高中数学第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.3两角和与差的正切课件新人教B版必修4
tan������-tan������ (Tα-β). 1+tan������tan������
注:在两角和与差的正切公式中,α和β的取值应使分母不为零. 知识拓展和角、差角公式间的内在联系可用如下结构图表示.
【做一做1】 tan 75°的值等于( ) A.2- 3 B.2+ 3 C.4- 3
D.4+ 3
tan45° -tan21°
解析: 由两角差的正切公式,得原式=1+tan45° =tan(45° tan21° 21° )=tan 24° .
答案:B
【做一做 3】 已知非零向量 a=(sin θ,2),b=(cos θ,1),若 a 与 b 共线,则 tan ������π 4= Nhomakorabea.
解析: 由 a∥b 得,sin θ-2cos θ=0, 即 tan θ=2,
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)原式=-tan
1- 3 tan45° -tan30° 3- 3 15° =-tan(45° -30° )=-1+tan45° =- 3==-2+ tan30° 3+ 3 1+ 3
3
3.
(2)原式=tan(75° -15° )=tan 60° = 3. (3)原式=
3
解析:tan
答案:B
tan45° +tan30° 1+ 3 75° =tan(45° +30° )= = =2+ 1-tan45° tan30° 1- 3 3
3.
【做一做 2】 与
A.tan 66° C.tan 42°
1-tan21° 相等的是( 1+tan21°
)
B.tan 24° D.tan 21°
60° =- 3.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例 2】 已知 tan(α+β)=5,tan ������- 4 = 4,求 tan ������ + 4 .
2
π
1
π
分析 通过已知解出 tan α 再求值,计算量大.因为 α+4=(α+β)- ������- 4 ,所以可以直接利用公式来求解.
解:tan ������ + 4 =tan (������ + ������)- ������- 4
∴tan ������- 4 = 1+tan������ = 1+2 = 3.
1 答案:3
π
tan������-1
2-1
1
两角和与差的正切公式成立的条件及作用 剖析 (1)公式成立的条件:α≠kπ+2,β≠kπ+2,α+β≠kπ+2 或������-������ ≠ ������π + 2 ,其中,k∈Z,且 α 和 β 的取值应使分母不为零.当 tan α,tan β 或 tan(α± β)不存在时,可以改用诱导公式解决.如:化简 tan 2 -������ ,因为 π tan2的值不存在,不能利用公式 Tα-β,所以改用诱导公式来解: tan
21 54 2 1 1+5× 4
π
π
π
π
=
tan(������+������)-tan ������-4 π 1+tan(������+������)tan ������-4
π
=
= 22.
3
反思在解题时切记不要盲目地看到是和差角形式就套用公式,那 样会凭空增加计算量,而且容易出错,先整体观察题目的特点,再寻 找最简便的解题方法是我们要培养的良好习惯.
tan45° +tan75° =tan(45° +75° )=tan 1-tan45° tan75°
120° =- 3.
反思要善于根据式子的结构特点逆用两角和与差的正切公式进 行计算求解,还要注意先巧用“tan 45°=1”来进行1的代换和必要的 拼凑,再逆用公式.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】 求值:
7π 12 3-tan15° (2) ; 1+ 3tan15° sin15° +cos15° (3) . sin15° -cos15°
(1)tan ;
解:(1)原式=tan (2)原式=
π π + 4 3
=
tan4+tan3
π
π
π π=
1-tan4tan3
1+ 3 =-21- 3
3.
tan60° -tan15° =tan(60° -15° )=tan 45° =1. 1+tan60° tan15° tan15° +1 tan45° +tan15° (3)原式= ==-tan(45° +15° )=-tan tan15° -1 1-tan45° tan15°
tan������±tan������
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 利用两角和与差的正切公式求值
【例 1】 求下列各式的值: (1)tan 165° ;
tan75° -tan15° ; 1+tan75° tan15° 1+tan75° (3) . 1-tan75°
(2)
分析(1)可利用两角差的正切公式结合诱导公式计算;(2)逆用两 角差的正切公式计算;(3)巧用“1=tan 45°”求解.
π -������ 2 π π π π π
=
sin 2-������ cos 2-������
π
π
=
cos������ sin������
=
1 =cot tan������
α.
(2)两角和与差的正切同样不仅可以正用,而且可以逆用、变形用, 公式逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段,要熟练掌握: tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β),
3.1.3
两角和与差的正切
1.理解两角和与差的正切公式的推导过程. 2.掌握两角和与差的正切公式的结构特征,能正用、逆用和变形 用公式进行化简、求值和证明.
两角和与差的正切公式
tan������+tan������ tan(α+β)= (Tα+β); 1-tan������tan������
tan(α-β)=
1∓tan αtan β= tan(������± ������) .
如tan 25°+tan 20°+tan 25°tan 20°=tan(25°+20°)(1-tan 25°tan 20°)+tan 25°tan 20°=tan 45°(1-tan 25°tan 20°)+tan 25°tan 20°=1-tan 25°tan 20°+tan 25°tan 20°=1.所以在处理 问题时,要注意观察式子的特点,巧妙运用公式或其变形,使变换过 程简单明了. (3)与两角和与差的正弦公式、余弦公式一样,一般情况下,公式 对分配律不成立,即tan(α+β)≠tan α+tan β.
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高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
明目标、知重点
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
人教版高中数学A版高中数学必修一《三角恒等变换》三角函数(第3课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
23
(1)1 [∵tan 67°－tan 22° ＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°) ＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°) ＝1＋tan 67°tan 22°， ∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22° ＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.]
22
【例3】 (1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________. (2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋ 3tan Btan C＝ 3，且 3tan A＋ 3 tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状． [思路点拨] (1)看到tan 67°－tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°－ 22°)展开变形，寻找解题思路． (2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代 入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．
6
3．已知 tan α＝2，则 tatanα＋π4＝1t－antαan＋αttaannπ4π4＝
1－2＋2×1 1＝－3.]
7
4.1t＋ant7a5n°7－5°ttaann1155°°＝________.
3 [原式＝tan(75°－15°)＝tan
60°＝ 3.]
27
1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
28
2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)1－tan αtan β＝tatnanα＋α＋taβnβ； (3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； (4)tan α·tan β＝1－tatnanα＋α＋taβnβ. 提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和 或差的正切公式．
(1)1 [∵tan 67°－tan 22° ＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°) ＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°) ＝1＋tan 67°tan 22°， ∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22° ＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.]
22
【例3】 (1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________. (2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋ 3tan Btan C＝ 3，且 3tan A＋ 3 tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状． [思路点拨] (1)看到tan 67°－tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°－ 22°)展开变形，寻找解题思路． (2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代 入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．
6
3．已知 tan α＝2，则 tatanα＋π4＝1t－antαan＋αttaannπ4π4＝
1－2＋2×1 1＝－3.]
7
4.1t＋ant7a5n°7－5°ttaann1155°°＝________.
3 [原式＝tan(75°－15°)＝tan
60°＝ 3.]
27
1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
28
2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)1－tan αtan β＝tatnanα＋α＋taβnβ； (3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； (4)tan α·tan β＝1－tatnanα＋α＋taβnβ. 提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和 或差的正切公式．
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教A版必修
2
sin
2
2
cos2 sin2
=2
2=
cos
=右边.
1 2cos sin 1 sin
22
所以 tan( π - )= cos . 4 2 1 sin
题型四 易错辨析 [例 4] 化简: 1 sin - 1 sin (θ∈(0,π)).
错解:原式= sin2 cos2 +2sin cos - sin2 cos2 2sin cos
2
= 1 (cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B) 2
=cos 2Acos 2B=右边,所以等式成立.
(2)cos2θ(1-tan2θ)=cos 2θ.
证明:(2)法一 左边=cos2θ(1- sin2 ) cos2
=cos2θ-sin2θ=cos 2θ=右边. 法二 右边=cos 2θ=cos2θ-sin2θ =cos2θ(1- sin2 )=cos2θ(1-tan2θ)=左边.
1 tan2 π
解:原式= 12 =-2·
12 =-2×
1
tan π
2 tan π
tan π
12
12
6
= 2 =-2 3 . 3 3
题型二 利用二倍角公式给值求值
[例 2] 已知 sin( π -x)= 5 ,0<x< π ,求 cos2x 的值.
4 13
4
cos
π 4
x
解:因为 0<x< π ,所以 π -x∈(0, π ).
cos 2
名师点津
对二倍角公式的理解 (1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义.
2017_2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.2两角和与差的正弦课件新人教B版必修420170913456
α-cos sin α
π 6
1.sin 27°· cos 18°-cos 207°· sin 162°的值为(
)
A.-
2 2
B.-
1 2
C.
1 2
D.
2 2
解析:原式=sin 27°cos 18°+cos 27°sin 18°=sin(27°+18°) 2 =sin 45°= 2. 答案:D
2. 6sin 15°+ 2cos 15°的值是(
探究一
探究二
探究三
一题多解
给值求值
【例 1】 已知 α,β 均为锐角,且 sin α=
35 1 ,cos(α+β)=- ,求 sin 6 4
β.
分析:若将cos(α+β)展开,再联立平方关系求sin β的运算量大,利用 角的变换β=(α+β)-α,两边同时取正弦比较简便.
35 1 ,α 为锐角,∴cos α= . 6 6 1 π ∵cos(α+β)=- <0,且 α,β 均为锐角,∴ <α+β<π, 4 2 1 2 15 ∴sin(α+β)= 1- = , 4 4
答案: 1
内部文件，请勿外传
内部文件，请勿外传
5.设A,B,C为△ABC的三个内角,且x2-xsin Acos B+sin C=0的两根为 1 α,β,α+β= 2 αβ,判断△ABC的形状. 解:因为α,β是方程x2-xsin Acos B+sin C=0的两根, 所以α+β=sin Acos B,αβ=sin C. 1 又因为α+β= αβ 2, 所以2sin Acos B=sin[π-(A+B)]. 所以2sin Acos B=sin(A+B). 所以2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,sin A· cos B-cos Asin B=0,即 sin(A-B)=0. 又因为0<A<π,0<B<π,所以-π<A-B<π. 所以A-B=0,即A=B. 所以△ABC为等腰三角形.
高中数学第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.2两角和与差的正弦课件新人教B版必修4
【做一做 3-2】 已知向量������������=(1,3),绕其始点逆时针旋转 60° 角 得到向量������������'的坐标为
答案:
1-3 3 3+ 3 , 2 2
.
1.对两角和与差的正弦公式的正确理解 剖析(1)公式中的α,β均为任意角. (2)与两角和与差的余弦公式一样,公式对分配律不成立,即 sin(α±β)≠sin α±sin β. (3)和差公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差公式的特例.如 sin(2π-α)=sin 2πcos α-cos 2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α,当α或β π 中有一个角是 2 的整数倍时,通常使用诱导公式较为方便.
3.1.2
两角和与差的正弦
1.理解两角和与差的正弦公式的结构特征,体会诱导公式在推导 Sα±β中的作用. 2.能运用两角和与差的正弦公式进行化简与求值,并要注意公式 的正用、逆用和变形用. 3.会用辅助角公式和两角和与差的正弦公式解决有关问题.
1
2
3
1.两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β(Sα+β); sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β(Sα-β). 【做一做1-1】 sin 7°cos 37°-cos 7°sin 37°的值是 (
=(
)
1
2
3
3.旋转变换公式
已知点P(x,y),与原点的距离保持不变,逆时针旋转θ角到点P'(x',y'), ������' = ������cos������-������sin������ , 则有 ������' = ������sin������ + ������cos������. 【做一做3-1】 已知点M(-1,6),与坐标原点的距离保持不变,按顺 时针旋转90°得到点M'的坐标为 . 答案:(6,1)
高中数学课件：第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
第 三 章
三 角 恒 等 变 换
读教材·填要点
3.1 两角 和与 差的 正弦 、余 弦和 正切 公式
3.1.3
二倍 角的 正弦、 余弦、 正切 公式
课前预习·巧设计
小问题·大思维
考点一
名师课堂·一点通
考点二
考点三 解题高手
NO.1课堂强化
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创新演练·大冲关
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[读教材·填要点]
π 2x＝2sin2x＋6，
π 3 ∴sin2x0＋6 ＝ . 5
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π π π 2π 7π 又∵x0∈4 ，2 ，∴2x0＋ ∈ 3 ， 6 . 6 π ∴cos2x0＋6 ＝－
π 4 ＝－ . 1－sin 2x0＋6 5
二倍角的正弦、余弦、正切公式
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[小问题·大思维] 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式与两角和的正弦、 余弦、正切公式有什么关系？ 提示：在两角和的公式中β＝α即可得二倍角公式，即二 倍角公式是和角公式的特殊情况．
2．写出由sin α求sin 2α，cos 2α，tan 2α的过程．由sin α
的值怎样求sin 2α，cos 2α，tan 2α？
③对于二次根式，注意倍角公式的逆用．
④注意利用角与角之间的隐含关系． ⑤注意利用“1”的恒等变形．
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[通一类]
6 3． 已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos x－1(x∈R)． f(x0)＝ ， 若 5
2
π π x0∈4，2 ，求
cos 2x0 的值．
解：∵f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1 ＝ 3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) ＝ 3sin 2x＋cos
三 角 恒 等 变 换
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3.1 两角 和与 差的 正弦 、余 弦和 正切 公式
3.1.3
二倍 角的 正弦、 余弦、 正切 公式
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[读教材·填要点]
π 2x＝2sin2x＋6，
π 3 ∴sin2x0＋6 ＝ . 5
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π π π 2π 7π 又∵x0∈4 ，2 ，∴2x0＋ ∈ 3 ， 6 . 6 π ∴cos2x0＋6 ＝－
π 4 ＝－ . 1－sin 2x0＋6 5
二倍角的正弦、余弦、正切公式
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[小问题·大思维] 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式与两角和的正弦、 余弦、正切公式有什么关系？ 提示：在两角和的公式中β＝α即可得二倍角公式，即二 倍角公式是和角公式的特殊情况．
2．写出由sin α求sin 2α，cos 2α，tan 2α的过程．由sin α
的值怎样求sin 2α，cos 2α，tan 2α？
③对于二次根式，注意倍角公式的逆用．
④注意利用角与角之间的隐含关系． ⑤注意利用“1”的恒等变形．
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[通一类]
6 3． 已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos x－1(x∈R)． f(x0)＝ ， 若 5
2
π π x0∈4，2 ，求
cos 2x0 的值．
解：∵f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1 ＝ 3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) ＝ 3sin 2x＋cos
两角和与差的正弦、余弦和正切公式+课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修
=
1 − tan2
7
2tan
4
∵ tan2 =
=−
1 − tan2
3
sin
∴ tan =
cos
3
=
4
tan2 + tan2
∴ tan(2 + 2) =
1 − tan2 ∙ tan2
44
=
117
四
深入新知
4
5
例6 在△ABC中，cos = ,tan = 2，求tan(2 + 2)的值
2
例2 已知sin = , ∈
=
三象限角，求cos( − )的值
5
−
13
2
, ∈ ( , ) 得， cos = − 1 − sin
2
3
=−
5sin = − 1 − cos 2
5
由 = − 13 ,是第三象限角，得
12
=−
13
cos( − ) = coscos + sinsin
sin( + )
= sincos + cossin
两角差的正弦公式S(−)
sin( − )
= sincos − cossin
பைடு நூலகம் 四
深入新知
能否利用同角三角函数关系及C(±) ，S(±) 推导
两角和与差的正切公式？
sin( + )
tan( + ) =
( + )
两角和与差的正弦、
余弦和正切公式
高中数学（人教A版）必修1
一
问题思考
利用诱导公式对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、
求值或证明的目的.这种利用公式对三角函数式进行的恒
1 − tan2
7
2tan
4
∵ tan2 =
=−
1 − tan2
3
sin
∴ tan =
cos
3
=
4
tan2 + tan2
∴ tan(2 + 2) =
1 − tan2 ∙ tan2
44
=
117
四
深入新知
4
5
例6 在△ABC中，cos = ,tan = 2，求tan(2 + 2)的值
2
例2 已知sin = , ∈
=
三象限角，求cos( − )的值
5
−
13
2
, ∈ ( , ) 得， cos = − 1 − sin
2
3
=−
5sin = − 1 − cos 2
5
由 = − 13 ,是第三象限角，得
12
=−
13
cos( − ) = coscos + sinsin
sin( + )
= sincos + cossin
两角差的正弦公式S(−)
sin( − )
= sincos − cossin
பைடு நூலகம் 四
深入新知
能否利用同角三角函数关系及C(±) ，S(±) 推导
两角和与差的正切公式？
sin( + )
tan( + ) =
( + )
两角和与差的正弦、
余弦和正切公式
高中数学（人教A版）必修1
一
问题思考
利用诱导公式对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、
求值或证明的目的.这种利用公式对三角函数式进行的恒
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三 公式的变形应用 例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
123 45
解析答案
2.化简 2cos x－ 6sin x 等于( D )
A.2 2sinπ6＋x
B.2 2cosπ6－x
C.2 2sinπ3－x
D.2 2cosπ3＋x
解析
2cos x－
6sin x＝2
212cos
x－
3 2 sin
123 45
解析答案
123 45
5.已知
α，β
9
均为锐角，且
sin
α＝35，tan(α－β)＝－13，则
sin(α－β)＝
－
10 10
，
cos β＝
50
10
.
解析 ∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，
∴－π2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－ 1100，cos(α－β)＝31010.
达标检测
1.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( B )
A.－
3 2
B.－12
1
3
C.2
D. 2
解析 原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正
cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________． 【解析】 逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 【答案】 0
教材整理 2 两角和与差的正弦公式
阅读教材 P128“探究”以下内容，完成下列问题． 1．公式
a
y＝asin x＋bcos x＝___a_2＋__b_2sin(x＋θ)(a，b 不同时为 0)，其中 cos θ＝___a_2＋__b_2，
b sin θ＝__a_2＋__b_2_.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的．( ) (2)存在 α，β∈R，使得 sin(α－β)＝sin α－sin β 成立．( ) (3)对于任意 α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β 都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( )
【解析】 (1)√.根据公式的推导过程可得． (2)√.当 α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)×.当 α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立． (4)√.因为 sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
灵活应用和、差角公式化简 三角函数式
sin (1)
47°－sin 17°cos cos 17°
30°＝(
)
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4(1)
2 2
+ ������
=sin αcos β-cos αsin β, 同理由 sin(α+β)=sin [α-(-β)]可推得 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.
4.填空:(1)sin(α+β)=sin αcos β-cos αsin β. (2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. sin������ 5.根据同角三角函数的商数关系 tan θ= ,怎样由sin(α+β)以及 cos������ cos(α+β)的公式将tan(α+β)用tan α,tan β来表示?如何将tan(α-β)用tan α,tan β来表示?
3.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 以及诱导公式 sin α,cos
π -������ 2
π -������ 2
=cos
=sin α 能否将 sin(α-β)以及 sin(α+β)用 α,β 角的正弦和余
π π -������ 2
弦表示?
提示:sin(α-β)=cos 2 -(������-������) =cos π π =cos -������ cos β-sin -������ sin β
tan������-tan������ .( 1-tan������tan������ tan������+tan������
( ) (
)
(4)不存在角 α,β,使得 sin(α-β)=cos αcos β-sin αsin β.
答案:(1) (2)× (3) (4)×
)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
+ ������
=sin αcos β-cos αsin β, 同理由 sin(α+β)=sin [α-(-β)]可推得 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.
4.填空:(1)sin(α+β)=sin αcos β-cos αsin β. (2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. sin������ 5.根据同角三角函数的商数关系 tan θ= ,怎样由sin(α+β)以及 cos������ cos(α+β)的公式将tan(α+β)用tan α,tan β来表示?如何将tan(α-β)用tan α,tan β来表示?
3.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 以及诱导公式 sin α,cos
π -������ 2
π -������ 2
=cos
=sin α 能否将 sin(α-β)以及 sin(α+β)用 α,β 角的正弦和余
π π -������ 2
弦表示?
提示:sin(α-β)=cos 2 -(������-������) =cos π π =cos -������ cos β-sin -������ sin β
tan������-tan������ .( 1-tan������tan������ tan������+tan������
( ) (
)
(4)不存在角 α,β,使得 sin(α-β)=cos αcos β-sin αsin β.
答案:(1) (2)× (3) (4)×
)
探究一
探究二
探究三
思维辨析