2017-2018学年安徽省高三(上)联考数学试卷(文科)(12月份)Word版(解析版)

2017-2018学年安徽省高三（上）联考试卷（文科数学）（12月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中．）1．（5分）已知复数z满足（z+1）•i=1﹣i，则z=（）A．﹣2+i B．2+i C．﹣2﹣i D．2﹣i2．（5分）下列命题中，真命题是（）A．存在x∈R，e x≤0 B．a+b=0的充要条件是=﹣1C．任意x∈R，2x＞x2D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件3．（5分）在各项都为正数的等差数列{an }中，若a1+a2+…+a10=30，则a5•a6的最大值等于（）A．3 B．6 C．9 D．364．（5分）设m=﹣，n=﹣，p=﹣，则m，n，p的大小顺序为（）A．m＞p＞n B．p＞n＞m C．n＞m＞p D．m＞n＞p5．（5分）在△ABC中，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④6．（5分）“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21 D．188．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是（）A．B．C．D．9．（5分）若a，b，c为三条不同的直线，a⊆平面M，b⊆平面N，M∩N=c．①若a，b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有M⊥N．其中正确的命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．310．（5分）如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y=f（x）在区间内单调递增；②函数y=f（x）在区间内单调递减；③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤当x=﹣时，函数y=f（x）有极大值．则上述判断中正确的是（）A．①②B．②③C．③④⑤D．③11．（5分）已知双曲线x2﹣=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则•最小值为（）A．﹣2 B．﹣C．1 D．012．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E 于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卷中．）13．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k= ．14．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a= ．15．（5分）已知数列{an }的通项公式，设前n项和为Sn，则使Sn＜﹣5成立的自然数n的最小值是．16．（5分）曲线在点（1，f（1））处的切线方程为．三、解答题（本大题6个小题，共70分，要求在答题卷中写出解答过程）17．（10分）已知：A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量=（，cosA+1），=（sinA，﹣1），⊥（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，a=2，cosB=，求b的长．18．（12分）已知等比数列{an}满足，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an }的前n项和为Sn，若不等式Sn＞kan﹣2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．19．（12分）设函数f（x）=|1﹣|（x＞0）．（1）写出函数的单调区间和极值．（2）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求+的值．20．（12分）如图所示，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，CD⊥平面SAD，SA=AD=2，AB=1，SB=，SD=2，M，N分别为AB，SC的中点．（1）证明：AB∥CD；（2）证明：平面SMC⊥平面SCD．21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．22．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．2017-2018学年安徽省高三（上）联考试卷（文科数学）（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中．）1．（5分）（2016春•龙岩期中）已知复数z满足（z+1）•i=1﹣i，则z=（）A．﹣2+i B．2+i C．﹣2﹣i D．2﹣i【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵（z+1）•i=1﹣i，∴（z+1）•i•（﹣i）=﹣i•（1﹣i），化为z+1=﹣i﹣1∴z=﹣2﹣i．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）（2016秋•西湖区校级月考）下列命题中，真命题是（）A．存在x∈R，e x≤0 B．a+b=0的充要条件是=﹣1C．任意x∈R，2x＞x2D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【分析】根据指数函数的性质判断A、C，由分母不是0判断B，根据不等式的性质判断D．【解答】解：∀x∈R，e x＞0，故A错误；b=0时，无意义，故B错误；x=2时，2x=x2，故C错误；由a＞1，b＞1，得ab＞1，故a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．3．（5分）（2015•柳州一模）在各项都为正数的等差数列{an }中，若a1+a2+…+a10=30，则a5•a6的最大值等于（）A．3 B．6 C．9 D．36【分析】利用a1+a2+…+a10=30，求出a5+a6=6，再利用基本不等式，求出a5•a6的最大值．【解答】解：由题设，a1+a2+a3+…+a10=5（a1+a10）=5（a5+a6）=30所以a5+a6=6，又因为等差数列{an }各项都为正数，所以a5a6≤=9，当且仅当a5=a6=3时等号成立，所以a5•a6的最大值等于9，故选C．【点评】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式的运用，求出a5+a6=6是关键．4．（5分）（2016春•龙岩期中）设m=﹣，n=﹣，p=﹣，则m，n，p的大小顺序为（）A．m＞p＞n B．p＞n＞m C．n＞m＞p D．m＞n＞p【分析】不妨设m＞n，由此得出m＞n，同理得出n＞p，即可得出m、n、p的大小顺序．【解答】解：∵m=﹣＞0，n=﹣＞0，p=﹣＞0，不妨设m＞n，则﹣＞﹣，∴11﹣2＞13﹣2，∴＞1+，∴42＞31+2，∴11＞2，∴121＞120，∴m＞n，同理n＞p；∴m、n、p的大小顺序是m＞n＞p．故选：D．【点评】本题考查了表达式的比较大小的问题，解题时应先比较两个数的大小，从而得出正确的结果，是基础题．5．（5分）（2004•上海）在△ABC中，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④【分析】利用向量的运算法则；锐角三角形需要三个角全为锐角．【解答】解：由向量的运算法则知；故①错②对又∵∴即AB=AC∴△ABC为等腰三角形故③对∵∴∠A为锐角但三角形不是锐角三角形故选项为C【点评】考查向量的运算法则．6．（5分）（2016秋•安庆期末）“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则，所以，即﹣3＜m＜5且m≠1．所以“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及椭圆的方程．7．（5分）（2014•安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21 D．18【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．8．（5分）（2017•吉林三模）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是（）A．B．C．D．【分析】由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得 A 和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式．【解答】解：由题意m=2． A=±2，再由两个对称轴间的最短距离为，可得函数的最小正周期为π可得，解得ω=2，∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=±2sin（2x+φ）+2．再由是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ，故可取φ=，故符合条件的函数解析式是 y=﹣2sin（2x+）+2，故选B【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，属于中档题．9．（5分）（2014•瑞安市一模）若a，b，c为三条不同的直线，a⊆平面M，b⊆平面N，M∩N=c．①若a，b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有M⊥N．其中正确的命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①利用反证法可以判定原命题是否正确；②举反例说明命题不正确；③通过证明命题正确；④举反例说明命题错误；从而得解．【解答】解：①中，若c与a，b都不相交时，则c∥a，c∥b，∴a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，∴a，b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交是真命题；②中，a不垂直于c，但a与b也可能垂直，例如平面M⊥N，且b⊥c时，b⊥a，∴原命题错误；③中，a∥b时，a⊄平面N，b⊂平面N，∴a∥平面N，又c⊂平面N，∴a∥c，命题正确；④中，a⊥b，a⊥c时，不一定有M⊥N，例如a⊥b，b∥c时，a⊥c，但M⊥N不一定成立，∴命题错误；∴以上正确的命题是①③，有2个；故选：C．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直的判定问题，是综合题．10．（5分）（2016秋•西湖区校级月考）如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y=f（x）在区间内单调递增；②函数y=f（x）在区间内单调递减；③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤当x=﹣时，函数y=f（x）有极大值．则上述判断中正确的是（）A．①②B．②③C．③④⑤D．③【分析】利用使f′（x）＞0的区间是增区间，使f′（x）＜0的区间是减区间，分别对①②③进行逐一判定，导数等于零的值是极值，先增后减是极大值，先减后增是极小值，再对④⑤进行判定．【解答】解：对于①，函数y=f（x）在区间（﹣3，﹣）内有增有减，故①不正确；对于②，函数y=f（x）在区间（﹣，3）有增有减，故②不正确；对于③，函数y=f（x）当x∈（4，5）时，恒有f′（x）＞0．故③正确；对于④，当x=2时，函数y=f（x）有极大值，故④不正确；对于⑤，当x=﹣时，f′（x）≠0，故⑤不正确．故选：D．【点评】本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性，以及极值问题，属于易错题．11．（5分）（2011•洞口县二模）已知双曲线x2﹣=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则•最小值为（）A．﹣2 B．﹣C．1 D．0【分析】根据题意，设P（x，y）（x≥1），根据双曲线的方程，易得A1、F2的坐标，将其代入•，可得关于x、y的关系式，结合双曲线的方程，可得•═4x2﹣x﹣5配方，再由x的范围，可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x，y）（x≥1），易得A1（﹣1，0），F2（2，0），•=（﹣1﹣x，y）•（2﹣x，y）=x2﹣x﹣2+y2，又x2﹣=1，故y2=3（x2﹣1），于是•=4x2﹣x﹣5=4（x﹣）2﹣5﹣，当x=1时，取到最小值﹣2；故选A．【点评】本题考查双曲线方程的应用，涉及最值问题；解题的思路是先设出变量，表示出要求的表达式，结合圆锥曲线的方程，将其转化为只含一个变量的关系式，进而由不等式的性质或函数的最值进行计算．12．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E ：的右焦点为F （3，0），过点F的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x 1+x 2=2，y 1+y 2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a 2=2b 2，再利用c=3=，即可解得a 2，b 2．进而得到椭圆的方程． 【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x 1+x 2=2，y 1+y 2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卷中．）13．（5分）（2014•湖南）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k= ﹣2 ．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．14．（5分）（2014•重庆）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a= 4±．【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d=，平方得a2﹣8a+1=0，解得a=4±，故答案为：4±【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．15．（5分）（2008•和平区三模）已知数列{an}的通项公式，设前n项和为Sn ，则使Sn＜﹣5成立的自然数n的最小值是63 ．【分析】根据题中已知数列{an }的通项公式求出其前n项和的Sn的表达式，然后令Sn＜﹣5即可求出n的取值范围，即可知n有最小值．【解答】解：由题意可知；an =log2（n∈N*），设{an }的前n项和为Sn=log2+log2+…+log2+log2，=[log22﹣log23]+[log23﹣log24]+…+[log2n﹣log2（n+1）]+[log2（n+1）﹣log2（n+2）]=[log22﹣log2（n+2）]=log2＜﹣5，即＜2﹣5解得n＞62，∴使Sn＜﹣5成立的自然数n有最小值为63，故答案为：63．【点评】本题主要考查了数列与函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．16．（5分）（2014•贵阳模拟）曲线在点（1，f（1））处的切线方程为．【分析】求导函数，确定切线的斜率，求出切点坐标，即可得到切线方程．【解答】解：由题意，，∴，∴f′（1）=e∴∴∴所求切线方程为y﹣e+=e（x﹣1），即故答案为：【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，确定切线的斜率是关键．三、解答题（本大题6个小题，共70分，要求在答题卷中写出解答过程）17．（10分）（2010•广东模拟）已知：A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量=（，cosA+1），=（sinA，﹣1），⊥（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，a=2，cosB=，求b的长．【分析】（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理即可求出角A的大小；（Ⅱ）由cosB的值求出sinB的值，再由sinA，a的值，利用正弦定理即可求出b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵=（，cosA+1），=（sinA，﹣1），⊥，∴sinA﹣cosA﹣1=0，即sinA+cosA=1，整理得：2（sinA+cosA）=1，即sin（A+）=，∴A+=，则A=；（Ⅱ）由cosB=，得到sinB=，∵a=2，sinA=，∴由正弦定理=得：b===．【点评】此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18．（12分）（2012•襄阳模拟）已知等比数列{an}满足，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an }的前n项和为Sn，若不等式Sn＞kan﹣2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用等比数列{an}满足，确定数列的公比与首项，即可求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求出Sn ，再利用不等式Sn＞kan﹣2，分离参数，求最值，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，∵，n∈N*，∴a2+a1=9，a3+a2=18，…（2分）∴，…（4分）又2a1+a1=9，∴a1=3．∴．…（7分）（Ⅱ），…（9分）∴3（2n﹣1）＞k•3•2n﹣1﹣2，∴．…（11分）令，f（n）随n的增大而增大，∴．∴．∴实数k的取值范围为．…（14分）【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）（2016秋•西湖区校级月考）设函数f（x）=|1﹣|（x＞0）．（1）写出函数的单调区间和极值．（2）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求+的值．【分析】（1）取得绝对值符号，利用基本函数的单调性判断单调区间，求出极值即可．（2）利用函数的单调性以及方程，求解即可．【解答】解：（1）函数f（x）=|1﹣|（x＞0）．当x∈（0，1）时，f（x）=﹣1，f（x）在（0，1]上是减函数，当x∈（1，+∞）时，f（x）=1﹣，是增函数，在（1，+∞）上是增函数，当x=1时有极小值0…（6分）（2）由f（x）在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0＜a＜b且f（a）=f（b），取0＜a＜1＜b，且﹣1=1﹣，∴+=2…..（12分）【点评】本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．20．（12分）（2016秋•西湖区校级月考）如图所示，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，CD⊥平面SAD，SA=AD=2，AB=1，SB=，SD=2，M，N分别为AB，SC的中点．（1）证明：AB∥CD；（2）证明：平面SMC⊥平面SCD．【分析】（1）证明AB⊥平面SAD．CD⊥平面SAD，即可证明AB∥CD；（2）证明：MN⊥平面SCD，即可证明平面SMC⊥平面SCD．【解答】证明：（1）由SA2+AD2=22+22=8=SD2，SA2+AB2=22+12=5=SB2，得SA⊥AB，又AB⊥AD，AD∩SA=A，所以AB⊥平面SAD．又CD⊥平面SAD，所以AB∥CD．（2）取SD的中点E，连接AE，NE，如图所示．易知NE=CD=AM，NE∥CD∥AM，所以四边形AMNE为平行四边形．所以MN∥AE．又因为CD⊥平面SAD．AE⊂平面SAD所以CD⊥AE．由（1）知△SAD为等腰直角三角形．所以AE⊥SD．又SD∩CD=D，所以AE⊥平面SCD．因为MN∥AE，所以MN⊥平面SCD．又MN⊂平面SMC，所以平面SMC⊥平面SCD．【点评】本题主要考查直线与平面垂直的证明，考查面面垂直，是中档题．要求熟练掌握相应的判定定理．21．（12分）（2012•南京二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．【分析】（1）利用以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，可得b的值，利用离心率为，即可求得椭圆C的方程；（2）设M，N的坐标分别为（x0，y），（﹣x，y），求出直线PM、QN的方程，求得x，y的值，代入椭圆方程，整理可得结论．【解答】（1）解：由题意，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，∴b==．因为离心率e==，所以=，所以a=2．所以椭圆C的方程为．（2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为（x0，y），（﹣x，y），则直线PM的方程为y=x+1，①直线QN的方程为y=x+2．②…（8分）设T（x，y），联立①②解得x0=，y=．…（11分）因为，所以（）2+（）2=1．整理得=（2y﹣3）2，所以﹣12y+8=4y2﹣12y+9，即．所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…（14分）【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）（2015•河南模拟）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．【分析】（1）由f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值，可得f'（1）=f'（﹣1）=0，故可得到a、b的方程组，求解即可；（2）由题意知，点A不在曲线上，故设出切点为M（x0，y），根据切点在曲线y=f（x）上和导数的几何意义建立等量关系，推出2x03﹣3x2+m+3=0，由题意知，该方程有3个解，故将问题转化为g （x 0）=2x 03﹣3x 02+m+3的极大值和极小值异号的问题，从而求出实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）f'（x ）=3ax 2+2bx ﹣3，依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0， 即，解得a=1，b=0．∴f （x ）=x 3﹣3x ．（4分）（2）f'（x ）=3x 2﹣3=3（x+1）（x ﹣1）， ∵曲线方程为y=x 3﹣3x ， ∴点A （1，m ）不在曲线上．设切点为M （x 0，y 0），则点M 的坐标满足y 0=x 03﹣3x 0． ∵f'（x 0）=3（x 02﹣1）， ∴切线的斜率为，整理得2x 03﹣3x 02+m+3=0．（8分） ∵过点A （1，m ）可作曲线的三条切线， ∴关于x 0方程2x 03﹣3x 02+m+3=0有三个实根． 设g （x 0）=2x 03﹣3x 02+m+3， 则g'（x 0）=6x 02﹣6x 0，由g'（x 0）=0，得x 0=0或x 0=1．（12分）∴函数g （x 0）=2x 03﹣3x 02+m+3的极值点为x 0=0，x 0=1．∴关于x 0方程2x 03﹣3x 02+m+3=0有三个实根的充要条件是g （1）g （0）＜0， 即（m+3）（m+2）＜0，解得﹣3＜m ＜﹣2． 故所求的实数a 的取值范围是﹣3＜m ＜﹣2．【点评】本题考查了导数的几何意义，利用导数求函数的极值和最值等知识，难度较大．。