线性代数期末复习题

线性代数期末复习题

一、判断下列各题是否正确

1． 矩阵A 、B 的积AB ＝0，则A ＝0或B ＝0。 （ ） 2． 设A 为一任意矩阵，则A ＋A T ，AA T 均为对称矩阵。 （ ）

3． 设对矩阵A 施行初等变换得到矩阵B ，且已知秩(A)＝r ，秩(B)=s,则r = s 。（ ）

4． A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则(AB)＊= A ＊B ＊

。 ( ) 5． 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC ＝E ，则BCA ＝E 。 ( )

6． 设A 、B 为n 阶方阵，则，(A -1 B -1)T ＝(A T B T )-1

。 ( ) 7． 等价的矩阵的秩相等。 ( ) 8． 若矩阵P T AP 为对称矩阵，则A 为对称矩阵。 ( ) 9．在4阶行列式中，项a 13a 34a 42a 21带正号。 （ ） 10． A ＊

是n 阶方阵A 的伴随矩阵，则 (2 A)＊

= 2 A ＊

（ ） 11．在5阶行列式中，设a ij 为第i 行第j 列元素，A ij 为a ij 的代数余子式。则， a 31A 41+a 32A 42+a 33A 43+ a 34A 44+ a 35A 45=0 （ ） 12．若A ＊是n 阶方阵A 的伴随矩阵，则，|A ＊| = |A|n-1。 （ ） 13．若A 、B 是同阶方阵，则（A ＋B ）2 ＝A 2＋2AB ＋B 2

。 ( )

14． 等价的向量组的秩相等。 ( ) 15． A ＊是n 阶方阵A 的伴随矩阵，则A ＊A =A A ＊= |A| E 。 ( ) 16．在4阶行列式中，项a 12a 34a 43a 21带负号。 （ ） 17. 若 n 阶矩阵A 可逆，则A 的n 个列向量线性相关 （ ） 18. 若矩阵A 、B 相似，则矩阵A 、B 合同。 （ ）

19. 实二次型f (x 1, x 2, x 3) =2

322x x + 是半正定二次型。 （ ）

20. 已知三阶矩阵A 的三个特征值是 -1，1，2，则|A| = -2 ( ） 21设A 是4×5矩阵，秩（A ）=3，则A 中的3阶子式都不为0 （ ） 22若矩阵A 、B 合同，则矩阵A 、B 相似。 ( )

23．设A 、B 为n 阶可逆方阵，则 (AB)-1 = A -1 B -1

。 ( ) 24.． 若A 为对称矩阵，则P T AP 为对称矩阵。 ( ) 25．在5阶行列式中，设a ij 为第i 行第j 列元素，A ij 为a ij 的代数余子式。则 a 51A 51+a 52A 52+a 53A 53+ a 54A 54+ a 55A 55=0 （ ） 26．若矩阵A 中所有t 阶子全为式0，则秩(A )≤t 。 （ ） 27．n 维零向量是任何一组n 维向量的线性组合。 （ ） 28．正交矩阵的行列式等于1或 -1 。 （ ） 29．任一实对称矩阵一定能与对角矩阵相似。 （ ）

30．实二次型f(x 1,x 2,x 3)=2

322x x + 是正定二次型。 （ ）

31若一个向量组线性相关，则该向量组的任一部分组都线性相关。 （ ） 32若向量α与β正交，则对任意实数a 、b, a α与b β也正交 （ ） 33若矩阵A 满足A T = A -1 ，则矩阵A 为正交矩阵 （ ） 34．若矩阵A 、B 相似，则矩阵A 、B 等价 （ ）

35．n 阶矩阵A 非奇异的充要条件是A 的行向量都是非零向量。 （ ） 36．若λ1和λ2分别是n 阶矩阵A 、B 的特征值，则λ1 +λ2是n 阶矩阵A+B 的

特征值， （ ） 37．二次型f(x 1,x 2,x 3) =（x 1+x 2）2 + (x 2-x 3) 2 + (x 3+x 1) 2的秩为2 （ ）

二．单项选择题

1.

A ，

B 为三阶方阵，矩阵X 满足A X A B X B B X A A X B E -=-+则 ( ) .

(A)2

2

1

()X A B -=-; (B)1

1

()()X A B A B --=-+； (C)1

1

()()X A B A B --=+- (D) 以上答案都不对. 2.

A 、

B 、

C 为n 阶方阵，且A B C =,A 、B 、C 的列向量组分别为12,,,n ααα⋅⋅⋅；

12,,,n βββ⋅⋅⋅；12,,,n γγγ⋅⋅⋅. 若12,,,n γγγ⋅⋅⋅线性相关，则( ) . (A) 12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关; (B) 12,,,n βββ⋅⋅⋅线性相关； (C) （A ）与(B)都成立； (D) (A)或(B)成立. 3. 设

,A B

为三阶矩阵，且

2

(32)3r A A E +

+

=，若()2r B =则

()r AB B +=( ).

(A) 1 ； (B) 2； (C) 3； (D) 无法判断． 4. 设三阶矩阵

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32

32γγα

A ，⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=322γγβB ，其中32,,,γγβα均为三维行向量，已知

18

=A ，2=B ，则=

-B A ( ) .

(A) 1 ； (B) 2； (C) 3； (D)4.

5. 若,A B 都是三阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是 ( ).

(A) ()T

T

T

A B B A =. (B) 1

1

1

()

A B B

A

---=.

(C) *

*

*

()A B B A =. (D) 22

2

()A B B A =.

6. 若A 为三阶方阵，将矩阵A 第一列与第三列交换得矩阵B ，再把矩阵B 的第二列

加到第三列得矩阵C ，则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为( ).

(A) 01010010

1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

. (B) 0

1010001

1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

. (C)

0101110

0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

. (D) 0

1110000

1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

.

7. 若,A B 都是n 阶方阵，且0B ≠，0A B =，则必有( ).

(A)

B ≠. (B)

*

B

≠. (C)

T

A =. (D) 222

()A B A B -=+

8. 已知向量组123,,ααα的秩为3，向量组1234,,,αααα的秩为3，向量组1235,,,αααα的秩为4，则向量组 1234523,,,ααααααα--，的秩为（ ）.

(A) 3. (B) 4 . (C) 5. (D) 不能确定

9. r (A) = r (A,b)是非齐次线性方程组A x b =有无穷多解的 ( ).

(A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 既非充分条件又非必要条件. (D) 不能确定.

10.若向量组1(1,3,6,2)T

α=，2(2,1,2,1)T

α=-，3(1,1,,2)T

a α=--的秩为2，

则a =( ).

(A) 1. (B) -2. (C) 2. (D) -1.

11.若B A ,都是n 阶方阵，且0≠B ，0=AB ，则必有( ). (A)

B ≠. (B)

A =. (C)

*

B

≠ . (D) 2

22)(B A B A +=+.