4.平行线的证明方法专题
证明平行的方法
证明平行的方法在几何学中，平行线是指在同一平面上永远不会相交的直线。
证明两条直线平行的方法有很多种，下面将介绍几种常见的证明方法。
1. 同位角相等法。
同位角是指两条直线被一条第三条直线所切割时，位于这两条直线同侧的对应角。
如果两条直线被一条第三条直线所切割，而同位角相等，则可以证明这两条直线平行。
这是由于同位角相等是平行线的必要条件。
在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量两组同位角，如果它们相等，则可以得出结论，这两条直线平行。
2. 转角相等法。
转角相等法是指如果两条直线被一条第三条直线所切割，而它们的内部转角相等，则可以证明这两条直线平行。
在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量两组内部转角，如果它们相等，则可以得出结论，这两条直线平行。
3. 垂直线法。
垂直线法是指如果两条直线被一条第三条直线所切割，而它们的交叉角相等，则可以证明这两条直线平行。
在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量交叉角，如果它们相等，则可以得出结论，这两条直线平行。
4. 对应角相等法。
对应角相等法是指如果两条直线被一条第三条直线所切割，而它们的对应角相等，则可以证明这两条直线平行。
在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量两组对应角，如果它们相等，则可以得出结论，这两条直线平行。
5. 平行线性质法。
平行线性质法是指如果两条直线被一条第三条直线所切割，而它们的一组内部转角之和为180度，则可以证明这两条直线平行。
在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量两组内部转角，如果它们之和为180度，则可以得出结论，这两条直线平行。
综上所述，证明两条直线平行的方法有同位角相等法、转角相等法、垂直线法、对应角相等法和平行线性质法等多种。
在实际操作中，可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
希望本文介绍的方法能够对大家理解和掌握平行线的证明提供帮助。
平行线四种常见模型解题技巧(解析版)--2024年新八年级数学
平行线四种常见模型解题技巧题型聚焦题型一：“猪蹄”模型题型二：“铅笔”模型题型三：“鸡翅”模型题型四：“骨折”模型难题突破模型一：“猪蹄”模型如图，若AB⎳CD，你能确定∠B、∠D与∠BED的大小关系吗？解：∠B+∠D=∠DEB．理由如下：过点E 作 EF⎳AB又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠D=∠DEF．∠B=∠BEF．∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠DEB即∠B+∠D=∠DEB．猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。
如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系．思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D．思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E．小结证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。
重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。
猪蹄模型(又名燕尾模型、M字模型)结论：∠B+∠D=∠E步骤总结步骤一：过猪蹄(拐点)作平行线步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角步骤三：推导出角的数量关系模型二、“铅笔”模型如图，AB⎳CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系？解：∠B+∠D+∠DEB=360°．理由如下：过点E 作 EF⎳AB．又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠B+∠BEF=180°．∠D+∠DEF=180°．∴∠B+∠D+∠DEB=∠B+∠D+∠BEF+∠DEF=360°．即∠B+∠D+∠DEB=360°．从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。
模型结论：∠B+∠E+∠D=360°二、模型证明如图，若AB⎳CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°证明一：如图，过点E作FG⎳AB∵ AB⎳FG，AB⎳CD∴ FG⎳CD∵ AB⎳FG∴∠BEF+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补)∵FG⎳CD∴ ∠D+∠DEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°∴∠B+∠D+∠BED=360°证明二：如图，连接BD，∵AB⎳CD∴∠ABD+∠BDC=180°在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°∴∠ABE+∠E+∠CDE=360°证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。
证明线面平行的三种方法
证明线面平行的三种方法一、平行线的定义在欧几里得几何中，平行线是指在同一个平面中，永不相交的两条直线。
如果两条直线在平面上的任意一点处的夹角都相等，则这两条直线是平行线。
二、方法一：同位角定理同位角定理是证明线面平行中常用的一种方法。
同位角是指两条平行线被一条横截线所切割的角，它们在同一边的对应角。
1.假设有两条直线AB和CD，以及一条平行于AB和CD的横截线EF。
2.判断同位角：观察EF与AB和CD所形成的角，如果这些角相等，则可以得出AB和CD是平行线。
3.证明同位角相等：可以利用已知角度相等的定理，如垂直角定理（两条直线相交时，所形成的四个角中相对的角度相等）或同旁内角互补定理（两条直线切割同位角时，同位内角和邻补角的和为180度）来证明同位角相等。
三、方法二：转角定理转角定理也是证明线面平行中常用的一种方法。
该定理表明，如果两条直线所形成的转角相等，则这两条直线是平行线。
1.假设有两条直线AB和CD，以及一条与AB相交的横截线EF。
2.观察EF与AB和CD所形成的转角，如果这些转角相等，则可以得出AB和CD是平行线。
3.证明转角相等：可以利用已知角度相等的定理，如同位角定理、垂直角定理或同旁内角互补定理来证明转角相等。
四、方法三：等边三角形法等边三角形法是证明线面平行的另一种常用方法。
该方法利用了等边三角形的性质，即等边三角形的对边是平行的。
1.假设有两条直线AB和CD，以及一条与AB相交的横截线EF。
2.构造一个等边三角形AEF，其中AE=EF=AF，使得EF与CD重合。
3.由于AEF是等边三角形，所以DE=DF。
4.由于DE=DF且EF与CD重合，可以得出DE与CD重合，即DE和CD是平行线，从而得出AB和CD是平行线。
五、总结通过同位角定理、转角定理和等边三角形法，我们可以方便地证明线面平行的关系。
这些证明方法在几何学中的应用非常广泛，可以帮助我们研究和解决与平行线有关的问题。
在实际生活中，平行线的概念和性质也有着广泛的应用，如建筑、制图等领域。
北师大版八年级数学(上)第七章 平行线的证明 第4节 平行线的判定
B．∠2＝∠4
C．∠A＝∠5
D．∠ABC+∠C＝180°
解：A、∠1＝∠3 可知 AB∥CD，不能判断 AD∥BC，故 A 错误；
B、∠4＝∠2 能判断 AD∥BC，故 B 正确；
C、∠A＝∠5 可知 AB∥CD，不能判断 AD∥BC，故 C 错误；
平行线的判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等,那么 这两条直线平行.
简已述知为：知：如内图识错,∠点角1和相∠等2，是两直直线线a，平b行被.直线c截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a// b. 证明：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（对顶角相等）， ∴∠3=∠2（等量代换）. ∴a//b（同位角相等，两直线平行）.
解：A、∵∠A＝∠BDF，∴DF∥AC，错误；
B、∵∠1＝∠3，∴DF∥AC，错误；
C、∵∠2＝∠4，∴DE∥BC，正确；
D、∵∠A+∠ADF＝180°，∴DF∥AC，错误；故选：C．
例 2：已知：如图，在△ABC 中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为 D，F，∠1＝∠2．
求证：DE∥BC．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠AFE＝∠ADB＝90°，∴EF∥BD，∴∠1＝∠EDB，
当∠3＝∠4 时，可知是 DE 和 AC 被 AB 所截得到的内错角，可得 DE∥AC，故 C 可以；
当∠2+∠A＝180°时，是一对同旁内角，可得 DE∥AC；故 D 可以；故选：B．
练习：如图，下列四个条件中，能判断 DE∥BC 的是（ ）
A．∠A＝∠BDF
B．∠l＝∠3
C．∠2＝∠4
D．∠A+∠ADF＝180°
练习：四边形 ABCD 中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF 分别是∠ABC、∠ADC 的平分线．求证：
证明线面平行的三种方法
证明线面平行的三种方法
证明线面平行有以下三种方法：
直接法。
直接法是最常见的一种证明线面平行的方法，即通过对给定的线段和平面作出垂线，证明垂线互相重合，从而说明所给线段与平面平行。
例如，已知线段AB和平面CD，作点E使AE⊥CD，BE⊥CD，则AE和BE互相重合，因此AB与CD平行。
反证法。
反证法是通过假设所证明的命题不成立，利用矛盾推导证明该命题成立。
证明线面平行的反证法即假设所给线段与平面不平行，那么在平面内存在一条直线与所给线段相交，从而可以得到一个矛盾，因此该假设错误，所给线段与平面平行。
例如，如果假设AB 与CD不平行，则它们必然会相交，但根据定义，平行的两个直线不会相交，因此假设错误，AB与CD平行。
平行线之间的性质法。
平行线之间的性质是指对于两个平行线及其所在的平面，它们之间的任意一条截线与这两条线的夹角都相等。
因此，用平行线之间的性质来证明线面平行，只需要证明所给线段与平面的任意一条截线与所给线段的夹角等于所给线段与平面的任意一条垂线的夹角即可。
例如，已知线段AB和平面CD，假设通过B点作平面CD的一条截线EF，其中E在AB上，则∠BEF=∠BED，而∠BED是所给线段与平面的垂线的夹角，因此∠BEF=∠BED，证明了线面平行。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
线线平行的证明方法
线线平行的证明方法线线平行是几何学中的一个重要概念，它在直线和平面几何中有着广泛的应用。
在几何证明中，证明线线平行是一个常见的问题，本文将介绍几种常用的证明方法。
首先，我们来看一种常见的证明方法——使用等角定理。
等角定理指出，如果两条直线被一条直线交叉，而又分别与这条直线所成的相同对顶角相等，则这两条直线是平行的。
这个定理可以被用来证明线线平行的问题。
例如，如果我们需要证明AB线与CD线平行，我们可以找到它们与一条直线EF的交点，然后通过观察它们所成的角是否相等来判断它们是否平行。
其次，还有一种证明方法是使用平行线的性质。
平行线有一个重要的性质，即平行线上的对应角相等。
这个性质可以被用来证明线线平行的问题。
例如，如果我们需要证明AB线与CD线平行，我们可以找到它们之间的一组对应角，然后通过观察这些对应角是否相等来判断它们是否平行。
另外，还有一种证明方法是使用平行线的转角定理。
平行线的转角定理指出，如果两条直线被一条直线交叉，而且它们的转角相等，则这两条直线是平行的。
这个定理同样可以被用来证明线线平行的问题。
例如，如果我们需要证明AB线与CD线平行，我们可以找到它们与一条直线EF的交点，然后通过观察它们的转角是否相等来判断它们是否平行。
除了以上提到的方法，还有许多其他方法可以用来证明线线平行的问题，如使用同位角定理、使用平行线的性质等。
在实际的几何证明中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行证明。
总之，线线平行的证明方法有很多种，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行证明。
通过掌握这些证明方法，我们可以更加灵活地解决几何问题，提高解题的效率和准确性。
希望本文介绍的内容能够对大家有所帮助。
小专题三证明平行线中几种常见的结论
小专题（三）证明平行线中几种常见的结论学习目标:1.利用直线的平行性质证明角的相等．2.利用角的关系判定直线平行．学习重点：两直线平行的性质的应用.学习难点：找角的关系来判定两直线平行.学习过程：一、课前热身(知识准备)平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补；二、新知探究：类型1 证明角相等已知：如图1所示，DE//BC，CD平分<ACB，求证：32∠=∠．图1 典例1：已知：如图2所示，AB∥CD，AC∥DE．求证：<A=<D．图2反馈1：已知：如图3所示，AB∥CD，<1=<2，求证：<E= <F．图3类型2 证明角平分线已知：如图4所示，AE ⊥BC,DF ⊥BC,E,F 为垂足，<A =<1．求证：DF 平分<BDC图4典例2：如图5,∠1+∠2=180°,∠DAE=∠BCF,DA 平分∠BDF.(1)AE 与FC 会平行吗?说明理由； (2)AD 与BC 的位置关系如何?为什么? (3)BC 平分∠DBE 吗?为什么？图5类型3 证明两直线平行已知：如图6所示，BE 平分<ABC ，CF 平分<ACB ，且<ABC =<ACB,<1=<D ． 求证：CF ∥DE ．图6典例3：如图7所示，已知AB ∥CD ，D B ∠=∠，求证：AD ∥BC ．图7反馈2：F E21DCBA如图8所示，已知AB∥CD，EM、FN分别平分<BEF 和<CEF．求证：EM∥NF．图8三、思维模型总结本单元中证明两角相等的方法主要有：（1）对顶角相等；（2）同角（或等角）的余角相等；（3）同角（或等角）的补角相等；（4）两直线平行，同位角相等；（5）两直线平行，内错角相等；（6）两直线平行，同旁内角互补；本单元中证两直线平行的方法主要有：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）都与第三条直线平行的两直线互相平行；四、课堂检测1.如图9所示，点O在CD上，OE⊥AB于E，当<1是什么角时AB∥CD？图92.如图10所示，已知<B=<D，AB∥CE，求证：CE∥DF．图103. 已知：如图11∠1=∠2，∠C =∠D ，问∠A 与∠F 相等吗？试说明理由．图114. 如图12所示，已知BE 、CE 分别平分<ABC 、<BCD ，∠1+∠2=90°．求证：AB ∥CD ．图125.如图13，DE ⊥AB ，EF ∥AC ，∠A=35°，求∠DEF 的度数。
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B =BCD =65 两直线平行，内错角相等 BCN =DCN 32.5
∥
Q AB
CD 已知 ，B 65
添加辅助线的方法
则C 等于（ D ） A.20 B.35 C.45 D.55
∥
1. 如图，已知AB
CD ，若A 20 ，E 35 ，
平行线判定和性质的综合运用 ----满分突破
教师：廖延梅
内
容
提
要
一 、有关平行线的综合问题 二、 添加辅助线的方法
三 、探究型问题
四、 综合能力提升
有关平行线的综合问题
1.已知如图，BF AC ，AGF ABC ，1 2 180 试判断DE 与AC的位置关系，并证明 C 证明：Q AGF ABC 已知
∥
CD ，FG
∥
Q E 140 ，即BEH +DEH =140
∥
Q BF 平分ABE ，DF 平分CDE AB CD FG ABF BFG CDF DFG 1 ABE 2
1 CDE 两直线平行，内错角相等 2 1 BFD =BFE +DFG = ABE +CDE =110 2
E F 1 3 A G B D
GF ∥ BC 同位角相等，两直线平行
1= 3 两直线平行，内错角相等 Q 1+ 2=180 已知 3+ 2=180
2
DE ∥ BF 同旁内角互补，两直线平行 Q BF AC 已知 DE AC
AFC. 如图，AB
CD ，BEF 85 ，求ABE EFC FCD
解：过E作MN AB ，过F 作PQ AB AB CD AB MN PQ CD N 设ABE = ，NEF ，PEC Q NEB =ABE = PFE NEF
∥
1 ABC 两直线平行，同位角相等
∥
3.已知AB∥ CD ，B 65 ，CM 平分BCE ，MCN 90 ， 求DCN 的度数.
3.已知AB∥ CD ，B 65 ，CM 平分BCE ，MCN 90 ， 求DCN 的度数.
解：Q ECM MCN DCN 180 平角定义 MCN 90 ， 即MCB BCN =90 ECM DCN 90 Q CM 平分BCE ， MCB =ECM 角平分线定义 BCN DCN 等角的余角相等
探究型问题
1. 阅读材料 1，并利用 1 的结论解决问题 2 和 3 .
∥
∥
∥
A
P M Q N
E C
F
数形结合思想
AEM EAB B MEC ECD AEM MEC EAB ECD 1 1 EAF EAB ，ECF ECD ， 4 4 3 AFP BAF EAB ， 4 D 3 CFP DCF ECD 4 3 3 AFP CFP EAB ECD 4 4 3 3 AEM MEC AEC 4 4
， 2. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，1 30 2 50 ，则3的度数是（ C ） A.50 B.30 C.20 D.15
，1+2=ABC ，求证：AB GF . 3.已知，如图CD EF
∥
C 2 D E F 1 B A
H
G
∥
∥ ∥
∥
∥
1 1 ，EAF EAB ，ECF ECD ， 4. 如图，已知AB CD 4 4 解：过E作MN AB ，过F 作PQ AB 3 AB CD 求证：AFC AEC 4 AB MN PQ CD
∥
M P
α β β γ
C =180 ABE EFC FCD C
BEF 85 ，即 + =85 ABE EFC FCD =85 +180 =265
数形结合思想
∥
α
∥ ∥
的度数.
∥
∥
，EFA 30 ，FGH 90 ，HMN 30 ， 6. 如图，直线AB CD CNP 50 ，则GHM 的大小是 __________ .
AB平分MAD ， AC 平分NAD
，点A在直线MN 上，点D在线段BC 上， 2.已知如图.直线MN ∥ BC AB平分MAD ，AC 平分NAD ，DE AC 于E ，求证：1=2.
A M 2 N
证明：AB平分MAD ，AC 平分NAD ， BAD
1 1 MAD ，CAD NAD 2 2 E 1 1 BAD CAD MAD NAD 2 2 1 1 C B MAD NAD 90 D 2 Q MN BC BA AC 2 ABC 两直线平行，内错角相等 Q DE AC 1 2 等量代换 BA DE 垂直于同一直线的两条直线互相平行
∥
，ABE 和CDE的平分线相交于点F ， 7. 如图，已知AB∥ CD E 140 ，求BFD的度数.
∥ ∥
解：过E 作EH EH AB ，过F 作FG CD
AB
H G
∥ ∥
Q AB
CD
BEH ABE 180 DEH CDE 180 ABE CDE =220
2. 已知如图.直线MN ∥ BC ，点A在直线MN 上，点D在线段BC 上，
AB平分MAD ，AC 平分NAD ，DE AC 于E ，求证：1=2. 要证明1=2 A N Q 2=B M 2 E 1=B
1 B D C
AB P DE Q DE AC AB AC