(- (x - μ)^2 / (2σ^2))，其中μ是______，σ^2是______。
答案：数学期望，方差5. 拉普拉斯定理表明，对于独立同分布的随机变量序列，当样本容量趋于无穷大时，样本均值的分布趋近于______分布。
答案：正态三、简答题1. 请简述条件概率的定义及其计算公式。
概率论与数理统计试卷【范本模板】
南昌工程学院成人教育学年度 学期 课程考试试卷 第 张共 张一、填空题（每空2分,共22分）1. 设A B C ,,是三个事件，则A B C ,,至少一个发生表示为 , A B C ,,恰有一个发生表示为 。
2. 设,A B为随机事件，()0.5P A =,()0.6P B =,()0.7P A B =,则()P AB =，()|P A B = .3. 设),5(~2σN X ，且{}250.3P x <<=，则{}5P x <= ，{}8P x >= 。
4。
已知Y X ,的分布律为且}0{=X 和}1{=+Y X 相 =b .互独 立，则=a ，5. 设)4,2(~2-N X，)2,1(~2N Y ,且X与Y 相互独立，则(2)E X Y -= ;(2)D X Y -= .6。
某随机变量X 的密度函数211)(x x f X +=，则X 的线性函数XY1=的概率密度)(y f y =二、选择题（每题3分，共18分）1。
设甲乙两人进行象棋比赛，考虑事件A={甲胜乙负}，则A 为( ）)(A { 甲负乙胜｝ )(B ｛ 甲乙平局｝ )(C { 甲负｝ )(D ｛ 甲负或乙胜｝ 2。
下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是（ ） )(A 21()1F x x =+)(B ()()x F x f t dt -∞=⎰，其中()1f t dt +∞-∞=⎰)(C =)(x F 1(1),020,0xe x x -⎧->⎪⎨⎪≤⎩)(D x x F arctan 121)(π+=3。
投掷两颗均匀骰子，则出现点数之和等于6的概率为( ))(A 111 )(B 115 )(C 361 )(D 3654。
设随机变量X 的概率密度函数为2,(0,)()0,x x A f x ∈⎧=⎨⎩其它，则常数A = ( ) )(A14)(B12)(C 1 )(D 25. 设总体X ～),(2σμN ,μ已知，2σ未知，n 21X ,X ,X 是总体X 的一个样本,则下面哪个不是统计量( ）)(A 3X 1+ )(B }X ,,X ,X max{n 21)(C ∑σ=n 1i i X n 1 )(D ∑μ-=n 1i 2i )X (n 16。
南昌工程学院概率论与数理统计习题册答案 2
习题一（参考答案）一、填空题1） （1）C B A （2） C B A C B A C B A（3）B AC A C B 或 C B A C B A C B A C B A2） 0.7 ; 3） 3/7 ；4） 4/7! = 1/1260 5) 0.75 二、选择题 1）A 2）D 3）B 4) D 5) D三、计算题 1） 8/15 ； 2） （1）1/15， （2）1/210， （3）2/21;3） （1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.72; 4） 0.92; 5） 取出产品是B 厂生产的可能性大。
四、提示：利用条件概率可证得。
习题二（参考答案）一、 填空题 1）1/5 ； 2）1=a ，=b 1/2 ； 3）0.2 ； 4）2/3； 5）4/5二、选择题 1） C ； 2）B ； 3）B ； 4）C ； 5）C 三、计算题 1) （1）1{}(3/13)(10/13)k P X K -==（2）2） （1）A ＝1/2 ， （2）1(1)2e -- ， （3）()11,02x F x e x =⎨⎪-≥⎪⎩3）1/32/3330()161()(),()366f x x x a b b a πππ-⎧⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥-⎣⎦⎩其他 ， 4） 4≥n5）提示：99.0}{01.0}{≥<≤≥h x P h x P 或，利用后式求得31.184=h （查表(2.33)0.9φ=）6）○1A=1/2，B=1π； ○2 1/2； ○3 f (x)=1/[π(1+x 2)] 四、提示：参数为2的指数函数的密度函数为220()00x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ ，利用21xY e -=-的反函数⎪⎩⎪⎨⎧--=0)1ln(21y x 即可证得。
习题三（参考答案）一、1）5/7 2）1/3,1/6ab == 3）F(b,c)-F(a,c); 4) F ξ(a,b); 5) 1/2二、1） C 2）A 3） C 4)C 5) B三、1）2）（1）21,,22A B Cπ===；（2）222(,)(4)(9)f x y x y π=++；（3） 独立 ； 3）(1) 12; (2) (1-e -3)(1-e -8)4）（1）24A =（2）4322432340003812(/2)010(,)3861014301111x y y y x x y x y x F x y y y y x y x x x x y x y <<⎧⎪-+-≤<≤<⎪⎪=++≥≤<⎨⎪-≤<≤⎪≥≥⎪⎩或5） （1）212(1),01()0,x x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他 ； 212(1),01()0,y y y y f y ⎧-≤≤=⎨⎩其他（2）不独立习题四（参考答案）一、 1）1.16 2）7.4 3）1/2 4) 46; 5) 85二、 1）B 2）C 3）B 4)A 5)C三、 1）1224(),()749E X D X == 2）丙组 3）10分25秒 4）平均需赛6场 5）2(1)(1)(),()212k n k n E X D X +-== ; 6) k = 2, E(XY)=1/4, D(XY)=7/144习题五（参考答案）一、填空题 1）22(,),(0,1),(,),(0,1)N N N N nnσσμμ 2）22μσ+ 3）1/84）X =7， S 2=2 5)2N ,n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、选择题1)C 2)B 3)A 4)B 5)C 三、解答题1) 0.9475 2) 0.9842 3) 537 4)(1)t n - 5) 16习题六（参考答案）一、填空题1）2,1X S n p p X∧∧==- 2） 12max{,,,}nX X X θ=⋅⋅⋅ 3）[4.412,5.588] 4）2 5）5.78 二、选择题1）D 2）B 3）C 4）A 5）B 三、解答题 1）1,1nii n X nXl Xββ∧∧=-==-∑矩极大 ， 2）,X X λλ==矩极大 3）（I ）[2.121,2.129], （II ） [2.1175,2.1325]4）[0.401,2.601]- 5）[0.128,1.238]四、证明题 提示：由题设先求()i E X 及()i D X 后，再证明p ∧是p 的无偏估计量。
(完整版)大学概率统计试题及答案
注意：以下是本次考试可能用到的分位点以及标准正态分布的分布函数值:、选择填空题(共80分，其中第1-25小题每题2分，第26-351. A 、B 是两个随机事件，P( A ) = 0.3, P( B ) = 0.4,且A 与B 相互独立， 则P(AUB)= B ；(A) 0.7(B) 0.58(C) 0.82(D) 0.122. A 、B 是两个随机事件，P( A ) = 0.3 , P( B ) = 0.4，且A 与B 互不相容,则P(AUB) D;(A) 0(B) 0.42(C) 0.88(D) 13. 已知 B,C 是两个随机事件,P( B | C ) = 0.5, P( BC ) = 0.4J 则 P( C ) = C : (A) 0.4 (B) 0.5 (C) 0.8 (D) 0.94. 袋中有6只白球,4只红球，从中抽取两只，如果作不放回抽样，则抽得的两个球颜色不同的概率为：_______ :84126(A)亦 (B)亦(C)25(D)可5. 袋中有6只白球,4只红球，从中抽取两只，如果作放回抽样，则抽得的两个球颜色不同的概率为：CJ84 12 6(A)15(B)15(C)25(D)2516.在区间［0,1］上任取两个数，则这两个数之和小于的概率为 C7.在一次事故中，有一矿工被困井下，他可以等可能地选择三个通道之一逃生 假设小题每题3分))封 题… 答… 不… 内… 线… 封…密…(A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/8(D) 1/16矿工通过第一个通道逃生成功的可能性为1/2，通过第二个通道逃生成功的可能性为1/3,通过第三个通道逃生成功的可能性为1/6.请问：该矿工能成功逃(A) 1 (B) 1/2(C) 1/3 (D) 1/68•已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。
设他们有 丫个儿子，如果生男孩的概率为0.5，贝U 丫服从 B ____________ 分布.(A) (0 1)分布(B) B(4,0.5)(C) N(2,1)(D)(2)9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布()来描述.已知P{ X 99} P{ X 100}.则该市公安机关平均每天接到的110报警电话次数为 C _________ 次.10.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。
概率论与数理统计考试试卷(附答案)
概率论与数理统计考试试卷（附答案）一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 事件表达式B A -的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生(D) 事件A 与事件B 至少有一件发生2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1(D) 是必然事件3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布(D) 自由度为2的F 分布4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( )(A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的方差D (X )的值为( ) (A) 0.25(B) 3.5(C) 0.75(D) 0.5二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。
把答案填在题中横线上） 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (AB )= __________2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=_______.5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (2X +Y )=__________6. 一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝_____________________ _______三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。
概率论与数理统计试卷及参考答案
概率论与数理统计 试卷及其答案一、填空题（每空4分，共20分）1、设随机变量ξ的密度函数为2(0,1)()0ax x x φ⎧∈=⎨⎩其它，则常数a =3 。
2、设总体2(,)XN μσ，其中μ与2σ均未知，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，2σ的矩估计为211()i ni i X X n ==-∑ 。
3、已知随机变量X 的概率分布为{},1,2,3,4,5,15kP X k k ===则1()15P X E X ⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭___ 0.4___。
4、设随机变量~(0,4)X U ，则(34)P X <<= 0.25 。
5、某厂产品中一等品的合格率为90%，二等品合格率80%，现将二者以1：2的比例混合，则混合后产品的合格率为 5/6 。
二、计算题（第1、2、3题每题8分，第4题16分，第5题16分，共56分）1、一批灯泡共20只，其中5只是次品，其余为正品。
做不放回抽取，每次取一只，求第三次才取到次品的概率。
解：设i A 表示第i 次取到次品，i=1,2,3，B 表示第三次才取到次品， 则123121312()()()()()1514535201918228P B P A A A P A P A A P A A A ===⨯⨯=2、设X 服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为0()00xe xf x x λλ-⎧≥=⎨<⎩，求λ的极大似然估计。
解：由题知似然函数为：11()(0)i niii x i nx ni i L eex λλλλλ==-=-=∑=∏=≥对数似然函数为：1ln ()ln i ni i L n x λλλ===-∑由1ln ()0i ni i d L n x d λλλ===-=∑，得：*11i nii nxxλ====∑ 因为ln ()L λ的二阶导数总是负值，故*1Xλ=3、设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为:,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他, 求随机变量Z X Y =+的概率密度解：()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰1,01,10,0z x z x ze dy z e dy z z ---⎧<<⎪⎪=≥⎨⎪≤⎪⎩⎰⎰ 11,01,10,0z z z e z e e z z ---⎧-<<⎪=-≥⎨⎪≤⎩4、 设随机变量X 的密度函数为,01,()2,12,0,x x f x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它.求(),()E X D X 。
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1. 设A B C,,是三个事件，则A B C,,至少有一个发生表示为 .2. 设甲、乙两人独立对目标进行射击，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为，若目标已经被击中，则是甲击中的概率为 .3. 设),,2(~2σNX且3.0}42{=<<XP，则=<}0{XP________.4.且和相互独立，则＝_______，＝________.5. 若),(~pnbX，且,6.1)(=XE28.1)(=XD，则=n，=p_ .6. 设),3,10(~NX)2,1(~NY，且X和Y相互独立，则=-)23(YXD .7. 设)4,(~μNX，容量9=n，均值2.4=X，则未知参数μ的置信度0.95的置信区间为_________. (查表0.0251.96Z=)8. 设321,,XXX是来自正态总体),(~2σμNX的样本,则当=a，3212131ˆaXXX++=μ是总体均值μ的无偏估计.二、选择题（每题3分，共18分）1. 设事件A与B互斥，,0)(,0)(>>BPAP则下列结论中一定成立的有( )(A) A与B互不相容(B) A,B为对立事件(C)A与B相互独立(D) A与B不独立2.设)1,1(~NX，概率密度为)(xf，分布函数为)(xF，则有( ))(A}1{}1{≥=≤XPXP)(B}0{}0{≥=≤XPXP)(C)()(xfxf=-)(D)(1)(xFxF-=-3. 设随机变量X与Y的方差满足()()25,36,D X D Y==()85D X Y+=，则相关系数=XYρ( ))(A0.2 )(B0.3 )(C0.4 )(D0.54. 设D是由直线xy=,0=y和2=x围成的平面区域，二维随机变量),(YX在区域D上服从均匀分布，则),(YX关于X的边缘概率密度在1=x处的值为( ))(A21)(B31)(C41)(D515. 设nXXX,...,21是正态总体),(~2σμNX的样本,其中μ已知,σ未知,则下列不是统计量的是( ))(AknkX≤≤1max)(BknkX≤≤1min)(Cμ-X)(D∑=nkkX1σ6. 设随机变量),(YX满足方差)()(YXDYXD-=+，则必有( ))(A X与Y独立)(B X与Y不相关)(C X与Y不独立)(D0)(=XD或三、计算题（每题10分，共60分）1. 有三个盒子，第一个盒子中有2个黑球，4个白球，第二个盒子中有4个黑球，2个白球，第三个盒子中有3个黑球，3个白球.今从3个盒子中任取一个盒子，再从中任取1球.(1) 求此球是白球的概率；(2) 若已知取得的为白球，求此球是从第一个盒子中取出的概率.212. 设随机变量X 的概率密度为xAex f -=)( ，求 (1)A 值； (2)X的分布函数)(x F ；(3)X 落在区间)1,1(-内的概率.3. 设),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其他,00,10),1(),(xy x x Ay y x f ，求 (1)常数A ; (2) 边缘概率密度; (3) X 和Y 是否独立？4.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他,010,1)(x x f X ，⎩⎨⎧>=-其他,00,)(y e y f y Y 求随机变量Y X Z +=的概率密度。
5. 设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=其他,021,210,)(x x x x x f ，求)(X E 及)(X D .6. 设总体X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其他,010,1);(/)1(x x x f θθθθ ，0>θ，n X X X ,...,,21是取自总体X的样本。
（1）求θ的最大似然估计量θˆ。
（2）证明θˆ是θ的无偏估计量。
概率论与数理统计2 2《概率论与数理统计》试卷A 标准答案一、填空题（每空2分，共28分）1.C B A ⋃⋃2. 8.0，75.0 3．2.0 4. 9/2, 9/1 5. 2.0,806. 357.)51.5,89.2(8.61二、选择题（每题2分，共12分） 1. D 2.A 3.C 4.A 5.D 6.B 三、计算题（每题10分，共60分）1. 设事件A 为“取到白球”，321,,B B B 分别表示：取到第一个盒子、第二个盒子和第三个盒子”. （1）)()()(31i i i B A P B P A P ∑== (2)分633162316431⨯+⨯+⨯= …………………4分21=…………………5分 （2）)()()()(111A P B A P B P A B P =…………………7分94216431=⨯= …………………10分2. （1）由⎰+∞∞-=1)(dx x f ，得⎰⎰∞-+∞-==+012A dx Ae dx Ae x x，21=A ………………3分 （2） ⎰∞-=xdt t f x F )()(⎪⎩⎪⎨⎧>-=+≤==⎰⎰⎰∞---∞-000,21121210,2121x x t t x x tx e dt e dt e x e dt e ………………7分 （3）11)1()1(}11{--=--=<<-e F F x P ………………10分3.(1)由1),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f ，得 …………………1分124)1(21)1(2101==-=-⎰⎰⎰A dx x x A dy x Ay dx x， 得24=C …………………3分⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=-=⎰其他,010),1(12)1(2420x x x dy x y x ……………6分 ⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=-=⎰其他,010,)1(12)1(2421y y y dx x y y……………9分 由于)()(),(y f x f y x f Y X ≠，因此X 和Y 不是相互独立的. …………10分 4． dx x z f x f z f Y X Z )()()(-=⎰∞∞- 由⎩⎨⎧>-≤≤010x z x ，得⎩⎨⎧<≤≤zx x 10 …………………3分 原式=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<⎰⎰----其他,01,10,10)(0)(z dx ez dx e x z z x z =⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---其他,01),1(10,1z e e z e z z …………………10分 5.⎰+∞∞-=dx x xf X E )()( (1)分=⎰⎰-+2112)2(dx x x dx x 1= ……………4分⎰+∞∞-=dx x f x X E )()(22=⎰⎰-+212103)2(dx x x dx x =67……………8分 61)]([)()(22=-=X E X E X D ……………10分6. 设n x x x ,...,,21是相应于n X X X ,...,,21的一个样本值 ……………1分似然函数∏==ni ix f L 1);()(θθ⎪⎩⎪⎨⎧<<=∏=-其他,010,11/)1(n i i i n x x θθθ ……………2分∑=-+-=ni i x n L 1ln )1ln ln θθθ（ ……………3分∑=--=ni ixn d L d 12ln 1ln θθθ ……………4分解得 ∑=-=ni ix n 1ln 1ˆθ 因此θ的最大似然估计量∑=-=ni iX n 1ln 1ˆθ. ……………6分因为θθθθ-==-⎰/)1(101ln )(ln x x X E ， ……………8分θθ=-=∑=)ln 1()ˆ(1ni iX n E E 可知θˆ是θ的无偏估计量。
……………10分一．随机事件与概率１．五卷文集按任意次序排列到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率为 （101）2. 若B A ⊂，则B A Y 是 （B ）3. 事件Ａ、Ｂ、Ｃ至少有一个不发生可表示为 （C B A Y Y ）4. 设B A ,为两个独立事件，7.0)(=A P ，1)(0<<B P ，求)|(B A P （ 0.3 ）5． 某射手射击时，中靶的概率为43，若射击直到中靶为止，求射击次数为３的概率？（ 43)41(2⨯ ）5．设B A ⊂，2.0)(=A P ，3.0)(=B P ，求)(B A P . 解：1.0)()()()(=-=-=A P B P A B P B A P6．某射手每次射击击中目标的概率为p ，连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止，求射击次数X 的分布律解 在进行射击之前，无法知道射手在第几次射击时击中目标，因此射击次数X 是离散型随机变量，显然，X 的可能取值为Λ,2,1，即一切正整数，而：p p k X P k 1)1(}{--== Λ,2,1=k 上式即为X 的分布律。
7. 某工厂生产的100个产品中有5件次品, 检查产品质量时, 在产品中取一半来检查, 如果发现次品不多于一个, 则这批产品可以认为是合格的。
求这批产品被认为是合格的概率。
解：按题意，每批100个产品中应有5个次品，95个合格品．设事件A 表示检查的50个产品中次品不多于1个，它可以看作两个互不相容事件之和：10A A A +=其中0A 表示检查的50个产品中没有次品， 而1A 表示有1个次品．因为 ：028.0)(5010050950==C C A P153.0)(501004995151==C C C A P 所以181.0)()()(10=+=A P A P A P8．设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000个男人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。
解 =A {抽到的一人为男人}，=B {抽到的一人为色盲者}，则()53=A P ，()2011005==AB P ，()52=A P ，()40011000025==A B P于是，由全概率公式，有 ()()()()()A B P A P A B P A P B P +=10003140015220153=⨯+⨯=。
9.（1）已知5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，求)(B A P ⋃。
（2）4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，8.0)|(=B A P ，求)|(B A P 。
解 （1）利用加法公式、乘法公式计算事件概率4.0)()|()(=⋅=A P A B P AB P ，7.04.06.05.0)(=-+=⋃B A P 。