《倾斜角和斜率》习题
直线的倾斜角与斜率(含答案)
直线的倾斜角与斜率（含答案）一、单选题1．经过点A ( 3，－2)和B (0,1)的直线l 的倾斜角α为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知直线l 1: 3+m x +4y =5−3m ,l 2:2x + 5+m y =8平行，则实数m 的值为（）A ．−7B ．−1C ．−1或−7D ．1333．已知直线l 1:x +my +7=0和l 2:(m −2)x +3y +2m =0互相平行，则实数m =（ ）A ．m =−3B ．m =−1C ．m =−1或3D ．m =1或m =−3 4．已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，12AF F ∆的内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（）A ．1BC ．2D ．5．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋a 2y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y )|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝Ø，则a 的值是( )A ．3B ．0C ．－1D ．0或－16．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ）A ．2，13B ．－2，−13C ．−12，－3D ．－2，－3 7．已知两直线1:230l x y -+=，2:210l mx y ++=平行，则m 的值是（）A ．4-B ．1-C ．1D ．48．已知坐标平面内三点P(3，-1),M(6，2),N − ,直线l 过点P.若直线l 与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围（）A ． 450,1500B ． 450,1350C ． 600,1200D ． 300,6009．直线1y =+的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．150︒D ．120︒二、填空题10．设直线l 1:(a +1)x +3y +2−a =0，直线l 2:2x +(a +2)y +1=0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为______，若l 1∥l 2，则实数a 的值为_______．11．直线l 1:x +2y −4=0与l 2:mx + 2−m y −1=0平行，则实数m =________.12．线2cos α•x﹣y ﹣1=0，α∈[π6，23π]的倾斜角θ的取值范围是__________13．直线x + 3y +1=0的倾斜角的大小是_________.14．若直线l 1:ax +2y =8与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行,则a =__________.15．已知点P 2,−3 ,Q 3,2 ，直线ax +y +2=0与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是____；16．若x ，y 满足约束条件 x −y +2≥0,2x +y −3≤0,y ≥1,则y +1x +2的最小值为__________．17．直线ax +(a −1)y +1=0与直线4x +ay −2=0互相平行，则实数a =________．18．直线x +2y +2=0与直线ax −y +1=0互相垂直，则实数a 等于________．三、解答题19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，060,,BAD E F ∠=分别为,PA BD 的中点，2.PA PD AD ===（1）证明：//EF 平面PBC ；（2）若PB =A DEF -的体积.20．已知直线1:220l x y ++=；2:40l mx y n ++=．（1）若12l l ⊥，求m 的值．（2）若12//l l ，且他们的距离为，求,m n 的值．21．已知直线l 经过点()P 2,5-，且斜率为 （1）求直线l 的方程．（2）求与直线l平行，且过点()2,3的直线方程．（3）求与直线l垂直，且过点()2,3的直线方程．22．已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，P1,22在椭圆上，椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，△PAF1的面积是△POF2的面积的2−1倍．（1）求椭圆C的方程；（2）直线y=kx（k>0）与椭圆C交于M，N，连接MF1，NF1并延长交椭圆C于D，E，连接DE，指出k DE与k之间的关系，并说明理由．23．已知直线l：kx−y+1+2k=0(k∈R)(1))若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．24．已知直线l1：x+my+6=0，l2：( m−2 ) x+3y+2m=0.求当m为何值时，l1，l2 (1) 平行；(2) 相交；(3) 垂直.25．已知直线l1：x−y+1=0，l2：(a−1)x+ay+12=0．(1)若l1//l2，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，设l1，l2与x轴的交点分别为点A与点B，平面内一动点P到点A 和点B的距离之比为P的轨迹方程E．26．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距为2，离心率为22，右顶点为A.（I）求该椭圆的方程；（II）过点D(2,−2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P、Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.27．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4,且椭圆C与圆M:(x−3)2+y2=34的公共弦长为(1)求椭圆C的方程(2)椭圆C的左右两个顶点分别为A1,A2,直线l:y=kx+1与椭圆C交于E,F两点,且满足k A1F =2k A2E,求k的值.参考答案1．C【解析】分析：先由直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据倾斜角的范围及倾斜角的正切值等于斜率，求得倾斜角的值．详解：由直线的斜率公式得，经过点A(，－2)和B(0,1)的直线l的斜率为0−3＝－，又倾斜角大于或等于0°小于180°，倾斜角的正切值等于－3，故倾斜角等于120°，故选C.点睛：本题考查直线的斜率公式以及倾斜角的范围、倾斜角与斜率的关系．2．A【解析】【分析】对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．【详解】当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=−3+m4x+5−3m4，y=−25+mx+85+m，∵两条直线平行，∴−3+m4=−25+m，5−3m4≠85+m，解得m=﹣7．综上可得：m=﹣7．故选：A．【点睛】本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．3．C【解析】【分析】根据直线平行充要关系得等式，解得结果.【详解】由题意得1m−2=m3≠72m∴m=−1或3,选C.【点睛】本题考查直线平行位置关系，考查基本转化求解能力，属基础题.4．D【解析】设12AF F ∆的内切圆圆心为1,I ，12BF F ∆的内切圆圆心为2,I ，边1212A F A F F F 、、上的切点分别为M N E 、、，易见1I E 、横坐标相等，则1122AM AN F M F E F N F E ===，，，由122AF AF a -=， 即122AM MF AN NF a +-+=（），得122MF NF a -=，即122F E F E a -=，记1I 的横坐标为0x ，则00E x （，），于是002x c c x a +--=（），得0x a =，同理内心2I 的横坐标也为a ，则有12I I x ⊥轴，设直线的倾斜角为θ，则22129022OF I I F O θθ∠=∠=︒-，，则211212221tan ,tan tan 90222tan 2r r I F O r r F E F E θθθ⎛⎫=∠=︒-=== ⎪⎝⎭ ，222tan 12tan ,tan tan 22221tan 2θθθθθ∴==∴==- 故选D.5．D 【解析】A B ?⋂＝，即直线()212602320l x a y l a x ay a ：＋＋＝与：－＋＋＝平行， 令()2132a a a ⨯＝－，解得01a a ＝或＝－或3a ＝.0a ＝时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1∥l 2.a ＝－1时，l 1：x ＋y ＋6＝0，l 2：－3x －3y －2＝0.l 1∥l 2.a ＝3时，l 1：x ＋9y ＋6＝0，l 2：x ＋9y ＋6＝0，l 1与l 2重合，不合题意．∴a ＝0或a ＝－1.答案：D.点睛：本题考查两条直线平行的判定；已知两直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若化成斜截式再判定往往要讨论该直线的斜率是否存在，容易出错，可记住以下结论进行判定： 已知直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，（1）121221//0l l A B A B ⇔-=且12210AC A C -≠；（2））1212120l l A A B B ⊥⇔+=.6．B【解析】【分析】可分别令x =0,y =0，求出相应的y 和x 的值，即为相应坐标轴上的截距.【详解】令x =0，解得：y =−13，即为y 轴上截距； 令y =0，解得：x =−2，即为x 轴上截距.故选B.【点睛】本题考查截距的求法，即直线分别与x 轴、y 轴交点的横坐标和纵坐标，根据坐标轴上点的特点将0代入即可.7．A【解析】由两直线1:230l x y -+=，2:210l mx y ++=平行可得，斜率相等，截距不相等，即22m =-且132≠-，解得4m =-，故选A. 8．A【解析】【分析】先由P （3，﹣1），N （﹣ 3， 3），M （6，2），求得直线NP 和MP 的斜率，再根据直线l 的倾斜角为锐角或钝角加以讨论，将直线l 绕P 点旋转并观察倾斜角的变化，由直线的斜率公式加以计算，分别得到直线l 斜率的范围，进而得到直线l 的倾斜角的取值范围．【详解】∵P （3，﹣1），N （﹣ 3， 3），∴直线NP 的斜率k 1= 3+1− 3−3=﹣ 33．同理可得直线MP 的斜率k 2=2+16−3=1．设直线l 与线段AB 交于Q 点，当直线的倾斜角为锐角时，随着Q 从M 向N 移动的过程中，l 的倾斜角变大，l 的斜率也变大，直到PQ 平行y 轴时l 的斜率不存在，此时l 的斜率k ≥1；当直线的倾斜角为钝角时，随着l 的倾斜角变大，l 的斜率从负无穷增大到直线NP 的斜率，此时l 的斜率k ≤﹣ 33．可得直线l 的斜率取值范围为：（﹣∞，﹣ 33]∪[1，+∞）．∴直线l 的倾斜角的取值范围 450,1500故选：A ．【点睛】本题给出经过定点P 的直线l 与线段MN 有公共点，求l 的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．9．B【解析】设倾斜角为θ，直线1y =+tan θ=60θ=︒，故选B ．10．−85−4 【解析】分析：由题意得到关于a 的方程或方程组，据此求解方程即可求得最终结果. 详解：若l 1⊥l 2，则：2 a +1 +3 a +2 =0，整理可得：5a +8=0，求解关于实数a 的方程可得：a =−85. 若l 1∥l 2，则a +12=3a +2≠2−a 1，据此可得：a =−4.点睛：本题主要考查直线垂直、平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．23【解析】【分析】由直线的平行关系可得1× 2−m −2m =0，解之可得答案【详解】∵直线l1:x+2y−4=0与l2:mx+2−m y−1=0平行，∴1×2−m−2m=0，解得m=23故答案为23【点睛】本题主要考查的是直线的与直线的平行关系，继而求得斜率与斜率之间的关系，属于基础题。
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线的倾斜角的余弦值为________．【答案】.【解析】由直线方程可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为知，，再由同角三角函数公式，联立这两个方程组得.【考点】直线的倾斜角．2.直线的倾斜角为．【答案】【解析】方程可化为斜截式，所以斜率，所以倾斜角【考点】直线方程、直线的倾斜角与斜率3.直线的斜率是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】将直线一般式化为斜截式得斜率.【考点】直线一般式与斜截式的转化.4.若直线y＝0的倾斜角为α，则α的值是( )A．0B．C．D．不存在【答案】A【解析】∵直线y＝0的斜率为0，倾斜角的正切值是斜率，∴α=0.【考点】直线的倾斜角与斜率.5.直线的倾斜角的大小是．【答案】【解析】由直线方程可知其斜率为，设其倾斜角为，则，因为，所以。
【考点】直线的斜率和倾斜角。
6.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】B【解析】由于的倾斜角都是锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，可得，而直线的倾斜角为钝角，所以，由此可得结论：，故选答案B.【考点】直线的倾斜角与斜率.7.直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率是( )A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，分倾斜角a为锐角和钝角两种情况分类讨论，根据同角三角函数关系，求出a的余弦值和正切值，即可得到直线的斜率,由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，当a为锐角时，cosa=，tana=；当a为钝角时，cosa=-，tana=-；即直线的斜率是±，选C.【考点】直线的斜率.8.已知点A(2,3),B(－3,－2).若直线过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线的斜率的取值范围是( )A．B．C．或D．【答案】C【解析】如图，，，又过点且与轴垂直的直线也与线段相交，故直线的斜率满足或．选C．【考点】直线的斜率．9.（）直线的倾斜角为A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为直线的斜率为,所以此直线的倾斜角..【考点】直线的倾斜角与斜率的关系.点评：除倾斜角为外，倾斜角与斜率是一一对应的关系，因而求直线的倾斜角可通过求直线的斜率再求倾斜角即可.10.直线的斜率为A．2B．1C．D．【答案】B【解析】解：因为直线的斜率为1，因此选B11.如果过点和的直线的斜率等于,那么的值为( )A．4B．C．或D．或【答案】B【解析】解：因为过点和的直线的斜率等于，即，选B。
直线的倾斜角和斜率练习题
2、1 直线的倾斜角和斜率1、下列命题正确的是（ ）A 、若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应B 、若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应C 、直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan kD 、直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tan α2、过点M (2,a ), N (a ,4)的直线的斜率为21，则a 等于（ ） A 、–8 B 、10 C 、2 D 、43、过点A (2，b )和点B (3,2)的直线的倾斜角为43π，则b 的值是（ ） A 、–1 B 、1 C 、–5 D 、54、如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则（ ）A 、k 1<k 2<k 3B 、k 3<k 1<k 2C 、k 3<k 2<k 1D 、k 1<k 3<k 25、设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线绕原点按逆时针方向旋转60o ，得到直线的倾斜角为（ ）A 、60o α+B 、120o α-C 、120o α-D 、当0120o o α≤<时为60o α+，当120180o o α≤<时为120o α-6、已知，A(3,1)、B(2,4)，则直线AB 上方向向量AB u u u r 的坐标是（ ）A 、(5,5)B 、(1,3)C 、(5,5)D 、(3,1)7、直线l 过点()1,2A ，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A 、[]0,2B 、[]0,1C 、10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8、直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 .9、设直线l1:x-2y+2=0的倾斜角为α,直线l2:mx-y+4=0的倾斜角为2α,且1α=1α+90°,则m的值为 .210、已知直线l经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 .11、直线l的倾斜角60oα=，直线m l⊥，则直线m的斜率为。
直线的倾斜角和斜率练习题
直线的倾斜角和斜率练习题1、正确答案为B。
直线的倾斜角和斜率是一一对应的，存在一个公式tanα=k，其中α为倾斜角，k为斜率。
2、斜率为-2，代入M(2,a)和N(a,4)两点的坐标，得到a=10.3、根据tan3π=-√3，代入点A(2,b)和点B(3,2)的坐标，得到b=1.4、正确答案为C。
根据斜率的定义，k=tanα，所以k越大，α越大，故k3<k2<k1.5、正确答案为B。
绕原点逆时针旋转60°，相当于将坐标轴逆时针旋转60°，所以新的直线的斜率为tan(α-60°)=tanα-√3.6、正确答案为D。
向量AB的坐标为B-A=(2,4)-(3,1)=(-1,3)，所以方向向量为(-1,3)。
7、正确答案为B。
直线不过第四象限，说明斜率为正，又因为点A在直线上，所以斜率的取值范围为[0,1]。
8、正确答案为(0,1]。
根据直线的一般式，斜率为-tanθ，所以tanθ=-1/x，即θ=arctan(-1/x)，所以斜率的范围为(-∞,0]U(0,∞)，对应的斜率范围为(-∞,-1]U[1,∞)，即(0,1]。
9、正确答案为[0,π/2]。
根据直线的一般式，斜率为tanθ，所以tanθ=y/x=1/cosθ，即tanθ≥0，所以θ∈[0,π/2]。
10、正确答案为(-∞,∞)。
由于斜率的取值范围为(-∞,∞)，所以直线的倾斜角的取值范围也是(-∞,∞)。
11、正确答案为-√3.直线l的倾斜角为60°，所以斜率tan60°=√3，直线m与l垂直，所以斜率为-1/√3=-√3/3.12、正确答案为原直线的斜率不变。
因为直线沿x轴负方向平移3个单位，所以斜率不变；再沿y轴正方向平移1个单位，也不影响直线的斜率。
13、正确答案为-3≤k≤2.根据点斜式，直线l的斜率为k=(y+2)/(x-?)，代入点A和B的坐标，得到-3≤k≤2.14、正确答案为1/√10.直线AB的斜率为(k1-k2)/(1+m1m2)=(-3/4-m2)/(1-3m2/4)，直线l的斜率为k=tan(α/2)=tan(arctan(-3/4)/2)=1/√10，其中m2为直线AB的斜率。
2.1.1倾斜角与斜率(分层作业)(解析版)(人教A版2019选择性必修第一册)
2.1.1直线的点斜式方程（第1课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】题型1直线的倾斜角与斜率的关系【详解】直线0x y +=的斜率为1-，而倾斜角在0180︒︒间，tan1351︒=-，∴倾斜角为135︒．故选：D ．题型2求直线方程6.已知A(m ，3)，B(2m ，m+4)A ．1C ．0或2【答案】D【详解】当AB 与CD 斜率均不存在时，题型4直线的斜截式方程所以AC 的倾斜角为45，BC 的倾斜角为135，因为直线l 过点(0,2)C 且与线段AB 相交，所以l 的倾斜角取值范围为045,α≤≤或135180,α≤≤所以直线l 的斜率k 的取值范围是[]1,1-，故选:D.【能力提升】一、单选题【详解】如图，要使直线l 与线段AB 相交，则应满足PA k k ≤或k ≥342+=--，123134PB k +==+，或34k ≥.已知直线l 1过点A (-1，1)和B (-2，-1)，直线l 2过点C (1，）-2B ．2A ．123k k k <<【答案】B【分析】设直线123,,l l l 所对应的倾斜角为斜角与斜率的关系可得23k k <二、多选题9.下列说法正确的是（）A ．直线的倾斜角α取值范围是0πα≤<B ．若直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αC ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．直线的倾斜角越大，其斜率就越大【答案】AC【分析】根据直线倾斜角和斜率关系判断各项的正误.【详解】A ：直线倾斜角α范围为0πα≤<，正确；B ：当直线斜率为tan α，则该直线的倾斜角为[0,π)内正切值为tan α的角，错误；C ：平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时没有斜率，正确；D ：倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，错误.故选：AC10.以下四个命题正确的是（）A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角则31421PA k --==--，213314PB k --==--∴直线l 与线段AB 相交时，斜率k 的取值范围是∴直线l 的斜率k 的取值可以为34，4，4-故选：ABC三、填空题13.已知点()1,3A -，点()3,9B ，则直线AB 的斜率为【答案】32【解析】根据两点间斜率公式,可直接求解.【详解】因为()1,3A -,()3,9B 393-所以y的取值范围是1[,2]-.【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．四、解答题（2）由题意可知直线l 的倾斜角介于直线因为直线PB 的倾斜角是45︒，直线所以α的取值范围是45135α︒≤≤20.已知点(1,1)(2,4)、-A B .(1)求直线AB 的倾斜角。
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线的倾斜角为．【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则．【考点】直线的倾斜角．2.已知一条直线过点(3，-2)与点(-1，-2),则这条直线的倾斜角是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】直线过点与，直线的斜率，则直线的倾斜角为.【考点】直线的斜率、倾斜角.3.已知若直线：与线段PQ的延长线相交，则的取值范围是 .【答案】【解析】直线的方程为，显然经过定点，过点M作直线，显然的斜率，过M、Q作直线的斜率为,依题意，应夹在直线与之间，即于是，即。
【考点】（1）斜率公式的应用；（2）数形结合思想的应用。
4.直线的倾斜角的大小为。
【答案】【解析】,所以倾斜角为.【考点】1.直线方程；2.倾斜角和斜率.5.经过点的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1B．4C．1或3D．1或4【答案】A【解析】由题意可知，性的判断与证得m=1，故选A.【考点】直线斜率公式.6.过点(－3,0)和点(－4，)的直线的倾斜角是()A．30°B．150°C．60D．120°【答案】D【解析】因为，，所以，直线的倾斜角是120°，选D。
【考点】直线的斜率、倾斜角点评：简单题，利用斜率的坐标计算公式求得倾斜角的正切。
7.若直线经过A(-2,9)、B(6,-15)两点,则直线AB的倾斜角是( )A．45°B．60°C．120°D．135°【答案】C【解析】设直线AB的倾斜角是θ，由直线的斜率公式得k="tan" θ=，再根据倾斜角的范围求出倾斜角的大小。
解：设直线AB的倾斜角是θ，由直线的斜率公式得k=tanθ==又0≤θ＜π，θ=120°，故选 C．【考点】直线的倾斜角和斜率点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小．求出斜率tanθ是解题的关键8.如图，若图中直线1,2,3的斜率分别为k1, k2, k3，则A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2【答案】B【解析】由于直线L2、L1的倾斜角都是锐角，且直线L2的倾斜角大于直线L1的倾斜角，可得 K2＞K1＞0．由于直线L3、的倾斜角为钝角，K3＜0，由此可得结论．k3<k1<k2,，故可知选B.【考点】直线的倾斜角和斜率点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．9.直线的倾斜角是（）A．300B．600C．1200D．1350【答案】C【解析】由于直线的斜率为，那么根据倾斜角和斜率的关系可知，tanθ=,那么可知角为1200，故选C.【考点】直线的倾斜角和斜率的关系点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，求出tanθ=，是解题的关键10.已知点，，则直线的倾斜角是．【答案】【解析】直线垂直于x轴，倾斜角为【考点】直线斜率与倾斜角点评：若则直线的斜率为，倾斜角满足11.(本小题满分6分)求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程的一般式.【答案】【解析】由解得，则两直线的交点为………2分直线的斜率为，则所求的直线的斜率为……………4分故所求的直线为即………………6分【考点】本题考查了直线的位置关系及直线方程的求法点评：熟练运用直线的位置关系求直线方程是解题的关键12.直线的倾斜角是( )A．150ｏB．135ｏC．120ｏD．30ｏ【答案】A【解析】解：因为直线，故倾斜角是150ｏ，选A13.．过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为．【答案】1【解析】由斜率公式可知,所以m=1.14.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 .【答案】【解析】设直线l的方程为y=kx+b,由题意知平移后直线方程为y=k(x+3)+b+1,即y=kx+3k+b+1,由于直线平移后还回到原来的位置，所以3k+b+1=b,所以15.直线的倾斜角等于__________．【答案】【解析】直线的斜率为，则倾斜角满足即直线的倾斜角为.16.直线的倾斜角是（）A．30°B．120°C．60°D．150°【答案】A【解析】17.倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线斜率为所以直线方程为故选D18.直线的倾斜角是（）A B C D【答案】C【解析】略19.已知点. 若直线与线段相交，则的取值范围是_____________.【答案】[-2，2]【解析】略20.以下直线中，倾斜角是的是（）..【答案】C【解析】略21.已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】略22.当时，如果直线的倾斜角满足关系式，则此直线方程的斜率为；【答案】【解析】略23.直线的倾斜角为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】略24.长方形OABC各点的坐标如图所示，D为OA的中点，由D点发出的一束光线，入射到边AB上的点E处，经AB、BC、CO依次反射后恰好经过点A，则入射光线DE所在直线斜率为【答案】【解析】如图：作关于的对称点，关于的对称点，关于的对称点，关于的对称点，则的延长线过完点，因为，所以根据对称性得，所以【考点】点关于线对称的点25.对于直线x sin+y+1=0，其斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的斜率为，因此斜率的取值范围是[-1，1]，答案选B．【考点】直线的一般方程与斜率26.如图所示，直线的斜率分别为，则的大小关系为（按从大到小的顺序排列）．【答案】【解析】由图形可知，比的倾斜角大，所以【考点】斜率与倾斜角的关系27.已知三点在同一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】确定的直线方程为，代入点得【考点】直线方程28.若图，直线的斜率分别为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】切斜角为钝角，斜率为负，切斜角为锐角，斜率为正，因为倾斜角大于倾斜角，所以【考点】直线倾斜角与斜率的关系29.直线经过点，且倾斜角范围是，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】直线倾斜角与斜率的关系30.已知三点在同一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】确定的直线方程为，代入点得【考点】直线方程。
高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点()A．(－，3)B．(，3)C．(，－3)D．(－，－3)【答案】D【解析】原方程可化为(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令，解得x＝－，y＝－3，故所有直线都过定点(－，－3)．2.设M＝，N＝，则M与N的大小关系为()A．M>N B．M＝N C．M<N D．无法判断【答案】C【解析】设A(－2011,2012)，B(π2012，π2011)，C(π2014，π2013)，则有M＝＝kAB，N＝＝kAC，如图所示．则直线AB的倾斜角∠BDO和直线AC的倾斜角∠CEO均为锐角，且∠BDO<∠CEO，所以k AB <kAC，即M<N.3.设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.（1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；（2）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.【答案】（1）直线（即）的方程为或；（2）详见解析．【解析】（1）由已知条件推导出点的坐标为，由此能求出直线（即）的方程．（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线即可．（1）椭圆的右焦点为， 1分因为线段的中点在y轴上，所以点的横坐标为，因为点在椭圆上，将代入椭圆的方程，得点的坐标为. 3分所以直线（即）的方程为或. 5分（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，.又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线. 7分以下给出证明：由题意，设直线的方程为,,，则.由得， 9分所以，，. 10分在中，令，得点的坐标为，由，得点的坐标为， 11分设直线，的斜率分别为，，则， 12分因为， 13分所以，所以点，，三点共线，即点与点关于轴对称. 14分【考点】直线与椭圆综合问题．4.（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．【解析】以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，．其中a＞m＞n＞0，．（1）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以．在C1和C2的方程中分别令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=﹣m，于是．若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．（2）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k＞0），点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2．又，所以，即|BD|=λ|AB|．由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知xC =﹣xB，xD=﹣xA，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．5.若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是________．【答案】[2－，2＋]【解析】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可转化为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，∴圆心的坐标为(2,2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则圆心到直线l 的距离应小于等于，∴≤，∴2＋4＋1≤0，∴－2－≤≤－2＋，又直线l的斜率k＝－，∴2－≤k≤2＋，即直线l的斜率的取值范围是[2－，2＋]．6.设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2B．C．D．﹣2【答案】D【解析】∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．7.直线的倾斜角的大小是____________．【答案】【解析】由题意，即，∴。
3.1.1倾斜角与斜率试题同步练习含答案
3.1.1 倾斜角与斜率类型一求直线的倾斜角例1 求图中各直线的倾斜角．例1.1（2009秋•合肥校级期末）已知直线（1-k2）x-y+1=0，求这条直线倾斜角的取值范围是跟踪训练1 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α.如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )A．α＋45° B．α－135°C．135°－α D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°类型二直线的斜率例2(1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率；(2)已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率；(3)求经过两点A(2,3)，B(m,4)的直线的斜率．跟踪训练2 已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1,1)，B(1,1)，C(1，－1)，求直线AB，BC，AC 的斜率．类型三直线的倾斜角、斜率的综合应用例3已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直接l过点P(3,3)且与线段MN相交，试求l的斜率k的取值范围．跟踪训练3 已知经过两点A(5，m)和B(m,8)的直线的斜率大于1，求实数m的取值范围．【巩固提升】一、选择题13．已知直线l 的倾斜角α的取值范围为45°≤α≤135°，求直线l 的斜率的取值范围．14．求证：A (1，－1)，B (－2，－7)，C (0，－3)三点共线．3.1.1 倾斜角与斜率答案例1 【解析】 (1)如图(1)，可知∠OAB 为直线l 1的倾斜角．易知∠ABO ＝30°，∴∠OAB ＝60°，即直线l 1的倾斜角为60°.(2)如图(2)，可知∠xAB 为直线l 2的倾斜角，易知∠OBA ＝45°，∴∠OAB ＝45°，∴∠xAB ＝135°，即直线l 2的倾斜角为135°.(3)如图(3)，可知∠OAC 为直线l 3的倾斜角，易知∠ABO ＝60°，∴∠BAO ＝30°，∴∠OAC ＝150°，即直线l 3的倾斜角为150°.例1.1故答案为[0，π/4】∪[π/2,0】跟踪训练1 答案：D例2 (1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率； (2)已知A (3,2)，B (－4,1)，C (0，－1)，求直线AB ，BC ，AC 的斜率； (3)求经过两点A (2,3)，B (m,4)的直线的斜率．【解析】 (1)直线的斜率分别为k 1＝tan60°＝3，k 2＝tan135°＝－1；(2)直线AB 的斜率k AB ＝1－2－4－3＝17；直线BC 的斜率k BC ＝－1－10－－4＝－24＝－12；直线AC 的斜率k AC ＝2－－13－0＝33＝1.(3)当m ＝2时，直线AB 的斜率不存在；当m ≠2时，直线AB 的斜率为k AB ＝4－3m －2＝1m －2.跟踪训练2 已知坐标平面内△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1,1)，B (1,1)，C (1，－1)，求直线AB ，BC ，AC 的斜率．解析：k AB ＝1－11－－1＝0，k AC ＝－1－11－－1＝－1.∵B ，C 两点的横坐标相等，∴直线BC 的斜率不存在．例3 已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直接l 过点P (3,3)且与线段MN 相交，试求l 的斜率k 的取值范围． 【解析】 过点P 且与线段MN 相交的直线，必在PM 与PN 之间(含直线PM 、PN )．因为k PN ＝56，k PM ＝6，且在过P 点且与线段MN 相交的直线中，不含垂直于x 轴的直线，所以直线l 的斜率k 的取值范围为56≤k ≤6.跟踪训练3 已知经过两点A (5，m )和B (m,8)的直线的斜率大于1，求实数m 的取值范围．解析：由题意得8－m m －5>1，∴8－mm －5－1>0，∴8－m －m ＋5m －5>0，即2m －13m －5<0，∴5<m <132.故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫5，132.【巩固提升】1．已知直线过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为( ) A ．3 B ．－2 C ．2 D ．不存在解析：由题意可得AB 的斜率为k ＝2－41－0＝－2.答案：B2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( ) A ．(4,1)与(－4，－1) B ．(0,1)与(1,0)C ．(1,4)与(－1,4)D ．(－4,1)与(－4，－1)解析：选项A ，B ，C ，D 中，只有D 选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x 轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．答案：D3．[2019·孝感检测]已知直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α＜90° B ．90°≤α＜180° C ．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°解析：直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.答案：C4．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l 的斜率为( )A ．1 B. 3 C.233D ．－ 3解析：∵tan α＝33，0°≤α<180°， ∴α＝30°，∴2α＝60°， ∴k ＝tan2α＝ 3.故选B. 答案：B5．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4解析：∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1.答案：A6．给出下列说法：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α＜180°；②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：显然①②③正确，④错误． 答案：C7．若直线l 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，33，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．解析：当0≤k <33时，因为tan0°＝0，tan30°＝33，所以0°≤α<30°. 8．已知A (2，－3)，B (4,3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，m 2三点在同一条直线上，则实数m 的值为________．解析：因为A 、B 、C 三点在同一条直线上，所以有k AB ＝k AC ，即3－－34－2＝m2－－35－2，解得m ＝12.答案：129．若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝a b <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，π10．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围为________．解析：因为直线的倾斜角为钝角，所以1－a ≠3，即a ≠－2.且1＋a －2a1－a －3<0，整理得a －1a ＋2<0，①当a ＋2>0时，a －1<0.解得－2<a <1.②当a ＋2<0时，a －1>0， 此时无解．综上可得－2<a <1. 答案：(－2,1)11．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A (2,3)，B (4,5)；(2)C (－2,3)，D (2，－1)； (3)P (－3,1)，Q (－3,10)．解析：(1)存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2) 存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－－2＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°.12．如图，直线l 2的倾斜角α2＝120°，直线l 1的倾斜角为α1，直线l 1⊥l 2，求直线l 1的斜率． 解析：由平面几何知识可得α2＝α1＋90°， 所以α1＝α2－90°＝120°－90°＝30°，所以直线l 1的斜率为k ＝tan30°＝33.13．已知直线l 的倾斜角α的取值范围为45°≤α≤135°，求直线l 的斜率的取值范围． 解析：当α＝90°时，l 的斜率不存在；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k . 当45°≤α＜90°时，k ＝tan α∈[1，＋∞)； 当90°＜α≤135°时，k ＝tan α∈(－∞，－1]． ∴斜率k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．14．求证：A (1，－1)，B (－2，－7)，C (0，－3)三点共线． 解析：∵A (1，－1)，B (－2，－7)，C (0，－3)，∴k AB ＝－7－－1－2－1＝2，k AC ＝－3－－10－1＝2.∴k AB ＝k AC .∵直线AB 与直线AC 的斜率相同且过同一点A ， ∴直线AB 与直线AC 为同一直线． 故A ，B ，C 三点共线.。
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《倾斜角和斜率》习题
一、选择题
1、直线x =α的倾斜角33为( ) A 、0 B 、2π C 、6π D 、不存在
2、若直线l 的斜率为sin θ，),2,0(π
θ∈则其倾斜角为( )
A 、θ
B 、arcsin θ
C 、arctan (sin θ)
D 、π+arctan (sin θ) 3、已知直线l 过点P (－2，－1)且与以A (－1，1)、B (5，－4)为端点的线段相交，那么直线l 的斜率的取值范围应是( )
A 、)73
,(--∞ B 、)2,73(- C 、)2,0[]73,(Y --∞ D 、]2,73[- 4、直线的倾斜角是0012060,≤≤αα且，则直线的斜率是( )
A 、[]3,3-
B 、),3[]3,(∞+--∞Y
C 、),3()3,(∞+--∞Y
D 、)3,(-∞ 5、如图所示，直线a
ax y 1+
=的图象是( )
二、填空题
6、经过A )1,32()1,3(--B 和的两点所在的直线的倾斜角为 .
7、已知；A (x ，2)， B (5，1)，C (4，x )三点共线，则x = .
8、斜率为3的直线过(3，5)、(a ，7)、(－1，b )三点，则a = ，b = .
三、解答题
9、三角形的三个顶点是A (6，3)、B (9，3)、C (3，6)，求它的三个内角的度数.
10、过点P (－1，－1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段A 的中心，求直线l 的斜率和倾斜角
参考答案
一、选择题
1、B
2、C
3、D
4、B
5、B
二、填空题
6、392arctan
-π 7、33± 8、7,311- 三、解答题
9、△ABC 的各个内角为
21arctan 4,21arctan ,43-ππ 10、斜率为43,122π倾斜角为-=-=
k。