两角和与差的正切公式教案
高一数学 两角和与差的正切公式 教案
诚西郊市崇武区沿街学校(3)两角和与差的正切公式一、教学内容分析推导两角和与差的正切公式是本节课的重点，它是余弦和正弦公式的重要应用.推导的难度并不大，学生可以独立完成.对公式的推导过程要求熟悉，这有利于梳理两角和与差公式间的互相联络，也有利于对公式特征的理解和形式的记忆，为之后的学习打下根底.要使学生可以正确、纯熟、较灵敏的使用两角和与差的正切公式，在例题的设计中要覆盖对公式的正用、逆用以及变形使用，逆用和变形使用是本堂课的教学难点，但由此可进步学生的观察以及发散思维才能.二、教学目的设计〔1〕熟悉两角和与差正切公式的推导，知道公式成立的条件，理解公式的形式特征.〔2〕初步理解公式的作用，可以正确运用公式及其常用变形进展计算、化简、证明.〔3〕在公式的推导过程中,进一步形成转化的思想方法和逻辑思维的才能.三、教学重点及难点两角和与差的正切公式的推导和应用；四、教学流程设计五、教学过程设计一、讲授新课1、复习引入〔1〕两角和与差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+①βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-②其中，①式可在②式中用β-交换β而得.〔2〕两角和与差的正弦公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+，正弦公式可以通过诱导公式，将)sin(βα+转化为cos[()]2παβ-+，继而应用余弦公式推得. 问题：如何用αtan 以及βtan 表示)tan(βα+？ 2、公式推导学生考虑、独立完成.分子、分母分别除以βαcos cos 〔0cos cos ≠⋅βα〕，并化简得 βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+③考虑1、两角差的正切公式具有怎样的形式？ 考虑2、两角和与差的正余弦公式对任意角成立，两角和与差的正切公式也如此吗？提出你的理由. 学生答复1、同理可得βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-④；或者者由变量交换的思想，用β-交换两角和公式中的β即可.2、不是，使用③式前需要先保证αtan 、βtan 都有意义，且1tan tan ≠βα.即α、β、βα+都不能取2ππ+k 〔Z k ∈〕.同理，④式中的α、β、βα-也不能取2ππ+k 〔Z k ∈〕.这是使用两角和与差正切公式的条件.假设α、β中有取到2ππ+k 〔Z k ∈〕的角，又如何求)tan(βα+或者者)tan(βα-呢？学生答复[说明]明确公式成立的条件，使学生的认识完好化.3、强调特征〔1〕等号的左边是复角的正切.右边为分式，分子是两单角的正切之和或者者差，分母是1减去两单角的正切之积.〔2〕分子中和或者者差与等号左边一样，分母那么与等号左边相异.[说明]学生掌握公式的特征，不仅从简单的比照而得，更要从推导过程中去理解.4、例题解析例1、 31tan =α，2tan -=β，求以下三角比的值： 〔1〕)tan(βα+；〔2〕)cot(βα-解答：〔1〕1)tan(-=+βα；〔2〕71)cot(=-βα [说明]教材中没有继续推导两角和与差的余切公式.在遇到此类问题时，常常通过三角比的倒数关系将余切转化为正切，或者者通过商数关系转化为正余弦来计算.例2、运用两角和的正切公式，求︒-︒+75tan 175tan 1的值. 解答：375tan 175tan 1-=︒-︒+ [说明]方法一、可先计算)3045tan(75tan ︒+︒=︒.方法二、将表达式中的1看作为︒45tan ，逆用两角和的正切公式先化简后求值.方法二突现了“1〞在三角问题中的重要地位.例3、化简)3tan(tan 3)3tan(tan απααπα-+-+ 解答：3)3tan(tan 3)3tan(tan =-+-+απααπα [说明]两角和与差正切公式的常用变式)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+；)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=-.例4、αtan 、βtan 是方程03522=-+x x的两个根，求)tan(βα+ 及)tan(βα-.解答：1)tan(-=+βα；7)tan(=-βα或者者7-. [说明]两角和与差的正切公式其构造特征提供了使用韦达定理的条件，从而与二次方程产生联络.三、稳固练习例5、不查表计算︒15tan 解答：3215tan -=︒例6、2)tan(-=-βα，3tan =α，求βtan 的值. 解答：71tan =β 例7、证明以下三角恒等式：〔1〕θθπθtan 1tan 1)4tan(-+=+〔2〕βαβαβαβα2222tan tan 1tan tan )tan()tan(--=-+ 四、课堂小结 〔1〕应用已学知识推导了两角和与差的正切公式，知道了公式使用的条件以及特征.〔2〕可以对所学的公式作正、逆双向使用，进展化简与求值.熟悉公式的常用变式以及知识拓展，从而对公式有进一步的理解.五、课后作业课本第59练习〔3〕1、2习题A 组：2/〔5〕、〔6〕。
3.1.2(二)两角和与差的正切公式教学设计
3.1.2-2两角和与差的正切公式(2课时)主备教师：肖平聪一、内容及其解析本节的内容是两角和与差的正切公式，主要内容是正切公式的推导，这一部分的知识是在学习了正弦、余弦公式基础上学习的，学习这一部分的内容的关键是要知道正弦、余弦和正切之间的关系，进而推导正切公式，教科书中没有给出了推导公式的过程，教师可以合理的引导学生探究该部分的知识，给出有关的公式，让学生尝试着自行完成公式的推导。
二、目标及其解析（一）目标定位（1）在能简单应用公式的过程中认清正切公式的结构。
（二）目标解析（1）正切公式的推导是在学习了正弦、余弦公式的基础上学习的，并要知道sin tan cos θθθ=，进而推导公式，理解了公式的推导过程对公式的结构特征就熟悉了，在应用上一定要注意公式的形式。
三、问题诊断分析在本节主要存在的问题是学生不知道正弦、余弦、正切之间的关系。
产生这一个问题的原因是学生公式没有记住，对以前学习的内容不熟悉。
要解决这一个问题，教师只能是直接给出公式，尽可能让学生理解，最后达到应用的效果。
四、教学支持条件分析的一般模式在本节课的教学中为了增大教学容量准备使用多媒体辅助教学。
五、教学过程问题 一：在你应用公式的过程中你是怎样理解正切公式的结构的？设计意图:让学生明确本节课的学习目标.师生活动:以以下小问题串的形式完成.小问题1：你能说出正弦、余弦、正切之间的关系吗？结论： sin tan cos θθθ= 小问题2：从()C αβ±、()S αβ±出发，你能推导出用任意角α，β的正切表示。
结论：sin()sin cos cos sin tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-,若cos cos αβ0≠时，将上式的分子、分母分别除以cos cos αβ，得t a n t a nt a n ()1t a n t a n αβαβαβ++=-。
两角和与差的正弦正切公式教案
3.1.2两角和与差的正弦、正切公式教案授课教师：肇庆高新区大旺中学 XXX教材：人教A版必修4第三章教学目标：1、能以两角和与差的余弦公式C(α-β) 、C(α+β)推导出两角和与差的正弦、正切公式S(α-β) 、S(α+β) 、T(α-β) 、T(α+β),并能找到公式之间的逻辑联系。
2、熟悉各公式的结构特征，找出熟记公式的方法，能应用公式进行三角恒等变换。
3、通过公式的灵活应用，培养学生的方程思想、变换能力，逆向思维能力，换元思想与代换思想。
4、培养学生思维的有序性、发散性，答题中表述的规范性、条理性和完整性。
教学重点：1、以两角和与差的余弦公式为基础，推导出两角和与差的正弦、正切公式。
2、将公式熟练的应用到三角恒等变换中。
教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式在应用中的注意细节：角度范围的确定，三角函数值的确定，公式的逆用。
教学方法：教师采用启发引导式教学，指导学生主动参与公式的发现、推导和应用，对学生探究的结果、及公式应用的成果展示做合理的评价。
学生采用自主探究、小组讨论、合作交流的学习方式，并展示自己的学习成果。
教学手段：教师利用多媒体平台，展示教学内容与教学过程，学生用小黑板展示小组的探究成果。
教学过程：教学环节教学内容与教师活动学生活动温故知新复习引入1、===完成填空，并说出答案。
===2、C(α-β) = C(α+β) =由C(α-β)推导出C(α+β)的详细过程：3、求值：==教学环节教学内容与教师活动学生活动构建新知公式的探究及理解问题1、sin75o的值如何求？问题2、若将75o分解成45o+30o，即sin(45o+30o)该如何求值？由此引出对公式的探究。
探究一：=？问题3、正余弦之间如何转化，可否利用和角的余弦公式来推导此公式？（）回顾上节课的内容：sin75o=cos15o，再用差角的余弦公式展开求值。
诱导公式五（或六）可实现正余弦互化，转化后再利用和角的余弦公式来推导。
两边和与差的正切函数教案
两边和与差的正切函数教案一、教学目标1. 理解正切函数的图像、性质及其应用；2. 掌握正切函数的转化公式；3. 了解两边和与差的正切函数公式；4. 运用所学知识解决实际问题。
二、教学重难点1. 正切函数的基本性质及应用；2. 两边和与差的正切函数公式的推导；3. 运用两边和与差的正切函数公式解决实际问题。
三、教学内容及方法1. 正切函数的图像及性质1. 首先讲解正切函数的定义及其图像；2. 探究正切函数的周期、对称轴、单调性等性质；3. 以例题形式引导学生掌握正切函数的应用。
2. 正切函数的转化公式1. 讲解正切函数的转化公式及其证明方法；2. 引导学生熟练掌握正切函数的转化公式。
3. 两边和与差的正切函数公式1. 推导两边和与差的正切函数公式；2. 以例题形式引导学生掌握两边和与差的正切函数公式的运用。
4. 实际问题的解决1. 引导学生运用所学知识解决实际问题；2. 以应用题形式巩固所学知识。
四、教学工具1. 课件；2. 教学视频；3. 练册。
五、教学评估1. 课堂练；2. 课后作业；3. 期中、期末考试。
六、教学反思本教案针对正切函数的两边和与差公式进行了详细的讲解，通过引导学生逐步掌握正切函数的图像、性质、转化公式以及两边和与差公式，再通过实际问题的解决来巩固所学知识。
教学过程中，通过课件、教学视频等多种形式进行教学，激发了学生的学习兴趣，提高了课堂的互动性和趣味性，让学生在轻松愉悦的氛围下掌握了知识，达到了预期的教学目标。
《2.3两角和与差的正切函数》教学设计
《2.3两角和与差的正切函数》教学设计《《2.3两角和与差的正切函数》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教材分析：教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来,单独作为一节,这对学生的自主探究学习提供了平台.因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,对其应用学生有了一定的理解,同时对于三角函数变形中,角的变换也有了一定的掌握,因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移,更多地让学生自主学习,独立地推导两角和与差的正切公式,为学生提供进一步实践的机会.也可以说本节并不是什么新的内容,而是对前面所学知识的整合而已.在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.对于公式成立的条件,可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论,在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决.在学习两角和与差的正切公式中,要注意公式形式上的特点,引导学生欣赏其结构、变形之美.本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结,从分析公式的推导过程入手,探究问题解决的来龙去脉,揭示它们的逻辑关系,使学生更好地用分析的方法寻求解题思路.三维目标：1.会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式,并会加以应用;2.通过两角和与差的正切公式的推导及运用,让学生从中体会转化与化归的思想方法,培养学生用联系变化的观点观察问题,通过学生的互相交流增强学生的合作能力,加强学生对公式的理解;3.引导学生欣赏正切公式的结构、变形之美，并在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次.重点难点：教学重点:两角和与差的正切公式的推导及应用.教学难点:两角和与差的正切公式的灵活运用,特别是逆用及变形用.教学过程：教学环节教学内容学生活动教师活动设计意图课前准备1、默写两角和与差的正弦、余弦函数公式;2、提前展示试一试内容;1、小组长组织组员默写两角和与差的正弦、余弦函数公式，并讨论导学案上自主部分内容;2、部分学生上黑板展示课前需展示内容;1、做好小组长的课前培训工作;2、做好前黑板的安排和课件的拷贝;1、回忆正弦、余弦函数公式有助于学生弄清两角和与差的正弦、余弦、正切公式的逻辑关系;2、自主部分内容的提前合作讨论为学生提供了进一步实践的机会，有助于学生自主学习、独立思考能力的培养;3、小组长的课前培训工作是课堂组内合作讨论顺利开展的重要保障之一;自主学习展示1、开门见山，引出课题;2、推导两角和与差的正切函数的公式，并讨论其满足的条件;3、完成试一试内容的展示、点评、质疑。
(完整word)《 两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教案正式版
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教案一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程,掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2。
教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用。
三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式。
()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解:因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两结果一样,我们能否用第一章知识证明?3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2)、cos 20cos70sin 20sin 70-;（3)、1tan151tan15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.(1)、()1sin 72cos 42cos 72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）、()cos 20cos 70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==； （3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢?)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022xx x x x x x ⎫=-=-=-⎪⎪⎭思考：是怎么得到的？=12的。
高中数学 3.1.3 两角和与差的正切教案 必修4
3．1.3 两角和与差的正切(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角与差的正切公式；(2)能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；(3)揭示知识背景，引发学生学习兴趣；(4)创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识．2．过程与方法借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角的和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.●重点难点重点：两角和与差的正切公式的推导及应用．难点：熟练地正用、逆用、变形应用两角和与差的正切公式．(教师用书独具)●教学建议1．关于公式T(α±β)推导的教学教学时，建议教师从回顾复习S(α±β)，C(α±β)和同角三角函数关系式入手，结合S(α±β)，C(α±β)的表达形式，提出问题：能否利用单角α，β的正切值表示复角α±β的正切值？在此基础上采用学生自主探究、互相讨论等方式推导出公式，通过推导公式的过程，让学生明确公式成立的条件和结构特点．2．关于公式T(α±β)应用的教学教学时，建议教师从公式T(α±β)的正用及其变形应用两个角度出发，通过例题及练习让学生熟练掌握与两角和与差的正切三角函数式相关的化简、求值和证明问题，切实树立解题中“tan α±tan β”与“tan αtan β”的整体意识，提高解题速度．●教学流程创设问题情境，结合Sα±β，Cα±β的表达形式，提出问题：能否利用单角α，β的正切值表示出角α±β的正切值？⇒引导学生推导出两角和与差的正切公式，并探究公式成立的条件.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的正切公式进行化简求值的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握条件求值角问题的求解策略和方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握在三角形中综合应用问题的解题思路和方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．(重点、难点)两角和与差的正切公式已知tan α，tan β的值，能否利用公式S(α±β)和C(α±β)推导出tan(α±β)?【提示】 tan(α＋β)＝sin α＋βcos α＋β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos βcos αcos β－sin αsin βcos αcos β＝tan α＋tan β1－tan αtan β， tan(α－β)＝tan α＋tan －β1－tan αtan －β＝tan α－tan β1＋tan αtan β.T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.化简求值求下列各式的值：(1)tan 15°；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°；(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.【思路探究】 解决本题的关键是把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．【自主解答】 (1)tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝3－13＋1 ＝2－ 3.(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.(3)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°＝3，∴tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，∴原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3.1．公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换． 求下列各式的值： (1)1＋tan 75°1－tan 75°； (2)cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°； (3)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.【解】 (1)1＋tan 75°1－tan 75°＝tan 45°＋tan 75°1－tan 45°tan 75°＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3. (2)cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝1－tan 15°1＋tan 15° ＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33. (3)∵公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)，∴tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝tan 45°(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30° ＝1－tan 15°tan 30°＋tan 15°tan 30°＝1.条件求值(角)问题 图3－1－1(2013·鹤壁高一检测)如图3－1－1，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．【思路探究】 解决本题可先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用T (α＋β)求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．【自主解答】 由条件得cos α＝210，cos β＝255，∵α，β为锐角．∴sin α＝7210，sin β＝55.∴tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan α＋β＋tan β1－tan α＋β·tan β＝－3＋121－－3×12＝－1， ∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.1．通过先求角的某个三角函数值来求角． 2．选取函数时，应遵照以下原则 (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是(0，π2)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－π2，π2)，选正弦较好．3．给值求角的一般步骤： (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．已知α，β均为锐角，且tan α＝17，tan β＝13，求α＋2β的值．【解】 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝17＋131－17×13＝12，tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan α＋β＋tan β1－tan α＋βtan β＝12＋131－12×13＝1，∵α，β均为锐角，∴0＜α＋β＜π.又∵tan(α＋β)＝12＞0，∴0＜α＋β＜π2，又∵β为锐角，∴0＜α＋2β＜π，∴α＋2β＝π4.综合应用 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B 【思路探究】 化简条件→求出tan A ，tan C → 求出角A ，C →判断形状.【自主解答】 由tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1＝3－3tan B tan Ctan B tan C －1＝－ 3.而0＜∠A ＜π，∴∠A ＝23π.由tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝tan A ＋tan Btan A tan B －1＝tan A ＋tan B 3tan A ＋3tan B＝33， 而0＜∠A ＜π，∴∠C ＝π6，∴∠B ＝π6.∴△ABC 是顶角为23π的等腰三角形．利用和差角公式判断三角形形状时，应考虑借助同名三角函数之间关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，注意对三角形内角和A ＋B ＋C ＝π这一隐含条件的运用．在非直角三角形ABC 中，求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .【解】 在非直角三角形ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，即A ＋B ＝π－C ，且A ，B ，A ＋B都不等于π2.∴有tan(A ＋B )＝tan(π－C )，∴tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－tan C ，∴tan A ＋tan B ＝－tan C (1－tan A tan B )＝－tan C ＋tan A tan B tan C . ∴tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .忽视题目中的隐含条件致误已知sin α－sin β＝－23①，cos α－cos β＝23②，且α，β∈(0，π2)，试求tan(α－β)的值．【错解】 由①2＋②2，得cos(α－β)＝59.∵α，β∈(0，π2)，∴－π2＜α－β＜π2.∴sin(α－β)＝±1－592＝±2149.∴tan(α－β)＝±2145.【错因分析】 以上解题过程似乎推理严谨，但只要仔细观察便可发现已知条件sin α－sin β＝－23中隐含了α＜β这一条件，错解忽略了这一点．【防范措施】 由于隐含条件在题目中没有明确给出，容易被忽略，稍不留心便会导致错误，所以在解题时应养成认真审题、周密思考的良好习惯，充分挖掘题中的隐含条件．【正解】 ∵sin α－sin β＝－23＜0，且α，β∈(0，π2)，∴sin α＜sin β.∴－π2＜α－β＜0.由①2＋②2，得cos(α－β)＝59，∴sin(α－β)＝－2149.∴tan(α－β)＝－2145.1．公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为公式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 2．公式T (α±β)应用时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )． (2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan π4＝1，tan π6＝33，tanπ3＝3等． 特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α.(3)公式的变形用只要见到tan α±tan β，tan α·tan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路.1．(2013·沙市高一检测)已知tan α＝2，则tan(α＋π4)＝________.【解析】 tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.【答案】 －3 2.1＋tan 105°1－tan 105°＝________. 【解析】 原式＝tan 45°＋tan 105°1－tan 45°tan 105°＝tan(45°＋105°)＝tan 150°＝－33.【答案】 －333．在△ABC 中，tan A ＝14，tan B ＝35，则角C 的大小为________．【解析】 ∵C ＝π－(A ＋B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－14＋351－14×35＝－1.又0＜C ＜π，∴C ＝3π4.【答案】 34π4．(1)已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，求tan(β－2α)的值；(2)已知tan α＝3(1＋m )，tan(－β)＝3(tan αtan β＋m )，求tan(α＋β)的值．【解】 (1)∵α＋(α－β)＝2α－β，∴tan(β－2α)＝tan[－(2α－β)]＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan α－βtan αtan α－β－1＝12＋－2512×－25－1＝－112.(2)两式作差得tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan(α＋β)＝ 3.一、填空题1.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝________. 【解析】 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3. 【答案】 32．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于________．【解析】 ∵4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β，∴tan αtan β＝12.【答案】 123．已知α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)＝________.【解析】 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan 3π4＝－1，所以tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，从而(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－(－1＋tan αtan β)＋tan αtan β＝2.【答案】 24．tan 18°＋tan 42°＋3tan 18°tan 42°＝________.【解析】 tan 60°＝tan(18°＋42°)＝tan 18°＋tan 42°1－tan 18°tan 42°，所以tan 18°＋tan 42°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)， tan 18°＋tan 42°＋3tan 18°tan 42°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋3tan 18°tan 42°＝ 3. 【答案】 35．已知tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2＋6x ＋2＝0的两个实数根，则sin α＋βcos α－β＝________.【解析】 ∵tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2＋6x ＋2＝0的两个实数根，∴tan α＋tan β＝－6，tan α·tan β＝2.则sin α＋βcos α－β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β ＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝－61＋2＝－2. 【答案】 －26．已知tan α，tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两个实根，则tan(α－β)的值等于________．【解析】 由已知tan α＝－3＋2，tan β＝－3－2或tan α＝－3－2，tan β＝－3＋2，∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝±24.【答案】 ±247．设tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)的值是________．【解析】 ∵α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)．∴tan(α＋π4)＝25－141＋25×14＝3202220＝322.【答案】 3228．已知tan(α＋β)＝7，tan α＝34，且β∈(0，π)，则β的值为________．【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝7－341＋7×34＝1，又β∈(0，π)，所以β＝π4.【答案】 π4二、解答题9．已知tan(π12＋α)＝2，tan(β－π3)＝22，(1)求tan(α＋β－π4)的值；(2)求tan(α＋β)的值．【解】 (1)tan(α＋β－π4)＝tan[(π12＋α)＋(β－π3)]＝tan π12＋α＋tan β－π31－tan π12＋α·tan β－π3＝2＋221－2·22＝－ 2.(2)tan(α＋β)＝tan[(α＋β－π4)＋π4]＝tan α＋β－π4＋tanπ41－tan α＋β－π4·tanπ4＝－2＋11－－2×1 ＝22－3.10．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈(－π2，π2)，求α＋β的值．【解】 由题意，有⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33tan αtan β＝4，tan α＜0且tan β＜0.又因为α，β∈(－π2，π2)，所以α，β∈(－π2，0)，α＋β∈(－π，0)．又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.在(－π，0)内，正切值为3的角只有－2π3，所以α＋β＝－2π3.11．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝2π3和②tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．【解】 由①得α2＋β＝π3，∴tan(α2＋β)＝tan α2＋tan β1－tan α2·tan β＝ 3.将②代入上式得tan α2＋tan β＝3－ 3.因此，tan α2与tan β是一元二次方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根．解之，得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，由于0＜α2＜π4，∴这样的α不存在．故只能是tan α2＝2－3，tan β＝1.由于α，β均为锐角，∴α＝π6，β＝π4.故存在锐角α＝π6，β＝π4使①②同时成立.(教师用书独具) 已知tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，试求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．【思路探究】 先利用两角和正切公式求tan(α＋β)的值，然后把所求式化弦为切，代入求值．【自主解答】 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－－3＝34. ∴sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)＝sin 2α＋β－3sin α＋βcos α＋β－3cos 2α＋βsin 2α＋β＋cos 2α＋β＝tan 2α＋β－3tan α＋β－3tan 2α＋β＋1 ＝342－3×34－3342＋1＝－3.本题巧妙地利用了“1”的代换，解答本题并不需求sin(α＋β)，cos(α＋β)的值，而是采用了整体思想．已知tan α，tan β是x 2＋33x ＋4＝0的两根，－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，求α＋β.【解】 ∵tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0， ∴tan α＜0，tan β＜0.∵－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，∴－π2＜α＜0，－π2＜β＜0.∴－π＜α＋β＜0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3， ∴α＋β ＝－23π.。
《两角和与差的正切》教案
《两角和与差的正切》教案
一、教学目标
1．知识目标：掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会用公式求值。
2．能力目标：培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力（即不能直接套公式，需要变化条件，寻找依据，才能推出结论）；自学能力。
3．情感目标：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质。
二、教学重点、难点
重点是公式的结构特点及其推导方法、成立条件，运用公式求值。
难点是公式的逆向和变形运用。
三、教学方法
教师按照课本的知识结构先设计若干问题（即“知识台阶”），课前印发给学生，引导他们阅读课本。
课堂上在教师三导（引导、指导、辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读、议、练、讲，其间教师通过提问、参与讨论，巡视学生练习及板演、观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡之中。
四、课时
1课时
五、教学过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：探究两角和与差的正切
一、教学目标
知识与方法
①会有两角和与差的正弦、余弦公式推导其正切公式，并运用其解决简单的化简问题。
过程目标：
①通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力；
②通过公式的灵活运用，培养学生的数学思想方法.
情感、态度、价值观目标
①使学生体会“联想转化、数形结合、分类讨论”的数学思想；
②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度.
二、教学重点、难点
两角和与差的正切公式推导及其运用，公式的逆用。
三、课时安排
1课时
四、教学流程
1、复习回顾：
βα+C
βα-C
βα+S
βα-S
可用多种形式让学生回顾(提问,默写,填空等形式)
2、讲解新课：
1 在两角和与差的正弦,余弦公式的基础上,你能用αtan ，βtan 表示出)tan(βα+和)tan(βα-吗？
如)3045tan(15tan -=，它的值能否用 45tan ， 30tan 去计算？ （让学生带着问题展开后面的讨论）
2 利用所学的两角和与差的正弦,余弦公式，对比分析公式βα+C ,βα-C ,βα+S ,βα-S ,能否推导出)tan(βα+和)tan(βα-？其中βα,应该满
足什么条件？
师生讨论：
当0)cos(≠+βα时，βαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=+ 若0cos cos ≠βα，即0cos ≠α且0cos ≠β时，分子分母同除以βαcos cos 得β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 根据角α，β的任意性，在上面的式子中，用-β代替β，则有 β
αβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan )tan(+-=---+=- 由此推得两角和与差的正切公式。
简记为“βα+T ，βα-T ”
βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 其中βα,应该满足什么条件？还依然是任意角吗？给学生时间思考。
由推导过程可以知道：)
(2)(2)(2Z k k Z k k Z k k ∈+≠±∈+≠∈+
≠π
πβαπ
πβππα
这样才能保证αtan ，βtan 及)tan(βα±都有意义。
3 师生共同分析观察公式βα+T ，βα-T 的结构特征与正、余弦公式有什么不同？
3、 例题讲解
例1 已知2tan =α，31tan -=β，其中20πα<<， πβπ<<2
（1）求)tan(βα- （2）求βα+的值
解（1）因为2tan =α，3
1tan -=β， 所以732131
2tan tan 1tan tan )tan(=-+
=+-=-βαβαβα
（2）因为132131
2tan tan 1tan tan )tan(=+-
=-+=+βαβαβα 又因为20πα<
<， πβπ<<2，所以232πβαπ<+< 在2
π与23π之间，只有45π的正切值等于1.所以 4
5πβα=+ 2、 计算 ①
︒︒-︒+︒22tan 23tan 122tan 23tan ②︒
+︒-75tan 175tan 1 分析：①解决本题的关键在于将算式与正切联系起来，逆向应用公式T α+β
②应能把分子1-tan75°看作为tan45°-tan75°,而把分母1+tan75°看
作为1+tan45°·tan75°,于是原式便可化作︒
︒+︒-︒75tan 45tan 175tan 45tan ，逆向应用公式，问题便迎刃而解。
解： ①原式=tan(23°+ tan22°) =tan45°=1
②原式=︒
︒+︒-︒75tan 45tan 175tan 45tan =tan(45°-75°)
=tan(-30°) =33-
（备用例题）
1、若52)tan(=+βα，41)4tan(=-πβ，求)4
tan(πα+ 解 因为)4
()(πββα--+，所以 2234
15214
152)4tan()tan(1)4tan()tan()]
4()tan[()4tan(=⨯+-
=+
++-
-+=
--+=+πββαπββαπ
ββαπ
α
2、设),2
,2(,ππβα-∈βαtan ,tan 是一元二次方程04332=++x x 的两个根,求βα+
4、课堂小结
（1）两角和与差的正切公式推导及其运用。
（2）六个三角和差公式的逻辑关系。
5、作业
课本习题3-1 A 组6、7
五、教学反思（略）。