1.2.2_基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)ppt课件
数学：1.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件(新人教A版选修2—2)
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun
数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .
122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则292542共23页文档
从而切线 y1方 3(程 x1)为 即 , 3xy40.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
|b ( 4 )|1 0 |b 4 | 1, 0 b 6 或 b 1;4 3 2 1
解：f(x)(x2sinx) (x2)(sinx)2xcosx
(2)求函 g(x)数 x33x26x2的导 . 2
解：g(x)(x3 3x2 6x) 2
(x3)(3x2)(6x) 3x2 3x6 2
例 2： (1)求 函 数 h(x)xsinx的 导 数 . (2)求 函 数 f(x)2xlnx的 导 数 .
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例5:已知曲线 行且距离等于
y
10
,x求13 在直点线Pm(1的,1方)处程的. 切线与直线m平
例5:已知曲线 行且距离等于
y
10
,x求13 在直点线Pm(1的,1方)处程的. 切线与直线m平
解 ： yx 13,y(x 13)(x3)3x4;
解 :(1)h(x)(xsinx) xsinxx(sinx)sinxxcosx
(2)f (x) (2xlnx) (2x)lnx(2x)(lnx) 2lnx2
3.用 两 种 y方 ( 22 法 x3 )求 (23)x
的导数
解：法一：y ( 2 x 2 3 ) ( 3 x 2 ) ( 2 x 2 3 )3 x ( 2 )
公 式 7 .若 f
(x)
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则优秀课件2
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
x gx () f () x gx () f()
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
fx () g () x f ()() x g x fx () g () x
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0; 公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ; 公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ; 公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ; 公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 ); 公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ; 1 公 式 7 .若 f ( x ) lo g a x , 则 f '( x ) ( a 0 , 且 a 1); x ln a 1 公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) ; x
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f f( x ) ( xgx ) () f( xgx ) () ( gx ( ) 0 ) 2 gx () gx ()
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
1.2.2_基本初等函数的导数公式及导数的运算法则ppt
• y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.
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• (6)y′ ＝ 2cosx·(cosx)′ ＝ － 2cosx·sinx ＝ － sin2x
• [点评] 法则可简单叙述成：复合函数对 自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数，乘以中间变量对自变量的导数．
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求下列函数的导数：
(1)y＝lnsinx2x；
(2)y＝
x 1－x.
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• [例3] 某日中午12时整，甲船自A处以 16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正 北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则 当日12时30分时两船之间的距离对时间的 瞬时变化率是________km/h.
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点 P6π，1处的切线的斜率
k＝
＝24sin26π·cos6π＝3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3
3x－π6，即
6 3x－2y－
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3π＋2＝0.
练习
一、选择题
1．y＝12(ex＋e－x)的导数是
A.12(ex－e－x)
[答案] －6 [解析] ∵f′(x)＝2cos3x＋4π·3x＋4π′ ＝6cos3x＋π4， ∴f′π4＝6cos34π＋π4＝－6.
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5．曲线 y＝3 3x2＋1在点(1，3 4)处的切线方程为 ________________．
[答案] x－3 2y＋1＝0
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三、解答题 6．求下列函数的导数： (1)y＝(1－3x)3； (2)y＝ln1x； (3)y＝sin2x1－2cos24x.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则-第二课时课件
新课讲解
例 1 求y 1 4的 导.数 13x
新课讲解
例 2 求函y数 (2x23) 1x2 的导. 数
新课讲解
例 3 求函 yl数 n2x (23x1)的导 . 数
新课讲解
例 4 求函y数 lg1x2的导. 数
练 习
复合函数的求导
1 (1) y (1 3x)4
(2)y3ax2bxc;
(3)y eax2bx
(4)y 1ln2 x
课堂小结
复合函数的导数：f 'x ((x))＝f '(u) '(x)．
3．积的导数
4、商的(导 u v)' 数 v'uu ： 2u'v
(uv)＝uv＋uv．
复习x
的导数．
答案：y′= cosx2xsinx 2x x
2、求函数 y 1 的导数. 1 3x
复合函数
新课讲解
如 y＝(3x－2)2 由二次函数 y＝u2 和一次函 数 u＝3x－2“复合”而成的．y＝u2 ＝(3x－2)2 ． 像 y＝(3x－2)2 这样由几个函数复合而成的函数， 就是复合函数．
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则-第二课时课件
复习引入
1. 几种常见函数的导数公式 ( c )' （0 c为常数） ( x n )' nx n 1 ( n Q * )； (sin x )' cos x ； (cos x )' sin x .
2．和（或差）的导数
(u±v)＝u±v．
1.2 第2课时 导数的运算法则 课件(人教A版选修2-2)
（x2sin x）′cos x－x2sin x（cos x）′ ＝ cos2x （2xsin x＋x2cos x）cos x＋x2sin2x ＝ cos2x xsin 2x＋x2 ＝ . cos2x
(3)解法一
y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝ (6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝
axln a ；
ex ； 1 (7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝ x ln a ； 1 x (8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝ .
观察下图你能作出判断吗？
h（ x）
=
f（ x） + g(x)
f x
复合函数 记作y＝f(g(x)). f(u)和u＝g(x)的___________,
2.复合函数的求导法则
复合函数 y ＝ f(g(x)) 的导数和函数 y ＝ f(u),u
＝ g(x) 的导数间的关系为 yx′＝ yu′·ux′, 即y对x的导数等于
y对u的导数 与_____________ u对x的导数 的乘积. ____________
[解析] (1)看成函数y＝u2与u＝3x－2的复合 函数，根据复合函数求导法则有：y′x＝y′u·u′x ＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12.
开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步骤 进行，待熟练后可简化步骤如下： y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.
1.2.2 导数的运算法则 （2课时）
基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝
0
a x a－ 1 ；
；
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(共3课时)
运用基本初等函数的导数公式和求导的运算法则 时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简， 再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．
思考 如何求函数 y ln x 2的导数呢?
若设u x 2x 2, 则y ln u.从而y lnx 2可以 看成是由y ln u 和u x 2x 2经过"复合" 得到
的,即y可以通过中间变量 u表示为自变量 x的函数.
如果把 y 与u 的关系记作y f u , u 和 x的关系记作 u g x , 那么这个"复合" 过程可表示为 y f u f g x lnx 2.
从而切线方程为 y 1 3( x 1),即3 x y 4 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
x x
(2) (e ) e .
x x
公式1
1 公式7 (1oga ) x ln a 1 ' 公式8 (1nx ) x
x '
公式2 公式3 公式4 公式5 公式6
x x (为常数) ' (sin x) cos x. 记 ' (cos x ) sin x. x ' x 一 (a ) a ln a x ' x (e ) e
122 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)PPT课件
第一章 导数及其应用
做一做
1.已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
答案：ln x＋1
2．设y＝－2exsin x，则y′＝( )
A．－2excos x
B．－2ex(sin x＋cos x)
C．2exsin x
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝s in4x＋ cos 4x.
4
4
栏目 导引
第一章 导数及其应用
【解】 (1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
D．－2exsin x
解析：选B.y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]
＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
2．复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过 变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的___复__合__函__数____，记作 y＝ f(g(x))． 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的 导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等 于__y_对__u_的__导__数____与__u_对__x_的__∴
y′＝
(x2)′＋
s (
in
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件新人教A版选修
新人教A版选修
•自主学习 新知突 破
1．能利用导数的四则运算法则求解导函数． 2．能利用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．
[问题2] 试求F(x)＝f(x)＋g(x)的导数．
[问题3] F(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ [提示3] F(x)的导数等于f(x)，g(x)导数和．
求曲线的切线方程
已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方 程及切点坐标．
[思路点拨]
利用导数的几何意义解决切线问 题的关键是判断已知点是否是切点．若已知点是切点，则该点 处的切线斜率就是该点处的导数；如果已知点不是切点，则应 • 先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
解析： (1)y′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′ ＝2x·ex＋x2·ex ＝(2x＋x2)·ex. (2)令u＝2x，y＝cos u， 则yx′＝yu′·ux′＝(cos u)′·(2x)′ ＝－2sin 2x.
复合函数的导数
写出下列各函数的中间变量，并 利用复合函数的求导法则，求出函数的导数．
1．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为( )
A．1－ 1
B．1＋sin 1
C．sin 1－1
D．－sin 1
答案： A
2．函数y＝sin x·cos x的导数是( )
A．y′＝cos2x＋sin2x
B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cos x·sin x
D．y′＝cos x·sin x
复合函数的导数
第一章1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标] 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.掌握求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.知识点一 导数运算法则思考 (1)函数g (x )＝c ·f (x )(c 为常数)的导数是什么？(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)可导吗？反之如何？(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？答案 (1)g ′(x )＝cf ′(x ).(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)必可导.若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x)＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导.(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况，即[f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n (x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±f ′3(x )±…±f ′n (x ).知识点二 复合函数的导数思考 设函数y ＝f (u )，u ＝g (v )，v ＝φ(x )，如何求函数y ＝f (g (φ(x )))的导数？ 答案 y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x .题型一 导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋23x 3；(2)y ＝lg x －e x ；(3)y ＝1x·cos x ；(4)y ＝x －sin x 2·cos x 2. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋23x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫23x 3′ ＝x 4＋2x 2.(2)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (3)方法一 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′cos x ＋1x (cos x )′ ＝12()x -'cos x －1x sin x ＝－1232x -cos x －1xsin x ＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x 2x x －1xsin x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x. 方法二 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′x －cos x (x )′(x )2＝121sin cos 2x x x x--⋅＝－x sin x ＋cos x2x x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x . (4)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝1－12cos x . 反思与感悟 在对较复杂函数求导时，应利用代数或三角恒等变形对已知函数解析式进行化简变形，如：把乘积的形式展开，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂等，化简后再求导，这样可以减少计算量.跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1. 解 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin xcos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2 x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2 xcos 2 x＝sin x cos x ＋xcos 2 x .(3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11.方法二 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法一 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 方法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′ ＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 题型二 复合函数求导法则的应用例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋cos 2x )3；(2)y ＝sin 2 1x； (3)y ＝11－2x2；(4)y ＝(2x 2－3)1＋x 2. 解 (1)y ＝(1＋cos 2x )3＝(2cos 2x )3＝8cos 6xy ′＝48cos 5x ·(cos x )′＝48cos 5x ·(－sin x )，＝－48sin x cos 5x .(2)令y ＝u 2，u ＝sin 1x ，再令u ＝sin v ，v ＝1x， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝(u 2)′·(sin v )′·⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝2u ·cos v ·0－1x 2＝2sin 1x ·cos 1x ·－1x 2＝－1x 2·sin 2x. (3)设y ＝12u -，u ＝1－2x 2，则y ′＝12()u -' (1－2x 2)′＝321()2u --·(－4x )＝3221(12)2x --- (－4x ) ＝3222(12)x x --.(4)令y ＝u v ，u ＝2x 2－3，v ＝1＋x 2， 令v ＝w ，w ＝1＋x 2.v ′x ＝v ′w ·w ′x ＝(w )′(1＋x 2)′＝12122x -⋅w＝2x21＋x 2＝x 1＋x 2，∴y ′＝(u v )′＝u ′v ＋u v ′＝(2x 2－3)′·1＋x 2＋(2x 2－3)·x 1＋x 2 ＝4x 1＋x 2＋2x 3－3x1＋x 2＝6x 3＋x 1＋x 2.反思与感悟 求复合函数的导数的步骤跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)5；(2)y ＝1(1－3x )4； (3)y ＝31－3x ；(4)y ＝x ·2x －1；(5)y ＝lg(2x 2＋3x ＋1)；(6)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解 (1)设u ＝2x ＋1，则y ＝u 5，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′·(2x ＋1)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x ＋1)4.(2)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5. (3)设u ＝1－3x ，则y ＝13u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝13·23u -·(1－3x )′＝13·13(1－3x )2·(－3)＝－13(1－3x )2. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.设t ＝2x －1，u ＝2x －1，则t ＝12u ，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·12u -·(2x －1)′ ＝12×12x －1×2＝12x －1. ∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1.(5)设u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ＝lg u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ln 10×(2x 2＋3x ＋1)′ ＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln 10. (6)设u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，v ＝2x ＋π3， 则y ＝u 2，u ＝sin v ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. 题型三 导数几何意义的应用例3 (1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程是 .(2)已知函数f (x )＝k ＋ln x e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 .答案 (1)4x －y －3＝0 (2)1解析 (1)利用求导法则与求导公式可得y ′＝(3ln x ＋1)＋x ×3x＝3ln x ＋4. ∴k 切＝y ′|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.(2)由f (x )＝ln x ＋k e x， 得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞). 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.反思与感悟 涉及导数几何意义的问题，可根据导数公式和运算法则，快速求得函数的导数，代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率，这样比利用导数定义要快捷得多. 跟踪训练3 (1)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0,0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为 .(2)若函数f (x )＝e x x在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，则a 的值为 . 答案 (1)2 (2)12解析 (1)曲线y ＝x 3＋ax 的切线斜率k ＝y ′＝3x 2＋a ，又曲线在坐标原点处的切线方程为2x －y ＝0，∴3×02＋a ＝2，故a ＝2.(2)∵f (x )＝e x x ，∴f (a )＝e a a. 又∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝e x ·x －e x x 2，∴f ′(a )＝e a ·a －e a a 2.由题意知f (a )＋f ′(a )＝0，∴e a a ＋e a ·a －e a a 2＝0，∴2a －1＝0，∴a ＝12.因对复合函数的层次划分不清导致求导时出现错误例4 求函数y ＝sin n x cos nx 的导数.错解 y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x ·cos nx ＋sin n x ·(－sin nx )＝n sin n －1x ·cos nx －sin n x sin nx .错因分析 在第二步中，忽略了对中间变量sin x 和nx 进行求导.正解 y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x ·(sin x )′·cos nx ＋sin n x ·(－sin nx )·(nx )′＝n sin n －1x ·cos x ·cos nx －sin n x ·(sin nx )·n＝n sin n －1x (cos x cos nx －sin x sin nx )＝n sin n －1 x cos [(n ＋1)x ].防范措施 在求解复合函数的导数时，不能机械地套用公式，应理清层次，逐层正确使用求导法则求解.1.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )A.193B.103C.133D.163答案 B解析 因f ′(x )＝3ax 2＋6x ，且f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103，故选B. 2.函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C.e x －e －x D.e x ＋e －x 答案 A解析 y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )，故选A. 3.f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋xB.－11＋xC.1(1＋x )2D.－1(1＋x )2答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ＝11x＋1，得f (x )＝1x ＋1， 从而f ′(x )＝－1(1＋x )2，故选D. 4.已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ∈R ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)的值为 .答案 8解析 f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，∴f ′(－x )＝a cos (－x )＋3b (－x )2＝f ′(x ).∴f ′(x )为偶函数.∴f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝0.f (2 014)＋f (－2 014)＝a sin 2 014＋b ·2 0143＋4＋a sin(－2 014)＋b ·(－2 014)3＋4＝8. ∴f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝8.5.已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ . 答案 8解析 因y ＝x ＋ln x ，故y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时，曲线变为直线y ＝2x ＋1，与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式，对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、选择题1.曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A.2e B.eC.2D.1答案 C 解析 y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.2.当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0等于( ) A.aB.±aC.－aD.a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 3.设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A.2B.12C.－12D.－2 答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4.已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A.2B.－2C.94D.－94答案 D解析 ∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x. 令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，即2f ′(2)＝－92，∴f ′(2)＝－94，故选D. 5.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.[0，π4) B.[π4，π2) C.(π2，3π4] D.[3π4，π) 答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π). 6.设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，则a ＋b 的值为( )A.－1B.1C.0D.2答案 A解析 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1， ∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32， ∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32， ∴a ＝0，故a ＋b ＝－1，选A.二、填空题7.下列各函数的导数：①(x )′＝12x －12；②(a x )′＝a x ln x ；③(sin 2x )′＝cos 2x ；④(x x ＋1)′＝1(x ＋1)2.其中正确的有 . 答案 ①④解析 (x )′＝12()x '＝1212x -，①正确；(a x )′＝a x ln a ，②错误；(sin 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＝2cos 2x ，③错误；(xx ＋1)′＝x ′·(x ＋1)－x ·(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－x (x ＋1)2＝1(x ＋1)2，④正确. 8.若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是 . 答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ，∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2，∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2).9.曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为 .答案 5x ＋y －3＝0解析 因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.10.已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝ . 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.三、解答题11.求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝12(12)x --可看作y ＝12u-，u ＝1－2x 的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)32u -·(－2)＝32(12)x --＝1(1－2x )1－2x. (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3) ＝－2cos(2x －π3). (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.12.已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程.解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.13.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x2，∴f ′(2)＝74，② 由①②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0). 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
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设 y＝8sin3x，求曲线在点 Pπ6，1处的切线方程． [解析] y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点 P6π，1处的切线的斜率
k＝
＝24sin26π·cos6π＝3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3 3x－π6，即 6 3x－2y－ 3π＋2＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
• [答案] A
17
18
二、填空题 4．设 f(x)＝2sin3x＋π4，则 f′π4＝________.
[答案] －6 [解析] ∵f′(x)＝2cos3x＋4π·3x＋4π′ ＝6cos3x＋π4， ∴f′π4＝6cos34π＋π4＝－6.
19
5．曲线 y＝3 3x2＋1在点(1，3 4)处的切线方程为 ________________．
[答案] x－3 2y＋1＝0
20
21
三、解答题 6．求下列函数的导数： (1)y＝(1－3x)3； (2)y＝ln1x； (3)y＝sin2x1－2cos24x.
22
[解析] (1)y′＝3(1－3x)2(1－3x)′＝－9(1－3x)2. (2)y′＝11·1x′＝x·－x12＝－1x.
x (3)y＝－sin2x·cos2x＝－12sinx. ∴y′＝－12sinx′＝－12cosx.
8
• [解析] (1)看成函数y＝u2与u＝3x－2的复 合函数，根据复合函数求导法则有：y′x＝ y′u·u′x＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12.
• 开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步 骤进行，待熟练后可简化步骤如下：
• y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.
. y对u的导数与u对x的导数的乘积
4
[例 1] 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成 的．
①y＝a3x＋2 ③y＝log2(x2－2x＋3)
②y＝ln3 ex＋2 ④y＝sin(x2＋1) ⑥y＝4 3－lnx
5
[解析] ①y＝au，u＝3x＋2
③y＝log2u，u＝x2－2x＋3 ④y＝sinu，u＝x2＋1 ⑤y＝eu，u＝x2－2
6
[例 2] 求下列函数的导数 (1)y＝(3x－2)2 (2)y＝ln(6x＋4) (3)y＝e2x＋1 (4)y＝ 2x－1 (5)y＝sin3x－4π (6)y＝cos2x
7
• [分析] 抓住构成复合函数的基本初等函数 是求复合函数导数的关键，解题时可先把 复合函数分拆成基本初等函数，再运用复 合函数求导法则．
f(x)＝sin
1 ，则 x
f′(x)＝
1 A.2x xcos x
－1 B.2x xcos x
C．－2x1
xcos
1 x
11 D.2x xcos x
• [答案] CBiblioteka ()1516
3．下列函数求导数，正确的个数是
()
①(e2x)′＝e2x ②[(x2＋3)8]′＝8(x2＋3)·2x
③(ln2x)′＝2x ④(a2x)′＝2a2x
1.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则(二)
（复合函数的求导法则）
1
学习目标：
• 1．了解复合函数的定义，并能写出简单 函数的复合过程；
• 2．掌握复合函数的求导方法，并运用求 导方法求简单的复合函数的导数．
2
• 本节重点： • ①导数公式和导数运算法则的应用． • ②复合函数的导数． • 本节难点：复合函数的求导方法．
23
3
复合函数及其求导法则
复合函 数的概
念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u，y可以表 示成 x的函数 ，那么称这个函数
为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记 作 y＝f(g(x)) ．
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y 复合函 ＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 数的求 yx′＝ yu′·ux′ .即y对x的导数等 导法则 于
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• (6)y′ ＝ 2cosx·(cosx)′ ＝ － 2cosx·sinx ＝ － sin2x
• [点评] 法则可简单叙述成：复合函数对 自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数，乘以中间变量对自变量的导数．
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求下列函数的导数：
(1)y＝lnsinx2x；
(2)y＝
x 1－x.
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练习
一、选择题
1．y＝12(ex＋e－x)的导数是
A.12(ex－e－x)
B.12(ex＋e－x)
C．ex－e－x
• [答案] A
D．ex＋e－x
[解析] y′＝12(ex)′＋12(e－x)′
＝12ex＋12e－x(－x)′
＝12ex－12e－x＝12(ex－e－x)，故应选 A.
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2．已知