数学专升本考试试题
专升本试题2023数学及答案
专升本试题2023数学及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=2x^2+3x-5的导数是：A. 4x+3B. 2x+3C. 4x^2+6xD. 4x^2+3x2. 圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=1，圆心坐标是：A. (2, 3)B. (1, 2)C. (3, 4)D. (0, 0)3. 已知等差数列的首项为a1=3，公差为d=2，第5项a5的值为：A. 11B. 13C. 15D. 174. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在5. 矩阵A = [1 2; 3 4]和矩阵B = [5 6; 7 8]的乘积AB的行列式det(AB)为：A. 22B. 30C. 36D. 44二、填空题（每题2分，共10分）6. 若f(x)=x^3-2x^2+x-2，则f'(x)=______。
7. 若曲线y=x^2-4x+3在点x=1处的切线斜率为______。
8. 一个等比数列的首项为2，公比为3，其第3项为______。
9. 若函数y=ln(x)的图像与直线y=4相交于点(a,4)，则a=______。
10. 一个矩阵的秩为2，且该矩阵的行列式为-5，则该矩阵的迹为______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 证明：若函数f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)f(b)<0，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。
12. 解不等式：|x-2|+|x-5|<7。
13. 计算定积分：∫(0到1) (2x+1)dx。
四、证明题（每题15分，共15分）14. 证明：若数列{an}是单调递增数列，且数列{an}的极限存在，则数列{an}是收敛的。
五、综合题（每题25分，共25分）15. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求：a. 函数f(x)的极值点；b. 函数f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。
专升本统一考试数学卷+答案 (1)
普通高等学校招生全国统一考试数学（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.某师范大学的2名男生和4名女生被分配到两所中学作实习教师，每所中学分配1名男生和2名女生，则不同的分配方法有（）A ．6种B ．8种C ．12种D ．16种2.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意R ∈x ，都有)3()1(+=-x f x f ，当∈x [4，6]时，12)(+=x x f ，则函数)(x f 在区间[-2，0]上的反函数)(1x f -的值)19(1-f 为（）A ．15log 2B ．3log 232-C ．3log 52+D ．3log 212--3.函数)1(log 2-=x y 的反函数图像是（）A BC D4、等差数列{}n a 中，已知112a =-，13S=，使得0n a >的最小正整数n 为()A ．7B ．8C ．9D ．105、为了解疾病A 是否与性别有关，在一医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患疾病A不患疾病A 合计男20525女101525合计302050请计算出统计量，你有多大的把握认为疾病A 与性别有关下面的临界值表供参考：（）0.050.0100.0050.001k3.841 6.6357.87910.828A.95%B.99%C.99.5%D.99.9%6.下列计算正确的是（）A ．222)2(a a =- B.632a a a÷= C.aa 22)1(2-=-- D.22aa a =⋅7.已知a=3,A={x ｜x ≥2},则以下选项中正确的是()A.a ∉AB.a ∈AC.{a}=AD.a ∉{a}8.设集合{1,2,4,6}A =，{2,3,5}B =，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A.{}2 B.{}3,5 C.{}1,4,6 D.{}3,5,7,89.函数21)(--=x x x f 的定义域为（）A.[)()+∞⋃,22,1 B.()+∞,1 C.[)2,1 D.[)+∞,110.下列四个函数中,与y=x 表示同一函数的是（）A.y=(x )2B.y=33x C.y=2x D.y=xx 211.设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是()则当a 在（0,1）内增大时，A ．D （X ）增大B ．D （X ）减小C ．D （X ）先增大后减小D ．D （X ）先减小后增大12.设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则()A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.已知a ，b 为单位向量，且a ·b=0，若2=-c a ，则cos ,<>=a c ___________.2.记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________.3．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b a c B ===，则ABC △的面积为__________.4．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.三、大题：(满分70分)1、甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为0.6，乙投篮的命中率为0.7，两人是否投中相互之间没有影响，求：（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率．2、已知f(x)＝2x ＋3，g(x ＋2)＝f(x)，求g(x)3.已知点M 是离心率是22226:1(0)3x y C a b a b +=>>上一点：过点M 作直线MA 、MB 交椭圆C 于A ：B 两点：且斜率分别为12,.k k （1）若点A ：B 关于原点对称：求12k k ⋅的值：（2）若点M 的坐标为（0：1）：且123k k +=：求证：直线AB 过定点：并求直线AB 的斜的取值范围。
专升本高数试题及答案
专升本高数试题及答案一、选择题1.已知函数f(x)=log₁₀(2x-1)，则f(2)的值为多少？A) 0B) 1C) log₁₀3D) log₁₀2答案：D2.若f(x)在点x=a处可导，且f'(a)=3，则f(x)在点x=a处的切线斜率为多少？A) 3B) aC) f(a)D) 0答案：A3.已知集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A∪B的结果为：A) {1,2,3,4,5,6}B) {1,2,3,4}C) {1,2,5,6}D) {3,4,5,6}答案：A二、计算题1.计算limₓ→∞(3x³+2x²-5x+1)的值。
答案：无穷大2.已知函数f(x)=x²+2x+1，求f'(x)的值。
答案：f'(x)=2x+23.已知三个数的平均值为85，其中两个数为60和90，求第三个数的值。
答案：第三个数的值为95三、证明题证明：对于任意实数x，若x²=x，则x=0或x=1。
证明：假设x²=x，则将方程两边移项得到x²-x=0，再因式分解得到x(x-1)=0，根据零乘法，得到x=0或x-1=0，即x=0或x=1。
由此可证明对于任意实数x，若x²=x，则x=0或x=1。
四、应用题某公司员工工资调整规则如下：每个员工的基本工资为3000元，年龄每增加1岁，工资增加50元；工龄每增加1年，工资增加100元。
现有一名员工，年龄为30岁，工龄为5年，请计算该员工的总工资。
答案：年龄增加的工资 = (30-20) * 50 = 500元工龄增加的工资 = 5 * 100 = 500元总工资 = 基本工资 + 年龄增加的工资 + 工龄增加的工资 = 3000 + 500 + 500 = 4000元总结：本文提供了专升本高数的试题及答案，包括选择题、计算题、证明题和应用题。
通过对这些题目的解答，读者可以巩固和提升自己在高等数学方面的知识和技能。
高等数学专升本试卷(含答案)
高等数学专升本试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。
一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求.本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1函数1arccos2x y +=的定义域是 （ ） .A 1x < .B ()3,1-.C {}{}131x x x <⋂-≤≤ .D 31x -≤≤.2.极限sin 3limx xx→∞等于 ( ).A 0 .B 13.C 3 .D 1.3.下列函数中,微分等于1ln dx x x的是 ( ) .A ln x x c + .B ()ln ln y x c =+ .C 21ln 2x c + .D ln xc x+.4.()1cos d x -=⎰（ ）.A 1cos x - .B cos x c -+.C sin x x c -+ .D sin x c +.5.方程2222x y z a b=+表示的二次曲面是（超纲，去掉） ( ).A 椭球面.B 圆锥面.C 椭圆抛物面 .D 柱面.二.填空题(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程, 本题共有10个小题，每小题4分,共40分)1.2226lim _______________.4x x x x →+-=-2.设函数(),,x e f x a x ⎧=⎨+⎩00x x ≤>在点0x =处连续,则________________a =.3.设函数xy xe =,则()''0__________________y =.4.函数sin y x x =-在区间[]0,π上的最大值是_____________________.5.sin 1_______________________.4dx π⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰6.()() ____________________________.aax f x f x dx -+-=⎡⎤⎣⎦⎰7.设()() xa x F x f t dt x a=-⎰,其中()f t 是连续函数，则()lim _________________.x aF x +→=8.设32, 2a i j k b i j k =--=+-,则____________________.a b ⋅=9.设()2,yz x y =+则()0,1____________________________.zx ∂=∂（超纲，去掉） 10.设(){},01,11,D x y x y =≤≤-≤≤则_____________________.Ddxdy =⎰⎰（超纲，去掉）三.计算题( 本题共有10个小题，每小题6分,共60分)1.计算0lim.x xx e e x-→-2.设函数y =求.dy3.计算1xxe dx e +⎰.4.设 2 02sin cos tx u du y t⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰,求.dy dx5.计算 2 .22dxx x +∞-∞++⎰6. 设曲线()y f x =在原点与曲线sin y x =相切,求n7.求微分方程'tan 3y x y +=-满足初值条件02y π⎛⎫= ⎪⎝⎭的特解. .8.设(),z z x y =是由方程2224x y z z ++=所确定的隐函数,求.zx∂∂（超纲，去掉） 9.求D⎰⎰ ,其中区域(){}2222,4D x y x y ππ=≤+≤ .（超纲，去掉）10.求幂级数21113n n n x ∞-=∑的收敛域.四.综合题(本题有3个小题，共30分,其中第1题14分，第2题8分，第3题8分) 1.求函数21x y x+=的单调区间,极值及其图形的凹凸区间.(本题14分)2.设()f x 在[]0,1上可导,()()00,11f f ==,且()f x 不恒等于x ,求证：存在()0,1ξ∈使得()' 1.f ξ> (本题8分)3.设曲线22y x x =-++与y 轴交于点P ,过P 点作该曲线的切线,求切线与该曲线及x 轴围成的区域绕x 轴旋转生成的旋转体的体积. (本题8分)参考答案及评分标准一. 选择题(每小题4分,共20分)1.D ,2.A ,3.B ,4.B ,5.C . （超纲，去掉） 二. 填空题(每小题4分,共40分) 1.54 , 2.1 , 3.2 , 4.0 , 5.sin 14x c π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ,6.0 ,7.()af a ,8.3 ,9.2 , （超纲，去掉） 10.2 . （超纲，去掉） 三. 计算题(每小题6分,共60分)1. 解.00lim lim 1x x xxx x e e e e x --→→-+=5分2.=6分2.解.()3221',1y x ==+ 5分故()3221+dxdy x =.6分3.解.原式=()11x xde e++⎰3分()ln 1.x e c =++6分4.解法1.dy dy dtdxdx dt=3分222sin 2.sin t t t t -==-6分解法2.因为22sin ,2sin dx t dt dy t t dt ==-， 4分故2.dyt dx=- 6分 5.解.原式()()2111d x x +∞-∞+=++⎰3分=()tan 1arc x +∞-∞+5分 =.π6分6.解.由条件推得()()'00,1 1.f f ==2分于是()1220lim 220n n f f n n →∞⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦5分（第1页，共3页）==6分注：若按下述方法：原式()()112200'lim lim 1f x f x x ++→→⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解答者，只给4分. 7.解法1.分离变量,得到cot ,3dyxdx y=-+2分积分得到ln 3ln sin y x c +=-+或 ()3 .sin cy c x =-∈4分代入初值条件02y π⎛⎫= ⎪⎝⎭,得到3c =.于是特解为33.sin y x=-6分解法2.由()()(),p x dx p x dxy e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 其中()()13,tan tan p x q x x x ==-，得到 ()3 .sin c y c x=-∈4分代入初值条件02y π⎛⎫=⎪⎝⎭,得到3c =.于是特解为 3 3.sin y x=-6分8.解.方程两边对x 求偏导数,得到（超纲，去掉）224,z zx z x x∂∂+=∂∂4分故.2z x x z∂=∂-6分9（超纲，去掉）解原式 2 2 0 sin d r rdrπππθ=⎰⎰3分= 222cos cos r r rdr πππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰5分=26.π-6分10.解.由121121321131lim lim3n nn n n n n nx ax a x +++-→∞→∞==,可知收敛半径R =4分又当x =,对应数项级数的一般项为级数均发散,故该级数的收敛域为( .6分（第2页，共3页）四. 综合题(第1小题14分,第2小题8分, 第3小题8分，共30分) 1.解.定义域()(),00,-∞⋃+∞,()34232',",x x y y x x++=-= 令'0,y =得驻点12x =- ,5分令"0,y =得23x =- ,610分函数的单调增加区间为()2,0,-单调减少区间为(),2-∞-及()0,,+∞在2x =-处,有极小值14-. 其图形的凹区间为)0,3(-及()0,+∞,凸区间为(),3.-∞-14分2.证明.由于()f x 不恒等于x ,故存在()00,1,x ∈使得()00.f x x ≠2分如果()00,f x x >根据拉格朗日定理,存在()00,,x ξ∈使得 10)0()()('f 000=>--=x x x f x f ξ ，5分若()00,f x x <根据拉格朗日定理,存在()0,1,x ξ∈使得 ()()()000011'111f f x x f x x ξ--=>=--.8分注：在“2分”后，即写“利用微分中值定理可证得，必存在ξ，使得()'1f ξ>”者共得3分.3.解.P 点处该曲线的切线方程为2y x =+,且与x轴的交于点()2,0A -2分曲线与x 轴的交点()1,0B -和()2,0C ,因此区域由直线PA 和AB 及曲线弧PB所围成.4分该区域绕x 旋转生成的旋转体的体积 () 02218292330V xx dx πππ-=--++=⎰ .8分注：若计算由直线PA 与AC 及曲线弧PC 所围成，从而() 222 081362315V x x dx πππ=+-++=⎰者得6分.。
四川2023年大专生专升本数学考试及答案 (1)
普通高等学校招生全国统一考试数学（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.“a =1”是“直线0=+y x 和直线0=-ay x 互相垂直”的（）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅=（）.A ．23-B ．32-C ．32D ．233.为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（）.A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位4.函数|lg |)(x x x f -=在定义域上零点个数为（）.A ．1B ．2C ．3D ．45.如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（）.A ．1B ．21C ．31D ．616.一个等差数列{an}中，a1=－5,它的前11项的平均值是5，若从中抽取一项，余下项的平均值是4，则抽取的是()A.a11B.a10C.a9D.a87.设函数f(x)=logax(a>0,且a ≠1)满足f(9)=2,则f －1(log92)等于()A.2B.2C.21 D.±28.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a,则三棱锥D —ABC 的体积为()A.63a B.123a C.3123a D.3122a 9.设O 、A 、B 、C 为平面上四个点，OA =a ，OB =b ，OC =c ，且a+b+c=0，a ·b=b ·c=c ·a=－1,则|a|+|b|+|c|等于()A.22B.23C.32D.3310.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦11.已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=（）A ．15BC ．3D ．512.设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为（）ABC ．2D二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1、如果∆ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，则B 一定等于______.2、已知2tan -=α，71tan =+）（βα，则βtan 的值为______.3．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是______.4．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x =+>上的一个动点，则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是______.三、大题：(满分70分)1、已知函数3()x x bf x x++=，{}n a 是等差数列，且2(1)a f =，3(2)a f =，4(3)a f =．（1）求{}n a 的前n 项和；（2）求()f x 的极值．2、已知集合A 是由a －2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a.3.（本题满分12分）已知四边形ABCD 是菱形，060BAD ∠=四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，G H 、分别是CE CF 、的中点.(1)求证：平面//AEF 平面BDGH(2)若平面BDGH 与平面ABCD 所成的角为060，求直线CF 与平面BDGH 所成的角的正弦值4.设),(),,(2211y x Q y x P 是抛物线px y 22=)0(>p 上相异两点，P Q 、到y 轴的距离的积为4且0=⋅OQ OP ．（1）求该抛物线的标准方程.（2）过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．5.已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C （﹣1，0）的直线l 与椭圆C2交于A ，B 两个不同的点，若，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程． 6.已知函数（a ∈R ）．（Ⅰ）讨论g （x ）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x ＞0，且x ≠1时，．参考答案：一、选择题：1-5题答案:CDCCC 6-10题答案:ABDCB 11-12题答案:BA 二、填空题：1、︒60;2、3；3、10；4、4.三、大题：1、【解析】（1）由3()x x b f x x++=得211(1)21b a f b ++===+，3322(2)522b ba f ++===+，3433(3)1033b ba f ++===+，由于{}n a 为等差数列，∴2432a a a +=，即(2)(10)2(5)32b b b +++=+，解得6b =-，∴22624a b =+=-+=-，3655222b a =+=-+=，461010833b a =+=-+=，设数列{}n a 的公差为d ，则326d a a =-=，首项1210a a d =-=-，故数列{}n a 的通项公式为1(1)616n a a n d n =+-=-，∴数列{}n a 的前n 项和为21()(10616)31322n n n a a n n S n n +-+-===-；（2）法一（导数法）：33266()1(0)x x b x x f x x x x x x +++-===-+≠，332226262(3)()2x x f x x x x x ++'=+==，当330x +<，即x <()0f x '<，函数()f x 在(,-∞上单调递减，当330x +>，即x >时，()0f x '>，函数()f x 在()+∞上单调递增，故函数()f x 在x =极小值为53(31f =+，无极大值．法二（基本不等式法）：33266()1(0)x x b x x f x x x x x x +++-===-+≠，当0x >时，26()1f x x x =-+为单调递增函数，故()f x 在(0,)+∞上无极值．当0x <时，则6x ->，∴2226633()1()()1()()()11f x x x x x x x x =-+=-++=-+++≥+---53131==+，当且仅当23()x x-=-，即x =综上所述，函数()f x 在x =53(31f =+，无极大值．【评注】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和、函数单调性及应用，数列与函数进行结合考查，综合性较强，属于中档题．2、解：由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a2＋5a ＝－3，∴a ＝－32.3.参考答案：解:（1）G H 、分别是CE CF 、的中点所以//EF GH ------①---1分连接AC 与BD 交与O ,因为四边形ABCD 是菱形，所以O 是AC 的中点，连OG ,OG 是三角形ACE 的中位线//OG AE -②-----3分由①②知，平面//AEF 平面BDGH ----4分（2）,BF BD ⊥平面BDEF ⊥平面ABCD ，所以BF ⊥平面ABCD -------5分取EF 的中点N ,//ON BF ON ∴⊥平面ABCD ，建系{,,}OB OC ON设2AB BF t ==，,则()()()100,03,0,10B C F t ，，，，，13,,222t H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭--------6分()131,0,0,,222t OB OH ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面BDGH 的法向量为()1,,n x y z = 110130222n OB x t n OH x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩,所以(10,3n t =- 平面ABCD 的法向量()20,0,1n = ----9分12231|cos ,|23n n t <>==+ ,所以29,3t t ==----10分所以()1,3,3CF =,设直线CF 与平面BDGH 所成的角为θ13133321336|,cos |sin 1=⨯=〉〈=n CF θ4.参考答案：解：（1）∵OP→·OQ →＝0，则x1x2＋y1y2＝0，-1分又P 、Q 在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得y122p ·y222p＋y1y2＝0，y1y2＝－4p2222212144)(||pp y y x x ==∴-------3分又|x1x2|＝4，故得4p2＝4，p=1．所以抛物线的方程为:22y x =-------------4分（2）设直线PQ 过点E(a,0）且方程为x ＝my ＋a联立方程组⎩⎨⎧=+=x y amy x 22消去x 得y2－2my －2a ＝0∴⎩⎨⎧-==+ay y m y y 222121①设直线PR 与x 轴交于点M(b,0)，则可设直线PR 方程为x ＝ny ＋b,并设R(x3,y3)，同理可知，⎩⎨⎧-==+by y n y y 223131②--7分由①、②可得32y b y a=由题意，Q 为线段RT 的中点，∴y3＝2y2，∴b=2a又由（Ⅰ）知，y1y2＝－4，代入①，可得－2a ＝－4∴a ＝2．故b ＝4．∴831-=y y ∴3123123124)(1||1|PR |y y y y n y y n -+⋅+=-+=2481222≥+⋅+=n n .当n=0，即直线PQ 垂直于x 轴时|PR|取最小值245.已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C （﹣1，0）的直线l 与椭圆C2交于A ，B 两个不同的点，若，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）所给直线方程变形为，可知直线所过定点为．∴椭圆焦点在y 轴，且c=，依题意可知b=2，∴a2=c2+b2=9．则椭圆C1的方程标准为；（Ⅱ）依题意，设椭圆C2的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），∵λ＞1，∴点C（﹣1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点．当直线l垂直于x轴时，（不是零向量），不合条件；故设直线l为y=k（x+1）（A，B，O三点不共线，故k≠0），由，得．由韦达定理得．∵，而点C（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），则y1=﹣2y2，即y1+y2=﹣y2，故．∴△OAB的面积为S△OAB=S△AOC+S△BOC====．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB的面积取得最大值．∴直线的方程为或．6.已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．【解答】（Ⅰ）解：由已知得g（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a．…（2分）①当时，△≤0，g'（x）≥0，此时，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（3分）②当时，设方程2x2+x﹣a=0的两根为，若，则x1＜x2≤0，此时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（4分）若a＞0，则x1＜0＜x2，此时，g（x）在（0，x2]上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，…..…（5分）综上所述：当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞0时，g（x）的减区间为（0，x2]，增区间为（x2，+∞）．…（6分）（Ⅱ）证明：由题意知，…（7分）∴，…（8分）考虑函数，则…（9分）所以x≠1时，h'（x）＜0，而h（1）=0…（10分）故x∈（0，1）时，，可得，x∈（1，+∞）时，，可得，…（11分）从而当x＞0，且x≠1时，．。
数学专升本考试试题(含答案解析)
数学专升本考试试题（含答案解析）一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 4x + 3在区间[1, 3]上的最大值为M，最小值为m，则Mm的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：C解析：函数f(x) = x^2 4x + 3在区间[1, 3]上的最大值和最小值分别为f(1)和f(3)，计算可得M = f(1) = 0，m = f(3) = 0，所以Mm = 00 = 0，故选C。
2. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 25，则数列{an}的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (a1 + an)，代入S5 = 25，得到5/2 (a1 + a5) = 25，又因为a5 = a1 + 4d，所以5/2 (a1 + a1 + 4d) = 25，化简得到a1 + 2d = 5。
又因为S5 =5/2 (a1 + a5) = 5/2 (2a1 + 4d) = 5(a1 + 2d)，代入S5 = 25，得到5(a1 + 2d) = 25，解得a1 + 2d = 5。
联立两个方程，得到d = 2，故选A。
3. 若圆x^2 + y^2 = 1上的点到原点的距离为r，则r的取值范围是（）A. 0 < r < 1B. 0 ≤ r ≤ 1C. r > 1D. r ≥ 1答案：B解析：圆x^2 + y^2 = 1上的点到原点的距离为r，即r^2 = x^2 + y^2，因为x^2 + y^2 = 1，所以r^2 = 1，即0 ≤ r ≤ 1，故选B。
4. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时的导数为2，则b的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时的导数为2，即f'(1) = 2，计算f'(x) = 2ax + b，代入x = 1，得到f'(1) = 2a +b = 2，解得b = 2 2a，故选A。
2023年河南专升本高数真题
河南省一般高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷一、单项选择题（每题2分，合计60分）在每题旳四个备选答案中选出一种对旳答案，并将其代码写在题干背面旳括号内。
不选、错选或多选者，该题无分. 1.函数xx y --=5)1ln(旳定义域为为 （ ）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x 2.下列函数中,图形有关y 轴对称旳是 （ ） A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D. 222xx y -+=3. 当0→x 时，与12-x e等价旳无穷小量是 （ ）A. xB.2x C. x 2 D. 22x4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （ ）A. eB. 2e C. 3e D. 4e5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处持续，则 常数=a （ ） A. 1 B. -1 C. 21 D. 21- 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim 0=--→h f h f h ,则=')1(f（ ）A. 1B. 21-C. 41D. 41-7.由方程yx exy +=确定旳隐函数)(y x 旳导数dydx为 （ ） A.)1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.)1()1(-+x y y x8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ）A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f nC. 1)]()[1(++n x f n D. 1)]([)!1(++n x f n9.下列函数在给定旳区间上满足罗尔定理旳条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-xxe x fC.]1,1[,11)(2--=x x f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( )A.增长,曲线)(x f y =为凹旳B.减少,曲线)(x f y =为凹旳C.增长,曲线)(x f y =为凸旳D.减少,曲线)(x f y =为凸旳 11.曲线xey 1-= （ ）A. 只有垂直渐近线B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线12.设参数方程为⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （ ） A.t a b 2sin B.t a b32sin - C.t a b 2cos D.tt a b 22cos sin - 13.若⎰+=C e dx ex f xx11)(，则=)(x f （ ）A. x 1-B. 21x- C. x 1 D. 21x14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （ ） A.C x F +)(sin B.C x F +-)(sin C.C x F +)(cos D.C x F +-)(cos15.下列广义积分发散旳是 （ ）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx xC.⎰+∞e dx x x lnD.⎰+∞-0dx e x 16.=⎰-11||dx x x （ ）A.0B.32 C.34 D.32- 17.设)(x f 在],[a a -上持续,则定积分⎰-=-aadx x f )( （ ）A.0B.⎰adx x f 0)(2C.⎰--aadx x f )( D.⎰-aadx x f )(18.设)(x f 旳一种原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （ ）A.C x x +-2sin 2121 B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 2119.设函数)(x f 在区间],[b a 上持续,则不对旳旳是 （ ） A.⎰ba dx x f )(是)(x f 旳一种原函数 B.⎰xadt t f )(是)(x f 旳一种原函数C.⎰axdt t f )(是)(x f -旳一种原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 旳关系是 （ ） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行 21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处旳两个偏导数x z ∂∂和yz∂∂存在是它在该点处可微旳 （ ）A.充足条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件 22.设yxz 2ln= ，则=)2,1(dz （ ） A.dx x y 2 B.dy dx 2121- C.dy dx 21- D.dy dx 21+ 23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 旳极小值点是 （ ） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1( 24.二次积分⎰⎰22),(x dy y x f dx 写成另一种次序旳积分是 （ ）A. ⎰⎰402),(ydx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dy C.⎰⎰422),(xdx y x f dy D. ⎰⎰402),(ydx y x f dy25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成旳闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（ ）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (ardr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f dC.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 旳一段弧，则=+⎰Ldy x xydx 22（ ）A. -1B.1C. 2D. -127.下列级数中，条件收敛旳是 （ ）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n n nC ．∑∞=-121)1(n nn D ．∑∞=+-1)1()1(n nn n 28. 下列命题对旳旳是 （ ） A ．若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数21)(n n nv u+∑∞=收敛B ． 若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数)(212n n n v u+∑∞=收敛C ． 若正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数21)(n n nv u+∑∞=收敛D ． 若级数∑∞=1n nn vu 收敛，则级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv都收敛29. 微分方程y x y y x -='-2)2(旳通解为 （ ） A. C y x =+22B. C y x =+C. 1+=x yD. 222C y xy x =+-30.微分方程0β222=+x dtx d 旳通解是 （ ）A. t C t C x βsin βcos 21+=B. t te C e C x β2β1+=-C. t t x βsin βcos +=D. t te ex ββ+=-二、填空题（每题2分，共30分）1.设2)1(2+=+x x f ,则=-)2(x f _________.2.526lim22=--+→x ax x x ,则=a _____________. 3.设函数x y arctan =在点)4π,1(处旳切线方程是__________. 4.设xxe x y 1=，则=dy ___________.5.函数x x y ln 22-=旳单调递增区间是 __________. 6.曲线xey =旳拐点是_________.7.设)(x f 持续,且x dt t f x ⎰=3)(,则=)27(f _________.8.设3)2(,2)2(,1)0(='==f f f ，则 ⎰=''10)2(dx x f x __________. 9.函数⎰-=xt dt te y 0旳极小值是_________.10.⎰=+-dx x x xcos sin 1 ________.11. 由向量}2,1,0{},1,0,1{=-=b a为邻边构成旳平行四边形旳面积为______.12.设y z z x ln = ，则 =∂∂+∂∂yz x z _________. 13.设D 是由0,,12==-=y x y x y ，所围成旳第一象限部分,则⎰⎰Ddxdy x y 2)( =_______.14.将223)(x x x f -+=展开为x 旳幂级数是_________.15.用待定系数法求方程xe x y y y 2)12(44+=+'-''旳特解时,特解应设为_____ _____.三、计算题（每题5分，共40分）1．xx x x x cos sin 1lim2-+→.2.已知2arctan )(,2523x x f x x y ='⎪⎭⎫⎝⎛+-=,求0=x dx dy .3.求不定积分⎰+dx xx 231.4.设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0,210),1ln()(x xx x x f ,求⎰-20)1(dx x f .5.设),sin (22y x y e f z x+= ，其中),(v u f 可微，求yzx z ∂∂∂∂,. 6．求⎰⎰Ddxdy yx 22，其中D 是由2,1===x x y xy 及所围成旳闭区域. 7．求幂级数12012)1(+∞=∑+-n n n x n 旳收敛域（考虑区间端点）.8．求微分方程 0cos 2)1(2=-+'+x xy y x 通解. 四、应用题（每题7分，合计14分）1. 一房地产企业有50套公寓要出租,当月租金定为元时,公寓会所有租出去,当月租金每增长100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去旳公寓每月需花费200元旳维修费.试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?2.平面图形由抛物线x y 22=与该曲线在点)1,21(处法线所围成,试求: (1)该平面图形旳面积;(2)该平面图形绕x 轴旋转所成旳旋转体旳体积. 五、证明题（6分）试证：当0>x 时，有xx x x 11ln 11<+<+.。
辽宁省23年专升本数学考试真题及答案
选择题：函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点个数为：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个对于任意的x > 0，有lnx < ax，则a的取值范围是：A. a < 0B. 0 < a < 1C. a ≥ 1D. a ≤ 0已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a与向量b的夹角余弦值为：A. 1/2B. √2/2C. 0D. -1/2已知等差数列{an}中，a1 = 1，公差d = 2，则a10 =A. 17B. 19C. 21D. 23若矩阵A = [1 2; 3 4]，则A的行列式|A| =A. -2B. 2C. 5D. -5填空题：函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点为_______。
若复数z满足(1 + i)z = 2i（其中i为虚数单位），则z = _______。
圆x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0的圆心到直线x - y + 1 = 0的距离为_______。
已知椭圆的标准方程为(x^2/9) + (y^2/4) = 1，则椭圆的焦距为_______。
不等式x^2 - 2x - 3 < 0的解集为_______。
简答题：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的单调区间。
已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，求向量a与向量b的夹角。
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 1，S3 = 9，求数列{an}的通项公式。
已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的顶点为(1, -1)，且过点(0, 3)，求函数f(x)的解析式。
解不等式x^2 - 2x - 8 > 0。
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高等数学（二）命题预测试卷（二）'、选择题（本大题共 5个小题，每小题4分，共20分。
在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）A .B . 1 In 22C . 1D . In 25•设u _ xy zu 等于（)xA . zzxyB . xy z 1C . y z 1D . y zx 为)4.若 f (hx1、填空题：本大题共10个小题, ，则 11 •下列函数中，当 x —■ 1时，与无穷小量 （1 x ）相比是高阶无穷小的是（A . ln( 3 =x) C . cos(x 1) 2.曲线 y 3护：A . 处处单调减小C . 具有最大值x 3 - 2x 2 xD . x 21B •处处单调增加 D •具有最小值3•设f （x ）是可导函数，且 limx、f ( x o + 2h)f (x0)= 1，贝U f (X 0 )为( ) h1[f ( x)dx 10个空，每空4分，共40分，把答案填在6. 设 z —e xy 一 yx则'Z&(1,2 )x f ( x) __In x ，则 f (3厂则f (」)_ ______ +2在⑴“）内是（x题中横线上。
110. lim (1 _ 1 ) x2x1x sin 2xdx -11 cos2 x、解答题：本大题共 13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。
斗0x的间断点.计算lim ,x2x 2 1x 一 016.（本题满分6 分)17.（本题满分6 分)11 .函数 f (x) - 1 (e 八e x ）的极小值点为12.若lim2x ax 一 4，则曲线y arctanx 在横坐标为1点处的切线方程为函数y 二•0sin tdt 在 X r处的导数值为求函数f （x ）arcta n 018. （本题满分6分）x) x 计算lim In arcs in x (1x 0123 •（本题满分6分）若f （ x ）的一个原函数为 xln x ,求 x f （ x ）dx .19 •（本题满分6分）设函数f (x)Xe x_ln(1 x)x 0 ，求 f ( x) • -1 x 020 •（本题满分6分）求函数y -sin （ x y ）的二阶导数.21 •（本题满分6分）求曲线f （x ） _x 42x 3的极值点.22 •（本题满分6分）x 3计算dx •24•（本题满分6分）1已知k dx _ _1，求常数k的值.1 x2 225.（本题满分6分）求函数f （x, y） - y 3 _x 2 6 x _12 y用5的极值.26 •（本题满分10分）求fJ（ x2+y）dxdy，其中D是由曲线y =x 2与x=・y 2所围成的平面区域.D27.（本题满分10 分）、 2 a a设f ( x) N - J f ( x)dx，且常数a 于-1，求证：f (x)dx0 028 •（本题满分10分）求函数y —lnX的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近x线并作出函数的图形.3 ——a3(a 1)参考答案1_ 1丄 In lim arcs in x lim (1 x) xx 0x 0'、选择题 1、填空题6. 2e 27. e31x-0逐 1比 二 (x 1)42sin2IE、解答题16 •解 这是一个分段函数，f ( x)在点x 二0的左极限和右极限都存在.lim f ( x)x 0-1 -lim a r c t a nx 0’x2117 •解 I i m f ( x) Tx 0lim f ( x) x ■ 0戸 I i ma r c t a ~n -^ —x o x 2 lim. f ( x)x 0故当* 0时，f (x)的极限不存在，点x-0是f ( x)的第一类间断点.原式二lim xx十V 2x — 1弋 ----- lim2 1 x :题1 1 xx 2_ 1 _ 21 2 -X 218 •解由于x - 0是初等函数In f (x) 的可去间断点， 故 lim In f (x) —In lim f ( x)x W 0x 0'〔 1In lim a r c s xi n(1 x) xx 01ln( 0 e) In e 1 ._ 1y - s i nx( y)1F JL JL J -JL.y - cos(x y)(1 y )_ c o sx( y) y c o sx( y) y _ ^sin( x y)(1 y ) y c o sx( y)cos( x y) y2s i nx( y)c o sx(■y) 3先在x 匸0时，分别求出函数各表达式的导数，即1111当 X 芬 0 时，f ( x)丄 xe x ):'至 x -^xe _ A1Z 1 二 e「X (1 x 21_ . x 1然后分别求出在x-0处函数的左导数和右导数，当 _1 x : 0 时，f(X) _ |ln( X f 1)]f (0) _ l i m___1 _ 1x —0 -x 』1二 1f( 0)「lim e x(1 —)£x f x 从而f 一(0广f (0)，函数在 x - 0处不可导.e 所以f ( x)-1x (1 二)x 11 cos(xy)豔一 sin( x y)(1 y一 一1 _ c o sx( y)代入②得yz . 1cos( x * y)cos(x + y) 1 +1 匕+ - 1 cos(x1 cos(x y)片脣 s i nxf y) (1 +y )又由①解得先出求f ( x) 的一阶导数：f ( x) - 4x36x 2- 4x2 (x - 3)2令 f ■( x 」0 即 4x 2 (x )=0 解得驻点为 X1= 0, x ^_3; •2 2再求出 f ( x)的二阶导数 f ( x) - 12x 2 — 12x-12x( x 1) •X 1二0不是极值点.当 X2—3 时，f (3)—9 0，故 f ( 3 )— 一 27 是极小值. 2 2二 时，二 ，当X 12 在(一，0)内，f (x)163送0，在(J 3)内f ( X)吒0 2总之曲线 f (x) _x42x 2只有极小值点22 •解3 3X X X XX2 1 X2 1x(x 2+ 1)- X xX2 1 _ X2 123 •解- f X3 dx =『(x_ ____ )dx 二f xdx _ [——dx…’x2册1 x 2+ 1 x 2槽1 =1 X 2 _4 0( x 2+ 1 — X2_J I n x(2+1) -C2 2x1 2 2由题设知 f (x)二(x In x) In x x(ln x)二In x 1故x f (x)dx 」[x(ln x 1)dx一x In x d x x d x-In x 1 dx 2 1 x 22 2In x x 2 - x2 d ( l nxj 1 X222In x x - 1 x? 1 dx 亠-仪 2 2 x 22x In x 1 xdx 1 1 x2J24 •解2 40 k o 12 dx 」k 21 x 1 x12 dx1 xctan x a°= k，一a r c t a)n "kdx "k lima故 k _ 1 解得k _ 1・2 2解• f ◎一2 x 6, f - 3y 2 — 122x 6 _ 0解方程组4得驻点A o (3,2), B o (3,-2)i 3y 2 —12 =0xy一 0,C 戸 f yy 冃 6 y对于驻点 A 0 : A 一 2, B - 0,C - 6y x 3一 12，故 B ? y 二 2AC240 ■驻点A 0不是极值点.对于驻点 B o : A 二一 2, B 0, C= 6y.3二 -12y — 2AC -24 0，又 A2 0 .函数f ( x, y)在B o (3, 2)点取得极大值f (3, 3) =「2) 3—9 亠18 + 24* 5= 30y -x 2与x- y 2得两曲线的交点为0(0,0)与A(1,1) -y 2 ( y 0)的反函数为 厂 x .1y) dxdy 一 dx 2 (x 2y)dy ：耳 F (x 2y - y0 x 0 2)2xdxx51(X“2 - x) ( x 42dx2 73 5 = (-X 27 +4 X 2- — x 5) 7 4 10aX2 - f ( x)dx dx - 0 a 0 - a 2 x dx-」|d 二 T x 30^ 3 a .■ a = —a I f ( x) dx f ( x)dx dx a[f (x)dx a-dxaf ( x) dxoa3(a 1)28 •解(1)先求函数的定义域为(0,：).in x(2)求y和驻点：y 1 ，令y ■ 0得驻点x e .x2(3)由y的符号确定函数的单调增减区间及极值., 1—in x当0<i x<e时，y'=——沪0，所以y单调增加;x当x e时，y ' 0 ，所以y单调减少.1为极大值.y由极值的第一充分条件可知y x e e(4 )求y并确定y的符号：yin x 3，3当0 • x e2时，y 0，曲线y为凸的;3当x》e2时，y、0，曲线y为凹的.3 3根据拐点的充分条件可知点(e 2 , - e 2 )为拐点.2这里的y和y的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下:x(0,e) e _ 3(e,e2)3e2-32 +□<] (e2,)y+0 —仔细。
f ( x)dx a -就表上所给的y和y符号，可得到：in x函数y r——的单调增加区间为(0, e);In x函数y _ 的单调减少区间为(e「.)；xIn x函数y二的极大值为y(e)二1 ；x e3函数y —In x的凸区间为(0, e2)；x3函数y _ln x的凹区间为(e2，’ )；x3 3函数y _ln x 的拐点为(e2,3e 2 ).x 2(5) 因为lim In x _ 0 , lim In x三•xx x f+ x所以曲线y二In x有x水平渐近线y - 0铅垂渐近线x二0(6 )根据上述的函数特性作出函数图形如下图.1设f (x)二 arcsinx (1 x) x.。