第1课时 综合法
2.2.综合法与分析法-人教B版选修1-2教案
2.2.综合法与分析法-人教B版选修1-2教案
1. 教学目标
1.了解综合法与分析法的概念和特点；
2.掌握综合法与分析法在数学问题中的应用；
3.培养学生的分析问题和解决问题的能力。
2. 教学内容
1.综合法的概念和特点；
2.分析法的概念和特点；
3.综合法与分析法在数学问题中的应用。
3. 教学重点和难点
3.1 教学重点
1.综合法与分析法的应用；
2.解决实际问题的能力。
3.2 教学难点
1.综合法与分析法的区别和联系；
2.培养学生的解决实际问题的能力。
4. 教学方法
4.1 教学过程
本节课主要采用讲授和练习相结合的教学方法。
1.引入（5分钟）
首先让学生回顾前面学习的知识点，了解综合法和分析法的概念，为本节课的学习做好铺垫。
2.讲授（30分钟）
具体讲解综合法与分析法的概念和特点，并通过案例演示在数学问题中的应用方法。
3.练习（25分钟）
让学生在教师的指导下，针对综合法和分析法的应用问题进行练习。
4.课堂小结（10分钟）
本节课的学习重点、难点和解决方法进行总结。
4.2 教学手段
采用黑板、PPT和实物演示等多种教学手段，深入浅出地讲解综合法和分析法的应用。
5. 教学资源
1.讲义和PPT；
2.实物演示材料。
6. 作业
1.完成教师布置的相关题目练习；
2.思考如何将综合法与分析法运用到实际生活中。
7. 教学评估
1.课堂练习成绩；
2.作业完成情况；
3.学生思维能力提高情况。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.2.1 第1课时 综合法和分析法教案 新人教A版选修1-2
2．2.1 综合法和分析法第1课时综合法及其应用(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能结合学过的数学实，了解直接证明的基本方法：综合法．了解综合法的思维过程、特点．2．过程与方法会用综合法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．3．情感、态度与价值观通过学生参与，激发学生学习数学的兴趣，端正学生严谨治学的态度，提高其思维论证能力．●重点难点重点：掌握综合法的思维过程、特点及其解题步骤，会用综合法证明数学问题．难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，应用综合法证明较复杂的数学问题．综合法是从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后得出所要证明问题．所以分析解读已知条件、挖掘隐含条件是解决问题的关键因素，在教学过程中指导学生正确审题，合理应用已知条件可达到事半功倍的效果．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采取探究式教学方法，教师主要作用在“引导”“点拨”，让学生自主思考综合法的证明特点，总结解题步骤，对于不同类型的问题如何思考、如何推理，教师应给出必要的指导．另外应注意引导学生学会分析和利用已知条件，阐明如何挖掘题目的隐含条件，如何联想与所证问题有关的定理、公理、公式等．证明过程中要注意每一步证明的充分性，注重由因导果推理方式的思路引领．在解答每一个例证前，最好先引导学生分析出思维路线图．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识直接证明的方法之一——综合法． 让学生自主完成填一填，使学生进一步了解综合法的证明格式、步骤、作用等． 引导学生分析例题1的已知条件，师生共同探究证明思路，学生自主完成证明过程，教师指导完善．完成变式训练． 学生分组探究例题2解法，总结用综合法证明立体几何问题的规律方法．完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正． 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法． 学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导． 让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法，老师组织解法展示．引导学生总结解题规律．阅读下列证明过程，回答问题．已知实数x，y满足x＋y＝1，求证：2x＋2y≥2 2.证明：因为x＋y＝1，所以2x＋2y≥22x·2y＝22x＋y＝22，故2x＋2y≥22成立． 1．本题的条件和结论是什么？【提示】 条件：x ＋y ＝1，结论2x＋2y≥2 2. 2．本题的证明顺序是什么？【提示】 从已知条件利用基本不等式到待证结论． 1．综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的框图表示P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论)已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：a ＋b≥4.【思路探究】 解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法，即可得出结论．【自主解答】 法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ＞0(当且仅当a ＝b 时，取等号)． 又0＜ab ≤12，0＜ab ≤14，∴1ab ≥4，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4.法二 ∵a ，b 是正数， ∴a ＋b ≥2ab ＞0， 1a ＋1b≥21ab＞0(当且仅当a ＝b 时，上两式取等号)．∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2b a ·ab＝4(当且仅当a ＝b 时，取等号)．1．解答本题时，关键是灵活运用条件a ＋b ＝1. 2．综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件，组织过程．把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．(2013·新乡高二检测)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －bb＋a ＋b －cc＞3. 【证明】 左边＝(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(a c ＋c a)－3， 因为a ，b ，c 为不全相等的正实数， 所以b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2， 且上述三式的等号不能同时成立，所以(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(a c ＋c a)－3＞6－3＝3， 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＞3.11111111111AB 的中点．图2－2－1求证：(1)C1M⊥平面AA1B1B.(2)A1B⊥AM.(3)平面AC1M∥平面B1NC.【思路探究】(1)由B1C1＝A1C1，M为A1B1的中点可知C1M⊥A1B1，再根据C1M⊥A1A即可得证．(2)要证A1B⊥AM，可转化为证明A1B⊥平面AC1M.(3)要证面面平行，应转化证明线面平行．【自主解答】(1)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1＝A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1.又∵C1M⊥A1A，A1A∩A1B1＝A1，A1A，A1B1⊂平面AA1B1B，∴C1M⊥平面AA1B1B.(2)∵A1B⊂平面AA1B1B，由(1)知C1M⊥平面AA1B1B，∴A1B⊥C1M.又A1B⊥AC1，AC1，C1M⊂平面AC1M，AC1∩C1M＝C1，∴A1B⊥平面AC1M.又∵AM⊂平面AC1M，∴A1B⊥AM.(3)在矩形AA1B1B中，易知AM∥B1N，AM⊄平面B1NC，B1N⊂平面B1NC，∴AM∥平面B1NC.又C1M∥CN，CN⊂平面B1NC，C1M⊄平面B1NC，∴C1M∥平面B1NC.又∵C1M∩AM＝M，C1M，AM⊂平面AC1M，∴平面AC1M∥平面B1NC.平行与垂直关系的转化：本例重点强调在证明空间线线垂直、线线平行、线面垂直、线面平行、面面平行或垂直问题时，要特别注意平行与垂直之间的相互转化，如：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊥c ⇒a ⊥c ，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊥α⇒a ⊥α，⎭⎪⎬⎪⎫α∥ββ⊥γ⇒α⊥γ等．其中线面平行和线面垂直一般起到关键作用，如本例(2)中通过证明A 1B ⊥平面AC 1M 来证明A 1B ⊥AM ；本例(3)中，通过证明AM ∥平面B 1NC ，C 1M ∥平面B 1NC ，来证明平面AC 1M ∥平面B 1NC .将本例条件“B 1C 1＝A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点”改为“AB ＝BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点”，求证：(1)B 1C ∥平面A 1BD .(2)B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.【证明】 (1)如图，连接AB 1. 令AB 1∩A 1B ＝O ， 则O 为AB 1的中点． 连接OD ，∵D 为AC 的中点， ∴在△ACB 1中，有OD ∥B 1C . 又∵OD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，∴B 1C ∥平面A 1BD .(2)∵AB ＝B 1B ，三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴四边形ABB 1A 1为正方形． ∴A 1B ⊥AB 1，又∵AC 1⊥平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ， ∴AC 1⊥A 1B .又∵AC 1⊂平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，AC 1∩AB 1＝A ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1. 又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1， ∴A 1B ⊥B 1C 1.又∵A 1A ⊥平面A 1B 1C 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， ∴A 1A ⊥B 1C 1.又∵A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B ⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B ＝A 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.n n n n 且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列．【思路探究】 通过变形利用等差、等比数列的定义证明即可，在证明过程中，恰当处理递推关系是本题证明的关键．【自主解答】 (1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3得 (3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3.两式相减得(3＋m )a n ＋1＝2ma n (m ≠－3)， ∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3，且a 1＝1， ∴{a n }是等比数列． (2)b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2mm ＋3， ∴n ≥2，n ∈N *时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3⇒b n b n －1＋3b n ＝3b n －1⇒1b n －1b n －1＝13.∴数列{1b n }为首项为1，公差为13的等差数列．1．综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件． 2．综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是“执因索果”．综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等．设数列{a n }的每一项都不为0，证明：数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1.【证明】 必要性： 设等差数列{a n }的公差为d . 若d ＝0，则所述等式显然成立； 若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d (a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1)＝1d [(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…＋(1a n －1a n ＋1)]＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝1d ·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1.充分性： 依题意有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得 1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－na 1a n ＋1， 两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得：a 1＝na n －(n －1)a n ＋1.④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )，即2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以数列{a n }为等差数列． 命题得证.综合法的简单应用(12分)在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列． 求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .【思路点拨】 利用二倍角公式及余弦定理，将三角形角的问题转化为边的问题进行证明．【规范解答】 ∵左边＝a 1＋cos C 2＋c 1－cos A2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A )4分 ＝12(a ＋c )＋12(a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc )8分 ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2＝b ＋b 2＝32b ＝右边， ∴a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .12分通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，也可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则．1．综合法证题是从条件出发，由因导果，从已知看可知，逐步推出未知．2．综合法适用的范围：(1)定义明确的题型，如证明函数单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等．(2)已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．1．设P ＝1log 211＋1log 311＋1log 411＋1log 511，则( )A ．0<P <1B ．1<P <2C ．2<P <3D ．3<P <4【解析】 P ＝log 112＋log 113＋log 114＋log 115 即1<P <2. 【答案】 B2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 若A >B ，则a >b ，又a sin A ＝bsin B ，∴sin A >sin B ，若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B .【答案】 C3．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 【解析】 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c ， 又∵c b＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b . 【答案】 a >c >b4．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝x ，x ∈R ，数列{a n }，{b n }满足条件：a 1＝1，a n ＝f (b n )＝g (b n ＋1)，n ∈N *.求证：数列{b n ＋1}为等比数列． 【证明】 由题意得2b n ＋1＝b n ＋1， ∴b n ＋1＋1＝2b n ＋2＝2(b n ＋1)， ∴b n ＋1＋1b n ＋1＝2， 又∵a 1＝2b 1＋1＝1， ∴b 1＝0，b 1＋1＝1≠0. 故数列{b n ＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列.一、选择题1．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<ab <1【解析】 ∵a ≠b ，∴a 2＋b 2>2ab ，即a 2＋b 22>ab ，可排除A 、D. 又a 2＋b 22＝a 2＋b 24＋a 2＋b 24>a 2＋b 24＋2ab 4＝a ＋b 24＝1.故B 正确． 【答案】 B2．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面【解析】 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．【答案】 B3．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y【解析】 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y2<y ，故选D. 【答案】 D4．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1b D ．－1b【解析】 f (x )定义域为(－1,1)，f (－a )＝lg1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a1＋a＝－f (a )＝－b . 【答案】 B5．已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( ) A ．只有一条，不在平面α内 B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内【解析】 由直线l 与点P 可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l ∥α，所以l ∥m ，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内．【答案】 C 二、填空题6.3－2________2－1.(填“＞”或“＜”) 【解析】 ∵13－2＝3＋23－2 3＋2 ＝3＋2， 12－1＝2＋1 2－1 2＋1＝2＋1，显然3＋2＞2＋1，∴3－2＜2－1. 【答案】 ＜ 7．已知sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，则tan(x －π4)＝________. 【解析】 ∵sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，∴cos x ＝－45， ∴tan x ＝－12，∴tan(x －π4)＝tan x －11＋tan x ＝－3.【答案】 －38．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________．(用序号及“⇒”表示)【解析】 ∵αβ>0，|α|>22，|β|>2 2. ∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25. ∴|α＋β|>5. 【答案】 ①③⇒② 三、解答题9．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．【证明】 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .① 因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3.③由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c ， 从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．10．设a >0，f (x )＝e xa ＋ae x 在R 上满足f (x )＝f (－x )，(1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数．【解】 (1)依题意，对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x )，即exa ＋a e x ＝1a ex ＋a e x， 所以(a －1a )(e x －1e x )＝0对一切x ∈R 成立．由此可得a －1a＝0，即a 2＝1.又因为a >0，所以a ＝1. (2)证明：设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)(1e x 1＋x 2－1)＝(e x 2－e x 1)·1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2.由x 1>0，x 2>0，得x 1＋x 2>0， e x 2－e x 1>0,1－e x 1＋x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．11．如图2－2－2，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2.图2－2－2(1)求证：B1B∥平面D1AC；(2)求证：平面D1AC⊥平面B1BDD1.【证明】(1)设AC∩BD＝E，连接D1E，∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.∴B1D1∥BE，∵B1D1＝BE＝2，∴四边形B1D1EB是平行四边形，所以B1B∥D1E.又因为B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC，所以B1B∥平面D1AC(2)侧棱DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1.∵下底ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC⊂平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.(教师用书独具)图1是由菱形BCDE和△ABC组成的五边形，其中P为AB的中点，现沿BC将菱形BCDE 折起，使得AD＝AB，得到如图2所示的几何体．图1 图2证明：(1)AD∥平面PCE；(2)平面ABD⊥平面ACE.【思路探究】(1)由于P为AB的中点，故可考虑借助三角形的中位线定理证明；(2)要证平面ABD⊥平面ACE，可证明BD⊥平面ACE.【自主解答】(1)如图，设菱形BCDE的两条对角线交于点Q，连接AQ，PQ.在△ABD中，Q为BD的中点，P为AB的中点，则AD∥PQ.又∵PQ⊂平面PCE，AD⊄平面PCE，∴AD∥平面PCE.(2)∵四边形BCDE为菱形，∴BD⊥CE，且BQ＝DQ.又在△ABD中，AB＝AD，BQ＝DQ，∴AQ⊥BD.又AQ∩CE＝Q，∴BD⊥平面ACE.又BD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACE.要正确解答本题，关键是要明确折叠前后的图形之间的关系．设a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 【证明】 ∵a 2＋b 2≥2ab ，a 、b ∈R ＋， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2， ∴a 2＋b 2≥ a ＋b22，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 同理：b 2＋c 2≥22(b ＋c )， c 2＋a 2≥22(c ＋a )， ∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22(2a ＋2b ＋2c ) ＝2(a ＋b ＋c )．(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号) 故a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．。
北师大2024八年级数学下册 1.1 第1课时 等腰三角形的性质 教案
1.1 等腰三角形主要师生活动一、创设情境，导入新知图中有你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?师生活动：教师播放课件，学生独立思考回答问题.问题 1 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8 条基本事实？1.两点确定一条直线.2. 两点之间线段最短.3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4. 同位角相等，两直线平行.5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.8. 三边分别相等的两个三角形全等.二、探究新知二、小组合作，探究概念和性质知识点一：全等三角形的判定和性质定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).问题2：你能用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？师生活动: 教学时应鼓励学生独立完成. 教师要提醒学生首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”“求证”，最后写出证明过程.已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°，∠D +∠E +∠F = 180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，∠F = 180°－(∠D +∠E).∵∠A =∠D，∠B =∠E (已知)，∴∠C =∠F (等量代换).∵BC = EF (已知)，∴△ABC≌△DEF (ASA).根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等.设计意图：学生在七年级下册已经探索并认识了判定三角形全等的“角角边”定理，这里意在让学生根据基本事实证明这一定理.设计意图：七年级下册给出的“全等三角形”的定义是“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”，“全等三角形的对应边相等、对应角相等”则是由全等三角形的定义推出来的，本章很多证明都会用到它，因此，这里特别提出这一结论，以便后续证明使用.知识点二：等腰三角形的性质及其推论问题3：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?定理：等腰三角形的两个底角相等.推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一).问题4：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？已知：如图，在△ABC中，AB = AC.求证：∠B = ∠C.方法一：作底边上的中线证明：如图，取BC的中点D，连接AD.∵AB = AC，BD = CD，AD = AD∴△ABD≌△ACD (SSS).∴∠B =∠C(全等三角形的对应角相等).师：还有其他的证法吗？方法二：作顶角的平分线证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD =∠CAD.∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，∴△BAD≌△CAD (SAS).∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).师生活动:教学时教师要注意引导学生根据条件正确、规范地写出“已知”“求证”，有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能设计意图：这里让学生回忆以前的折纸过程，目的是引导学生发现证明的思路，学生一般可以由折纸确定辅助线的位置，但对于作辅助线的规范叙述仍需教师帮助.设计意图：教学中，应鼓励学生寻求其他证明方法，实际上，除作底边中线外，还可以通过作顶角平分线的方法证明结论，此时证明的依据是基本事实SAS. 这两种证明方法都是受折纸的启发(轴对称)，通过作辅助线将图形分成两部分，再证明这两部分全等，教师可以引导学生分析这两种证明方法的共性，加深对等腰三角形性质的认识.教学时，可能会有学生通过作底边上的高并利用勾股定理来证明这一定理，对此，教师一方面要保护学生的学习积极性，另一方面也要引导学生认识力，关注证明过程及其表达的合理性.想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么论？由△BAD≌△CAD，可得BD = CD，∠ADB =∠ADC，∠BAD =∠CAD.又∵∠ADB +∠ADC = 180°，∴∠ADB =∠ADC = 90°，即AD⊥BC.故AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高.师生活动: 让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论.定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).几何语言：如图，在△ABC中，∵AB = AC (已知)，∴∠B =∠C (等边对等角).推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合(三线合一）.练一练1. 已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°，则∠AED的度数为( )A.60°B.90°C. 80°D. 20°到：我们虽然在以前探索并认识了勾股定理，但尚未用基本事实证明过，所以从逻辑上来说，勾股定理不能作为这里证明的依据.设计意图：这一结论通常简述为“三线合一”, 即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”(顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高) 之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”.设计意图：综合运用全等三角形和等腰三角形的相关知识解决问题,加深学生印象，考察学生对于知识的掌握情况.三、当堂练习，巩固所学师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导.典例精析例1 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1) 如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2) 如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.证明：(1) 如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG.∴BG－DG＝CG－EG，即BD＝CE.(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.三、当堂练习，巩固所学1. 如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使∠ABC∠∠AED，还需添加一个条件，这个条件可以是________________________．2. (1) 等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为__________；(2) 等腰三角形一个角为36°，它的另外两个角为设计意图：在定理证明的基础上进行难度更高的推论证明，巩固学生知识的运用，并培养学生发散思维，提高学生解题技巧.设计意图:考查对全等三角形判定的掌握.设计意图:结论：在等腰三教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).全等三角形的对应边相等，对应角相等.。
直线的倾斜角与斜率(第一课时)课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
解：因为 A(2，0)，B(0，－1)，
所以A→B
－1 ＝(－2，－1)，所以 k＝
1 ＝
.
－2 2
斜率和倾斜角的对应关系 图示
倾斜角 (范围) 斜率 (范围) k 的增 减情况
α＝0°
0°<α<90°
＝；
－1－1 2
(2)∵x1＝x2，∴斜率不存在．
2－1 1
(3)当 m＝2 时，斜率不存在；当 m≠2 时，kPQ＝
＝
.
m－2 m－2
例 4：(1)已知过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 45°，求实数 m 的值； (2)若过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 90°，求实数 m 的值；
－1－3
(1)∵直线的倾斜角为 45°，∴k＝1，即
＝1.∴m＝3.
2－2m
(2)∵直线的倾斜角为 90°，∴k 不存在．∴2m＝2.∴m＝1.
( 1 ) 求直线斜率的两种类型 一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为 90°的情况；另一种是已知
两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在的情况． (2)在 0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
5
6
且 kAB＝－2－m ，kAC＝－6 ＝－1，
所以直线 AB，AC 的斜率存在，
5
所以 kAB＝kAC，即
＝－1，解得 m＝3.
－2－m
直线的倾斜角与斜率的综合运用
例 5：(2)直线 l 过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0， 3 )为端点的线段有公共点，求
【参考教案】《综合法和分析法》(人教A版)
《综合法和分析法》（人教A版）第一章：综合法的概念与运用1.1 教学目标1. 理解综合法的定义与特点2. 掌握综合法的运用步骤3. 能够运用综合法解决实际问题1.2 教学内容1. 综合法的定义与特点2. 综合法的运用步骤3. 综合法在实际问题中的应用案例1.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法的定义、特点与运用步骤2. 案例分析法：分析综合法在实际问题中的应用案例1.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法定义与特点的理解2. 练习题：巩固学生对综合法运用步骤的掌握第二章：分析法的概念与运用2.1 教学目标1. 理解分析法的定义与特点2. 掌握分析法的运用步骤3. 能够运用分析法解决实际问题2.2 教学内容1. 分析法的定义与特点2. 分析法的运用步骤3. 分析法在实际问题中的应用案例2.3 教学方法1. 讲授法：讲解分析法的定义、特点与运用步骤2. 案例分析法：分析分析法在实际问题中的应用案例2.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对分析法定义与特点的理解2. 练习题：巩固学生对分析法运用步骤的掌握第三章：综合法与分析法的比较3.1 教学目标1. 理解综合法与分析法的联系与区别2. 能够根据实际情况选择合适的法方法3.2 教学内容1. 综合法与分析法的联系与区别2. 选择合适方法解决实际问题的原则3.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法的联系与区别2. 案例分析法：分析实际问题中选择合适方法的应用案例3.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法联系与区别的理解2. 练习题：巩固学生对选择合适方法解决实际问题的能力第四章：综合法与分析法在数学中的应用4.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在数学问题中的应用2. 能够运用综合法与分析法解决数学问题4.2 教学内容1. 综合法与分析法在数学问题中的应用案例2. 运用综合法与分析法解决数学问题的步骤4.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在数学问题中的应用案例2. 案例分析法：分析综合法与分析法解决数学问题的步骤4.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在数学问题中应用的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法解决数学问题的能力第五章：综合法与分析法在实际问题中的应用5.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在实际问题中的应用2. 能够运用综合法与分析法解决实际问题5.2 教学内容1. 综合法与分析法在实际问题中的应用案例2. 运用综合法与分析法解决实际问题的步骤5.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在实际问题中的应用案例2. 案例分析法：分析综合法与分析法解决实际问题的步骤5.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在实际问题中应用的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法解决实际问题的能力第六章：综合法与分析法在科学研究中的应用6.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在科学研究中的重要性2. 掌握综合法与分析法在科学研究中的具体应用3. 能够运用综合法与分析法进行科学研究6.2 教学内容1. 综合法与分析法在科学研究中的重要性2. 综合法与分析法在科学研究中的具体应用案例3. 运用综合法与分析法进行科学研究的步骤6.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在科学研究中的重要性2. 案例分析法：分析综合法与分析法在科学研究中的具体应用案例6.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在科学研究中重要性的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法在科学研究中应用的步骤第七章：综合法与分析法在社会科学中的应用7.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在社会科学中的重要性2. 掌握综合法与分析法在社会科学中的具体应用3. 能够运用综合法与分析法解决社会科学问题7.2 教学内容1. 综合法与分析法在社会科学中的重要性2. 综合法与分析法在社会科学中的具体应用案例3. 运用综合法与分析法解决社会科学问题的步骤7.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在社会科学中的重要性2. 案例分析法：分析综合法与分析法在社会科学中的具体应用案例7.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在社会科学中重要性的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法在社会科学中应用的步骤第八章：综合法与分析法在工程技术中的应用8.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在工程技术中的重要性2. 掌握综合法与分析法在工程技术中的具体应用3. 能够运用综合法与分析法解决工程技术问题8.2 教学内容1. 综合法与分析法在工程技术中的重要性2. 综合法与分析法在工程技术中的具体应用案例3. 运用综合法与分析法解决工程技术问题的步骤8.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在工程技术中的重要性2. 案例分析法：分析综合法与分析法在工程技术中的具体应用案例8.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在工程技术中重要性的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法在工程技术中应用的步骤第九章：综合法与分析法的案例研究9.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在案例研究中的应用2. 掌握综合法与分析法在案例研究中的具体操作3. 能够运用综合法与分析法进行案例研究9.2 教学内容1. 综合法与分析法在案例研究中的应用2. 综合法与分析法在案例研究中的具体操作案例3. 运用综合法与分析法进行案例研究的步骤9.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在案例研究中的应用2. 案例分析法：分析综合法与分析法在案例研究中的具体操作案例9.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在案例研究中应用的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法在案例研究中应用的步骤第十章：综合法与分析法的实战演练10.1 教学目标1. 提高学生运用综合法与分析法解决实际问题的能力2. 培养学生的综合分析与判断能力3. 能够独立完成综合法与分析法的实战演练10.2 教学内容1. 综合法与分析法的实战演练案例2. 实战演练的步骤与方法10.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法的实战演练案例2. 实战演练法：学生独立完成综合法与分析法的实战演练10.4 教学评估1. 实战演练报告：评估学生对综合法与分析法实战演练的理解与运用能力2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法实战演练的步骤与方法重点和难点解析第一章至第五章：基础概念与运用重点：综合法与分析法的定义、特点、运用步骤以及如何在实际问题中选择合适的方法。
第二章2.2-2.2.1第1课时综合法
1
2．2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法
第 1 课时 综合法
2
[学习目标] 1.了解直接证明的基本方法——综合 法，理解综合法的思考过程、特点(重点).2.会用综合法证 明一些数学问题(重点、难点)．
3
1．综合法的定义 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论 成立，这种证明方法叫做综合法． 温馨提示 运用综合法证明问题的关键是正确运用 相关的定义、定理、公理和已知条件
18
归纳升华 综合法证明数列问题的依据有如下几类： (1)数列的概念，特别是等差、等比数列的定义； (2)等差数列、等比数列的性质及前 n 项和的性质； (3)数列的通项公式与前 n 项和之间的关系，递推公 式与通项公式的关系．
19
[变式训练] 已知a，b，c是不全相等的正数，求 证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
求证：a，b，c 成等差数列． 证明：∵sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1 ∴(sin A＋sin C)sin B＝2sin2B 在△ABC 中，sin B≠0
15
所以 sin A＋sin C＝2sin B 由正弦定理，得 a＋c＝2b. 故 a，b，c 成等差数列．
16
10
5．已知等差数列{an}，Sn 表示前 n 项和，a3＋a9>0， S9<0，则 S1，S2，S3，…中最小的是________．
解析：因为{an}为等差数列 ∴a3＋a9＝2a6>0，则 a6>0 又 S9＝9a5<0，则 a5<0 故 S5 最小． 答案：S5
1.2.1《综合法》课件(北师大版选修2-2)
a b 3是3 与3 的等比中
（D）1 4
3.已知实数a,b,c满足a+b+c=0，abc≠0,则bc+ac+ab的
值（ ）
（A）一定是正数
（B）一定是负数
（C）可能是0 （D）正负不能确定 【解析】选B.因为a+b+c=0, ∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0, a 2 +b 2 +c 2 即ab+bc+ac= <0. 2
【证明】∵b2+c2≥2bc,a>0,
∴a(b2+c2)≥2abc, 同理b(c2+a2)≥2abc, c(a2+b2)≥2abc, 因为a,b,c不全相等, ① ② ③
∴b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,a2+b2≥2ab,不能全取“=”，从而
①、②、③式也不能全取“=”. ∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
5.如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形 ABCD满足条件______时，有A1C⊥B1D1（填上你认为正确的一 种条件即可，不必考虑所有可能的情形）.
【解析】由于ABCD—A1B1C1D1为直四棱柱，易得B1D1∥BD， AA1⊥BD，若AC⊥BD，则得BD⊥平面A1AC， ∴BD⊥A1C即A1C⊥B1D1.
答案：AC⊥BD
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.（2010·宿迁高二检测）如图，已知等腰梯形ABCQ， AB∥CQ，CQ=2AB=2BC=4，D是CQ的中点，∠BCQ=60°，将 △QDA沿AD折起，点Q变为点P，使平面PAD⊥平面ABCD. （1）求证：BC∥平面PAD;
北师大版选修1-2--第三章-3-3.1-综合法----课件(29张)
cos γ=-(cos α+cos β),
所以(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=sin2γ+cos2γ=1,
1
2
化简并整理得 cos(α-β)=− .
1
答案:− 2
1
2
3
4
5
4.若平面内有1 + 2 + 3 =0,且|1 | = |2 | = |3 |,
则△P1P2P3 一定是
三角形.(填“等腰”“等边”或“不等
边”)
解析:结合图形,由1 + 2 + 3 =0,
可知 O 是△P1P2P3 的重心.由|1 | = |2 | = |3 |可知O 是
△P1P2P3的三边垂直平分线的交点,所以可知△P1P2P3是等边三角形.
答案:等边
(3)数列的通项an与数列的前n项和Sn之间的关系:
1 , = 1,
an=
--1 , ≥ 2;
(4)递推公式与通项公式的关系.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.
(1)设 bn=
2 -1
, 求证: 数列{}是等差数列;
解析:因为a,b,c不全相等中含有a≠b≠c这种情况,所以③错误.①②正
确,所以正确的判断有2个.
答案:C
1
5
2 -4+5
2
5
2-4
2 已知 x≥ , 则() =
A.最大值
B. 最小值
选修1-2第二章2-2-2-1-1综合法及其应用
题型二 用综合法证明几何问题 【例 2】 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ABC＝60° ， PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点． (1)证明：CD⊥AE； (2)证明：PD⊥平面 ABE. [思路探索] (1)证明 CD⊥平面 PAC 即可； (2)证明 PD⊥AE、PD⊥AB 即可．
3．综合法格式
从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推 知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式， 它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型一 用综合法证明不等式问题 【例 1】 已知 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，求证： 1 (1)a ＋b ＋c ≥3；(2) a＋ b＋ c≤ 3.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引
1．直接证明
从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等， 通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接 证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．综合法 定理 、 公理 等， 已知条件和某些数学定义、 (1)定义：一般地，利用 经过一系列的 推理论证 ，最后推导出所要证明的结论成立，这 种证明方法叫做综合法． (2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等， Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
想一想：综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示 综合法的推理过程是演绎推理，因为综合法的每一步推理
都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同 于合情推理中的“猜想”．
综合法和分析法(公开课教案)
综合法和分析法课时安排：每章25分钟，共125分钟教学目标：1. 让学生理解综合法和分析法的概念及应用。
2. 培养学生运用综合法和分析法解决问题的能力。
3. 提高学生逻辑思维和判断能力。
教学方法：1. 讲授法：讲解综合法和分析法的原理及运用。
2. 案例分析法：分析实际案例，让学生深入理解综合法和分析法。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
教学内容：第一章：综合法概述1.1 综合法的定义1.2 综合法的应用领域1.3 综合法的优势和局限性第二章：分析法概述2.1 分析法的定义2.2 分析法的应用领域2.3 分析法的优势和局限性第三章：综合法与分析法的区别与联系3.1 综合法与分析法的区别3.2 综合法与分析法的联系3.3 综合法与分析法在实际应用中的选择第四章：综合法在解决问题中的应用4.1 综合法解决问题的步骤4.2 综合法在案例中的应用4.3 综合法解决问题的注意事项第五章：分析法在解决问题中的应用5.1 分析法解决问题的步骤5.2 分析法在案例中的应用5.3 分析法解决问题的注意事项教学评估：1. 课后作业：布置相关案例分析作业，巩固所学内容。
2. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，检验学生对综合法和分析法的理解程度。
3. 课堂问答：通过提问，了解学生对教学内容的掌握情况。
教学资源：1. PPT课件：展示综合法和分析法的原理、案例及应用。
2. 案例材料：提供实际案例，供学生分析和讨论。
3. 参考书籍：为学生提供更多的学习资料，加深对综合法和分析法的理解。
教学建议：1. 在讲解综合法和分析法时，举例生动、贴近实际，激发学生的兴趣。
2. 组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识。
3. 注重课后作业的布置和批改，及时了解学生对教学内容的掌握情况。
4. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。
第六章：综合法在自然科学中的应用6.1 自然科学中综合法的典型应用案例6.2 综合法在自然科学研究中的作用与意义6.3 综合法在自然科学中的局限性与挑战第七章：分析法在社会科学中的应用7.1 社会科学中分析法的典型应用案例7.2 分析法在社会科学研究中的作用与意义7.3 分析法在社会科学中的局限性与挑战第八章：综合法与分析法在工程领域的应用8.1 工程领域中综合法的应用案例8.2 工程领域中分析法的应用案例8.3 综合法与分析法在工程领域的结合应用第九章：综合法与分析法在医学领域的应用9.1 医学领域中综合法的应用案例9.2 医学领域中分析法的应用案例9.3 综合法与分析法在医学领域的结合应用第十章：综合法与分析法在商业领域的应用10.1 商业领域中综合法的应用案例10.2 商业领域中分析法的应用案例10.3 综合法与分析法在商业领域的结合应用教学评估：1. 课后作业：布置相关案例分析作业，巩固所学内容。
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D
） D ．4 个
4.已知函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数,则b的值
为
0
.
【解析】由于f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x), 即ax2-bx+c=ax2+bx+c,故-bx=bx, 所以b=0.
5.已知等差数列{an},Sn表示前n项和,a3+a9>0,S9<0,则
S5 S1,S2,S3,…中最小的是________.
证明 (1)在四棱锥P-ABCD中， 因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD. 因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC， 而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，
…
Qn Q
拥有了太多反而是负担。只拥有一块手表的 人知道现在几点，一个拥有两块手表的人却很难 确定现在的准确时间.
1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两
种基本方法之一的综合法. （重点）
2.了解综合法的思考过程、特点. （难点）
探究点1
综合法的含义
引例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc.
又因为c2+a2 ≥2ac,b>0
1 想到a· b a b cos C和S ABC a b sin C.利用 2 sin C 1 cos 2 C 经适当转化就可以获得结论.
因为SABC 证明：
所以S
2
r r 1r r ab a b sin C， cosC r r ， 2 a b
1 2 2 a b sin 2 C 4
c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形． 分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是 2B=A+C；a,b,c成等比数列，转化为符号语言就是b2 =ac.A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明 确表示出来是A+B+C=π.此时，如果能把角和边统一
起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，
因 此 P， Q， R是 平 面 ABC与 平 面 α 的 公 共 点 .
因为两平面相交有且只有一条交线，所以 P ， Q ， R 三点在平面 ABC 与平面 α 的交线上， 即 P ， Q ， R 三点共线 .
【即时训练】
平面内有四边形ABCD和点O, OA OC OB OD 则四
ABC
1 2 2 a b（ 1 cos 2 C ） 4 1 2 2 ab 2 a b 1 （ ) 4 a b 2 12 2 a b (a b) 4
1 r2r2 r r 2 于是SABC a b (a b) 2
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Q
பைடு நூலகம் 【即时训练】
以下命题中,正确的是( B )
A.综合法是执果索因的逆推法
B.综合法是由因导果的顺推法 C.综合法是因果互推的两头凑法 D.综合法就是举反例
探究点2 利用综合法进行证明
例1:如图所示,△ABC在平面α外,
AB P,BC Q, AC R.
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1
综合法和分析法
第1课时 综合法
有趣的数学证明引人入胜
推 理
合情推理 （或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳 (特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
三段论 （一般到特殊）
合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格 证明的工具. 怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今 天，我们就来认识一些基本的证明方法……
A.是奇函数，但不是偶函数
B.是偶函数，但不是奇函数
C.既是奇函数，又是偶函数
D.既不是奇函数，又不是偶函数
3.已知实数a, b满足等式 ① 0ba ③ 0ab ⑤ a b ② ab0 ④ ba0
1 1 ( ) a ( )b , 2 3
下列五个关系式
其中不可能成立的关系式有（ A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个
a b c
故 ( 1 －1)( 1 －1)( 1－1) 8.
1.设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,则x与y的大小关系
为( A )
A.x>y C.x<y B.x=y D.以上都不对
【解题关键】可以用作差比较法处理.
2. 函数
f ( x) ln(e x 1)
x 2
(
B )
【变式练习】
求证：a2+b2+3≥ab+ 3 (a+b). 【证明】因为a2+b2≥2ab,a2+3≥2 3 a,
b2+3≥2 3 b,
将此三式相加得2(a2+b2+3)≥2ab+2 3 a+2 3 b,
所以a2+b2+3≥ab+ 3 (a+b).
例3 在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ对应的边
分别为a ，b ，c，且Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，a ， b ，
且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD，
因为PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥AB
又因为AB⊥AD，
PA AD A
所以AB⊥平面PAD
所以AB⊥PD， 又因为AB∩AE＝A， 综上得PD⊥平面ABE.
综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
【解析】由于{an}为等差数列,所以a3+a9=2a6>0. 9(a1 a 9 ) S 9= =9a5<0. 2 所以S5最小.
6. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ABC＝60° ， PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点． (1)证明：CD⊥AE. (2)证明：PD⊥平面 ABE.
边形ABCD为( D ) A.菱形 B.梯形 C.矩形 D.平行四边形
例2 在Δ ABC中,设CB = a,CA = b, 2 1 2 2 求证 :SΔ ABC = |a||b| -(a · b) 2 分析：由条件CB a, CA b, 可得ABC中 CB a , CA b , 角C为向量a与b的夹角于是可以 .
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、
公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明
的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定 理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
求证:P,Q,R三点共线. A
B
C
P
Q
R
分析：本例的条件表明，P,Q,R三点既在平面α
内，又在平面ABC内，所以可以利用两个相交平面
的公理证明.
证明：因为AB∩ α = P，BC∩ α = Q，AC∩ α =R （ 1） 所以P，Q，R ∈α P ∈ AB，Q ∈ BC，R ∈ AC.
（ 2）
由 （ 2 ） 得 P ， Q ， R ∈ 平 面 ABC
进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于
是，可以用余弦定理为工具进行证明.
证明：由A，B，C成等差数列，有
2B=A+C ① ②
因为 A ， B ， C 为 ABC 的内角，所以 A BC
由①②，得
B 3
③
由a，b，c成等比数列，有
b 2 ac
④
由余弦定理及③，可得
b 2 a 2 c 2 2 a c co s B a 2 c 2 a c
再由④，得
2 a 2 c 2 ac ac 即 （ a c ） 0
即 因此 从而有
(a c) 2 0
a=c A=C
⑤ 由②③⑤，得 ABC 3 所以ABC为等边三角形.
【提升总结】 解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如 把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成 图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含 条件明确表示出来.
【变式练习】
(2015·烟台高二检测)已知a,b,c均为正实数,且
a+b+c=1.
求证：(
1 -1)( 1 -1)( 1 -1)≥8. a c b
【证明】因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,
1 1 1 所以 ( －1)( －1)( －1) a b c
a bca a bcb a bcc ＝ a b c bc a c a b bc ac ab ＝ 2 2 2 ＝8. a b c a b c