3.1直线的倾斜角与斜率练习题
直线的倾斜角和斜率练习题
2、1 直线的倾斜角和斜率1、下列命题正确的是（ ）A 、若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应B 、若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应C 、直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan kD 、直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tan α2、过点M (2,a ), N (a ,4)的直线的斜率为21，则a 等于（ ） A 、–8 B 、10 C 、2 D 、43、过点A (2，b )和点B (3,2)的直线的倾斜角为43π，则b 的值是（ ） A 、–1 B 、1 C 、–5 D 、54、如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则（ ）A 、k 1<k 2<k 3B 、k 3<k 1<k 2C 、k 3<k 2<k 1D 、k 1<k 3<k 25、设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线绕原点按逆时针方向旋转60o ，得到直线的倾斜角为（ ）A 、60o α+B 、120o α-C 、120o α-D 、当0120o o α≤<时为60o α+，当120180o o α≤<时为120o α-6、已知，A(3,1)、B(2,4)，则直线AB 上方向向量AB u u u r 的坐标是（ ）A 、(5,5)B 、(1,3)C 、(5,5)D 、(3,1)7、直线l 过点()1,2A ，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A 、[]0,2B 、[]0,1C 、10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8、直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 .9、设直线l1:x-2y+2=0的倾斜角为α,直线l2:mx-y+4=0的倾斜角为2α,且1α=1α+90°,则m的值为 .210、已知直线l经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 .11、直线l的倾斜角60oα=，直线m l⊥，则直线m的斜率为。
3.1直线的倾斜角与斜率
【题型】单选题【题目】设直线l 与x 轴的交点为P ，且倾斜角为α，若将直线l 按逆时针方向旋转45°，得到直线l′的倾斜角为α+45°，则（ ）。
A ．0°≤α<90° B. 0°≤α<135°C ．0°<α≤135° D. 0°<α<135°【答案】D【解析】由于直线l 与x 轴相交，可知α≠0°。
又α与α+45°都是直线的倾斜角，∴⎩⎨⎧︒<︒+<︒︒<<︒.1804545,1800αα∴0°<α<135°。
【难度】难度2【知识点】直线的倾斜角与斜率【题型】填空题【题目】给出下列结论：①直线的倾斜角不是锐角就是直角或钝角；②如果直线的倾斜角是锐角，那么直线的斜率是正实数；③如果直线的倾斜角是钝角，那么直线的斜率是负实数；④如果直线的倾斜角是直角，那么直线上不同的两点的横坐标相等，而纵坐标不等。
其中，正确的结论是__________。
（填序号）【答案】②③④【解析】本题主要考查对倾斜角和斜率的理解，关键是理解概念。
①错，错在遗漏了0°的角；②对，如果用α表示直线的倾斜角，此时0°<α<90°，斜率y=tan α (0°<α<90°)的值域是（0，+∞），即直线的斜率是正实数；③对，仍用α表示直线的倾斜角，此时90°<α<180°,斜率y=tan α（90°<α<180°）的值域是（-∞，0），故直线的斜率是负实数；④对，如果直线的倾斜角是直角，那么直线和x 轴垂直，它上面所有点的横坐标都等于直线与x 轴交点的横坐标，而它上面不同点的纵坐标不同，如果用（x 1，y 1）(x 2，y 2)表示这两个不同的点，那么x 1=x 2，y 1≠y 2。
直线的倾斜角和斜率练习题
直线斜率的性质
直线斜率等于直线倾斜角的正切 值
直线斜率为0时，直线垂直于x 轴
直线斜率为无穷大时，直线与x 轴垂直
直线斜率存在时，直线必与x轴 有交点
直线的倾斜角和斜率的 实际应用
直线的倾斜角和斜率在几何图形中的应用
确定位置：直线 的倾斜角和斜率 可以用来确定平 面上的一个点或 一条直线的位置。
添加项标题
实际应用：在解析几何中，直线的倾斜角和斜率可以用来描述直线 在平面上的位置和方向，进而解决实际问题。
添加项标题
计算方法：通过直线上两点的坐标可以计算出直线的斜率和倾斜角。
添加项标题
几何意义：直线的倾斜角和斜率可以用来研究直线与其他几何图形 之间的关系，例如直线与圆、椭圆等的位置关系。
计算距离：通 过直线的斜率 和垂直距离， 可以计算出两 点之间的距离。
判断平行：两 条直线的斜率 相等，则这两 条直线平行。
判断垂直：两 条直线的斜率 的乘积为-1， 则这两条直线
垂直。
直线的倾斜角和斜率在解析几何中的应用
添加项标题
定义：直线的倾斜角是直线与x轴正方向之间的夹角，斜率是直线 在坐标系中的倾斜程度。
直线垂直于x轴时，倾斜角为90度， 斜率不存在
特殊情况的处理
直线过原点时，倾斜角与斜率的关 系为tan(倾斜角)=斜率
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
直线平行于x轴时，倾斜角为0度或 180度，斜率为0
直线与x轴垂直时，倾斜角为90度， 斜率不存在
计算方法的总结
定义：直线的倾 斜角是直线与x 轴正方向的夹角， 斜率是直线在x 轴上的一个单位 长度内对应的y
练习题二：提高题
题目：已知直线方程为 y = 2x + 5，求该直线的斜率。
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线的倾斜角为．【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则．【考点】直线的倾斜角．2.已知一条直线过点(3，-2)与点(-1，-2),则这条直线的倾斜角是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】直线过点与，直线的斜率，则直线的倾斜角为.【考点】直线的斜率、倾斜角.3.已知若直线：与线段PQ的延长线相交，则的取值范围是 .【答案】【解析】直线的方程为，显然经过定点，过点M作直线，显然的斜率，过M、Q作直线的斜率为,依题意，应夹在直线与之间，即于是，即。
【考点】（1）斜率公式的应用；（2）数形结合思想的应用。
4.直线的倾斜角的大小为。
【答案】【解析】,所以倾斜角为.【考点】1.直线方程；2.倾斜角和斜率.5.经过点的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1B．4C．1或3D．1或4【答案】A【解析】由题意可知，性的判断与证得m=1，故选A.【考点】直线斜率公式.6.过点(－3,0)和点(－4，)的直线的倾斜角是()A．30°B．150°C．60D．120°【答案】D【解析】因为，，所以，直线的倾斜角是120°，选D。
【考点】直线的斜率、倾斜角点评：简单题，利用斜率的坐标计算公式求得倾斜角的正切。
7.若直线经过A(-2,9)、B(6,-15)两点,则直线AB的倾斜角是( )A．45°B．60°C．120°D．135°【答案】C【解析】设直线AB的倾斜角是θ，由直线的斜率公式得k="tan" θ=，再根据倾斜角的范围求出倾斜角的大小。
解：设直线AB的倾斜角是θ，由直线的斜率公式得k=tanθ==又0≤θ＜π，θ=120°，故选 C．【考点】直线的倾斜角和斜率点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小．求出斜率tanθ是解题的关键8.如图，若图中直线1,2,3的斜率分别为k1, k2, k3，则A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2【答案】B【解析】由于直线L2、L1的倾斜角都是锐角，且直线L2的倾斜角大于直线L1的倾斜角，可得 K2＞K1＞0．由于直线L3、的倾斜角为钝角，K3＜0，由此可得结论．k3<k1<k2,，故可知选B.【考点】直线的倾斜角和斜率点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．9.直线的倾斜角是（）A．300B．600C．1200D．1350【答案】C【解析】由于直线的斜率为，那么根据倾斜角和斜率的关系可知，tanθ=,那么可知角为1200，故选C.【考点】直线的倾斜角和斜率的关系点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，求出tanθ=，是解题的关键10.已知点，，则直线的倾斜角是．【答案】【解析】直线垂直于x轴，倾斜角为【考点】直线斜率与倾斜角点评：若则直线的斜率为，倾斜角满足11.(本小题满分6分)求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程的一般式.【答案】【解析】由解得，则两直线的交点为………2分直线的斜率为，则所求的直线的斜率为……………4分故所求的直线为即………………6分【考点】本题考查了直线的位置关系及直线方程的求法点评：熟练运用直线的位置关系求直线方程是解题的关键12.直线的倾斜角是( )A．150ｏB．135ｏC．120ｏD．30ｏ【答案】A【解析】解：因为直线，故倾斜角是150ｏ，选A13.．过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为．【答案】1【解析】由斜率公式可知,所以m=1.14.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 .【答案】【解析】设直线l的方程为y=kx+b,由题意知平移后直线方程为y=k(x+3)+b+1,即y=kx+3k+b+1,由于直线平移后还回到原来的位置，所以3k+b+1=b,所以15.直线的倾斜角等于__________．【答案】【解析】直线的斜率为，则倾斜角满足即直线的倾斜角为.16.直线的倾斜角是（）A．30°B．120°C．60°D．150°【答案】A【解析】17.倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线斜率为所以直线方程为故选D18.直线的倾斜角是（）A B C D【答案】C【解析】略19.已知点. 若直线与线段相交，则的取值范围是_____________.【答案】[-2，2]【解析】略20.以下直线中，倾斜角是的是（）..【答案】C【解析】略21.已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】略22.当时，如果直线的倾斜角满足关系式，则此直线方程的斜率为；【答案】【解析】略23.直线的倾斜角为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】略24.长方形OABC各点的坐标如图所示，D为OA的中点，由D点发出的一束光线，入射到边AB上的点E处，经AB、BC、CO依次反射后恰好经过点A，则入射光线DE所在直线斜率为【答案】【解析】如图：作关于的对称点，关于的对称点，关于的对称点，关于的对称点，则的延长线过完点，因为，所以根据对称性得，所以【考点】点关于线对称的点25.对于直线x sin+y+1=0，其斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的斜率为，因此斜率的取值范围是[-1，1]，答案选B．【考点】直线的一般方程与斜率26.如图所示，直线的斜率分别为，则的大小关系为（按从大到小的顺序排列）．【答案】【解析】由图形可知，比的倾斜角大，所以【考点】斜率与倾斜角的关系27.已知三点在同一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】确定的直线方程为，代入点得【考点】直线方程28.若图，直线的斜率分别为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】切斜角为钝角，斜率为负，切斜角为锐角，斜率为正，因为倾斜角大于倾斜角，所以【考点】直线倾斜角与斜率的关系29.直线经过点，且倾斜角范围是，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】直线倾斜角与斜率的关系30.已知三点在同一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】确定的直线方程为，代入点得【考点】直线方程。
高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A版必修208192187
对应学生用书P57知识点一直线的倾斜角高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A 版必修2081921871．给出下列命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误． ④中α＝0°时sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．2．已知直线l 过点(m ，1)，(m ＋1，1－tanα)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角 B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．180°－α不一定是直线l 的倾斜角 D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角 答案 C解析 设θ为直线l 的倾斜角，则tanθ＝1－tanα－1m ＋1－m ＝－tanα．当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－33，此时θ＝150°．比较各选项可知选C ．知识点二直线的斜率3．下列叙述不正确的是( )A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C．与y轴垂直的直线的斜率为0D．与x轴垂直的直线的斜率不存在答案 B解析每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故A，C，D正确．4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中正确的是( )A．k3>k1>k2B．k1－k2＞0C．k1·k2＜0D．k3＞k2＞k1答案 D解析由图可知，k1＜0，k2＜0，k3＞0，且k2＞k1，故选D．知识点三斜率公式的应用①A(－2，0)，B(－5，3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)；(2)已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围．解(1)①∵A(－2，0)，B(－5，3)，∴k AB＝3－0－5－－2＝3－3＝－1，直线AB的倾斜角为135°．②∵A(3，2)，B(5，2)，∴k AB ＝2－25－3＝0．直线AB 的倾斜角为0°．③∵A(3，－1)，B(3，3)；∴直线AB 的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝2时，A(2，1)，B(2，3)．直线AB 的倾斜角为90°，斜率k 不存在； 当m ＞2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＞0，此时，直线l 的倾斜角为锐角，即α∈(0°，90°)； 当m ＜2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＜0，此时，直线l 的倾斜角为钝角，即α∈(90°，180°)．知识点四三点共线问题6．若A(a ，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则a ＋b ＝________．答案 －12解析 由题意得b ＋22＝2a ＋2，ab ＋2(a ＋b)＝0，1a ＋1b ＝－12．对应学生用书P58一、选择题1．已知直线l 的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( ) A ．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C ．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案 D解析 因为直线l 的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3 答案 B解析 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0．故选B ．3．若直线l 的斜率为k ，且二次函数y ＝x 2－2kx ＋1的图象与x 轴没有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0°，90°) B．(135°，180°)C ．[0°，45°)∪(135°，180°) D．[0°，180°) 答案 C解析 由抛物线y ＝x 2－2kx ＋1与x 轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，45°)∪(135°，180°)，故选C ．4．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 设A(a ，b)是直线l 上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA′＝b ＋2－b a －2－a＝－1．故选B ．5．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( )A ．k≥34或k≤－4B ．k≥34或k≤－14C ．－4≤k≤34D ．34≤k≤4答案 A解析 如图所示，过点P 作直线PC⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线PA ，PB ．①直线l 与线段AB 的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤k PA ．②直线l 与线段AB 的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是因为k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34，所以直线l 的斜率k 满足k≥34或k≤－4．二、填空题6．已知M(2m ，m ＋1)，N(m －2，1)，则当m ＝________时，直线MN 的倾斜角为直角． 答案 －2解析 由题意得，直线MN 的倾斜角为直角，则2m ＝m －2，解得m ＝－2．7．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．答案 (1，－5)解析 设P 点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5，即P 点坐标为(1，－5)．8．若经过点P(1－a ，1)和Q(2a ，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13解析 ∵直线PQ 的斜率k ＝3－12a －1－a ＝23a －1，且直线的倾斜角为钝角，∴23a －1<0，解得a<13．三、解答题9．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P ，使得直线PA 的倾斜角为60 °，求点P 的坐标．解 ①当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)． ∵A(1，2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1．又直线PA 的倾斜角为60 °， ∴－2a －1＝3，解得a ＝1－233， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0．②当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)． 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0，2－3)．综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0或(0，2－3)．10．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x≤3且x≠2时，求y －1x －2的取值范围．解y －1x －2的几何意义是过M(x ，y)，N(2，1)两点的直线的斜率．因为点M 在y ＝3－12x 的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB ，其中A1，52，B3，32．由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是－∞，－32∪12，＋∞．。
直线的倾斜角与斜率经典例题(有答案精品)
直线的倾斜角与斜率经典例题(有答案精品)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March直线的倾斜角与斜率（）讲义类型一：倾斜角与斜率的关系1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；【变式】直线的倾斜角的范围是( )A． B． C．D．类型二：斜率定义2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率.【变式1】如图，直线的斜率分别为，则( )A．B．C．D．类型三：斜率公式的应用3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．【变式1】过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【变式2】为何值时，经过两点(-，6)，(1，)的直线的斜率是12．4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．【变式1】已知，，三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？【变式2】已知直线的斜率，，，是这条直线上的三个点，求和的值．类型四：两直线平行与垂直5．四边形的顶点为，，，，试判断四边形的形状．【变式1】已知四边形的顶点为，，，，求证：四边形为矩形．【变式2】已知，，三点，求点，使直线，且．【变式3】若直线与直线互相垂直，则实数=__________．直线的倾斜角与斜率()作业姓名成绩题组一直线的倾斜角1.已知直线l过点(m,1)，(m＋1，tanα＋1)，则 ()A．α一定是直线l的倾斜角 B．α一定不是直线l的倾斜角C．α不一定是直线l的倾斜角 D．180°－α一定是直线l的倾斜角2．如图，直线l经过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则 ()A．k sinα>0B．k cosα>0 C．k sinα≤0D．k cosα≤0题组二直线的斜率及应用3.1231<k2<k3，则下列说法中一定正确的是()A．k1k2＝－1 B．k2k3＝－1 C．k1<0 D．k2≥04．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.5．已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是________．题组三两条直线的平行与垂直6已知两条直线l1：ax＋by2bm是直线l1∥l2的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为 ( )A ．5B ．4C ．2D ．18．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b 为( )B ．－23 D ．－139．设直线l 1的方程为x ＋2y －2＝0，将直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，则l 2的方程是________________．10.若关于x 的方程|x ________．11．已知点A (2,3)，B (－5,2)，若直线l 过点P (－1,6)，且与线段AB 相交，则该直线倾斜角的取值范围是________．12．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)．(2)∠MPN 是直角．直线的倾斜角与斜率（）讲义答案类型一：倾斜角与斜率的关系1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析：∵，∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.举一反三：【变式】（2010山东潍坊，模拟）直线的倾斜角的范围是A．B．C．D．【答案】B解析：由直线，所以直线的斜率为．设直线的倾斜角为，则．又因为，即，所以．类型二：斜率定义2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x 轴上，求边AB与AC所在直线的斜率.思路点拨：本题关键点是求出边AB与AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC的倾斜角为30°，∴k AB=tan150°= k AC=tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.举一反三：【变式1】如图，直线的斜率分别为，则( )A．B．C．D．【答案】由题意，，则本题选题意图：对倾斜角变化时，如何变化的定性分析理解.∴选B.类型三：斜率公式的应用3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨：已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可.解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．总结升华：本题求出，但的符号不能确定，我们通过确定的符号来确定的符号.当时，，为锐角；当时，，为钝角.举一反三：【变式1】过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率故由斜率公式，解得或．经检验不适合，舍去.故．【变式2】为何值时，经过两点(-，6)，(1，)的直线的斜率是12．【答案】，．即当时，，两点的直线的斜率是12．4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．思路点拨：如果过点AB，BC的斜率相等，那么A，B，C三点共线.解析：∵A、B、C三点在一条直线上，∴k AB=k AC．总结升华：斜率公式可以证明三点共线，前提是他们有一个公共点且斜率相等.举一反三：【变式1】已知，，三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？【答案】经过，两点直线的斜率．经过，两点的直线的斜率．所以，，三点在同一条直线上．【变式2】已知直线的斜率，，，是这条直线上的三个点，求和的值．【答案】由已知，得；．因为，，三点都在斜率为2的直线上，所以，．解得，．类型四：两直线平行与垂直5．四边形的顶点为，，，，试判断四边形的形状．思路点拨：证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角.解析：边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率．，，，，即四边形为平行四边形．又，，即四边形为矩形．总结升华：证明不重和的的两直线平行，只需要他们的斜率相等，证明垂直，只需要他们斜率的乘积为-1.举一反三：【变式1】已知四边形的顶点为，，，，求证：四边形为矩形．【答案】由题意得边所在直线的斜率．边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，则；．所以四边形为平行四边形，又因为，，即平行四边形为矩形．【变式2】已知，，三点，求点，使直线，且．【答案】设点的坐标为，由已知得直线的斜率；直线的斜率；直线的斜率；直线的斜率．由，且得解得，．所以，点的坐标是．【变式3】（2011浙江12）若直线与直线互相垂直，则实数=__________．【答案】因为直线与直线互相垂直，所以，所以．直线的倾斜角与斜率()作业答案姓名 成绩题组一 直线的倾斜角1.已知直线l 过点(m,1)，(m ＋1， )A ．α一定是直线l 的倾斜角B ．α一定不是直线l 的倾斜角C ．α不一定是直线l 的倾斜角D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角解析：设θ为直线l 的倾斜角，则tan θ＝tan α＋1－1m ＋1－m ＝tan α，∴α＝kπ＋θ，k ∈Z ，当k ≠0时，θ≠α.答案：C2．如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则 ( )A ．k sin α>0B ．k cos α>0C ．k sin α≤0D ．k cos α≤0解析：显然k <0，π2<α<π，∴cos α<0，∴k cos α>0.答案：B3.1231<k 2<k 3，则下列说法中一定正确的是( )A ．k 1k 2＝－1B ．k 2k 3＝－1C ．k 1<0D ．k 2≥0解析：结合图形知，k 1<0.答案：C4．(2008·浙江高考)已知a >0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________. 解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即a 2＋a 2－1＝a 3－a 23－2，又a >0，∴a ＝1＋ 2. 答案：1＋25．已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是________．解析：设直线AB 的倾斜角为2α，则直线l 的倾斜角为α，由于0°≤2α＜180°，∴0° ≤α＜90°，由tan2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，得tan α＝13，即直线l 的斜率为13. 答案：136.(2009·陕西八校模拟)12＋ny ＋p ＝0，则an ＝bm 是直线l 1∥l 2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵l 1∥l 2⇒an －bm ＝0，且an －bm ＝0⇒/ l 1∥l 2，故an ＝bm 是直线l 1∥l 2的必要不充分条件．答案：B7．(2009·福建质检)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为( ) A ．5 B ．4 C ．2 D ．1解析：由题意知，a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0，∴a2b＝a2＋1，∴ab＝a2＋1a＝a＋1 a，∴|ab|＝|a＋1a|＝|a|＋1|a|≥2.(当且仅当a＝±1时取“＝”)．答案：C8．(2010·合肥模拟)已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b 为( ) B ．－23 D ．－13解析：曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率为3，所以a b ＝－13.答案：D9．(2009·泰兴模拟)设直线l 1的方程为x ＋2y －2＝0，将直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，则l 2的方程是________________．解析：∵l 1⊥l 2，k 1＝－12，∴k 2＝2，又点(0,1)在直线l 1上，故点(－1,0)在直线l 2上，∴直线l 2的方程为y ＝2(x ＋1)，即2x －y ＋2＝0.答案：2x －y ＋2＝0题组四 直线的倾斜角和斜率的综合问题10.若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________．解析：数形结合．在同一坐标系内画出函数y ＝kx ，y ＝|x －1|的图象如图所示，显然k ≥1或k ＝0时满足题意.答案：k ≥1或k ＝011．(2009·青岛模拟)已知点A (2,3)，B (－5,2)，若直线l 过点P (－1,6)，且与线段AB 相交，则该直线倾斜角的取值范围是________．解析：如图所示，k PA ＝6－3－1－2＝－1， ∴直线PA 的倾斜角为3π4，k PB ＝6－2－1－(－5)＝1，∴直线PB 的倾斜角为π4，从而直线l 的倾斜角的范围是[π4，3π4]．答案：[π4，3π4]12．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)．(2)∠MPN 是直角．解：设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴OM ∥NP .∴k OM ＝k NP .又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5(x ≠5)， ∴1＝2x －5，∴x ＝7， 即P 点坐标为(7,0)．(2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ，∴k MP ·k NP ＝－1.又k MP ＝22－x (x ≠2)，k NP ＝2x －5(x ≠5)， ∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6， 即P 点坐标为(1,0)或(6,0)．。
高一数学必修二《直线的倾斜角与斜率》经典例题
第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率一、基础达标1．下列说法中，正确的是() A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sin α>0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α答案 D解析对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D. 2．若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是() A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在D．180°，不存在答案 C解析由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.3．(2014·乌鲁木齐高一检测)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于()A．1 B．5C．－1 D．－5答案 D解析由斜率公式可得：y＋34－2＝tan 135°，∴y＋32＝－1，∴y＝－5.∴选D.4．直线l 过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α≤90°B ．90°≤α<180°C ．90°≤α<180°或α＝0°D ．90°≤α≤135°答案 C解析 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．5．斜率为2的直线经过点A (3,5)、B (a,7)、C (－1，b )三点，则a 、b 的值为( ) A ．a ＝4，b ＝0 B ．a ＝－4，b ＝－3 C ．a ＝4，b ＝－3 D ．a ＝－4，b ＝3 答案 C解析 由题意，得⎩⎨⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.解得a ＝4，b ＝－3.6．如果过点(－2，m )和Q (m,4)的直线的斜率等于1，则m ＝________. 答案 1解析 由斜率公式知4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.7．已知直线l 上两点A (－2,3)，B (3，－2)，求其斜率．若点C (a ，b )在直线l 上，求a ，b 间应满足的关系，并求当a ＝12时，b 的值． 解 由斜率公式得k AB ＝－2－33＋2＝－1. ∴C 在l 上，k AC ＝－1，即b －3a ＋2＝－1. ∴a ＋b －1＝0.当a ＝12时，b ＝1－a ＝12. 二、能力提升8．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为( )A．－2 3 B．0C. 3 D．2 3答案 B解析由题意知，AB，AC所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以tan 60°＋tan 120°＝3＋(－3)＝0.9．(2014·合肥高一检测)若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为________．答案(－2,1)解析∵k＝a－1a＋2且直线的倾斜角为钝角，∴a－1a＋2<0，解得－2<a<1.10．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是________．答案[0,2]解析如图，当直线l在l1位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝2－01－0＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0,2]．11．过点M(0，－3)的直线l与以点A(3,0)，B(－4,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．解如图所示，(1)直线l过点A(3,0)时，即为直线MA，倾斜角α1为最小值．∵tan α1＝0－(－3)3－0＝1，∴α1＝45°.(2)直线l过点B(－4,1)时，即为直线MB，倾斜角α2为最大值，∵tan α2＝1－(－3)－4－0＝－1，∴α2＝135°.所以直线l 倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°. 当α＝90°时，直线l 的斜率不存在；当45°≤α<90°时，直线l 的斜率k ＝tan α≥1； 当90°<α≤135°时，直线l 的斜率k ＝tan α≤－1. 所以直线l 的斜率k 的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)． 三、探究与创新12．已知A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)， (1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段AB (包括端点)上移动时，求直线CD 的斜率的变化范围． 解 (1)由斜率公式得 k AB ＝1－11－(－1)＝0，k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33.(2)如图所示． k BC ＝3＋1－12－1＝ 3.设直线CD 的斜率为k ，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.13．光线从点A (2,1)射到y 轴上的点Q ，经y 轴反射后过点B (4,3)，试求点Q 的坐标及入射光线的斜率．解 法一 设Q (0，y )，则由题意得k QA ＝－k QB .∵k QA＝1－y2，k QB＝3－y4，∴1－y2＝－3－y4.解得y＝53，即点Q的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53，∴k入＝k QA＝1－y2＝－13.法二如图，点B(4,3)关于y轴的对称点为B′(－4,3)，k AB′＝1－32＋4＝－13，由题意得，A、Q、B′三点共线．从而入射光线的斜率为k AQ＝k AB′＝－1 3.设Q(0，y)，则k入＝k QA＝1－y2＝－13.解得y＝53，即点Q的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53.。
直线的倾斜角与斜率(含答案)
直线的倾斜角与斜率一、单选题(共10道，每道10分)1.已知直线，则该直线的倾斜角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线的倾斜角2.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线平行，则m的值为( )A.0B.-8C.2D.10答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：斜率的计算公式3.已知过点M(2m+3，m)和点N(m-2，1)的直线MN的倾斜角为钝角，则m的范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：斜率的计算公式4.若直线沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位，回到了原来的位置，则直线( )A.斜率不存在B.斜率为C.斜率为D.斜率为-3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线的斜截式方程5.设直线的倾斜角为，且，则满足( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线的斜率6.若点在以，，为顶点的△ABC的内部（不包括边界），则的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线的斜率7.已知点M(2，-3)，N(-3，-2)，直线与线段MN相交，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：恒过定点的直线8.若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：恒过定点的直线9.已知圆，则的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆的切线方程10.已知函数（）的图象的一段圆弧（如图所示），若，则( )A. B.C. D.前三个都可能答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线的斜率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.1直线的倾斜角与斜率练习题
一选择题
1、已知，A(–3, 1)、B(2, –4)，则直线AB 上方向向量AB 的坐标是（ ）
A 、(–5, 5)
B 、(–1, –3)
C 、(5, –5)
D 、(–3, –1)
2、过点P(2, 3)与Q(1, 5)的直线PQ 的倾斜角为（ ）
A 、arctan2
B 、arctan(–2)
C 、2π–arctan2
D 、π–arctan2
3、已知点A(cos77 °,sin77°), B(cos17°, sin17°)，则直线AB 的斜率为（
） A 、tan47° B 、cot47° C 、–tan47° D 、–cot47°
4、下列命题正确的是（ ）
A 、若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应
B 、若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应
C 、直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan k
D 、直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tanα
5、过点M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为–21
，则a 等于（ ）
A 、–8
B 、10
C 、2
D 、4
6、过点A (2, b )和点B (3, –2)的直线的倾斜角为43π
，则b 的值是（ ）
A 、–1
B 、1
C 、–5
D 、5
7、如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则（ ）
A 、k 1<k 2<k 3
B 、k 3<k 1<k 2
C 、k 3<k 2<k 1
D 、k 1<k 3<k 2
8、已知点M (cosα, sinα), N (cosβ, sinβ)，若直线MN 的倾斜角为θ，
0<α<π<β<2π, 则θ等于（ ）
A 、21
(π+α+β) B 、21
(α+β)
C 、21
(α+β–π) D 、21
(β–α)
二填空题
9.直线x cosθ+y-1=0 (θ∈R)的倾斜角的范围是 .
10.设直线l1:x-2y+2=0的倾斜角为
α,直线l2:mx-y+4=0的倾斜角为2α,且2α=1α+90°,则m的
1
值为 .
11.已知直线l经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 .
12.已知直线l1：y=2x+3，直线l2与l1关于直线y=x对称，直线l3⊥l2，则l3的斜率为 .
13.若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l的斜率是 .
14.已知a＞0,若平面内三点A（1，-a），B（2，a2），C（3，a3）共线，则a= .
15.已知点A（-2，4）、B（4，2），直线l过点P（0，-2）与线段AB相交，则直线l的斜率k 的取值范围是 .
16.已知两点A（-1，-5），B（3，-2），若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是 .
三、解答题
17.已知线段PQ两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，求m的取值范围.
18.已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值，使得：
（1）l1与l2相交；（2）l1⊥l2;(3)l1∥l2;(4)l1,l2重合.
19.已知A （0，3）、B （-1，0）、C （3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、
C 、
D 按逆时针方向排列）.
20.已知两点A （-1，2），B （m ，3）.
（1）求直线AB 的方程；
（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线AB 的倾斜角α的取值范围.
21、若经过点P （1－a ，1＋a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围
22、△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率。
23、已知点M（2，2）和N（5，－2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标。
24、直线l上有两点M（a，a+2），N（2，2a-1），求l的倾斜角θ。
25、两个定点),(111y x P 、),(222y x P 和一个动点P （x ，y ），若P 与1P 、2P 三点共线，那么x 、
y 应满足什么关系？。