弯曲内力与强度计算

弯矩、 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系
的变化规律,归纳如下： 内力FQ 、M 的变化规律,归纳如下： 载荷
q( x) = 0 q =C >0 q =C <0
F
Mo
水平直线
FQ −图 + or 上斜直线 下斜直线
斜直线
F
(剪力图 剪力图 无突变) 无突变
M −图
or
下凸 抛物线
上凸 抛物线
F处有尖角 处有尖角
2、梁分段：为AC,CD,DB,BE四段； 3、绘图：从左向右逐段作Q图和M图； 检验Q最后与右端P2值相等,结果无误；
M极值点的确定:（由三角形的相似比） x 3 x 3 3×4 ( = ), = ∴ x = ( ; ) = 3m; 4−x 1 4 4 1+ 3 1 M F = 20 + × 1 × 1 = 20.5kN .m 2
Q
3、求2-2截面上的内力：取右半段研究
M
RA
∑Y
= 0,Q2 + R B = 0
'
Q 2 = −R B = −9kN
矩心o’—2-2截面形心
RB
∑ Mo
= 0, R B × 1.5 − M 2 = 0
M 2 = 1 .5 R B = 1 3 .5 k N ⋅ m
三、直接法求梁的内力：
（1）梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所 有外力沿截面方向投影的代数和；
外力情况 剪力图上的特 征 弯矩图上的特 征 最大弯矩可 能 的截面位置 q<0(向下 向下) 向下 向下斜直线) ↘(向下斜直线 向下斜直线 (下凸抛物线 下凸抛物线) 下凸抛物线 无荷载段 水平线 斜直线 集中力F作用处： 集中力偶M作用 集中力 作用处： 集中力偶 作用 作用处 处： 突变， 突变，突变值 为F 有尖点 不变 有突变，突变值 突变， 为M 弯矩突变的某一 侧
结论：在集中力P作用截面，Q图发生 突变，突变值等于该集中力P的大小；M图 有尖角，尖角的指向与集中力P相同。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
内力函数的不连续是由于将集中力的作用 范围简化为一个点的结果。若考虑集中力为微梁 段上的均布荷载，则C截面的 Q图和M图应为斜直 线和抛物线。 因此，当谈到集中力作用出的剪力时， 必须指明是集中力的左侧截面（C左）还是 集中力的右侧截面（C右）。
剪力为零的截面
剪力突变的截 面
3.其它规律： 其它规律： 可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处； ①|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处； 突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点； ②q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点； 荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称， ③荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称 荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称， ；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称
Mo
利用微分关系作剪力弯矩图
1.先利用计算法则计算分段点Q、M值； 2.利用微分关系判断并画出分段点之间的Q、M图。 利用微分关系判断并画出分段点之间的 承受荷载如图所示， 例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q----M图。
3kN
C A
2kN/m
6kN⋅ m
D B
解： 1、求支反力 VA = 7.2kN
VB = 3.8kN
1m
VA 4.2 (kN)
4m
1m
VB
2、判断各段Q、M图形状： 判断各段Q 图形状：
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， 和 段 图为水平线， ， 图为水平线 M图为斜直线。 图为斜直线。 图为斜直线
Q
_
3
+
x=3.1m
E
_
3.8 2.2
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， 段 图为向下斜直线， ， 图为向下斜直线 M图为上凸抛物线。 图为上凸抛物线
梁各截面的内力随截面位置而变化，其函数关系式
Qx=Q(x),
称作剪力方程和弯矩方程。
Mx=M(x)
列内力方程即求任意截面的内力。 (0 ≤ x ≤ l ) Q ( x ) = −P − qx
M ( x ) = −Px − qx 2
反映剪力（弯矩）随截面位置变化规律的 曲线，称作剪力（弯矩）图。 二、剪力图和弯矩图的作法： 取平行梁轴的轴线表示截面位置，规定 正值的剪力画轴上侧，正值的弯矩画轴下侧； 可先列内力方程再作其函数曲线图。 如悬臂梁：当x=o, Q(x)=-P, M(x)=0; x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=-Pl-ql2/2.
[M ( x ) + dM ( x )] − M ( x ) − Q ( x )dx − q ( x )dx ⋅
∴
dM ( x ) = Q ( x )......(b ) dx
d 2M ( x ) = q ( x )......(c ) 将(b)代入(a)， ∴ 2 dx (a)、(b)、(c)三式即Q、M、q间的关系。 力学意义：微分形式的平衡方程；
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
QA
A
2 Fl
C D
F
B
QCs = Q QCs = F
MC = Fl
MA
QA
A
l
l
F Cs
MC = Fl
− MC + 2Fl − Fl = 0
l
C
MC
2 Fl
MA
Q Cs
QA
F
QDs = F
MD = 0
QDs F
MD
D
∆
MC
C
l
D
B
B
一、剪力图和弯矩图的概念
第 二 节 梁 的 内 力 图 及 其 绘 制
M _3
(kN·m) 1.41
3、先确定各分段点的Q 、M值， 先确定各分段点的Q 用相应形状的线条连接 线条连接。 用相应形状的线条连接。
+
3.8
简捷法绘梁内力图的步骤：
1. 求支座反力；（注意校核！悬臂梁可省略。） 2. 将梁分段；（以梁上荷载变化处为界，包括：P、m作用点，q的起 止点，梁的支座和端点等） 3. 绘内力图；（先确定控制截面内力值，再按内力图特征绘图，最后 用内力图特征检验。控制截面即梁分界截面。注意P、m作用处应取两侧 截面。）
Q = ∑ PiQ
符号规定：外力使截面产生顺时针转动趋势时 （或左上右下）该截面剪力为正，否则为负； （2）梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧） 所有外力对截面形心力矩的代数和；
M = ∑ M o ( PiQ )
符号规定：外力使梁段产生上凹下凸变形 时（或左顺右逆）该截面弯矩为正，否则为负； 计算时可按二看一定的顺序进行：一看截面一侧有几个力，二看 各力使 梁段产生的变形，最后确定该截面内力的数值。
1 2
2、求1-1截面上的内力：取左半段研究
∑Y
∑ Mo
= 0, R A − P1 − Q1 = 0
Q1 = RA − P1 = 14 − 3 = 11kN
= 0, P1 × 3 − R A × 1 + M 1 = 0 矩心o—1-1截面形心
M 1 = R A × 1 − P1 × 3 = 5kN ⋅ m
用简捷法绘制内力图。
解：1、求支座反力： 1 YA = (8 × 8 + 2 × 8 + 10 − 2 × 3) = 7kN (↑) 12 1 YB = (8 × 4 + 2 × 4 − 10 + 2 × 15) = 5kN (↑) 12
∑Y
= Y A + Y B − 1 × 8 − 2 − 2 = 0 校核无误；
例8 - 2
外伸梁如图，试求1-1，2-2截面上的剪力和弯矩。
解：1、求支座反力：由整体平衡
∑MB
= 0, P1 × 8 + P2 × 3 − R A × 6 = 0
1 2
R A = 14kN
RA RB
∑ M A = 0, P × 2 − P × 3 + R B × 6 = 0 R B = 9kN 校核：Y =YA +YB −P −P =14+9−3−20 = 0 反力无误 ∑
几何意义：反映内力图的凹凸性；（一阶导数反映切线斜率； 二阶导数反映曲线凹凸性。）
讨论微分关系的几何意义 1.微分关系的几何意义： 微分关系的几何意义： 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小； 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小 ； 弯矩 图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。 图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。
| Q |max , | M |max 4. 确定内力最大值及其位置。(从图上直接找 简捷法绘梁内力图的关键是：正确确定控制截面内力值（一般用 直接法）；熟记内力图的特征。
确定控制截面内力值的方法有三种： 1）截面法；（三个步骤，两套符号规定。） 2）直接法；（由外力定内力符号看梁的变形。） 3）积分法:（微分关系逆运算的应用。）
y
A F Ay
F q
M
e
纵
向
对称面
B
x
F By
平面弯曲—荷载与反力均作用在梁的 纵向对称平面内，梁轴线也在该平面内弯 成一条曲线。 单跨静定梁的基本形式：
二、梁的内力及其求法
内力—外力引起的受力构件内相邻部分之间相互作用力的改变量。 杆件横截面上的内力有：轴力，剪力，弯矩，扭矩等。 1、剪力和弯矩的概念 图示简支梁在荷载及支座反力 共同作用下处于平衡状态。 求距支座A为x的横截面m-m. 上的内力。用截面法求内力。 步骤：1)截开 2)代替 剪力Q——限制梁段上下移动的内力; 弯矩M——限制梁段转动的内力偶。 单位：剪力Q 3)平衡