古典概型练习题(有详细答案)解析
高中数学必修二 10 1 3 古典概型 练习(含答案)
10.1.3 古典概型一、选择题1．下列有关古典概型的四种说法：①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率()kP An=.其中所正确说法的序号是（）A．①②④B．①③C．③④D．①③④【答案】D【解析】②中所说的事件不一定是样本点，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.故选:D.2．某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为( )A．15B．14C．49D．59【答案】C【解析】从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点,故所求概率为49,故选：C.3．甲乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A ．13 B ．14 C ．15 D ．16【答案】A【解析】依题意，基本事件的总数有339⨯=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3193=. 4．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（ ）A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C【解析】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,基本事件有：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,A a A b A c B b B c C c ，共 6种,∴齐王的马获胜的概率为6293P ==，故选C. 5．（多选题）下列概率模型是古典概型的为( )A ．从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小B ．同时据两枚质地均匀的骰子,点数和为6的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10人站成一排,其中甲,乙相邻的概率 【答案】ABD【解析】古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等.显然A､B､D符合古典概型的特征，所以A､B､D是古典概型；C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选：ABD.6．（多选题）张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是（）A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜D．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜【答案】ACD【解析】选项A中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A符合题意;选项B中,张明获胜的概率是12,而李华获胜的概率是14,故游戏规则不公平,B不符合题意;选项C中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C符合题意;选项D中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D符合题意.故选：ACD二、填空题7．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于9的概率是_______．【答案】1 6【解析】抛掷一个骰子两次，基本事件有36种，其中符合题意的有：()()()()()()4,6,5,5,,5,6,6,4,6,5,6,6共六种，故概率为61 366=.8．有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是_______．【答案】3 5【解析】五张扑克牌中随机抽取两张，有：12、13、14、15、23、24、25、34、35、45共10种，抽到2张均为红心的有：12、13、14、23、24、34共6种，所以，所求的概率为：63105=故答案为：35. 9．从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a 、b ，则为整数的概率= ．【答案】16【解析】：从2，3，8，9中任取两个数记为,a b ，作为作为对数的底数与真数，共有2412A =个不同的基本事件，其中为整数的只有23log 8,log 9两个基本事件，所以其概率21126P ==. 10．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________． 【答案】0.2【解析】∵A ＝“摸出红球或白球”与B ＝“摸出黑球”是对立事件，且P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C ＝“摸出红球或黑球”与D ＝“摸出白球”是对立事件，且P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38. 设事件E ＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B ∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2. 三、解答题11．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个；②若8xy≥，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅰ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）516.（Ⅰ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【解析】（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为5 16．（Ⅰ）满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为6 16；小亮获得饮料的概率为5651161616 --=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．12．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.(1)求正整数a ，b ，N 的值；(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？ (3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率． 【答案】（1）25,100，250； （2）1人，1人，4人； （3）815. 【解析】 (1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =. 且0.08251000.02b =⨯= 总人数252500.025N ==⨯ (2)因为第1,2,3组共有2525100150++=人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为2561150⨯=， 第2组的人数为2561150⨯=，第3组的人数为10064150⨯=， 所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．(3)由(2)可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1C ，2C ，3C ，4C 则从6人中抽取2人的所有可能结果为：()A B ，，()1A C ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，()12C C ，，()13 C C ，，()14C C ，，()()2324 C C C C ，，，，()34C C ，共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：()1AC ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，共有8种．8 15.所以恰有1人年龄在第3组的概率为。
古典概型 最新同步练习(含详解)
古典概型 同步练习一、选择题1．鞋柜里有3双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为( )A.23B.13C.35D.25解析：鞋柜里有3双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，共有9种取法，恰好成双的取法共有3种，故恰好成双的概率为39＝13，故选B.答案：B2．甲乙两名同学分别从“象棋”“文学”“摄影” 三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是( )A.14B.13C.12D.23解析：由题意，甲乙两名同学各自等可能地从“象棋”“文学”“摄影” 三个社团中选取一个社团加入，共有3×3＝9种不同的结果，这两名同学加入同一个社团有3种情况，则这两名同学加入同一个社团的概率是39＝13.故选B.答案：B3．小亮、小明和小红约好周六骑共享单车去森林公园郊游，他们各自等可能地从小黄车、小蓝车、小绿车这3种颜色的单车中选择1种，则他们选择相同颜色自行车的概率为( )A.13B.19C.23D.49解析：由题意，小亮，小明和小红各自等可能地从小黄车、小蓝车、小绿车这3种颜色的单车中选择1种有27种不同的结果，他们选择相同颜色自行车有3种不同的结果，故他们选择相同颜色自行车的概率为327＝19，故选B.答案：B4．若从数字0，1，2，3，4，5中任取三个不同的数作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数，则与x 轴有公共点的二次函数的概率是( )A.15B.12C.1350D.1750解析：实验发生包含的事件是从0，1，2，3，4，5中任取三个不同的数作为二次函数的系数，对应二次函数共有C 15A 25＝100个，满足条件的事件是与x 轴有公共点的二次函数，需满足b 2≥4ac ，当c ＝0时， a ，b 只需要从1，2，3，4，5中任选2个数字即可，对应的二次函数共有A 25个；当c ≠0时，若b ＝3，此时满足条件的(a ，c )取值有(1，2)，(2，1)，共2种情况；当b ＝4时，此时满足条件的(a ，c )取值有(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，共4种情况；当b ＝5时，此时满足条件的(a ，c )取值有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(3，2), 共8种情况．∴共有20＋2＋4＋8＝34种情况满足题意，∴概率为34100＝1750，故选D.答案：D5．用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为( ) A. 3 B.12 C.23 D.58解析：三种不同的颜色分别用A ，B ，C 表示，随机事件所包含的基本事件有：(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9个，其中表示两个小球颜色不同的有6个，则两个小球颜色不同的概率为P ＝69＝23，故选C.答案：C6．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球．由于抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，选B.答案：B7．有4张卡片(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片，则取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为( )A.12B.35C.13D.56解析：有4张卡片(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片，基本事件总数n ＝C 24＝6，取出的2张卡片中含有红色卡片包含的基本事件个数m ＝C 11C 13＝3，∴取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为P ＝m n ＝36＝12.故选A. 答案：A8．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任取2件，则出现次品的概率为( )A.2245B.949C.47245 D ．以上都不对解析：因为一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，所以从这批产品中任意抽2件，基本事件总数n ＝C 250＝1 225，其中出现次品的对立事件是取到两件正品，所以出现次品的概率为P ＝1－C 245C 250＝47245，故选C. 答案：C9．已知一袋中有标有号码1、2、3的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取5次卡片时停止的概率为( )A.585B.1481C.2281D.2581解析：根据题意可知，取5次卡片可能出现的情况有35种；由于第5次后停止抽取，所以前四次抽卡片时有且只有两种编号，且第五次是剩下的那种编号，所以总的可能有C 23(24－2)种．所以恰好第5次后停止取卡片的概率为P ＝C 23（24－2）35＝1481.本题选择B 选项．答案：B10．6件产品中有4件合格品，2件次品。
2024-2025年北师大版数学必修第一册7.2.1古典概型的概率计算公式(带答案)
2．1 古典概型的概率计算公式必备知识基础练知识点一 古典概型的判断 1．下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点； ②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环； ③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲； ④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________． 知识点二 古典概型样本空间的确定2．有两个质地均匀的正四面体(四个面为全等的正三角形)的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y 表示第2个正四面体玩具朝下的点数．求：(1)这个试验的样本空间； (2)事件“朝下点数之和大于3”； (3)事件“朝下点数相等”；(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”．知识点三 古典概型的计算及简单应用3．若甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为( ) A ．13 B ．23264．袋中有红、黄、白色球各1个，每次任取一个，有放回地抽取三次，求基本事件的个数，并计算下列事件的概率．(1)三次抽取的颜色各不相同； (2)三次抽取的颜色不全相同； (3)三次取出的球无红色．关键能力综合练1．下列试验中是古典概型的是( )A.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C ．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的D ．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 2．下列概率模型中，是古典概型的个数为( ) ①从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率； ②从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率； ③某篮球运动员投篮一次命中的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．现有三张卡片，正面分别标有数字1，2，3，背面完全相同，将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是( )A ．13B ．12364．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A ．310B ．15C ．110D ．1205．将数据1，3，5，7，9 这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为( )A ．15B ．310C ．25D ．126．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为 ________．7．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b ＞a 的概率是________．8．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．9．(易错题)任意掷两枚骰子，计算出现点数之和为偶数的概率．核心素养升级练1．(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是( )A ．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12B ．每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16C ．每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12D ．每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为162．(学科素养—数据分析)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：(2)求这5天的平均发芽率；(3)从3月1日至3月5日中任选2天，记前面一天发芽的种子数为m ，后面一天发芽的种子数为n ，用(m ，n )的形式列出所有样本点，并求满足“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30 ”的概率．§2 古典概型2．1 古典概型的概率计算公式必备知识基础练1．答案：③解析：①不属于古典概型，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于古典概型，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于古典概型，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于古典概型，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于古典概型，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．2．解析：(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)设事件“朝下点数之和大于3”为事件A ，则A ＝{(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(3)设事件“朝下点数相等”为事件B ，则B ＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}． (4)设事件“朝下点数之差的绝对值小于2”为事件C ，则C ＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}．3．答案：B解析：甲，乙，丙三名学生随机站成一排，共有6个样本点：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，其中甲站在边上的样本点有4个，故所求的概率为P ＝46 ＝23.4．解析：则基本事件的个数n ＝27.(1)记事件A 为“三次抽取的颜色各不相同”，则A 包含的基本事件数为6，所以P (A )＝627 ＝29. (2)记事件B 为“三次抽取的颜色不全相同”，则B 包含的基本事件数为27－3＝24，所以P (B )＝2427 ＝89.(3)记事件C 为“三次取出的球无红色”，则C 包含的基本事件数为8，所以P (C )＝827.关键能力综合练1．答案：B解析：对于A ，发芽与不发芽概率不同；对于B ，任取一球的概率相同，均为14 ；对于C ，基本事件有无限个；对于D ，由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等．因而选B.2．答案：A解析：古典概型的概率特点是样本空间的样本点数是有限个，并且每个样本点发生的概率是等可能的，故②是古典概型，④由于硬币质地不均匀，故不是古典概型．故选A.3．答案：C解析：将1，2，3三个数字排序，则偶数2可能排在任意一个位置，其中2排在第一位或第三位为甲获胜，2排在第二位为乙获胜，故甲获胜的概率为23.4．答案：C解析：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，共10个样本点，其中这3个数能构成一组勾股数的只有{3，4，5}，∴所求概率为110，选C. 5．答案：C解析：从5个数中随机删去两个数有(1，3)，(1，5)，(1，7)，(1，9)，(3，5)，(3，7)，(3，9)，(5，7)，(5，9)，(7，9) 共10种方法，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是(1，3)，(1，5)，(1，7)，(3，5)共有4种，所以剩下数据的平均数大于5的概率为P ＝410 ＝25 ，故选C.6．答案：13解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以能获得食物的概率为26 ＝13 .7．答案：15解析：抽取的a ，b 组合有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)共15个样本点，其中(1，2)，(1，3)，(2，3)共3个样本点满足b ＞a ，故所求概率为315 ＝15.8．答案：15解析：一次取出2根竹竿，则试验的样本空间的样本点共有(2.5，2.6)，(2.5，2.7)，(2.5，2.8)，(2.5，2.9)，(2.6，2.7)，(2.6，2.8)，(2.6，2.9)，(2.7，2.8)，(2.7，2.9)，(2.8，2.9)10个，它们的长度恰好相差0.3 m 的样本点有(2.5，2.8)，(2.6，2.9)2个，故所求概率为P ＝210 ＝15.9．易错分析：本题容易误认为点数之和为奇数有5种情况，为偶数有6种情况，所以点数之和为偶数的概率为611.事实上11种情况并非等可能的，不属于古典概型．解析：如图，可知样本空间的样本点共有36个，事件A 表示“点数之和为偶数”，A 包含18个样本点，故P (A )＝1836 ＝12.核心素养升级练1．答案：ACD解析：记4件产品分别为1，2，3，a ，其中a 表示次品．在A 中，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a )，(2，3)，(2，a )，(3，a )}，“恰有一件次品”的样本点为(1，a )，(2，a )，(3，a )，因此其概率P ＝36 ＝12 ，A 正确；在B 中，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a )，(2，1)，(2，3)，(2，a )，(3，1)，(3，2)，(3，a )，(a ，1)，(a ，2)，(a ，3)}，因此n (Ω)＝12，B 错误；在C 中，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为12 ，C 正确；在D 中，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a )，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a )，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a )，(a ，1)，(a ，2)，(a ，3)，(a ，a )}，因此n (Ω)＝16，D 正确．故选ACD.2．解析：(1)因为16<23<25<26<30，所以这5天发芽数的中位数是25. (2)这5天的平均发芽率为23＋25＋30＋26＋16100＋100＋100＋100＋100×100%＝24%.(3)用(x ，y )表示所求样本点，则有(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个样本点．记“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30 ”为事件A ，则事件A 包含的样本点为(25，30)，(25，26)，(30，26)，共有3个样本点．所以P (A )＝310 ，即事件“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30”的概率为310 .。
2024-2025年北师大版数学必修第一册7.2.2古典概型的应用(带答案)
2．2 古典概型的应用必备知识基础练知识点一 互斥事件的概率公式的应用1．如果事件A 与B 是互斥事件，且事件A ∪B 的概率是45 ，事件A 的概率是事件B 的概率的3倍，那么事件A 的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．452．一盒中装有各种颜色的球共12个，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1个球，求：(1)取出的1个球是红球或黑球的概率； (2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率．知识点二 对立事件概率公式的应用3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12 ，乙获胜的概率为13 ，求：(1)甲获胜的概率； (2)甲不输的概率．知识点三 古典概型在统计中的应用4．某校从高一年级某次数学竞赛的成绩中随机抽取100名学生的成绩，分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，统计后得到频率分布直方图如图所示．(1)试估计这组样本数据的众数和中位数(结果精确到0.1).(2)年级决定在成绩[70，100]中用分层随机抽样抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查，则在[70，80)，[80，90)，[90，100]这三组分别抽取了多少人？(3)现在要从(2)中抽取的6人中选出正、副2个小组长，求成绩在[80，90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率．关键能力综合练1．集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A ．23B ．12C ．13D ．162．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17 ，从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中取出2粒恰好是同一色的概率是( )A ．17B ．1235C ．1735D ．1 3．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离大于该正方形边长的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．454．在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( )A ．56B ．45C ．23D ．125．古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”．从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽到的两种物质不相克的概率为( )A ．12B ．13C ．25D ．3106．(探究题)在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为710的是( )A ．都是一级品B ．都是二级品C ．一级品和二级品各1件D ．至少有1件二级品7．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则P 1＋P 2＝________．8．(易错题)甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，填空题2道．甲、乙两人依次抽取1道题，则甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为________.9．从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？核心素养升级练1．(多选题)以下对各事件的概率求解正确的是( )A ．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是13B ．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8＝3＋5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115C ．将一颗质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是536D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是122．(情境命题—生活情境)汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图所示，三个汉字可以看成轴对称图形．小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)，则小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？说明理由．2．2 古典概型的应用必备知识基础练1．答案：C解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＋P （B ）＝45，P （A ）＝3P （B ）， 所以P (A )＝35.2．解析：设事件A 1＝“任取1球为红球”，A 2＝“任取1个球为黑球”，A 3＝“任取1个球为白球”，A 4＝“任取1个球为绿球”，则P (A 1)＝512 ，P (A 2)＝412 ，P (A 3)＝212 ，P (A 4)＝112. 根据题意，知事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得 (1)取出1个球为红球或黑球的概率为：P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512 ＋412 ＝34.(2)取出1个球为红球或黑球或白球的概率为：P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝512 ＋412 ＋212 ＝1112.3．解析：(1)“甲获胜”与“和棋或乙获胜”是对立事件， 所以“甲获胜”的概率P ＝1－12 －13 ＝16 .即甲获胜的概率是16.(2)法一 设事件A 为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16 ＋12 ＝23.法二 设事件A 为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件， 所以P (A )＝1－13 ＝23 .即甲不输的概率是23.4．解析：(1)由频率分布直方图得，众数为60＋702 ＝65.成绩在[50，70)内的频率为(0.005＋0.035)×10＝0.4， 成绩在[70，80)内的频率为0.03×10＝0.3， 所以中位数为70＋0.10.3×10≈73.3.(2)成绩为[70，80)，[80，90)，[90，100]这三组的频率分别为0.3，0.2，0.1，所以[70，80)，[80，90)，[90，100]这三组抽取的人数分别为3，2，1.(3)由(2)知成绩在[70，80)的有3人，分别记为a ，b ，c ；成绩在[80，90)的有2人，分别记为d ，e ；成绩在[90，100]的有1人，记为f .所以从第(2)问中抽取的6人中选出正、副2个小组长包含的样本点有30个，分别为ab ，ba ，ac ，ca ，ad ，da ，ae ，ea ，af ，fa ，bc ，cb ，bd ，db ，be ，eb ，bf ，fb ，cd ，dc ，ce ，ec ，cf ，fc ，de ，ed ，df ，fd ，ef ，fe .记“成绩在[80，90)中至少有1人当选为正副小组长”为事件Q ，则事件Q 包含18个样本点，所以成绩在[80，90)中至少有1人当选为正副小组长的概率P (Q )＝1830 ＝35 .关键能力综合练1．答案：C解析：从A ，B 中各取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6个样本点，其中和为4的有(2，2)，(3，1)，共2个样本点，所以所求概率P ＝26 ＝13 ，选C.2．答案：C解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“从中取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17 ＋1235 ＝1735 .即从中取出2粒恰好是同一色的概率为1735.3．答案：A 解析：如图可知，从5个点中选取2个点，则样本空间Ω＝{OA ，OB ，OC ，OD ，AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD }，共10个样本点．设事件A 表示“两个点的距离大于该正方形边长”，A ＝{AC ，BD }，包含2个样本点，故P (A )＝210＝15.4．答案：C解析：两位数共有90个样本点，能被2整除的有45个，能被3整除的奇数有15个，记事件“能被2整除的两位数”和“能被3整除的两位奇数”分别为A ，B ，则A ，B 是互斥事件．因为P (A )＝4590 ＝12 ，P (B )＝1590 ＝16 ，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12 ＋16 ＝23.5．答案：A解析：从五种物质中随机抽取两种，所有的抽法共有10种，而相克的有5种情况，则抽取的两种物质相克的概率是510 ＝12 ，故抽取的两种物质不相克的概率是1－12 ＝12，故选A.6．答案：D解析：设A 1，A 2，A 3分别表示3件一级品，B 1，B 2分别表示2件二级品．任取2件，则样本空间Ω＝{A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，B 1B 2}．事件A 表示“2件都是一级品”，则P (A )＝310 ；事件B 表示“2件都是二级品”，则P (B )＝110 ，事件C 表示“2件中一件一级品、一件二级品”， 则P (C )＝610 ＝35.事件D 表示“至少有1件二级品”，则P (D )＝710 .7．答案： 56解析：三辆车的出车顺序可能为123，132，213，231，312，321. 方案一：坐到“3号”车的可能为132，213，231，所以P 1＝12；方案二：坐到“3号”车的可能为312，321，所以P 2＝13 .所以P 1＋P 2＝56.8．易错分析：错解中忽略了甲、乙两人依次抽取1道题与顺序有关，甲从5道题中任抽1道题有5种方法，乙从剩下的4道题中任抽1道题有4种方法，所以基本事件的总数应为20.答案：310解析：通过列举法可得到甲抽到选择题、乙抽到填空题的样本点有6个，又甲、乙两人依次抽取1道题的样本点有20个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为620 ＝310.9．解析：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，组成的样本空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个样本点组成，而且可以确定这些样本点的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件，A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个样本点组成，所以P (A )＝46 ＝23.(2)有放回地连续取出两件，组成的样本空间为Ω＝{(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)}，共9个样本点．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些样本点的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个样本点组成，所以P (B )＝49.核心素养升级练1．答案：BCD解析：对于A ，画树状图如下：从树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P (甲获胜)＝13 ，P (乙获胜)＝13 ，P (平局)＝13 ，故玩一局甲不输的概率是23 ，故A 错误；对于B ，不超过14的素数有2，3，5，7，11，13，共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13，共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115 ，故B 正确；对于C ，该试验的样本点总数为6×6＝36，点数之和是6包括(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个样本点，则所求概率是536 ，故C 正确；对于D ，三件正品记为A 1，A 2，A 3，一件次品记为B ，任取两件的所有可能为A 1A 2，A 1A 3，A 1B ，A 2A 3，A 2B ，A 3B ，共6种，其中两件都是正品的有A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3共3种，所求概率为P ＝36 ＝12，故D 正确．故选BCD.2．解析：每次游戏时，所有样本点如下表所示：第二张卡片第一张卡片土 口 木 土 (土，土) (土，口) (土，木) 口 (口，土) (口，口) (口，木) 木(木，土)(木，口)(木，木)4个：(土，土)“圭”，(口，口)“吕”，(木，口)“杏”或“呆”，(口，木)“呆”或“杏”．所以小敏获胜的概率为49 ，小慧获胜的概率为59，所以这个游戏对小慧有利．。
高中数学 专题1.11 古典概型练习(含解析)新人教A版必
古典概型1．下列试验中，属于古典概型的是( )A ．种下一粒种子，观察它是否发芽B ．从规格直径为250 mm ±0．6 mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径dC ．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面D ．某人射击中靶或不中靶【答案】 C【解析】 依据古典概型的特点判断，只有C 项满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相同．2．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为( )A.38B.23C.13D.143．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．25【答案】 A【解析】 从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四种，而能构成三角形的基本事件只有(3，5，7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P ＝14． 4．集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A 、B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23 B.12 C.13 D.165．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．6、现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2．5，2．6，2．7，2．8，2．9．若从中一次抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0．3 m的概率为________．答案1 5解析基本事件共有(2．5，2．6)，(2．5，2．7)，(2．5，2．8)，(2．5，2．9)，(2．6，2．7)，(2．6，2．8)，(2．6，2．9)，(2．7，2．8)，(2．7，2．9)，(2．8，2．9)10种情况．相差0．3 m的共有(2．5，2．8)，(2．6，2．9)两种情况，所以P＝210＝1 5．7．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率为________．8．在不大于100的自然数中任取一个数．(1)求所取的数为偶数的概率；(2)求所取的数是3的倍数的概率；(3)求所取的数是被3除余1的数的概率．。
考点31 古典概型(练习) (解析版)
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间45,55 ， 55, 65 ， 65,75 内的频率依次为 0.3 ， 0.2 ， 0.1 ．
用分层抽样的方法在区间 45, 75 内抽取一个容量为 6 的样本，
则在区间
45,
55
内应
3
件，记为
A1
，
A2
，
A3
．
在区间
55,
65
内应抽取
6
0.3
15 3
3．2020 年 2 月份，根据新型冠状病毒的疫情情况，教育部下达了延迟开学的通知.由此使得全国中小学生 停课，影响了教学进度，某高中按照“停课不停学”的原则，扎实开展停课不停学的工作，特制定了网上
0.2 0.2
0.1
2
件，记为
B1
，
B2
．
在区间
65,
75
内应抽取
6
0.3
0.1 0.2
0.1
1
件，记为
C
．
设“从样本中任意抽取 2 件产品，这 2 件产品都在区间 45, 65 内”为事件 M，
则所有的基本事件有：A1, A2 ，A1, A3 ，A1, B1 ，A1, B2 ，A1,C ，A2, A3，
3 整除包含 (1, 2), (1, 5), (2, 4), (4, 5) 四种取法，所以概率为
4
2
，选 A．
10 5
10．已知函数
t
，若 t 是从 1，2，3 三个数中任取的一个数， 是从 0，1，2 三
个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将 t 记为横坐标，将 记为纵坐标，可知总共有 䇅t 䇅 䇅 䇅 䇅 䇅 䇅t 䇅 䇅 䇅 䇅 䇅 䇅t 䇅 䇅 䇅 䇅 9
福建高考数学古典概型专项测试(含答案)
福建高考数学古典概型专项测试（含答案）假设一个随机实验所包括的单位事情是有限的，且每个单位事情发作的能够性均相等，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
以下是古典概型专项测试，希望考生可以仔细练习。
1.(2021江西,文3改编)掷两枚平均的骰子,那么点数之和为5的概率等于()A. B. C. D.2.一名同窗先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为()A. B. C. D.3.从个位数字与十位数字之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是()A. B. C. D.4.(2021湖北,文5)随机掷两枚质地平均的骰子,它们向上的点数之和不超越5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,那么()A.p190的概率是()A. B. C. D.13.在集合A={2,3}中随机取一个元素m,在集合B={1,2,3}中随机取一个元素n,失掉点P(m,n),那么点P在圆x2+y2=9外部的概率为 .14.集合M={1,2,3,4},N={(a,b)|aM,bM},A是集合N中恣意一点,O为坐标原点,那么直线OA与y=x2+1有交点的概率是 .15.(2021四川,文16)一个盒子里装有三张卡片,区分标志有数字1,2,3,这三张卡片除标志的数字外完全相反.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求抽取的卡片上的数字满足a+b=c的概率;(2)求抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相反的概率.16.小波以游戏方式决议是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规那么为:以O为终点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点区分为终点失掉两个向量,记这两个向量的数量积为X,假定X0就去打球,假定X=0就去唱歌,假定X0就去下棋.(1)写出数量积X的一切能够取值;(2)区分求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.参考答案1.B 解析:掷两枚平均的骰子,共有36个基身手情,其中和为5的基身手情有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个.故所求概率为.2.B 解析:依题意,以(x,y)为坐标的点共66=36个,其中落在直线2x+y=8上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共3个,故所求事情的概率P=.3.D 解析:(1)当个位为奇数时,有54=20个契合条件的两位数.(2)当个位为偶数时,有55=25个契合条件的两位数.因此共有20+25=45个契合条件的两位数,其中个位数为0的两位数有5个,故所求概率为P=.4.C 解析:由题意可知,p1=,p2=1-p1=,p3=.应选C.5.D 解析:由题意知,从五位大学毕业生中录用三人,一切不同的能够结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种,其中甲与乙均未被录用的一切不同的能够结果只要(丙,丁,戊)这1种,那么其统一事情甲或乙被录用的能够结果有9种,故所求概率P=.6. 解析:基身手情总数有10个,即(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c, e),(d,e),其中含a的基身手情有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共4个,故由古典概型知所求事情的概率P=.7. 解析:k,b的取法有33=9种,直线y=kx+b不经过第三象限即k0,取法有(-1,1),(-1,2)两种,所以概率为P=.8. 解析:实验中所含基身手情个数为36,假想象表示椭圆,那么先后两次的骰子点数不能相反,那么去掉6种能够,既然椭圆焦点在x轴上,那么mn,又只剩下一半状况,即有15种,因此P(A)=.9.解:(1)由题意知,m{1,2,3,4,5,6},n{1,2,3,4,5,6},那么(m,n)一切能够的取法共36种.使得ab,即m-3n=0,即m=3n,共有2种:(3,1),(6,2),故事情ab的概率为.(2)|a||b|,即m2+n210,有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种,故其概率为.10.解:(1)由于样本容量与总体中的集体数的比是,所以样本中包括三个地域的集体数量区分是:50=1,150=3,100=2.所以A,B,C三个地域的商品被选取的件数区分为1,3,2. (2)设6件来自A,B,C三个地域的样品区分为:A;B1,B2,B3;C1,C2.那么抽取的这2件商品构成的一切基身手情为:{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B 3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3},{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1}, {B3,C2},{C1,C2},共15个.每个样品被抽到的时机均等,因此这些基身手情的出现是等能够的.记事情D:抽取的这2件商品来自相反地域,那么事情D包括的基身手情有{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共4个. 所以P(D)=,即这2件商品来自相反地域的概率为.11.C 解析:记2名来自A大学的志愿者为A1,A2,4名来自B 大学的志愿者为B1,B2,B3,B4.从这6名志愿者中选出2名的基身手情有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2 ,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3 ),(B2,B4),(B3,B4),共15种.其中至少有一名A大学志愿者的事情有9种.故所求概率P=.12.A 解析:(m,n)(-1,1)=-m+n0,mn.基身手情总共有66=36个,契合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),,(5,4),(6 ,1),,(6,5),共1+2+3+4+5=15(个).那么P=,应选A.13. 解析:点P(m,n)有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种状况,只要(2,1),(2,2)这2个点在圆x2+y2=9的外部,所求概率为.古典概型专项测试及答案的一切内容就为考生分享到这里，更多精彩内容请考生继续关注查字典数学网。
古典概型练习题(有详细答案)解析
古典概型练习题1.从12个同类产品(其中10个正品,2个次品中任意抽取3个,下列事件是必然事件的是A.3个都是正品B.至少有一个是次品 (C.3个都是次品D.至少有一个是正品2.给出下列四个命题:①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件②“当x为某一实数时可使20x<”是不可能事件③“明天要下雨”是必然事件④“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件. 其中正确命题的个数是 (A. 0B. 1C.2D.33.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于40的概率为5B.25C.35D.45(4.袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为A. 37B.710110D.310(5.从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9纸片中任取2,那么这2 纸片数字之积为偶数的概率为(A. 12B.718C.1318D.186.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为(A.715B.815C.35D. 17.下列对古典概型的说法中正确的个数是 (①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③基本事件的总数为n,随机事件A包含k个基本事件,则(kP An④每个基本事件出现的可能性相等;A. 1B. 2C. 3D. 48.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中互斥事件的个数是(⑴至少有一个白球,都是白球;⑵至少有一个白球,至少有一个红球;⑶恰有一个白球,恰有2个白球;⑷至少有一个白球,都是红球.A.0B.1C.2D.39.下列各组事件中,不是互斥事件的是 (A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70%10.一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则(A.A与B是互斥而非对立事件B.A与B是对立事件C.B与C是互斥而非对立事件D.B与C是对立事件11.下列说法中正确的是 (A.事件A 、B 至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B.事件A 、B 同时发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件也是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件,而对立事件一定是互斥事件12.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上1,2,3,现任取3面,它们的颜色与均不相同的概率是 ( A.13 B.19 C.114 D.12713.若事件A 、B 是对立事件,则P(A+P(B=________________.14.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。
高一数学古典概型试题答案及解析
高一数学古典概型试题答案及解析1.袋中有大小相同的三个白球和两个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】所有不同方法数有种,所求事件包含的不同方法数有种,因此概率,答案选B.【考点】古典概型的概率计算2.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示．已知甲、乙两组数据的平均数都为10.（1）求的值；（2）分别求出甲、乙两组数据的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：方差，为数据的平均数）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由题意根据平均数的计算公式分别求出的值；（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些；（3）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“质量合格”的基本事件的个数，即可求得该车间“质量合格”的概率.试题解析：解：（1）由题意得，解得，再由，解得；(2)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差：，，并由，可得两组技工水平基本相当，乙组更稳定些.（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检查，设两人加工的合格零件数分别为，则所有的有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足的基本事件个数为，所以该车间“质量合格”的概率为.【考点】1、古典概型及其概率计算公式；2、平均数与方差.3.有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依次类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为 .【答案】【解析】由题可知前9组数据共有，第10组共有10数，且第一个为46，其中为3的倍数的数为：48,51,54，故概率为.【考点】古典概型.4.设函数是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数， (1) 求的最小值;（2）求恒成立的概率.【答案】（1）则当时，;当时，;当时，; （2）.【解析】（1）对于的最小值问题，对于不同的其结果不一样，故应分别讨论，且采用分离常数法；（2）由（1）小题，要使其恒成立必有,并由列举法计算出其中符合条件的.试题解析：由,因为,故有.则当时，;当时，;当时，;由（1）可知，要使恒成立，当时，;当时，;当时，;故满足条件的有对.共有，则概率.【考点】(1)函数最值问题（分离常数法）；（2）古典概型.5.已知方程是关于的一元二次方程．（1）若是从集合四个数中任取的一个数，是从集合三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；（2）若，，求上述方程有实数根的概率．【答案】（1）（2）【解析】（1）先将从集合四个数中任取的一个数作为，从集合三个数中任取的一个数作为的所有情况列出来，再将使上述方程由实数根的情况列出来，根据古典概型公式算出所求事件的概率；（2）先作出满足，表示的平面区域并计算出区域的面积S，再根据要使方程有实数根，则△≥0，求出a,b满足的不等式，作出该不等式与，表示区域并计算面积，根据几何概型公式，该面积与S的比值就是上述方程有实数根的概率.试题解析：设事件为“方程有实数根”．当，时，方程有实数根的充要条件为．（1）基本事件共12个：，，，．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件中包含9个基本事件．事件发生的概率为．（2）试验的全部结果所构成的区域为．构成事件的区域为．所以所求的概率．考点:古典概型；几何概型6.在两个袋内,分别写着装有、、、、、六个数字的张卡片,今从每个袋中各取一张卡片,则两数之和等于9的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】任取一张卡片共种情况，两数之和为9包括共4种，所以两数之和为9的概率为,故选C.【考点】古典概型的概率问题7.某种饮料每箱装5听，其中有3听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是_________．【答案】【解析】每箱中3听合格的饮料分别记为,不合格的2听分别记为。
高三数学古典概型试题答案及解析
高三数学古典概型试题答案及解析1.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是种结果，满足条件得事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到，故选A.【考点】古典概型及其概率计算公式.2.甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由.【答案】（1）;（2）这种游戏规则是公平的.【解析】（1）设“两个编号和为8”为事件A,计算甲、乙两人取出的数字等可能的结果数，事件A包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，按古典概型概率的计算公式计算；（2）首先按古典概型计算两人分别获胜的概率，通过比较大小，作出结论.所以这种游戏规则是公平的.试题解析：（1）设“两个编号和为8”为事件A,则事件A包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36（个）等可能的结果，故 6分（2）这种游戏规则是公平的. 7分设甲胜为事件B,乙胜为事件C，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有18个：(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)所以甲胜的概率,乙胜的概率＝ 11分所以这种游戏规则是公平的. 12分【考点】古典概型概率的计算.3.（本小题满分12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同。
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古典概型练习题
1.从12个同类产品(其中10个正品,2个次品中任意抽取3个,下列事件是必然事件的是
A.3个都是正品
B.至少有一个是次品 (
C.3个都是次品
D.至少有一个是正品
2.给出下列四个命题:
①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
②“当x为某一实数时可使20
x<”是不可能事件
③“明天要下雨”是必然事件④“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件. 其中正确命题的个数是 (
A. 0
B. 1
C.2
D.3
3.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于40的概率为
A. 1
5
B.
2
5
C.
3
5
D.
4
5
(
4.袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为
A. 3
7
B.
7
10
C.
1
10
D.
3
10
(
5.从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张纸片中任取2张,那么这2 张纸片数字之积为偶数的概
率为(
A. 1
2
B.
7
18
C.
13
18
D.
11
18
6.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为(
A.
7
15
B.
8
15
C.
3
5
D. 1
7.下列对古典概型的说法中正确的个数是 (
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;
③基本事件的总数为n,随机事件A包含k个基本事件,则(k
P A
n
=;
④每个基本事件出现的可能性相等;
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中互斥事件的个数是(
⑴至少有一个白球,都是白球;⑵至少有一个白球,至少有一个红球;
⑶恰有一个白球,恰有2个白球;⑷至少有一个白球,都是红球.
A.0
B.1
C.2
D.3
9.下列各组事件中,不是互斥事件的是 (
A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于90分与平均分数不高于90分
C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒
D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70%
10.一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上
抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则(
A.A与B是互斥而非对立事件
B.A与B是对立事件
C.B与C是互斥而非对立事件
D.B与C是对立事件
11.下列说法中正确的是 (
A.事件A 、B 至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大
B.事件A 、B 同时发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率小
C.互斥事件一定是对立事件,对立事件也是互斥事件
D.互斥事件不一定是对立事件,而对立事件一定是互斥事件
12.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1,2,3,现任取
3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是 ( A.13 B.19 C.114 D.127
13.若事件A 、B 是对立事件,则P(A+P(B=________________.
14.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是
________。
15.抛掷一个骰子,它落地时向上的数可能情形是1,2,3,4,5,6,骰子落地时向上的数是3的倍数的概率是_________。
16.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b 、c 则方程x 2+bx +c =0
有实根的概率为____________.
17.若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标,则点P 落在圆x 2+y 2=16内的概率是______.
18.3粒种子种在甲坑内,每粒种子发芽的概率为12
.若坑内至少有1粒种子发芽,则不需要补种,若坑内的种子都没有发芽,则需要补种,则甲坑不需要补种的概率为________.
19.抛掷两颗骰子,求:(1点数之和是4的倍数的概率;(2点数之和大于5小于10的概率.
20.袋中有红、白色球各一个,每次任取一个,有放回地抽三次,写出所有的基本事件,并计算下列事件的概率:(1三次颜色恰有两次同色; (2三次颜色全相同;
(3三次抽取的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。
21.口袋里装有两个白球和两个黑球,这四个球除颜色外完全相同,四个人按顺序依次从中摸出一球,试求“第二个人摸到白球”的概率。
22.为积极配合深圳2011年第26届世界大运会志愿者招募工作,某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队,经过初步选定,2名男同学,4名女同学共6名同学成为候选人,每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的.
(1求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率;
(2求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率.
答案
因为种子发芽的概率为12
,种子发芽与不发芽的可能性是均等的.若甲坑中种子发芽记为1,不发芽记为0,每粒种子发芽与否彼此互不影响,故其基本事件为
(1,1,1,(1,1,0,(1,0,1,(1,0,0,(0,1,1,(0,1,0,(0,0,1,(0,0,0,共8种.而都不发芽的情况只有1种,即(0,0,0,
所以需要补种的概率是18,故甲坑不需要补种的概率是1-18=78
. 19、从图中容易看出基本事件与所描点一一对应,共36种.
(1记“点数之和是4的倍数”为事件A ,从图中可以看出,事件A 包含的基本事件共有9个:(1,3,(2,2,(2,6,(3,1,(3,5,(4,4,(5,3,(6,2,(6,6.
所以P (A = 14
. (2记“点数之和大于5小于10”为事件B ,从图中可以看出,事件B 包含的基本事件共有20个.即(1,5,(2,4,(3,3,(4,2,(5,1,(1,6,(2,5,(3,4,(4,3,(5,2,(6,1,
(2,6,(3,5,(4,4,(5,3,(6,2,(3,6,(4,5,(5,4,(6,3.所以P (B = 59
. 20、(红红红(红红白(红白红(白红红(红白白(白红白(白白红(白白白
(134 (214 (312
21、把四人依次编号为甲、乙、丙、丁,把两白球编上序号1、2,把两黑球也编上序号1、2,于是四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果,可用树形图直观地表示出来如下:
从上面的树形图可以看出,试验的所有可能结果数为24,第二人摸到白球的结果有12种,记“第二个人摸到白球”为事件A ,则121(242
P A ==。
22、(1将2名男同学和4名女同学分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同学,3,4,5,6是女同学,该学院6名同学中有4名当选的情况有
(1,2,3,4,(1,2,3,5,(1,2,3,6,(1,2,4,5,(1,2,4,6,(1,2,5,6,(1,3,4,5,(1,3,4,6,(1,3,5,6,(1,4,5,6,(2,3,4,
5,(2,3,4,6,(2,3,5,6,(2,4,5,6,(3,4,5,6,共15种,当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1,3,4,5,(1,3,4,6,(1,3,5,6,(1,4,5,6,(2,3,4,5,(2,3,4,6,(2,3,5,6,(2,4,5,6,共8种,
故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P(A=815
. (2当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当选,4名女同
学当选这两种情况,而4名女同学当选的情况只有(3,4,5,6,则其概率为P(B=115
, 又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P(A=815
,故当选的4名同学中至少有3名黑2 白1 白2 白2 黑1 黑1 黑1 2 1 白1 白1 白2 白2
白1 白1 黑1 甲乙丙丁白2 白1 黑1 黑2 黑1 黑2 黑2
2 1 黑1 白1 白1 白1 白1 黑1 黑2 甲乙丙丁黑1 白1 白2 黑2 白2 黑2 黑2 黑2 白2 白1 白1 白2 白2 白1 白1 黑2 甲乙丙丁白1 白2 黑1 黑2 黑1 黑2 黑2 黑2 黑1 黑1 白2 白2 白2 白2 黑1 黑2 甲乙丙丁
女同学的概率为P =815+115=35
. 【备选题】甲、乙两人共同抛掷一枚硬币,规定硬币正面朝上甲得1分,否则乙得1分,先积得3分者获胜,并结束游戏.
(1求在前3次抛掷中甲得2分、乙得1分的概率;
(2若甲已经积得2分,乙已经积得1分,求甲最终获胜的概率.
解:(1掷一枚硬币三次,列出所有可能情况共8种:
(上上上,(上上下,(上下上,(下上上,(上下下,(下上下,(下下上,(下下下; 其中甲得2分、乙得1分的情况有3种,
故所求概率p =38
. (2在题设条件下,至多还要2局,
情形一:在第四局,硬币正面朝上,则甲积3分、乙积1分,甲获胜,概率为12
; 情形二:在第四局,硬币正面朝下,第五局硬币正面朝上,则甲积3分、乙积2分, 甲获胜,概率为14
. 由概率的加法公式,甲获胜的概率为12+14=34.。