4.1.2《定积分》课件(北师大版选修2-2)


由几何图形可知
(2)根据定积分的性质可知 再根据定积分的几何意义可知
答案:(1)<
(2)<
5.(2010·厦门高二检测)计算定积分 【解析】y= 9-x 2 表示圆x2+y2=9的上半圆,其面积为S= 1 ×π
2

×32= 9 .即所求定积分的值为 9 .
2 答案:9 2 2
三、解答题(6题12分,7题13分,共25分) 6.将下图阴影部分的面积用定积分表示出来.
提示:如果在区间[a,b]上,函数f(x)<
b
0,那么曲边梯形位于x轴的下方(如图所
示).由于Δxi>0,f(ξi)<0.从而定积分

b
a
f(x)dx <0,这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数,


b
a
f(x)dx =-S或S=- f(x)dx .
b a
典型例题精析
知能巩固提高
【解题提示】注意
与图中面积的不同.
【解析】选D.根据定积分的几何意义可知,应选D.
3.若
(
)
(A)9
(B)12
(C)15
(D)18
【解析】选C.根据定积分的性质及几何意义可得
=3+4×(3-0)=15.
二、填空题(每题5分,共10分) 4.用不等号连接下列各式:
【解析】(1)根据定积分的几何意义,画出这两个定积分的 几何图形如下:
【解题提示】利用定积分的几何意义直接求解即可,不能 直接表示出来时,要将图形适当分割,使得可以利用定积分来 表示.
【解析】由y=x2和y=x可得它们的交点为(0,0),(1,1),所以 图中阴影部分的面积为
7.利用定积分的性质和几何意义求定积分 【解析】 作出函数f(x)= (2-x)2 的图像如图.
如图,
由y=x2-2x+3、x=0、x=3和y=0围成的曲边梯形的面积为 由y=x+3、x=0、x=3和y=0围成的梯形的面 积为 ,所以所求图形(阴影)的面积为
课程目标设置
主题探究导学
1.根据定积分的定义,你能总结出定积分的
计算步骤吗?
提示:(1)分割:将区间[a,b]分成n份(一般情况下为了 便于计算,常常将区间[a,b]n等分); (2)近似代替:取点ξi∈[xi-1,xi]; (3)求和: (4)取极限:
2.对定义中ξ i∈[xi-1,xi]的取法,一般情况下我们是怎样 取的? 提示:一般是取区间的左或右端点.
一、选择题(每题5分,共15分)
1.设连续函数f(x)在[a,b]上恒有f(x)>0,则定积分
的符号( )
(A)一定是正的
(B)一定是负的
(C)可能正也可能负 (D)以上答案均不正确 【解析】选A.根据定积分的几何意义不难得出答案.
2.(2010·福建师大附中高二检测)用S表示图中阴影部分的 面积,则S的值是( )
自然长度压缩5厘米做的功为_____(焦耳).
【解析】根据定积分的物理意义可知,将弹簧从自然长度压缩
5厘米做的功为
2
再由定积分的几何意义可知
= 1 ×5×20=50(牛顿·厘米)=0.5(焦耳).
答案:0.5
4.(15分)用定积分表示抛物线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围成 的图形的面积.
y=x 2 -2x+3 【解析】解方程组 , 得交点的横坐标为x=0和x=3. y=x+3
1.(5分)与定积分
相等的是(
)
【解析】选D. ∵被积函数
2.(5分)(2010·安庆高二检测)
【解题提示】直接求解不容易,就应考虑特殊图形,比如 本题的图形就是圆的一部分.
【解析】
表示圆
(x-3)2+y2=1的四分之一的面积,如图阴影所示
面积S=
答案:
4
3.(5分)将一弹簧压缩x厘米,需要用4x牛顿的力,将它从
1.试将由曲线y=sinx,直线x=0,x= ,
y=0所围成的图形的面积写成定积分的
形式. 提示:根据定积分的几何意义,由曲线 y=sinx,直线x=0,x= , y=0所围成的如图阴影面积可以表示为 S=
2
2 0
2

sinxdx.
2.当f(x)<0时, f(x)dx 表示什么? a
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2021年高中数学第四章定积分4.1.2定积分课件1北师大版选修2_2

2021年高中数学第四章定积分4.1.2定积分课件1北师大版选修2_2

a
a
其中, 叫作积分号,a叫作积分的下限,b叫作积分
的上限,f (x)叫作被积函数,x叫作积分变量,[a, b]
叫作积分区间.
概念说明
(1).定积分ab f ( x )dx 是一个常数,即n 时,
S n无限接近的常数A,而不是 S n .
〔2〕.用定义求积分的一般方法是:
分割 近似代替 求和 取极限
yf(x)
定及积x分轴和ab 曲f ( 线x )dyx表示f(由x)直所线围x成曲a,边x梯b形以
的面积,这就是定积分
意义.
b a
f
( x )d x 的几何
O
x
说明:一般情况下,定积分
b
a
f
( x )d x
的几何意义
是介于 x轴、函数 f (x)的图形以及直线 xa,
xb 之间各部分面积的代数和,在 x轴上
012dx2
o
y2
1
x
xdx 解〔2〕: 2 1
表示的是图
中所示梯形的面积,
由于这个梯形的面
积为 3 . 所以
y
2
2
12 xdx 23
1
yx
o 12 x
解〔3〕: 1 1
1x2dx
表示的是图中所示
-1
半径为1的半圆的面
积, 由于这个半圆
的面积为 .
所以
2
1
1
1x2dx 2
y
1 y 1x2
x
根本概念
如果 xi 趋近于0(亦即 n )时,上述和式
S n f ( 1 ) x 1 f ( 2 ) x 2 f ( i ) x i f ( n ) x n
无限的趋近某个常数A(即曲边梯形面积).称A是

2021年优课系列高中数学北师大版选修2-2 4.1定积分的概念 课件(35张)

2021年优课系列高中数学北师大版选修2-2 4.1定积分的概念 课件(35张)
3
思考题
将和式极限:
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
(
n
1) n
表示成定积分.
思考题解答
原式
lim
n
1 n
sin
n
sinBiblioteka 2 nsin(n
1) n
sin
n n
lim 1 n sin i n n i1 n
1
lim
n
n i 1
sin
i n
n
1
sin xdx.
0
积分上限 b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
积分下限
被 积 函 数


[a,b] 积分区间




达 式

注意:
(1) 积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关.
b
a
f
( x)dx
b
a
f
(t )dt
b
a
f
(u)du
(2)定义中区间的分法和i 的取法是任意的.
几何意义:
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和. 在 x 轴上方的面积取正号;在 x 轴下方的面 积取负号.
边梯形位于 x 轴的下方,
积分 b f (x)dx 在几何上表示 y a
上述曲边梯形面积的负值。
yf (x)
b
S a[ f (x)]dx
b
S a[ f (x)]dx

高中数学第四章定积分4.1定积分的概念课件北师大版选修22

高中数学第四章定积分4.1定积分的概念课件北师大版选修22
(3)求出各阴影部分的面积.
(4)写出定积分,注意当 f(x)≥0 时,S=
时,S=-


f(x)dx.
第十九页,共34页。


f(x)dx,而当 f(x)≤0
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)

探究(tànjiū)

思维辨析
变式训练2用定积分表示如图所示的阴影部分的面积(不要求计算).
解:(1)S=
探究
(tànjiū)三
思维辨析
反思感悟解决此类问题,是通过分割自变量的区间求得过剩估计值和不
足估计值,分割得越细,估计值就越接近精确值;当分割成的小区间的
长度趋于0时,过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值.
第十四页,共34页。
探究(tànjiū)

探究(tànjiū)

探究(tànjiū)

思维辨析


f(x)dx=-


f(x)dx. ( √ )
(4)若在区间[a,b]上,f(x)≤g(x),则


第十一页,共34页。
f(x)dx≤


g(x)dx. ( √ )
探究(tànjiū)

探究(tànjiū)

探究(tànjiū)

思维辨析
过剩估计值与不足估计值的应用
【例1】 一辆汽车在直线形公路上变速行驶,汽车在时刻t的速度为
面积,

1
-1
|x|dx=
0
-1
(-x)dx+
1
0
1
1
xdx= ×1×1+ ×1×1=1.

推荐高中数学第四章定积分4.1定积分的概念4.1.2定积分课件北师大版选修2_2

推荐高中数学第四章定积分4.1定积分的概念4.1.2定积分课件北师大版选修2_2

圆的面积,其
值为
π 4
,
所以
1 0
1-������2d������ = π4.
3.性质
定积分有如下性质:
性质 1:
������ ������
1d������ = ������ − ������;
性质 2:
������ ������
������������(������)d������ = ������
=5+
3 n2
[0
+
1
+
2
+
⋯+(n-1)]=
3 2
·nn22-n
+
5
=
13 2

23n.

ξi=
n+i n
(������
=
1,2,
…,n),
题型一 题型二 题型三
n
������
则 S= ∑ ������(������������)Δ������ = ∑ ������
i=1
������=1
n+i n
������
n 3(n + i)
1 n 3������ 5
=∑
i=1
n
+2
·n
=

i=1
������2 + ������
=5+
3 ������2
(1
+
2
+
3
+
⋯+n)=
13 2
+
23������.
(3)取极限:
当 n→+∞,S→123 , 且s→123,

【数学】4.1.2 定积分 课件(北师大版选修2-2)

【数学】4.1.2 定积分 课件(北师大版选修2-2)
3 3 0 0
2
- x + 3 dx
-x2 + 3x dx
3 0
小结
1.定积分的实质:特殊和式的逼近值. 2.定积分的思想和方法:
分割 化整为零
求近似以直(不变)代曲(变)
求和 取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
3.定积分的几何意义及简单应用
是图中所示三角形
的面积之差, 由于
y
4 2
C
y 2x
B
SOAB SOCD 3
所以 上 方 取 正 ,下 方 取 负
-1
D
o
-2
A
2
x
2xdx 3
2 1
定积分的基本性质
(1) (2)
1dx b a b b a kf ( x)dx k a f ( x)dx
练习 1:利用定积分的定义,计算 x3dx 的值。
0
1
3 取极限
1 1 2 1 0 x dx lim Sn lim 4 (1 n ) 4 n n
1 3
练习2:用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线
y=x+3所围成的图形面积 .
x + 3 dx - x
2 1
3 积为 . 所以 2 3 2 2 1
y
2 1
yx
xdx
o
1
2
x
y
解(3): 1 1

1 x dx
2
-1
1
y 1 x2
表示的是图中所示 半径为1的半圆的面
x
o o 1
积, 由于这个半圆
的面积为 2

高中数学选修2-2 北师大版 4.1 定积分的概念 课件(27张)

高中数学选修2-2 北师大版 4.1 定积分的概念 课件(27张)

-3-
§1 定积分的概念
1 2 3
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
1.定积分的背景——面积和路程问题 面积问题、路程问题以及做功问题是 3 个实际意义完全不同的问题, 但是它们的解决过程是相似的,都是通过分割自变量的区间得到过剩估计 值和不足估计值,分割得越细,估计值就越接近精确值,当分割成的小区间的 长度趋于 0 时,过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值.
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
f(x)dx 表示的是运动物
kf(x)dx=k f(x)dx=
������ ������
������ ������
f(x)dx;
������ ������
[f(x)±g(x)]dx=
f(x)dx±
第四章 定积分
-1-
§1 定积分的概念
-2-
§1 定积分的概念
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
学习目标 思维脉络 1.了解曲边梯 形的面积求法. 2.理解“分割、 近似 代替、求和、取极 限”的数学思想. 3.掌握定积分的概 念,并会用定义求 定积分. 4.理解定积分的几 何意义和定积分 的基本性质.
-4-
§1 定积分的概念
1 2 3
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU

2020届北师大版高中数学选修2-2精品课件:4.1.2 定积分


(1) 2 2
4 x2 dx =________.
(2)
2
0
(2x+1)dx=________.
2.利用定积分的几何意义计算
4
0
(3x-6)dx.
榜导学号
世纪金
【思维·引】 根据定积分的几何意义作出图形,然后求出图形面积.
【解析】
1.(1)如图所示,22 4 表x2d示x 圆x2+y2=4的上半部分的
面积, 又S半圆=2π,
所以 2 4 x2 dx 2. 2
(2)如图所示,所求的定积分为阴影部分的面积,
又因为S= 1
2
(1+5)×2=6,所以 02(2x+1)dx=6.
答案:(1)2π (2)6
2.如图所示,所求的定积分为阴影部分A与B的面积
提示:当a<b时,所求面积为ab |f(x)|dx.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)定积分一定是曲边梯形的面积. ( )
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正,
则 b a
f(x)dx>0.
(
)
(3)若
b
a
f(x)dx<0,则由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所
【解析】选B.由定积分的几何意义可知,定积分
1-1
1-x2 dx
表示半个单位圆的面积,即
1·π·12=
2
.
2
3.由正切曲线y=tan x,直线x=0和x= ,x轴所围成
4
的平面区域的面积用积分表示为________.
【解析】由定积分的几何意义可知应表示为
4tan 0

4.1 定积分的概念 课件(北师大版选修2-2)


5.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分.
6.了解定积分的几何意义及性质.
导.学. 固. 思
我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“ 直边图形”的面积,在物理中,我们知道了匀速直线运动 的时间、速度与路程的关系等.在数学和物理中,我们经 常会遇到计算平面曲线所围成的平面“曲边图形”的面
4
1 0 1 2 1 2
(-
xdx= ×1×1+ ×1×1=1.
3 ( 3������ -1
利用几何意义计算定积分
+ 1)������������.
【解析】由直线 x=-1,x=3,y=0,以及 y=3x+1 所 围成的图形,如图所示:
3 ( 3������ -1
+ 1)������������表示由直线 x=-1,x=3,y=0 以及 y=3x+1 所围成 + 1)������������= ×(3+ )×(3×3+1)- (- +1)×2= - =16.
积、变速直线运动物体的位移、变力做功的问题.如何解
决这些问题呢?因为现有的知识无法解决这些问题,所以 我们需要另寻方法.
导.学. 固. 思
问题1 求曲边梯形面积的步骤是(1) 分割
;(2)
. 近似替代 ;(3Байду номын сангаас 求和 ;(4) 逼近 .
问题2 定积分的定义
一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x),将 [a,b]区间分成n份,分点为a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b. 第i个小区间为[xi-1,xi],设其长度为Δxi,在这个小区间

导.学. 固. 思

新编 北师大版高中数学选修2-2同步配套课件:4.1 定积分的概念4.1.2 --推荐下载

������ ������
[������ (������) ± ������(������ )]d������ = ������( ������)d������ =
������ (������ )d������ ±
������ ������
������ ������
������ (������)d������ ;
同学们: 上课前,课桌摆放整齐,不乱放与本 节课无关的东西。 上课时,要坐端正,专心听讲,积极 思考,踊跃发言。 下课后,要规整好自己的笔记,做到 学习用心。
准备上课啦!!!
1.2 定积分
1.准确理解定积分的概念及其几何意义;并会根据定积分的定义, 求一些简单函数的定积分. 2.理解定积分的简单性质并会应用.
������ (������ )d������ +
������ (������ )d������ .
说明 1.
������ ������
1d������表示的是直线y=1 与直线 x=a,x=b 及 x 轴围成的矩形
������ ������
的面积 ,显然其面积为 b-a,故
1d������ = ������ − ������, 如图①所示 .
图① 2.性质 2,3 称为定积分的线性性质 ,性质 4 称为定积分对积分区 间的可加性 .根据性质 3 可将两个函数的和或差在区间 [a,b]上的定 积分转化为两个函数在区间 [a,b]上的定积分的和或差 ,要注意的是 f(x)和 g(x)在区间 [a,b]上必须是连续的 .
3.性质 2 的等式左边是一个定积分 ,等式右边是常数与一个定积 分的乘积 . 4.性质 3 对于有限个函数 (两个以上 )也成立 .性质 4 对于把区间 [a,b]分成有限个(两个以上 )区间也成立 .求 f(x)在区间 [a,b]上的定积 分 ,可通过求 f(x)在区间 [a,c]与 [c,b]上的定积分去实现 ,其中 [a,b]=[a,c ]∪ [c,b]. 5.对于定积分的性质 4 可以用图 ②直观地表示出来 ,即 S 曲边梯形

高二数学北师大版选修2-2 4.1 定积分的概念 课件(33张)

-4������ ������
1
2
3
【做一做 1】 把区间[a,b](a<b) n 等分后,第 i 个小区间是( A. B. C. D.
������-1 ������ , ������ ������ ������-1 ������ (������-������), (������-������) ������ ������ ������-1 ������ ������ + ,������ + ������ ������ ������-1 ������ ������ + (������-������),������ + (������-������) ������ ������
1 3
B.
1 2
C.1
1 0
D.2
1 0
解析:所走的路程为 答案:C
2tdt,由定积分的几何意义作图求得
2tdt=1.
-6-
1
2
3
1 0
【做一做 2-2】 说明 的值.
1-������ 2 dx 的意义,并根据其意义求出该定积分
解:
1 0
1 0
1-������ 2 dx 表示的是如图所示半径为 1 的 圆的面积,其值为 ,所以
[f(x)± g(x)]dx=
f(x)dx± ������ g(x)dx;
������ ������
������
性质 4:(定积分对积分区间的可加性)
f(x)dx=
������ ������
f(x)dx+ ������������ f(x)dx.
-8-
1
2
3
������ ������
说明 1.
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