2020届河北省衡水市高三下学期3月第五次调研数学(理)试题(学生版)
河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考数学(理)试题(带答案解析)
9．将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象.若 为奇函数，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为 ，大圆柱底面半径为 ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为 ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为 ，则 （）
7．已知函数 ，则下述结论中错误的是（）
A．若 在 有且仅有 个零点，则 在 有且仅有 个极小值点
B．若 在 有且仅有 个零点，则 在 上单调递增
C．若 在 有且仅有 个零点，则 的范围是
D．若 图像关于 对称，且在 单调，则 的最大值为
8．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知函数 的两个零点分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．抛物线方程为 ，动点 的坐标为 ，若过 点可以作直线与抛物线交于 两点，且点 是线段 的中点，则直线 的斜率为（）
A． B． C． D．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则 ．故选C．
【点睛】
本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
评卷人
2020届河北省衡水金卷高三第五次联考数学(理)试卷
2020届河北省衡水金卷高三第五次联考数学（理工类）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则满足的集合的个数为（）A. B. C. 1 D.2.已知为虚数单位，复数，则（）A. B. C. D.3.已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（）A. B. C. D.4.空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是（）A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值5.的展开式中，常数项为（）A. B. C. D.6.若数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.7.若是上的奇函数，且，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数的部分图像如图所示，点在图象上，若，且，则（）A. B. C. D.9.若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，则该四面体外接球的表面积是（）A. B. C. D.11.设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．14.根据下列算法语句，当输入时，输出的最大值为__________．15.已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为___．16.设为平面外两条直线，其在平面内的射影分别为两条直线和.给出下列个命题：①；②与平行或重合；③；④ .其中所有假命题的序号是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角的对边分别为，若成等差数列，且.求的值；若，求的面积.18.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为及以上的花苗为优质花苗.求图中的值，并求综合评分的中位数.用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：，其中.）19.如图，在边长为的正方形中，点分别是的中点，点在上，且.将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.试判断与平面的位置关系，并给出证明；求二面角的余弦值.20.已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为.求椭圆的方程；过椭圆内一点，斜率为的直线交椭圆于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围. 21.已知函数.若在上单调递增，求的取值范围；若，不等式恒成立，求的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，圆的极坐标方程为.求的普通方程；将圆平移，使其圆心为，设是圆上的动点，点与关于原点对称，线段的垂直平分线与相交于点，求的轨迹的参数方程.23.设，且.若不等式恒成立，求实数的取值范围；是否存在实数，使得，并说明理由.。
河北省衡水市2020年3月高三年级第五次调研考试理科数学试题(含解析)
2019～2020学年高三年级第五次调研考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =I （ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知复数z 满足(12i)43i z +=+，则z 的共轭复数是（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i - 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（ ）A ．25 B ．425 C ．25π D ．1625π5．命题:p ,x y ∈R ，222x y +<，命题:q ,x y ∈R ，||||2x y +<，则p 是q 的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．必要充分条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（ ） A ．2018?n „ B ．2019?n „ C ．2020?n „ D ．2021?n „ 7．函数2sin ()2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．输出S1n=1,S=1结束开始C ．D ．8．若函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)图象的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为7π12x =，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ） A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度9．已知AB 是圆()22:11C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．1B ．0 CD110．圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A ．9:32 B ．8:27 C ．9:22 D ．9:2811．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2 D12．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．12D ．1二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．14．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b =3c =，2B C =，则cos2C 的值为 ．15．正四棱锥S ABCD -底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹的周长为 ．16．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()()f x f x '为的导函数，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，则()()23f f 的取值范围是 ． 三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，221212a a a a +=+．（1）求d 的取值范围；（2）已知1d =-，试问：是否存在等差数列{}n b ，使得数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前项和为1nn +？若存在，求{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由． 18．（本小题12分）如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，过A ，B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F ．2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2． （1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ；（2）若DE CF ∥，3CD =，线段AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 所成角的正弦值为5，求AP 的长．19．（本小题12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生n开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100、[]81,90、[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、[]31,40、[]21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布()60,169N ． （1）求物理原始成绩在区间()47,86的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[]61,80的人数，求X 的分布列和数学期望．（附：若随机变量()2,N ξμσ~，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）20．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()1,e 和⎭都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且在直线22:20l kx y k -+-=上存在点P ，使得PAB △是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围．21．（本小题12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ，()23e 2x g x x x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα==⎧⎨⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为4,π3⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．23. （本小题10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x x x =++-．（1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019～2020学年高三第二学期3月模块诊断数学（理科）参考答案1．【解答】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I ，∴()5Z A B =I ．故选C ．2．【解答】由()12i 43i z +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2i z =+．故选B ． 3．【解答】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ．4．【解答】由题2525=π=π24S ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭圆，=4S 正方形，所以1625πS P S ==正方形圆．故选D ． 5．【解答】在平面直角坐标系中作出满足,p q 的区域，如图所示，则p 是q 的充分不必要条件．故选A ．6．【解答】 由递推式1n n a a n +=+， 可得11n n a a n -=+-，122n n a a n --=+-，…322a a =+，211a a =+.将以上()1n -个式子相加，可得11231n a n =+++++-L ， 则202011232019a =+++++L .①由程序框图可知，当判断框内的条件是()*?n k k ∈N …时， 则输出的1123S k =+++++L ，②.综合①②可知，若要想输出①式的结果，则2019k =．故选B ． 7．【解答】()1sin112sin110f =+-=-<，排除B ，C ，当0x =时，sin 0x x ==，则0x →时，sin 1xx→，()101f x →+=，排除A ，故选D ． 8．【解答】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)的图象过点π,03⎛⎫⎪⎝⎭，7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得1A =，12π7π41π23ω⋅=-，解得2ω=．再根据五点法作图可得2ππ3ϕ⋅+=，可得π3ϕ=，可得函数解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故把()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，可得sin 2cos236ππy x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．9．【解答】如图所示，()()2214PA PB PC CB PC CA PC AB ⋅=+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以PA PB⋅u u u r u u u r 取最小值时，即PC 取最小值，即PC 与直线10x y -+=垂直，此时PC =，则()min 12414PA PB ⋅=-⨯=u u u r u u u r ．故选A ．10．【解答】设圆锥底面圆的半径为r ，圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ，侧面积与底面积的比为2π2πrl lr r ==，则母线2l r =，圆锥的高为h =，则圆锥的体积为231π3r h r =，设外接球的球心为O ，半径为R ，截面图如图， 则OB OS R ==，OD h R R =-=-，BD r =，在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+，即)222R r R =+-，展开整理得R =，∴外接球的体积为33344ππ33R ==，故所求体积比为339332r=．故选A ． 11．【解答】由题意可得图像如右图所示：F '为双曲线的左焦点， ∵AB 为圆的直径，∴90AFB ∠=︒，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形，∴12ABF AFBF FAF S S S ''==△△，又2224tan45FAF b S b a '===︒△，可得225c a =，∴25e e =⇒=．故选D ． 12．【解答】由120x x <<，得120x x -<，211212ln ln 1x x x x x x ->-化为211212ln ln x x x x x x -<-，即1212ln 1ln 1x x x x ++<， 即函数()ln 1x f x x +=在()0,a 上单调递增，()()221ln 1ln x x x x f x x x ⋅-+'==-， 令()0f x '>，得01x <<，故a 的最大值为1．故选D ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．112 14．59 1516．84,279⎛⎫⎪⎝⎭13．【解答】该二项式的二项式系数之和为2256n=，得8n =．该二项式的展开式通项为()8483882C 2C rrrr rr x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令8403r -=，得2r =，则常数项为()2282C 112-=．14．【解答】由正弦定理可得：sin sin b cB C=，即sin sin 22sin cos 2cos cos sin sin sin b B C C C C C c C C C =====⇒，∴275cos22cos 12199C C =-=⨯-=．15．【解答】如图所示，取SC ，DC 的中点M ，F ，则//EF BD ，//ME SB ，所以平面//SBD 平面MEF ，而AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥平面MEF ，则动点P 在四棱锥表面上运动的轨迹为△MEF ，则动点P 的轨迹的周长为(1122MFE SDB l l ===△△16．【解答】由()()2f x xf x '<，得()()()22220f x x xf x x '->，令()()2f xg x x=， 则()()()()22220f x x xf x g x x '-'=>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，得()()32g g >，即()()222323f f <，得()()2439f f <. FM SEDCBA由()()3xf x f x '<，得()()()322330f x x x f x x '-<，令()()3f x h x x =， 则()()()()322330f x x x f x h x x '-'=<，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减，得()()32h h <，即()()332323f f >，得()()28327f f >. 综上所述，()()2842739f f <<．故填84,279⎛⎫⎪⎝⎭．三.解答题(本大题共6小题,共70分.) 17．（本小题满分12分）【解答】（1）∵，∴， 整理得，…………2分则，解得，则的取值范围为．…………5分（2）∵，∴，即，则．…………6分 假设存在等差数列，则，即，解得，从而，…………8分此时，…………9分，…………11分故存在等差数列，且，使得数列的前项和为．…………12分 18．（本小题满分12分） 【解答】（1）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF BE ⊥， ……1分由已知得AF BD ⊥，BE BD B =I ，∴AF ⊥平面BDE ，…………2分 又DE ⊂平面BDE ，∴AF DE ⊥， …………3分221212a a a a +=+()221112a a d a d ++=+()22112210a d a d d +-+-=()()224180d d d ∆=---≥11d -≤≤d []1,1-1d =-2112420a a -+=11a =2n a n =-{}n b 2112211221121123a b a b a b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩12111211223b b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩1216b b =⎧⎨=⎩54n b n =-2211111n n n n a b n n ==-+++222112211111111111223111n nnn n n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=++++++{}n b 54n b n =-21nn a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭n 1nn +又AE DE ⊥，AE AF A =I ，∴DE ⊥平面ABFE ．…………5分（2）在图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E =I ，即AE ⊥面DEFC ， 在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF ∥交CF 于点M ，连接CE ，由题意得2DM =，1CM =，由勾股定理可得DC CF ⊥，则π6CDM ∠=，2CE =，过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA u u u r ，EF u u u r ，EG u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，…………7分则()2,0,0A ，()2,2,0B，(C，10,2D ⎛- ⎝⎭，(AC =-u u u r，12,2AD ⎛=-- ⎝⎭u u u r ． 设平面ACD 的一个法向量为(),,x y z =n ，由00AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n得201202x y x y z ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，取1x =得(1,=-n ， …………9分 设AP m =，则()2,,0P m ，()02m ≤≤，得(2,1,CP m =-u u u r…………10分设CP 与平面ACD 所成的角为θ，2sin cos 3,CP m θ===u u u rn ． ∴23AP =． …………12分 19．（本小题满分12分）【解答】（1）因为物理原始成绩()260,13N ξ~， 所以()()()478647606086P P P ξξξ<<=<<+≤<()()1160136013602136021322P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯ 0.6820.95422=+0.818=．…………3分 所以物理原始成绩在()47,86的人数为20000.8181636⨯=（人）．…………5分 （2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[]61,80内的概率为25．所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，…………7分所以()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323541C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭； ()22323362C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭；()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为…………11分所以数学期望()26355E X =⨯=． …………12分20. (本小题满分12分)【解答】（1）由题设知222a b c =+，ce a=．由点()1,e 在椭圆上，得222211c a a b+=，解得21b =，又点⎭在椭圆上，222112a b ∴+=． 即21112a +=，解得24a =，所以椭圆的方程是2214x y +=．…………4分（2）【法1】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+， 120x x ∴+=，122414x x k =-+，120y y +=，2122414k y y k =-+， …………6分设()00,P x y ，则0022y kx k =+-，依题意PA PB ⊥，得1PA PB k k =-⋅，010201021y y y y x x x x --∴⋅=---， 即()()220120120120120y y y y y y x x x x x x -+++++-+=，…………8分 220012120y x y y x x ∴+++=，()()()()22220024114422014k k x k k x k k +∴++-+--=+有解，()()()()222222411624142014kΔkk kk k ⎡⎤+⎢⎥=--+--≥⎢⎥+⎣⎦， …………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-． …………12分【法2】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+，不妨设1x =2x =则12AB x =-=…………7分设原点O 到直线2l 的距离为d，则d =…………8分若存在满足条件的点P ，则以AB 为直径的圆与2l 有公共点，故2ABd ≤≤…………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-． …………12分21. (本小题满分12分)【解答】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()210x ax f x x x'++=>，…………1分对于函数210y x ax =++≥，①当240Δa =-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数； ………2分②当0Δ>，即2a <-或2a >时， 当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数， …………4分 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数．…………5分综上，当2a <-时，()f x在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数； 当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数．（2）()()()()22213ln e ln e 022x x F x f x g x x x ax x x x x ax x x =-=++--+=-++->，()F x Q 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln e x x x a x-+=有解，…………7分令()()2n 0e l x x xh x x x+-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11e e x x x x x x x x x h x x x ++-+-+++-='=，…………8分令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， …………10分()()1e 1h x h ∴≥=+，…………11分当e 1a ≥+时，()F x 有不动点，a ∴的范围为[)e 1,++∞．…………12分 22.（本小题满分10分）【解答】（1）2211:C x y +=， …………1分22:cos C ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=．…………3分联立方程组得222212x y x y x⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，解得1112x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩2212x y ⎧⎪==⎨⎪⎪⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭．…………5分 （2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=．…………6分∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，…………8分∴当11π12θ=时，max 2S =…………10分23.（ 本题满分 10 分）【解答】（1）不等式等价于132x x x ≤--≤+⎧⎨⎩或11222x x x -<⎧≤-+≤+⎪⎨⎪⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩，…………3分 解得x ∈∅或102x ≤≤或112x <≤，所以不等式()2f x x ≤+的解集为{}01x x ≤≤．…………5分（2）由()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩知，当12x =时，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭； (7)分()()()323121g x x m x m ≥---=-，…………8分当且仅当()()32310x m x --≤时取等号， 所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………10分。
2020届河北省衡水市枣强中学高三下学期3月调研数学(理)试题(解析版)
2020届河北省衡水市枣强中学高三下学期3月调研数学（理）试题一、单选题 1．设复数34iz i=-，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】根据复数的除法运算得到化简结果，再由复数的几何意义得到所在象限，即可求得答案. 【详解】(34)34(34)(34)i i i z i i i ⋅+==--⋅+ 3443252525i i -==-+ ∴z 在复平面内对应的点为第二象限.故选：B. 【点睛】本题考查复数的运算、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知集合{}2650M x x x =-+≥，{}21N y y x ==+，则M N =（ ）A ．[)5,+∞B ．{}[)15,⋃+∞C ．[]1,5D ．R【答案】B【解析】本题先求出{}15M x x x =≤≥或，再求出{}1N y y =≥，最后求M N ⋂. 【详解】解：∵{}2650M x x x =-+≥，∴ {}15M x x x =≤≥或， ∵{}21N y y x ==+，∴{}1N y y =≥， ∴ {}[)15,MN =+∞.故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.3．()612x -的展开式第三项为（ ） A ．60 B ．120-C ．260xD ．3120x -【答案】C【解析】直接利用二项展开式的通项公式，求出6(12)x -的展开式第三项． 【详解】6(12)x -的通项为61(2)r r r T C x +=-6(12)x -的展开式第三项2236221(2)60T T C x x +=-==，故选：C ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．4．函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为1()cos 1x x e f x x e +=⋅-，先判断函数的奇偶性，结合当0x +→时，函数值的为正，即可求得答案. 【详解】11()cos()cos()11x xx xe ef x x x f xe e--++-=⋅-=-⋅=---，∴()f x为奇函数，排除C，当0x+→时，()0f x>，排除B,D，故只有A符合题意故选：A.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求解函数图象问题，解题关键是掌握判断函数奇偶性的方法和函数图象的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5．设变量x，y满足约束条件1,22,10,x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则()223=-+z x y的最小值为（）A．2 B．45C．4 D．165【答案】D【解析】根据约束条件画出可行域，目标函数()223=-+z x y可看作是可行域内的点到(3,0)距离的平方的最小值，即可求得答案.【详解】变量x，y满足约束条件1,22,10,x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩画出可行域，()223=-+z x y可看作是可行域内的点到(3,0)距离的平方的最小值根据图象可知，()223=-+z x y的最小值是(3,0)到220x y--=距离的平方.根据点到直线距离公式可得：(3,0)到220x y --=距离为602455--=∴2min46=515z ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中，求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解.6．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为（ ）A ．120B ．145C ．270D ．285【答案】B【解析】记第n 个五角形数为n a ，由题意知：12132431,4,7,10a a a a a a a =-=-=-=⋅⋅⋅可得13(1)1n n a a n --=-+，根据累加法，即可求得答案. 【详解】记第n 个五角形数为n a ，由题意知：12132431,4,7,10a a a a a a a =-=-=-=⋅⋅⋅ 可得13(1)1n n a a n --=-+， 由累加法得(31)2n n na -=， ∴10145a =.故选：B. 【点睛】本题主要考查了根据累加法其数列通项公式，解题关键是掌握数列基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与函数()ln(1)f x x =+的图象相切，则该双曲线离心率为（ ）A B C ．2D 【答案】A【解析】易得切点为原点,再根据导数的几何意义求函数()ln(1)f x x =+在()0,0的切线斜率,继而得出,a b 的关系求解离心率即可. 【详解】由题可知,切点为原点.又()ln(1)f x x =+的导函数1'()1f x x =+,故1'(0)101f ==+.故22222112b c a c e a a a-=⇒=⇒=⇒=故选：A 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义与构造齐次式求解双曲线离心率的问题.属于基础题. 8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点()3,0对称，当()0,3x ∈时()x f x e =，则当[]2018,2019x ∈时，()f x 的最小值为（ ）A ．0B ．eC ．2eD ．3e【答案】A【解析】先判断出()f x 的周期为6，从而判断出[]2018,2019x ∈时()f x 最小值，即为[]2,3x ∈时()f x 最小值，最后求出[]2,3x ∈的最小值即可解题. 【详解】解析：∵()f x 关于()3,0对称∴()()60f x f x +-=即()()6f x f x =--， ∵ ()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴()()()66f x f x f x =--=-， ∴()f x 的周期为6，∴[]2018,2019x ∈时()f x 最小值，即为[]2,3x ∈时()f x 最小值，∵[)2,3x ∈，()()2min 2f x f e ==∵()()()333f f f =-=- ∴()30f =∴[]2,3x ∈，()min 0f x =， 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、周期性求函数在指定区间内的最值，是中档题. 9．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32B ．53C ．74D ．95【答案】D【解析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案； 【详解】 当2m n +=时，131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤=⎪⎝⎭， 当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10．已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点.过点F 的直线l 交抛物线C 于A B ，两点，交准线于点M .若0BM BA +=，9AB =，则p 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】过,A B 做准线的垂线，垂足为11,,A B x 轴与准线交点为1F ，画出图象，根据0BM BA +=，可得B 是线段AM 的中点，故1112BB MB AA MA ==，即可求得答案. 【详解】过,A B 做准线的垂线，垂足为11,,A B x 轴与准线交点为1F ， 画出图象：0BM BA +=∴可得B 是线段AM 的中点故111,2BB MB AA MA == 设BF t =，则11,2BB t AA AF t ===，11462FF MF t p AA MA t t===， 39,AB AF BF t =+==求得34t p ==. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是掌握抛物线定义和向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11．已知点()0,1A ，()1,2B x ，()2,2C x -在函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象上，且min 5BC =.给出关于()f x 的如下命题p ：()f x 的最小正周期为10；q ：()f x 的对称轴为31x k =+（k Z ∈）；r ：()()20202019f f >；s ：方程()2lg f x x =有3个实数根.其中真命题的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】先求ϕ，接着求最小正周期T ，从而求ω，再求出对称轴31x k =+（k Z ∈）以及()2020f ，()2019f ，最后判断()2lg f x x =有几个实数根即可解题. 【详解】解析：∵()01f =∴1sin 2ϕ=∴6π=ϕ∵32T==∴6T =∴3πω=，∴()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭命题p ：因为6T =，所以命题p 为假命题 命题q ：令362x k ππππ+=+（k Z ∈），解得对称轴为()31x k k Z =+∈，所以命题q 为真命题命题r ：因为()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()20202f =-，()20191f =-，所以命题r 为假命题命题s ：画出函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭与函数()2lg g x x =的图象，如图.所以方程()2lg f x x =有3个实数根，所以命题s 为真命题故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，方程的根的个数的判断，是中档题.12．已知三棱柱111ABC A B C -各棱长均为2，1AA ⊥平面ABC ，有一个过点B 且平行于平面1AB C 的平面α，则该三棱柱在平面α内的正投影面积是（ ） A ．117B ．107C ．97D ．87【答案】A【解析】根据投影面平移不影响正投影的形状和大小，以平面1AB C 为投影面，构造四棱柱，画出投影图形，再计算正投影的面积即可. 【详解】 如图所示：因为投影面平移不影响正投影的形状和大小，所以以平面1AB C 为投影面，构造四棱柱，得到投影为五边形1B MACN ， 所以正投影的面积为47137117227277=⨯+⨯⨯=S . 故选：A 【点睛】本题主要考查平行投影的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象的能力，属于中档题.二、填空题13．已知{}n a 是首项为1的等比数列，若4n a ，12n a +，2n a +成等差数列，则n a =_______.【答案】12n -【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于4n a ，12n a +，2n a +成等差数列，可得1244n n n a a a ++=+，由此即可求出2q，进而求出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ； ∵4n a ，12n a +，2n a +成等差数列， ∴1244n n n a a a ++=+， ∴244q q =+， ∴2q，所以{}n a 是以首项为1，公比为2的等比数列； ∴12n na .故答案为：12n -. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和等差中项的应用，属于基础题.14．执行如图所示的程序框图，若输出的y 值为1，则可输入的所有x 值组成的集合为___________.【答案】12,,1010⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】先根据框图分类讨论，在0x >时，得到lg 1x =，解得110x =、2110x =；在0x <时，得到2(1)1x +=，解得32x =-，最后写出所有x 值组成的集合即可.【详解】解：（1）当0x >时，lg 1x =得110x =，2110x =（2）当0x <时，2(1)1x +=，得32x =-，故答案为：12,,1010⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查对数的运算、程序框图，是基础题15．若A ，B ，C 三点满足6AB =，且对任意R λ∈都有2AC AB λ-≥，则CA CB ⋅的最小值为________. 【答案】5-【解析】根据对任意R λ∈都有2AC AB λ-≥，得到点C 到AB 所在直线的距离最小值为2，设AB 中点为M ，则()()2214⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦CA CB CA CB CA CB ，再由平面向量的加法和减法运算求解.【详解】 如图所示：因为对任意R λ∈都有2AC AB λ-≥， 所以A ，B ，C 三点不共线，设AD AB λ=，过C 作 CH AB ⊥，所以2λ-=-=≥=AC AB AC AD CD CH 所以点C 到AB 所在直线的距离最小值为2设AB 中点为M ，则()()2214⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦CA CB CA CB CA CB ， ()()221121636544⎡⎤=-≥-=-⎢⎥⎣⎦CM AB ，当且仅当CM AB ⊥时等号成立. 故答案为：-5 【点睛】本题主要考查平面向量加法和减法及以及数量积的性质和运算，属于中档题.三、双空题16．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单.某外卖小哥每天来往于r 个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，……，r ，其中3r ≥），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余1r -个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的1r -个外卖店取单.设事件k A ={第k 次取单恰好是从1号店取单}，()k P A 是事件k A 发生的概率，显然()11P A =，()20P A =，则()3P A =_______，()1k P A +与()k P A 的关系式为_______（*k N ∈）【答案】11r - ()()1111k k P A P A r +=-⎡⎤⎣⎦-【解析】由题意可知，3A 表示第3次取单恰好是从1号店取单，可知()()323P A P A A =，再利用条件概率计算公式()()()23232P A A P A P A A =，即可求出()3P A ；由题意可知，()()11k k k P A P A A ++=，再根据条件概率公式可得()()()11k k k k k P A A P A P A A ++=，由此即可求出()1k P A +结果． 【详解】因为2A ={第2次取单恰好是从1号店取单}，由于每天第1次取单都是从1号店开始，根据题意，第2次不可能从1号店取单，所以()20P A =，3A ={第3次取单恰好是从1号店取单}，因此()()()()()323232211111P A P A A P A P A A P A r r ⎡⎤===-=⎣⎦--； 由题意可知，()()()()()()()11111111k k k k k k k k k k P A P A A P A P A A P A P A A P A r ++++⎡⎤⎡⎤===-=-⎣⎦⎣⎦-.故答案为： 11r -；()()1111k k P A P A r +=-⎡⎤⎣⎦-． 【点睛】本题考查条件概率的求法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，1b =，cos cos c B A C =-.（1）求B ；（2）若B ，A ，C 成等差数列，求ABC 的面积.【答案】（1）4B π=或34B π=；（2）38+.【解析】（1）根据cos cos c B A C =-，利用余弦定理化简为a A =，然后利用正弦定理由sin sin =⋅AB b a求解. （2）根据B ，A ，C 等差数列得到3A π=，结合4B π=，由()11sin sin 22==+ABC S ab C ab B A △求解. 【详解】（1）∵cos cos c B A C =-∴22222222a c b a b c c A ac ab+-+-⋅=-又∵1b =∴22221122a c a c A a a+-+-=-∴a A =∴sin sin 2A B b a =⋅=又∵()0,B π∈ ∴4B π=或34B π=（2）∵B ，A ，C 等差数列 ∴3A π=，由（1）知4B π=∴a A ==∴()11sin sin 22==+ABC S ab C ab B A △,11122=⨯+=【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理以及面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD ，1AB AD ==，AB CD ∥，AB AD ⊥，点E 为PC 的中点.平面ABE 交侧棱PD 于点F ，四边形ABEF 为平行四边形.（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ； （2）若二面角A PB C --的余弦值为10，求PD 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（210【解析】（1）由四边形ABEF 为平行四边形，得//AB EF ，AB EF =，结合点E 为PC 的中点，得222CD EF AB ===，求解三角形可得BD BC ⊥，再由已知得到PC BD ⊥，由线面垂直的判定可得BD ⊥平面PBC ，从而得到平面PBD ⊥平面PBC ；（2）以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，设(0P ，0，)(0)h h >，由二面角A PB C --的余弦值为10列式求得h ，求出PD 与平面PAB 的一个法向量，可得PD 与平面PAB 所成角的正弦值． 【详解】 解：（1）证明：∵四边形ABEF 为平行四边形. ∴AB EF ∥，又∵AB CD ∥ ∴EF CD ∥，又∵点E 为PC 的中点 ∴222CD EF AB ===∴在直角梯形ABCD 中，1AB AD ==，2CD =可得 连接BD ，易得2BD BC ==222BD BC DC +=，∴BD BC ⊥，又∵PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD ⊥平面PBCBD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PBC ；（2）由（1）知2CD =，∴在直角梯形中可得45DCB ∠=︒，又PC ⊥底面ABCD ，∴以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则()2,1,0A ，()1,1,0B ，()2,0,0D ，设()()0,0,0P h h >， ∴()1,0,0BA =，()1,1,BP h =--，()2,0,DP h =-，()1,1,0BD =- ∵BD ⊥平面PBC ，∴平面PBC 的法向量可取()1,1,0BD =-， 设平面ABP 法向量为(),,a x y z =，由0,0,a BA a BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩得0x x y hz =⎧⎨--+=⎩，∴可取()0,,1a h =， ∴210cos ,521a BD h ==-+， ∴2h =，∴()2,0,2DP =-，()0,2,1a =，10cos ,1085DP a ==⨯， ∴PD 与平面PAB 10. 【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练利用空间向量求解空间角，是中档题．19．中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量t （单位：mm ）的数据，得到如下茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）.另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示. 周降雨量t （单位：mm ） 10≤ (]10,50 (]50,100100猕猴桃灾害等级 轻灾 正常轻灾重灾根据上述信息，解答如下问题.（1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数； （2）以收集数据的频率作为概率.①估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；②若无灾害影响，每亩果树获利6000元：若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元.为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元. 方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元. 方案3：不采取防控措施.问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由.【答案】（1）中位数为12.5，众数为10；（2）①估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为130和35，无灾害概率为1130；②选择方案一比较好；答案见解析. 【解析】(1)根据茎叶图，可得中位数和众数；(2)①根据图中的数据，求出该地区周降雨量的概率，由此能估计该地在今年发生重、轻害的概率和无灾害概率；②分别计算各方案中每亩获利的期望，进而比较出每亩净利润，可得结论．【详解】（1）根据茎叶图，可得中位数为12.5，众数为10（2）①根据图中的数据，可得该地区周降雨量t （单位：mm ）的概率：()15110302P t ≤==，()11105030P t <≤=，()31501003010P t <≤==，()110030P t ≥=， P （轻灾）()()310501005P t P t =≤+<≤=，P （重灾）()110030P t =>= 因此估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为130和35，无灾害概率为1130②方案1：设每亩的获利为1X （元），则1X 的可能取值为600，10800-，则1X 的分布列如下：则()129160001080054403030E X =⨯-⨯=（元），则每亩净利润为54404005040-=（元）； 方案2：设每亩的获利为2X （元），则2X 的可能取值为6000元，于是()260001P X ==，()26000E X =，净利润为600010804920-=（元）；方案3：设每亩的获利为3X （元），则3X 的可能取值为6000，5400-，10800-， 则3X 的分布列如下：则()311316000540010800140030530E X =⨯-⨯-⨯=-（元），于是每亩亏损为1400（元）；由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好. 【点睛】本题考查中位数、众数、概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法及应用，考查互斥事件概率加法定理、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点(M 且离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上存在三个不同的点A ，B ，P ，满足OA OB OP +=，求弦长AB 的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；（2）6,⎡⎣. 【解析】（1）根据待定系数法求解即可得答案.（2）设直线l 过A 、B 两点，先考虑直线l 垂直于x 轴时，易得6AB =，再考虑直线l 不垂直于x 轴时，设l ：()0y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，根据题意与椭圆联立方程得()2223484480kxkmx m +++-=，122834kmx x k +=-+，212244834m x x k-=+，进而化简计算得2286,3434km m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，再根据P 在椭圆上得2234m k =+，再用弦长公式得：AB =最后结合2343k +≥即可求得弦长的范围. 【详解】解：（1）由题意知12c a =，(22221a b+=，又因为222c b a +=，解得216a =，212b =.则椭圆标准方程为2211612x y +=.（2）因为OA OB OP +=，所以由向量加法的意义知四边形OAPB 为平行四边形. 设直线l 过A 、B 两点，①若直线l 垂直于x 轴，易得：()4,0P ，()2,3A ，()2,3B -或者()4,0P -，()2,3A -，()2,3B --，此时6AB =.②若直线l 不垂直于x 轴，设l ：()0y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，将直线y kx m =+代入C 的方程得()2223484480kxkmx m +++-=故122834km x x k +=-+，212244834m x x k-=+， 因为OA OB OP +=，所以012x x x =+，012y y y =+， 则02834kmx k =-+，()0121226234m y y y k x x m k =+=++=+，即2286,3434kmm P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为P 在椭圆上，有222286343411612km m k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，化简得2234m k =+.验证，()()22222641634121440k m kmm ∆=-+-=>.所以1228834km k x x k m -+=-=+，22122244844834m m x x k m --==+所以12AB x =-===因为2343k +≥，则2110343k <≤+. 即()21111443434k <+≤+，得6AB <≤.综上可得，弦长AB 的取值范围为6,⎡⎣.【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆相交的弦的最值问题，考查数学运算能力，是中档题.21．已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；（2）求证：()()111ln 1a xa e e f x x e+++'⋅⋅+<. 【答案】（1）()f x 递增区间为()0,1；()f x 递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析. 【解析】（1）把1a =代入解析式对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解；（2）原不等式转化为证明()1111ln ln 1a a e x a x x e +++⎛⎫--+< ⎪⎝⎭，结合不等式的特点构造函数，结合函数性质及导数可证． 【详解】 解：（1）当1a =时，()ln 1x x f x e+=，()1ln 1xx x f x e --'= 令()1ln 1g x x x=--，则()g x 在()0,∞+上为减函数，且()10g = 所以，当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()f x 递增区间为()0,1；()f x 递减区间为()1,+∞（2）()1ln xx a x f x e --'=，()1ln xe f x x a x'=-- 只需证()1111ln ln 1a a e x a x x e +++⎛⎫--+< ⎪⎝⎭即()()11ln 111ln a a x e x x ax x e++++--<易证()()ln 10x x x +<>成立.记()1ln h x x x ax =--，则()ln 10h x x a '=---=令()0h x '=，得(1)a x e -+=并且，当()()10,a x e-+∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()()1,a x e -+∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减所以，()()()1111111a a a a e h x h eee+-++++≤=+=即()()111ln 1a xa e e f x x e +++'⋅⋅+<，命题得证．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，证明不等式，函数与导数的综合应用，属于难题．22．在平面直角坐标系中，点P 是曲线1C ：2cos 22sin x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将线段OP 顺时针旋转90得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C ． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，点M 的坐标为(4,)2π，射线:(0)6l πθρ=>与曲线12C C 、分别交于,A B 两点，求MAB △的面积．【答案】（1）1:4sin C ρθ=；2:4cos C ρθ=（2）6-. 【解析】（1）因为曲线1C ：2cos 22sin x ty t=⎧⎨=+⎩，可得1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，根据极坐标与直角坐标的互化公式:222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，结合已知，即可求得答案.（2）由题意知点M 到射线6πθ=的距离为4sin3d π==由（1）知1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，即可求得答案. 【详解】 （1）曲线1C ：2cos 22sin x ty t=⎧⎨=+⎩∴1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，其极坐标方程为4sin ρθ=设Q 点的极坐标为()ρθ，，则对应的P 点的极坐标为()2πρθ+，又点P 在1C 上，将线段OP 顺时针旋转90得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C∴4sin()4cos 2πρθθ=+=即2C 的极坐标方程为4cos ρθ=（2）由题意知点M 到射线6πθ=的距离为4sin3d π==由（1）知1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，)4(cos sin )2166B A AB ππρρ=-=-=，∴162MAB AB d =⋅=-△S 【点睛】本题解题关键是掌握极坐标与直角坐标的互化公式和极坐标的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.23．已知函数()(1)1()f x x a x x x a =+++-+． （1）当0a =时，求()0f x ≥的解集；（2）若()0f x <在(),0-∞上恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{}0x x ≥；（2）0a ≤.【解析】（1）当0a =时，()(1)1f x x x x x =++-．分别讨论1≥x ，01x ≤<和0x <时()0f x ≥，即可求得答案；（2）由（1）可知当0a =时，在(),0x ∈-∞内()0f x <恒成立；讨论0a <和0a >时，()0f x <在(),0-∞上是否恒成立，即可求得答案.【详解】（1）当0a =时，()(1)1f x x x x x =++-．当1≥x 时，2()(1)(1)2f x x x x x x =++-=，此时()0f x ≥的解集为{}1x x ≥；当01x ≤<时，()(1)(1)2f x x x x x x =++-=，此时()0f x ≥的解集为{}01x x ≤<；当0x <时，2()(1)(1)2f x x x x x x =-+--=-，此时()0f x ≥的解集为∅综上所述()0f x ≥的解集为：{}0x x ≥（2）由（1）可知当0a =时，在(),0x ∈-∞内()0f x <恒成立；当0a <时，在(),0x ∈-∞内()()(1)(1)()2()0f x x a x x x a x x a =-++--+=-+<恒成立；当0a >时，在(),0x a ∈-内()()(1)(1)()2()0f x x a x x x a x a =++--+=+>，不满足()0f x <在(,0)-∞上恒成立的条件 综上所述0a ≤. 【点睛】本题主要考查了求解绝对值不等式和根据不等式恒成立求参数范围，解题关键是掌握不等式基础知识和讨论法解不等式步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.。
河北衡水2020届高三调研考试理数试题
3 3河北衡水2020届高三调研考试理数试题一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的 序号填涂在答题卡上）1．已知集合 A ＝{x ∈R|x +1＞0}，B ＝{x ∈Z|x ≤1}，则 A ∩B ＝A ．{x |0≤x ≤1}B ．{x |﹣1＜x ≤1}C ．{0，1}D ．{1}6.已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是A ．求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 2017 项的和B ．求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 2018 项的和C ．求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1009 项的和D ．求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1010 项的和2．复数 1+ i 1+ 2i 2 A ． 110C ． 3 10的共轭复数的虚部为B ． - 1 10 D ． - 310 7．如图 1，已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，M ，N ，Q 分别 是线段 AD 1，B 1C ，C 1D 1 上的动点，当三棱锥 Q-BMN 的正视图如图 2 所示时，三棱锥俯视图的面积为3．有一散点图如图所示，在 5 个（x ，y ）数据中 去掉 D （3，10）后，下列说法正确的是 A ．残差平方和变小 B ．相关系数 r 变小 C ．相关指数 R 2变小D ．解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变弱35A ．2B ．1C ．D ．2 2⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫x 2 y 28．如图直角坐标系中，角α 0 < α < 2 ⎪ 、角 β - 2 < β < 0⎪4. 已知双曲线 C : - = 1 12 4，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过F 的直线与 C 的两条 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭5渐近线的交点分别为 P ，Q ，若△POQ 为直角三角形，则|PQ |＝ A ．2B ．4C ．6D ．8的终边分别交单位圆于 A 、B 两点，若 B 点的纵坐标为 - ，13α ⎛ α α ⎫ 15．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球 1 个、黑球 2 个，现随机等可能取出小 且满足 S= ，则 sin cos -sin ⎪ + 的值 球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 ξ1；当无放回依次取出两个小球时， ∆AOB 45 122 ⎝ 2 2 ⎭ 2 12 5 记取出的红球数为 ξ2，则（ ）A ．E ξ1＜E ξ2，D ξ1＜D ξ2B ．E ξ1＝E ξ2，D ξ1＞D ξ2C ．E ξ1＝E ξ2，D ξ1＜D ξ2D ．E ξ1＞E ξ2，D ξ1＞D ξ2A ． - 13B ．C ． -D ．13 13 13⎛ 2 3x ( 9. 已知函数 f (x ) = sin ωx - cos ωx (ω > 0) ，若集合{x ∈(0 ， π ) | f (x ) = -1} 含有 4 个元素， 二、填空题（共 4 题，每题 5 分）n则实数 ω 的取值范围是 ⎛ 13. 已知二项式 2x - 1 ⎫ ⎪ 的展开式中第2 项与第3 项的二项式系数之比是 2︰5，则 x 3 的系 A ． [ 3 , 5)2 2B ． ( 3 , 5]2 2C ． [7 , 25)2 6D ． (7 , 25]2 6⎝⎭ 数为10．已知抛物线 y 2 = 4x 上有三点 A ，B ，C ，AB ，BC ，CA 的斜率分别为 3，6，-2 ，则 的重心坐标为 ∆ABC 14. 数学老师给出一个定义在 R 上的函数 f （x ），甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数 的一条性质：14( ,1) 9B ． 14 ,0)9C ． (14 , 0)27D ． (14 ,1)27甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，+∞）上函数单调递增； 丙：函数 f （x ）的图象关于直线 x ＝1 对称；丁：f （0）不是函数的最小值． 11．在棱长为 2 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 M 是对角线 AC 1 上的点（点 M 与 A、C 1 不重合），则下列结论正确的个数为（ ）老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是15. 已知△ABC 的一内角 A = π3, AB = 10, AC = 6 ，O 为△ABC 所在平面上一点，满足|OA |＝|OB |＝|OC |，设 AO = m AB + n AC ，则 m +3n 的值为16．已知 ∆ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若 A = 2B ，则 c +2b 的取值ba①存在点 M ，使得平面 A 1DM ⊥ 平面 BC 1D ； ②存在点 M ，使得DM // 平面 B 1CD 1 ； 范围为 ．三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2020届河北省衡水市高三下学期3月第五次调研数学(理)试题(解析版)
2020届河北省衡水市高三下学期3月第五次调研数学（理）试题一、单选题1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B ⋂=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】先求出A B ⋂，再结合题意即可求出结果. 【详解】()1,8A =-Q ，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5,82A B ⎛⎫∴⋂= ⎪⎝⎭，()5Z A B ∴⋂=.故选C【点睛】本题考查集合的交集，考查运算求解能力与新定义的理解能力，属于基础题型. 2．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i + D ．12i -【答案】B【解析】根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可. 【详解】由()1243i z i +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2z i =+． 故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题. 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C【解析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题． 4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（ ） A ．25B ．425C ．25π D ．1625π【答案】D【解析】根据几何概型面积型计算公式直接求解即可. 【详解】由题2525=π=π24S ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭圆，=4S 正方形，所以1625πS P S ==正方形圆． 故选：D 【点睛】本题考查了几何概型面积型计算公式，属于基础题.5．命题p ：,x y R ∈，222x y +<，命题q ：,x y R ∈，2x y +<，则p 是q 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】222x y +< 表示的范围，用图像来表示就是以(0,0) 为半径的圆内；q ：,x y R ∈，2x y +< 表示以()()()()0,2,0,2,2,0,2,0-- 为顶点的菱形；画出图像知道菱形包含了圆形；故p 范围比q 范围小，根据小范围推大范围，得p 是q 的充分非必要条件； 故选A点睛：充分必要条件中，小范围推大范围，大范围推不出小范围；这是这道题的跟本； 再者，根据图像判断范围大小很直观，快捷，而不是去解不等式；6．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（ ）A ．2018?n „B ．2019?n „C ．2020?n „D ．2021?n „【答案】B【解析】执行程序框图，从1n =开始运行，当运行求出2020a 的值，然后对判断框进行判断即可. 【详解】由递推式1n n a a n +=+， 可得11n n a a n -=+-，122n n a a n --=+-，…322a a =+，211a a =+.将以上()1n -个式子相加，可得11231n a n =+++++-L ，则202011232019a =+++++L .①由程序框图可知，当判断框内的条件是()*?n k k ∈N …时，则输出的1123S k =+++++L ，②.综合①②可知，若要想输出①式的结果，则2019k =． 故选：B 【点睛】本题考查了对程序框图中的判断框的判断，属于基础题. 7．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用()10f <，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。
2020届河北省衡水中学高三下学期三模数学(理)试卷及答案解析
2020届河北省衡水中学高三下学期三模数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B =（ ）A.{}0,2B.{}2,2-C.2,0,2D.{}2,1,0,1,2--2.若复数z 满足1z i i ⋅=-+，则z 的共轭复数z -在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设实数x ，y 满足条件202300x y x y x y +-≤⎧⎪-+>⎨⎪-≤⎩则1x y ++的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.44.平面向量a 与b 的夹角为60︒， ()2,0,1a b ==，则2a b +等于( ) A. 125.如图，是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能是（ ）A.()|sin cos |f x x x =+B.22()sin cos f x x x =+C.()|sin ||cos |f x x x =+D.()sin ||cos ||f x x x =+6.已知二项式121(2)n x x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A.240B.120C.48D.367.祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第7位，也就是3.1415926和3.1415927之间，这一成就比欧洲早了1000多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了1000个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（ ）A.297B.302C.307D.3128.设函数()()2sin f x x ωϕ=+， x R ∈，其中0ω>，ϕπ<.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A. 23ω=， 12πϕ= B. 23ω=， 1112πϕ=- C. 13ω=， 1124πϕ=- D. 13ω=，724πϕ= 9.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（ ）A.乙丁B.乙丙C.丙丁D.甲丁10.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．2F 也是抛物线()2:20E y px p =>的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线1AF 的倾斜角为45︒，则C 的离心率为（ ）A.121 C.3111.已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >都成立，则实数a 的最小值为（ ） A.2e -B.e -C.e 2-D.1e-12.已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为27π，1A DB △与11A DC △的重心分别为E ，F ，球O 与该正方体的各条棱都相切，则球O 被EF 所在直线截的弦长为（ ）B. C.第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.已知双曲线的一个焦点与抛物线28y x =的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于A ，B 两点，且OAB 的面积为6（O 为原点），则双曲线的标准方程为______．14.2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A ，B 两点间的距离)，现取两点C ，D ，测得CD ＝80，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．16.已知圆22:4O x y +=点()2,2A ，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，点E 在直线l 上且满足2PQ QE →→=.若22248AE AP +=，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为_____________.三、解答题（题型注释）17.已知等差数列n a 的公差为d ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，等比数列{}n b 的公比为()1q q ≠，n T 是数列{}n b 的前n 项和，330a b +=，11b =，33T =，d q =-．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数λ，使得关于k 的不等式()3010k S λ+≤有解？若λ存在，求出λ的值；若λ不存在，说明理由．18.如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为4的等边三角形，PA AC =，BD CD ==PC PB ==，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC ．（1）求证：//DE 平面PAC（2）线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T DA B --为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．19.如图在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，短轴长为4．（I ）求椭圆C 的方程；（2）若与原点距离为1的直线1:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线2l 与1l 平行，且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线1l 的两侧）．记MAB △，OAB 的面积分别为1S ，2S 若12S S λ=，求实数λ的取值范围．20.2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工．已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值[]()70,100k k ∈为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图．（1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值[)90,95k ∈的件数X 的分布列及数学期望； （2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件A ．求事件A 发生的概率；（3）若每件产品的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示；（14t <<）试确定t 的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）21.已知函数()l e n xm f x x xx =+-()m ∈R ．（1）当1em =时，求函数()f x 的最小值； （2）若2e 2m ≥，()22e x m x g x x-=，求证：()()f x g x <．22.在直角坐标系xOy 中．直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[)0,ϕπ∈）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为8cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （1）化圆C 的极坐标方程为直角坐标标准方程；（2）设点()00,P x y ，圆心()002,2C x y ，若直线l 与圆C 交于M 、N 两点，求PM PNPN PM+的最大值． 23.已知函数()3f x ax =-，不等式()2f x ≤的解集为{}15x x ≤≤． （1）解不等式()()211f x f x <+-；（2）若3m ≥，3n ≥，()()3f m f n +=，求证：141m n+≥．参考答案1.C【解析】1.求出集合A ，利用交集的定义可得出集合AB .{}{}333A x x x x =<=-<<，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-.故选：C. 2.D【解析】2.先根据1z i i ⋅=-+求出z ，再求出z -，即得z -在复平面内对应的点所在的象限.由1z i i ⋅=-+得21(1)1,1i i iz i z i i i--+-+===+∴=-. 所以z -对应的点为(1,1)-，在第四象限. 故选：D. 3.C【解析】3.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．作出不等式组对应的可行域，如图所示，由++1z x y =可得1y x z =-+-， 将直线l ：1y x z =-+-进行平移， 当l 与AB 重合时，目标函数z 达到最大值， 因为AB 过点（0，2）； ∴z max ＝0+2+1＝3． 故选：C ．4.B【解析】4.因为2,1a b ==， a 与b 的夹角为60︒，故cos601a b a b ⋅=⋅=，则244a b +=+=B 。
2019-2020学年河北省衡水市高三(下)第五次调研数学试卷(理科)-普通用卷
2019-2020学年河北省衡水市高三（下）第五次调研数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.Z(M)表示集合M中整数元素的个数，设集合A={x|−1<x<8}，B={x|5<2x<17}，则Z(A∩B)=()A. 3B. 4C. 5D. 62.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i，则z的共轭复数是()A. 2−iB. 2+iC. 1+2iD. 1−2i3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，则()A. f(−3)<f(−log313)<f(20.6)B. f(−3)<f(20.6)<f(−log313)C. f(20.6)<f(−log313)<f(−3)D. f(20.6)<f(−3)<f(log313)4.宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是()A. 25B. 425C. π25D. 1625π5.命题p：x，y∈R，x2+y2<2，命题q：x，y∈R，|x|+|y|<2，则p是q的什么条件()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 必要充分条件D. 非充分非必要条件6.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是()A. n≤2018？B. n≤2019？C. n≤2020？D. n≤2021？7.函数f(x)=sinxx+x2−2|x|的大致图象为()A.B.C.D.8. 若函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，|φ|<π2)图象的一个对称中心为(π3,0)，其相邻一条对称轴方程为x =7π12，该对称轴处所对应的函数值为−1，为了得到g(x)=cos2x 的图象，则只要将f(x)的图象( )A. 向右平移π6个单位长度 B. 向左平移π12个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度D. 向右平移π12个单位长度9. 已知AB 为圆O ：(x −1)2+y 2=1的直径，点P 为直线x −y +1=0上任意一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A. 1 B. √2 C. 2 D. 2√210. 圆锥SO(其中S 为顶点，O 为底面圆心)的侧面积与底面积的比是2：1.则圆锥SO 与它外接球(即顶点在球面上且底面圆周也在球面上)的体积比为( ) A. 9：32 B. 8：27 C. 9：22 D. 9：28 11. 已知直线y =kx(k ≠0)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √5 12. 若对于任意的0<x 1<x 2<a ，都有x 2lnx 1−x 1lnx 2x 1−x 2>1，则a 的最大值为( )A. 2eB. eC. 1D. 12二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(√x 3−2x )n 的二项展开式中，若所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于______14. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =2√7，c =3，B =2C ，则cos2C 的值为______．15. 正四棱锥S −ABCD 底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则动点P 的轨迹的周长为______ ． 16. 定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)>0，f′(x)为f(x)的导函数，且2f(x)<xf′(x)<3f(x)对x ∈(0,+∞)恒成立，则f(2)f(3)的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在公差为d的等差数列{a n}中，a12+a22=a1+a2．(1)求d的取值范围；(2)已知d=−1，试问，是否存在等差数列{b n}，使得数列{1a n2+b n }的前n项和为nn+1？若存在，求{b n}的通项公式；若不存在，请说明理由．18.如图(1)，梯形ABCD中，AB//CD，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F.AB=AE=2，CD=5，已知DE=1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，得空间几何体ADE−BCF，如图(2)．(Ⅰ)若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE；(Ⅱ)若DE//CF，CD=√3，线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正弦值为√520，求AP的长．19.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169)．(Ⅰ)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；(Ⅱ)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望．(附：若随机变量ξ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.682，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.954，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.997)20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，点(1,e)和(√2,√22)都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过原点的直线l 1：y =kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，且在直线l 2：2kx −y +k −2=0上存在点P ，使得△PAB 是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围21. 已知函数f(x)=lnx +12x 2+ax(a ∈R)，g(x)=e x +32x 2−x ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)定义：对于函数f(x)，若存在x 0，使f(x 0)=x 0成立，则称x 0为函数f(x)的不动点．如果函数F(x)=f(x)−g(x)存在不动点，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为{x =cos αy =sinα(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ． (Ⅰ)求C 1、C 2交点的直角坐标；(Ⅱ)设点A 的极坐标为(4,π3)，点B 是曲线C 2上的点，求△AOB 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|+|2x −1|．(1)解不等式f(x)≤x +2；(2)若g(x)=|3x−2m|+|3x−1|，对∀x1∈R，∃x2∈R，使f(x1)=g(x2)成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={x|52<x<172}；∴A∩B={x|52<x<8}；∴Z(A∩B)=5．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可求出A∩B，从而得出Z(A∩B)．考查描述法的定义，交集的运算，理解Z(M)的定义．2.【答案】B【解析】解：∵(1+2i)z=4+3i，∴z=4+3i1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=10−5i5=2−i，则z的共轭复数是2+i．故选：B．直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，则z的共轭复数可求．本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，指数函数与对数函数的综合应用，属于基础题．根据题意，由函数的奇偶性可得f(−3)=f(3)，f(−log313)=f(log313)，又由20.6<2< log313<log327=3，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−3)=f(3)，f(−log313)=f(log313)，有20.6<21=2<log313<log327=3，因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(20.6)<f(−log313)<f(−3)，故选：C．4.【答案】D【解析】解：由题S圆=π⋅(52)2=254π，S正方形=4，所以P=S正方形S圆=1625π．故选：D．根据几何概型的概率公式求出对应圆的面积和正方形的面积进行求解即可本题主要考查几何概型的概率公式的计算，求出对应的面积是解决本题的关键5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用数形结合是解决本题的关键．属于基础题．作出不等式对应的图象，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：如图示：，命题“x2+y2<2”对应的图象为半径为√2的圆的内部，命题“|x|+|y|<2”对应的图象为正方形的内部，则命题“x2+y2<2”是命题“|x|+|y|<2”的充分不必要条件，故选：A．6.【答案】B【解析】解：由递推式a n+1=a n+n，可得a n=a n−1+n−1，a n−1=a n−2+n−2，…a3=a2+2，a2=a1+1．将以上(n−1)个式子相加，可得a n=1+1+2+3+⋯+n−1，则a2020=1+1+2+3+⋯+2019.①由程序框图可知，当判断框内的条件是n≤k？(k∈N∗)时，则输出的S=1+1+2+3+⋯+k，②．综合①②可知，若要想输出①式的结果，则k=2019．即判断框内的条件是n≤2019？故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查程序框图的应用问题，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：f(1)=sin1+1−2=sin1−1<0，排除，B，C，当x→0时，sinxx→1，则f(x)→1+0=1，排除A，故选：D．利用f(1)<0，以及函数的极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合函数的极限思想是解决本题的关键．8.【答案】B【解析】解：根据已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，|φ|<π2)的图象过点(π3,0)，(7π12,−1)，可得A =1，14⋅2πω=7π12−π3， 解得：ω=2．再根据五点法作图可得2⋅π3+φ=π， 可得：φ=π3，可得函数解析式为：f(x)=sin (2x +π3).故把f(x)=sin (2x +π3)的图象向左平移π12个单位长度， 可得y =sin (2x +π3+π6)=cos2x 的图象，故选：B ．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式，再根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题． 9.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的数量积的运算，注意运用向量的平方即为模的平方，以及点到直线的距离公式，属于中档题．运用向量加减运算和数量积的性质，可得PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−r 2，即为d 2−r 2，运用点到直线的距离公式，可得d 的最小值，进而得到结论．【解答】解：因为AB 为圆O ：(x −1)2+y 2=1的直径，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PO⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |2−r 2， 即为d 2−r 2，其中d 为圆外点到圆心的距离，r 为半径，因此当d 取最小值时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值最小， 可知d 的最小值为√2=√2，故PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为2−1=1．故选：A ． 10.【答案】A【解析】【分析】本题考查圆锥与球的体积，解决本题的关键在于确定各几何量之间的等量关系，考查计算能力，属于中等题．设圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，圆锥的外接球的半径为R ，根据题中条件将l 、R 都用r 表示，并计算出圆锥和其外接球的体积，通过计算可得出所求的体积比． 【解答】解：设圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，圆锥的外接球的半径为R ，由于圆锥SO 的侧面积与底面积之比为2：1，则πrl =2πr 2，所以，l =2r ，则圆锥SO的高为ℎ=√l 2−r 2=√3r ，所以，圆锥SO 的外接球的直径为2R =l 2ℎ=4√33r ，∴R =2√33r ，圆锥SO 的体积为13πr 2⋅ℎ=√33πr 3，它的外接球的体积为43πR 3=43π⋅(2√33r)3=32√327πr 3， 因此，圆锥SO 的体积与它外接球的体积比为√33πr 332√327πr 3=932．故选：A ．11.【答案】D【解析】解：∵以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，∴以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2， 由对称性知△ABF 的面积S =2S △OBF =2×12cℎ=cℎ=4a 2， 即ℎ=4a 2c ，即B 点的纵坐标为y =4a 2c，则由x 2+(4a 2c)2=c2，得x 2=c 2−(4a 2c)2=c 2−16a 4c 2，B 在双曲线上， 则c 2−16a 4c 2a2−16a 4c 2b 2=1，即c 2a 2−16a 2c 2−16a 4c 2(c 2−a 2)=1， 即c 2a 2−16a 2c 2(1+a 2c 2−a 2)=1， 即c 2a 2−16a 2c 2⋅c 2c 2−a 2=1， 即c 2a 2−16a 2c 2−a 2=1，即c 2a2−1=16a 2c 2−a2=c 2−a 2a 2，得16a 4=(c 2−a 2)2，即4a 2=c 2−a 2，得5a 2=c 2，得c =√5a ， 则离心率e =ca =√5aa=√5，故选：D ．根据以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，得到以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2，根据三角形的面积求出B 的坐标，代入双曲线方程进行整理即可． 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出B 的坐标，代入双曲线方程是解决本题的关键．考查学生的运算能力，运算量较大．12.【答案】C【解析】解：由题意可得： x 2lnx 1−x 1lnx 2<x 1−x 2，lnx 1x 1−lnx 2x 2<1x 2−1x 1，∴lnx 1+1x 1<lnx 2+1x 2，据此可得函数f(x)=lnx+1x在定义域(0,a)上单调递增， 其导函数：f′(x)=1−(lnx+1)x 2=−lnx x 2≥0在(0,a)上恒成立，据此可得：0<x ≤1， 即实数a 的最大值为1． 故选：C ．整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性即可求得最终结果． 本题考查函数的单调性，导数研究函数的单调性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题． 13.【答案】112【解析】解：由题意可得：2n =256，解得n =8．(√x 3−2x )8的通项公式为：T r+1=∁8r (√x 3)8−r (−2x)r =(−2)r ∁8r x 8−4r3．令8−4r 3=0，解得r =2．∴常数项=(−2)2∁82=112． 故答案为：112．由题意可得：2n =256，解得n ，利用通项公式即可得出． 本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】59【解析】解：由正弦定理可得：bsinB =csinC ， 即bc =sinBsinC=sin2C sinC=2sinCcosC sinC=2cosC =2√73⇒cosC =√73， ∴cos2C =2cos 2C −1=2×79−1=59．故答案为：59．由已知结合正弦定理可求cos C ，然后结合二倍角的余弦公式即可求解．本题主要考查了正弦定理及二倍角公式的简单应用，属于基础试题． 15.【答案】√2+√3【解析】【分析】根据题意可知点P 的轨迹为三角形EFG ，其中G 、F 为中点，根据中位线定理求出EF 、GE 、GF ，从而求出轨迹的周长．本题主要考查了轨迹问题，以及点到面的距离等有关知识，同时考查了空间想象能力，计算推理能力，属于中档题．【解答】解：由题意知：点P 的轨迹为如图所示的三角形EFG ，其中G 、F 为中点，∴EF =12BD =√2， ∵SB =√2+1=√3， ∴GE =GF =12SB =√32， ∴轨迹的周长为√2+√3． 故答案为：√2+√3．16.【答案】(827,49)【解析】解：令g(x)=f(x)x 2，x ∈(0,+∞)，g′(x)=xf′(x)−2f(x)x 3，∵∀x ∈(0,+∞)，2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立， ∴f(x)>0， 0<xf′(x)−2f(x)x 3，∴g′(x)>0，∴函数g(x)在x ∈(0,+∞)上单调递增， ∴g(2)<g(3)，即f(2)4<f(3)9，∴f(2)f(3)<49①， 令ℎ(x)=f(x)x 3，x ∈(0,+∞)，ℎ′(x)=xf′(x)−3f(x)x 4，∵∀x ∈(0,+∞)，2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立， ∴ℎ′(x)=xf′(x)−3f(x)x 4<0，∴函数ℎ(x)在x ∈(0,+∞)上单调递减， ∴ℎ(2)>ℎ(3)，即f(2)8>f(3)27，∴f(2)f(3)>827②，∴综合①②：827<f(2)f(3)<49， 故答案为：(827,49). 分别构造函数g(x)=f(x)x 2，x ∈(0,+∞)，ℎ(x)=f(x)x 3，x ∈(0,+∞)，利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)公差为d 的等差数列{a n }中，a 12+a 22=a 1+a 2． ∴a 12+(a 1+d)2=2a 1+d ．∴2a 12+(2d −2)a 1+d 2−d =0．∵d ∈R ，△=(2d −2)2−8(d 2−d)≥0． 解得−1≤d ≤1．∴d 的取值范围为[−1,1]．(2)d =−1时，a 12−2a 1+1=0．解得a 1=1．∴a n =1−(n −1)=2−n ．假设存在等差数列{b n }，使得数列{1a n2+b n}的前n 项和为nn+1．∴1a 12+b 1+1a 22+b 2+⋯…+1a n 2+b n=nn+1，n ≥2时，1a 12+b 1+1a 22+b 2+⋯…+1a n−12+b n−1=n−1n，∴1a n 2+b n=n n+1−n−1n，可得：b n =5n −4为等差数列．因此存在等差数列{b n }，使得数列{1a n2+b n}的前n 项和为nn+1，b n =5n −4．【解析】(1)公差为d 的等差数列{a n }中，a 12+a 22=a 1+a 2.可得a 12+(a 1+d)2=2a 1+d.整理为：2a 12+(2d −2)a 1+d 2−d =0.可得△≥0.可得d 的取值范围． (2)d =−1时，a 12−2a 1+1=0.解得a 1=1.可得：a n .假设存在等差数列{b n }，使得数列{1a n2+b n}的前n 项和为n n+1.可得1a 12+b 1+1a 22+b 2+⋯…+1a n2+b n=nn+1，进而得出：b n ，即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式及其性质、数列递推关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】证明：(Ⅰ)由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF ⊥BE ，由已知得AF ⊥BD ，BE ∩BD =B ，∴AF ⊥平面BDE ………………………………(2分) 又DE ⊂平面BDE ，∴AF ⊥DE ，又AE ⊥DE ，AE ∩AF =A ，∴DE ⊥平面ABFE.……………………………………(5分) 解：(Ⅱ)在图2中，AE ⊥DE ，AE ⊥EF ，DE ∩EF =E ，即AE ⊥面DEFC ，在梯形DEFC 中，过点D 作DM//EF 交CF 于点M ，连接CE ， 由题意得DM =2，CM =1，则DC ⊥CF ，则∠CDM =π6，CE =2，过E 作EG ⊥EF 交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EG ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，………………(7分)则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,1,√3),D(0,−12,√32)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,√3),AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−12,√32)．设平面ACD 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 由{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{−2x +y +√3z =0−2x −12y +√32z =0取x =1得n ⃗ =(1,−1,√3)…………………(9分) 设AP =m ，则P(2,m ，0)，(0≤m ≤2)，得CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,m −1,−√3) 设CP 与平面ACD 所成的角为θ， sinθ=|cos <CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=√5√7+(m−1)2=√520⇒m =23． 所以AP =23.…………………………………………(12分)【解析】(Ⅰ)推导出AF ⊥BE ，AF ⊥BD ，从而AF ⊥平面BDE ，进而AF ⊥DE ，再由AE ⊥DE ，能证明DE ⊥平面ABFE ．(Ⅱ)过点D 作DM//EF 交CF 于点M ，连接CE ，过E 作EG ⊥EF 交DC 于点G ，以E 为坐标原点，以EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EG ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 19.【答案】解：(Ⅰ)因为物理原始成绩ξ～N(60,132)， 则P(47<ξ<86)=P(47<ξ<60)+P(60≤ξ<86)=0.6822+0.9542=0.818．所以物理原始成绩在(47,86)的人数为2000×0.818=1636(人)． (Ⅱ)随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]的概率为25， 所以随机抽取三人，则X 可取0，1，2，3，且X ～B(3,25)， P(X =0)=(35)3=27125，P(X =1)=C 31⋅25⋅(35)2=54125， P(X =2)=C 32⋅(25)2⋅35=36125，P(X =3)=(25)3=8125，所以X 的分布列为：数学期望E(X)=3×25=65．【解析】本题考查正态分布，二项分布，以及二项分布的期望，属于中档题．(Ⅰ)根据若随机变量ξ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.682，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.954，以及正态分布的对称性可得．(Ⅱ)X 服从二项分布，因为成绩在区间[61,80]的成功概率为25，故X 服从X ～B(3,25)，X 可取0，1，2，3.代入即可．20.【答案】解：(1)由题意可得{1a 2+e 2b 2=12a 2+12b 2=1e =ca a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx x 24+y 2=1，消y 可得(1+4k 2)x 2−4=0， ∴x 1+x 2=0，x 1x 2=−41+4k 2，又直线l 2：2kx −y +k −2=0上存在点P ，设点P 的坐标为(x 0,y 0)， ∴2kx 0−y 0+k −2=0，即y 0=2kx 0+k −2， ∵△PAB 是以P 为直角顶点的直角三角形， ∴∠APB =90°，∴k PA ⋅k PB =y 0−y 1x 0−x 1⋅y 0−y 2x 0−x 2=−1即x 02+x 0(x 1+x 2)+x 1x 2+y 02−y 0(y 1+y 2)+y 1y 2=0，∴x 02+x 1x 2+y 02+x 1x 2=0∴(1+4k2)x 02+4k(k −2)x 0+(k −2)2−4(1+k 2)1+4k 2=0有解， ∴△=16k 2(k −2)2−4(1+4k 2)[(k −2)2−4(1+k 2)1+4k 2]≥0，化简得3k 2+4k ≥0， ∴k ≥0或k ≤−43【解析】(1)由题意可得{ 1a 2+e 2b 2=12a 2+12b 2=1e =ca a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=1，即可求出椭圆方程， (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据韦达定理，直线的斜率公式，以及方根的判别式即可求出本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆综合问题的求解，考查计算能力，属于中等题．21.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=x2+ax+1x(x >0)，对于函数y =x 2+ax +1≥0，①当△=a 2−4≤0时，即−2≤a ≤2时，x 2+ax +1≥0在x >0恒成立． ∴f′(x)=x 2+ax+1x≥0在(0,+∞)恒成立，∴f(x)在(0,+∞)为增函数；②当△>0，即a <−2或a >2时， 当a <−2时，由f′(x)>0，得x <−a−√a2−42或x >−a+√a2−42，0<−a−√a2−42<−a+√a 2−42，∴f(x)在(0,−a−√a2−42)为增函数，(−a−√a2−42,−a+√a 2−42)减函数，(−a+√a2−42,+∞)为增函数，当a >2时，由f′(x)=x 2+ax+1x>0在(0,+∞)恒成立，∴f(x)在(0,+∞)为增函数， 综上，当a <−2时，f(x)在(0,−a−√a2−42)为增函数，(−a−√a2−42,−a+√a 2−42)减函数，(−a+√a 2−42,+∞)为增函数；当a ≥−2时，f(x)在(0,+∞)为增函数．(2)F(x)=f(x)−g(x)=lnx +12x 2+ax −e x −32x 2+x =lnx −x 2+ax +x −e x (x >0)，∵F(x)存在不动点，∴方程F(x)=x 有实数根，即a =e x −lnx+x 2x有解，令ℎ(x)=e x +x 2−lnxx(x >0)，ℎ′(x)=e x (x−1)+lnx+(x+1)(x−1)x 2=(e x +x+1)(x−1)+lnxx 2，令ℎ′(x)=0，得x =1，当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， ∴ℎ(x)≥ℎ(1)=e +1，当a ≥e +1时，F(x)有不动点， ∴a 的范围为[e +1,+∞)．【解析】(1)先求出导函数f′(x)，在对△分情况讨论，分别得到函数f(x)的单调性即可； (2)由F(x)存在不动点得方程F(x)=x 有实数根，即a =e x −lnx+x 2x有解，令ℎ(x)=e x +x 2−lnxx(x >0)，利用导数得到，ℎ(x)≥ℎ(1)=e +1，所以当a ≥e +1时，F(x)有不动点，从而得到a 的取值范围．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题． 22.【答案】(本小题满分10分)解：(Ⅰ)∵曲线C 1的方程为{x =cos αy =sin α(α为参数)．∴C 1：x 2+y 2=1，∵曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ.∴ρ2=2ρcosθ， ∴C 2：x 2+y 2=2x ．联立方程组得{x 2+y 2=1x 2+y 2=2x ，解得{x 1=12y 1=√32，{x 2=12y 2=−√32， ∴所求交点的坐标为(12,√32)，(12,−√32).………………………(5分)(Ⅱ)设B(ρ,θ)，则ρ=2cosθ．∴△AOB 的面积S =12⋅|OA|⋅|OB|⋅sin ∠AOB =12⋅|4ρsin(π3−θ)|=|4cosθsin(π3−θ)| =|2cos(2θ+π6)+√3|，∴当θ=23π12时，△AOB 面积的最大值S max =2+√3.………………………(10分)【解析】(Ⅰ)先求出曲线C 1、C 2的直角坐标方程，联立方程组，能求出C 1、C 2交点的直角坐标．(Ⅱ)设B(ρ,θ)，则ρ=2cosθ.则△AOB 的面积S =12⋅|OA|⋅|OB|⋅sin ∠AOB =12⋅|4ρsin(π3−θ)|=|4cosθsin(π3−θ)|=|2cos(2θ+π6)+√3|，由此能求出△AOB 面积的最大值．本题考查两个曲线的交点的直角坐标的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 23.【答案】解：(1)不等式等价于{x ≤−1−3x ≤x +2或{−1<x ≤12−x +2≤x +2或{x >123x ≤x +2, 解得：0≤x ≤1，故不等式的解集是{x|0≤x ≤1}； (2)由f(x)={−3x,x ≤−1−x +2,−1<x ≤123x,x >12知，当x =12时，f(x)min =f(12)=32，g(x)≥|(3x −2m)−(3x −1)|=|2m −1|， 当且仅当(3x −2m)(3x −1)≤0时取“=”， 故|2m −1|≤32，解得：−14≤m ≤54， 故实数m 的范围是[−14,54].【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，属于中档题．(1)通过讨论x 的范围，去掉绝对值号，求出各个区间上的x 的范围，取并集即可； (2)求出f(x)的最小值，问题转化为|2m −1|≤32，解出即可．。
衡水中学调研考试高中数学（理）试卷含答案
衡水中学调研考试高中数学（理）试卷含答案衡水中学调研考试数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填在答题卡上）1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于（）A ．1 B.532 D.3 2. 设有直线m 、n 和平面α、β，则下列说法中正确的是（）A.若//,,m n m n αβ??,则//αβB.若,,m m n n αβ⊥⊥?，则//αβC.若//,,m n m n αβ?⊥,则αβ⊥D.若//,,m n m n αβ⊥⊥,则αβ⊥ 3. 用一个平面截正方体一角，所得截面一定是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.都有可能 4．如图，Rt O A B '''?是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（）A ．22B ．1C ．2D ．22 5. 数列1, 12, 124, , 1242n+++++++L L L ，的前n 项和为 ( ) A ．n n --+221 B.12--n n C.322--+n n D. 222--+n n 6. 若{}n a 是等差数列，满足121010a a a +++=L ，则有（）A ．11010a a +>B ．21000a a +< C.3990a a +=D ．5151a =7．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。
已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的表面积为（）【含答案】A ．43 B ．4 C ．23D ．138. ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，PD ⊥AD,PD=AD=2,二面角P —AD —C 为600，则P 到AB 的距离是Ａ．22Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．79. 如图为一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A.3B.43C.33D.6310. 如图，在正方体1111ABCD A B C D —中，E 、F 、G 、H 分别为中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（） A ．045 B ．060 C ．090 D ．0120 11. 已知54x <，则函数14245y x x =+--（） A ．有最小值为5 B ．有最大值为-2 C ．有最小值为1 D ．有最大值为1 12. 对于四面体ABCD ，给出下列四个命题：①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD ；②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD ；③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ；④若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则BC ⊥AD ；其中正确的命题的序号是( )A. ①②B. ②③C. ②④D. ①④第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（每题5分，共20分,把答案填在答题纸的横线上）13. 已知{}n a 是等差数列，246816,a a a a +++=求9S =_______.14.已知边长为a 的等边三角形内任意一点到三边距离之和为定值，这个定值为3a ，推广到空间，棱长为a 的正四面体内任意一点到各个面的距离之和也为定值，则这个定值为： 15. 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P 。
河北省2020届高三下学期三调数学试卷(理科)Word版含解析
一、 ：本大 共12 个小 ，每小5 分，共 60 分 .在每小 出的四个中，只有一 是切合 目要求的 .1．已知复数 z 足 ， 复数 z 在复平面内 的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限．已知会合3（2x 1）≤ 0} ， ，全集 U=R ， A2 A= { x| log∩（ ?U B ）等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．若 α∈（，π），且3cos2 α =sin （α），sin2 α的 （）A ．B ．C ．D ．4．已知， 以下 正确的选项是（）A ． h （x ） =f （x ）+g （ x ）是偶函数B ．h （x ）=f （ x ）+g （x ）是奇函数C ． h （x ）=f （x ）g （x ）是奇函数D ．h （x ）=f （ x ） g （ x ）是偶函数5．已知双曲E ： =1（a ＞0．b ＞ 0），若矩形ABCD的四个 点在E 上，AB ，CD 的中点 双曲 斜率 k ． | k| 等于（E 的两个焦点，且双曲 ）E 的离心率是2．直AC的A ． 2B ．C ．D ．3 6．在△ ABC中，=，P 是直BN上的一点，若 =m+， 数m 的 （）A ． 4B ． 1C ． 1D ．47．已知函数 f （x ）=Asin （ωx +?）（ A ＞0，ω＞0）的 象与直 y=a （0＜a ＜A ）的三个相 交点的横坐 分 是2，4，8， f （x ）的 减区 是（）A ． 6k π，6k π3 （ k ∈ Z ）B ． 6k π 3，6k π（k ∈Z ）C ． 6k ，6k 3 ] （k [ + ] [ ] [ +∈ Z ）D ．[ 6k 3， 6k] （ k ∈ Z ）8．某旅行景点 了今年 5 月 1 号至 10 号每日的 票收入（ 位：万元） ，分a 1，a 2，⋯ ，a 10（如： a 3 表示 5 月 3 号的 票收入），表是 5 月 1 号到 5月 10 号每日的 票收入，依据表中数据，下边程序框 出的 果 （ ）日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 门票收入80 120 110 91 65 77 131 116 55 77 （万元）A． 3 B．4 C． 5 D．69．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，恰巧碰在一同，他们除懂本国语言外，每日还会说其余三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日自己，丁不会说日语，但他俩都能自由谈话；②四人中没有一个人既能用日语谈话，又能用法语谈话；③甲、乙、丙、丁谈话时，找不到共同语言交流；④乙不会说英语，当甲与丙谈话时，他都能做翻译．针对他们懂的语言正确的推理是（）A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英10．如图，已知正方体 ABCD ﹣A'B'C'D' 的外接球的体积为，将正方体割去部分后，节余几何体的三视图以下图，则节余几何体的表面积为（）A．B．或C．D．或11．如图，已知抛物线的方程为 x2=2py（p＞0），过点 A （0，﹣ 1）作直线与抛物线订交于 P，Q 两点，点 B 的坐标为（ 0， 1），连结 BP，BQ，设 QB， BP 与x 轴分别订交于 M ，N 两点．假如 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为﹣ 3，则∠MBN 的大小等于（）A．B．C．D．12．已知 a，b∈R，且 e x≥a（ x﹣ 1）+b 对 x∈R 恒成立，则 ab 的最大值是（）A．B．C．D．e3二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．在的睁开式中，含x3项的系数为．14．在公元前 3 世纪，古希腊欧几里得在《几何本来》里提出：“球的体积（V）与它的直径（ D）的立方成正比”，此即 V=kD 3，欧几里得未给出 k 的值 .17 世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不认识，他们将体积公式 V=kD 3中的常数 k 称为“立圆率”或“玉积率”．近似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式 V=kD 3求体积（在等边圆柱中， D 表示底面圆的直径；在正方体中， D 表示棱长）．假定运用此体积公式求得球（直径为 a）、等边圆柱（底面圆的直径为 a）、正方体（棱长为 a）的“玉积率”分别为 k1，k2，k3，那么 k1：k2： k3=．15．由拘束条件，确立的可行域 D 能被半径为的圆面完整覆盖，则实数 k 的取值范围是．16．如图，已知 O 为△ ABC 的重心，∠ BOC=90°，若 4BC2=AB?AC ，则 A 的大小为．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，a1≠0，常数λ＞0，且λa1n=S1+S n对全部正整数 n 都成立．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设 a1＞ 0，λ=100，当 n 为什么值时，数列的前n项和最大？18．某同学在研究性学习中，采集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据以下表所示：月份 x 1 2 3 4 5y（万盒） 4 4 5 6 6（1）该同学为了求出 y 对于 x 的线性回归方程 = + ，依据表中数据已经正确计算出 =0.6，试求出的值，并预计该厂 6 月份生产的甲胶囊产量数；（ 2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊5 盒，小红同学从中随机购置了 3 盒甲胶囊，后经认识发现该制药厂今年二月份生产的全部甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购置的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的散布列和数学希望．19．已知多面体 ABCDEF 以下图，此中 ABCD 为矩形，△ DAE 为等腰等腰三角形，DA ⊥AE ，四边形 AEFB 为梯形，且 AE∥ BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2 ．（1）若 G 为线段 DF 的中点，求证： EG∥平面 ABCD ；（2）线段 DF 上能否存在一点 N，使得直线 BN 与平面 FCD 所成角的余弦值等于？若存在，请指出点N 的地点；若不存在，请说明原因．20．如图，椭圆 E ： + =1（a ＞b ＞0）左、右极点为 A ， B ，左、右焦点为F 1， F 2 ，| AB | =4，| F 1F 2| =2 ．直线 y=kx +m （ k ＞ 0）交椭圆 E 于 C ， D 两点，与线段 F 1 2、椭圆短轴分别交于 M ， N 两点（ M ，N 不重合），且 CM = DN ．F | | | | （ Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（ Ⅱ）设直线 AD ， BC 的斜率分别为 k 1，k 2，求的取值范围．21．设函数 f （x ）=﹣ax ，e 为自然对数的底数（ Ⅰ）若函数 f （x ）的图象在点 （ e 2，f （ e 2））处的切线方程为 3x+4y ﹣e 2=0，务实数 a ，b 的值；（ Ⅱ）当 b=1 时，若存在 x 1 ，x 2 ∈[ e ， e 2] ，使 f （x 1）≤ f ′（x 2）+a 成立，务实数 a 的最小值．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]22．在平面直角坐标系xOy 中，斜率为 1 的直线 l 过定点（﹣ 2，﹣ 4）．以 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴成立极坐标系．已知曲线 2C 的极坐标方程为 ρsin θ﹣4cos θ =0．（ 1）求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的参数方程；（ 2）两曲线订交于 M ，N 两点，若 P （﹣ 2，﹣ 4），求 | PM|+| PN| 的值．[ 选修4-5：不等式选讲]23 ．已知函数 f （ x ） =| 2x+1|+| 3x ﹣ 2| ，且不等式 f （ x ）≤ 5 的解集为，a，b∈R．（1）求 a，b 的值；（2）对随意实数 x，都有 | x﹣ a|+| x+b| ≥m2﹣3m+5 成立，务实数 m 的最大值．2016-2017 学年河北省衡水中学高三（下）三调数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共 12 个小题，每题5 分，共 60 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 . 1．已知复数 z 知足 ，则复数 z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】 复数的代数表示法及其几何意义．【剖析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z ，获得 z 的坐标得答案．【解答】 解：∵，∴ z=，∴复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣ 2），在第三象限．应选： C ．．已知会合3（2x ﹣ 1）≤ 0} ， ，全集 U=R ，则 A2 A= { x| log∩（ ?U B ）等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】 交、并、补集的混淆运算．【剖析】先分别求出会合 A 和 B ，进而求出 C UB ，由此能求出 A ∩（ U ）的值．? B 【解答】 解：∵会合 A= { x| log 3（2x ﹣1）≤ 0} ={ x |} ，={ x| x ≤0 或 x} ，全集 U=R ，∴ C UB={ x| 0＜ x ＜ } ，A ∩（ ?UB ）={ x|} =（）．3．若α∈（，π），且 3cos2 α =sin（﹣α），则 sin2 α的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【剖析】由已知可得 sin α＞0，cosα＜ 0，利用二倍角公式，两角差的正弦函数公式化简已知可得cosαsin α=，两边平方，利用二倍角公式即可计算sin2 α的值．+【解答】解：∵ α∈（，π），∴ sin α＞0，cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α），∴3（ cos2α﹣ sin2α） = （ cos α﹣sin α），∴cosα+sin α=，∴两边平方，可得： 1+2sinαcosα=，∴sin2 α=2sin αcos﹣α=．应选： D．4．已知，则以下结论正确的选项是（）A． h（x ） =f（x）+g（ x）是偶函数 B．h（x）=f（ x）+g（x）是奇函数C．h（x）=f （x）g（x）是奇函数D．h（x）=f（x）g（x）是偶函数【考点】函数奇偶性的判断．【剖析】利用奇偶函数的定义，即可判断．【解答】解：h（x）=f（x） g（x）=+= ，h（﹣ x）= = +﹣=h（x），∴ h（ x） =f（x）+g（ x）是偶函数；h（x）=f（ x） g（ x）无奇偶性，5．已知双曲线 E：﹣=1（a＞0．b＞ 0），若矩形 ABCD 的四个极点在E上，AB ，CD 的中点为双曲线 E 的两个焦点，且双曲线 E 的离心率是2．直线AC 的斜率为k．则 | k| 等于（）A． 2 B．C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【剖析】可令 x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D 的坐标，由离心率公式，可得a，b， c 的关系，运用直线的斜率公式，计算即可获得所求值．【解答】解：令 x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设 A （﹣ c，），B（﹣c，﹣），C（ c，﹣），D（c，），由双曲线 E 的离心率是 2，可得 e= =2，即 c=2a， b==a，直线 AC 的斜率为 k==﹣=﹣=﹣．即有 | k| =．应选： B．6．在△ ABC 中，= ，P 是直线BN 上的一点，若=m + ，则实数m 的值为（）A．﹣ 4 B．﹣ 1 C ． 1 D．4【考点】向量在几何中的应用．【剖析】设=n ，利用向量的线性运算，联合=m + ，可务实数m 的值．【解答】解：由题意，设=n，则= + = +n = +n（﹣）=+n（﹣）=+n（﹣）=（1﹣n）+，又∵=m +，∴m=1﹣n，且 =解得； n=2， m=﹣ 1，应选： B．7．已知函数 f（x）=Asin （ωx+?）（ A ＞0，ω＞0）的图象与直线 y=a（0＜a＜A ）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则 f（x）的单一递减区间是（）A ． 6k π，6k π3 （ k ∈ Z ）B ． 6k π 3，6k π（k ∈Z ）C ． 6k ，6k 3 ] （k [ + ] [ ] [ +∈ Z ） D ．[ 6k 3， 6k] （ k ∈ Z ） 【考点】 正弦函数的 象．【剖析】由 意可得， 第一个交点与第三个交点的差是一个周期； 第一个交点与第二个交点的中点的横坐 的函数 是最大 ． 从 两个方面考 可求得参数 ω、φ的 ， 而利用三角函数的 性求区 ．【解答】 解：与直 y=b （ 0＜ b ＜ A ）的三个相 交点的横坐 分 是2， 4， 8知函数的周期T= =2（ ），得 ω= ，再由五点法作 可得? +φ= ，求得 φ= ，∴函数 f （x ）=Asin （x ）．令 2k π+ ≤x≤2k π+，k ∈z ，解得： 6k+3≤x ≤6k+6，k ∈z ，∴即 x ∈[ 6k 3，6k] （ k ∈ Z ），故 ： D ．8．某旅行景点 了今年 5 月 1 号至 10 号每日的 票收入（ 位：万元） ，分a 1，a 2，⋯ ，a 10（如： a 3 表示 5 月 3 号的 票收入），表是 5 月 1 号到 5月 10 号每日的 票收入，依据表中数据，下边程序框 出的 果 （）日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 票收入 801201109165771311165577（万元）A． 3 B．4 C． 5 D．6【考点】程序框图．【剖析】剖析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的次序，可知：该程序的作用是计算并输出大于115 的．【解答】解：剖析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的次序，可知：该程序的作用是计算并输出门票大于115 的天数．115．由统计表可知：参加统计的十天中，第2、7、8 这 3 天门票大于故最后输出的值为： 3应选： A．9．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，恰巧碰在一同，他们除懂本国语言外，每日还会说其余三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日自己，丁不会说日语，但他俩都能自由谈话；②四人中没有一个人既能用日语谈话，又能用法语谈话；③甲、乙、丙、丁谈话时，找不到共同语言交流；④乙不会说英语，当甲与丙谈话时，他都能做翻译．针对他们懂的语言正确的推理是（）A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英【考点】命题的真假判断与应用．【剖析】依据题干逐个考证即可【解答】解：本题可直接用察看选项法得出正确答案，依据第二条规则，日语和法语不可以同时由一个人说，所以 B、C、D 都错误，只有 A 正确，再将 A 代入题干考证，可知切合条件．应选 A10．如图，已知正方体 ABCD ﹣A'B'C'D' 的外接球的体积为，将正方体割去部分后，节余几何体的三视图以下图，则节余几何体的表面积为（）A．B．或C．D．或【考点】由三视图求面积、体积．【剖析】设正方体的棱长为a，则=，解得a=1．该几何体为正方体截去一角，如图，即可得出．【解答】解：设正方体的棱长为a，则=，解得a=1．该几何体为正方体截去一角，如图则节余几何体的表面积为S=3×12++=．应选： A．11．如图，已知抛物线的方程为 x 2=2py （p ＞0），过点 A （0，﹣ 1）作直线与抛物线订交于 P ，Q 两点，点 B 的坐标为（ 0， 1），连结 BP ，BQ ，设 QB ， BP 与 x 轴分别订交于 M ，N 两点．假如 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为﹣ 3，则∠MBN 的大小等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】 直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．【剖析】 设直线 PQ 的方程为： y=kx ﹣1，P （x 1， y 1）， Q （x 2，y 2），联立直线PQ 方程与抛物线方程消掉 y 得 x 的二次方程，依据韦达定理及斜率公式可求得k BP +k BQ，再由已知 k BP ?k BQ ﹣ 3 可解得，，由此可知∠BNM=0 =与∠ BMN 的大小，由三角形内角和定理可得∠MBN ．【解答】解：设直线 PQ 的方程为： y=kx ﹣1，P（x1，y1），Q（ x2，y2），由得x 2﹣2pkx 2p=0，△＞ 0，+则x1+x2=2pk， x1x2=2p，，，== = ，即BP+k BQ ①=0k =0又k BP?k BQ=﹣3②，联立①②解得，，所以，，故∠ MBN=π ﹣∠ BNM ﹣∠ BMN=，应选 D．x ≥a（ x﹣ 1） b 对 x∈R 恒成立，则 ab 的最大值是（）12．已知 a，b∈R，且 e +A．B．C．D．e3【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【剖析】先求出函数的导数，再分别议论 a=0，a＜0，a＞ 0 的状况，进而得出 ab 的最大值．【解答】解：令 f（ x） =e x﹣ a（x﹣1）﹣ b，则 f ′（x ）=e x﹣a，若a=0，则 f（ x） =e x﹣ b≥﹣ b≥0，得 b≤0，此时 ab=0；若a＜0，则 f ′（ x）＞ 0，函数单一增， x→ ﹣∞，此时 f （x）→﹣∞，不行能恒有 f（ x）≥ 0．若a＞0，由 f ′（x ）=e x﹣ a=0，得极小值点 x=lna，由f（ lna） =a﹣alna+a﹣b≥0，得 b≤ a（2﹣lna），ab≤ a2（2 lna）．令g（a） =a2（2 lna）．g′（a）=2a（2 lna） a=a（ 3 2lna）=0，得极大点 a= ．而 g（）=．∴ab 的最大是．故：A．二、填空（每 5 分，分 20 分，将答案填在答上）13．在的睁开式中，含 x3的系数84 ．【考点】二式系数的性．【剖析】由二式睁开式的通公式，得出睁开式中含x3的系数是（ 1 x）9的含 x3的系数．求出即可．【解答】解：睁开式中，通公式 T k+1 （）9﹣k? ，= ? 1 x令k=0，得 ?（1 x）9=（1 x）9，又（ 1 x）9=19x+ x2 x3+⋯，所以其睁开式中含x3的系数= 84．故答案： 84．14．在公元前 3 世，古希腊欧几里得在《几何本来》里提出：“球的体（ V ）与它的直径（ D）的立方成正比”，此即 V=kD 3，欧几里得未出 k 的 .17 世日本数学家求球的体的方法不认识，他将体公式V=kD 3中的常数 k 称“立率”或“玉率”．似地，于等柱（截面是正方形的柱）、正方体也可利用公式V=kD 3求体（在等柱中， D 表示底面的直径；在正方体中， D 表示棱）．假运用此体公式求得球（直径 a）、等柱（底面的直径 a）、正方体（棱a）的“玉率”分 k1，k2，k3，那么 k1：k 2： k 3= ： ：1 ．【考点】 类比推理．【剖析】 依据球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推力即可得出．V 1333 ，∴ k 1【解答】 解：∵ = πR πa=（ ） == ，223，∴ k 2=，∵ V 2=a πR =a π（ ） = a∵ V 3=a 3，∴ k 3=1，∴ k 1：k 2：k 3= ： ：1，故答案为：15．由拘束条件 ，确立的可行域 D 能被半径为 的圆面完整覆盖，则实数 k 的取值范围是 ．【考点】 简单线性规划．【剖析】先画出由拘束条件确立的可行域 D ，由可行域能被圆覆盖获得可行域是关闭的，判断出直线 y=kx 1 斜率小于等于 即可得出 k 的范围．+【解答】 解：∵可行域能被圆覆盖，∴可行域是关闭的，作出拘束条件的可行域：可得 B （0，1），C （1，0）， | BC| = ，联合图，要使可行域能被为半径的圆覆盖，只要直线 y=kx +1 与直线 y=﹣3x+3 的交点坐标在圆的内部，两条直线垂直时，交点恰幸亏圆上，此时k= ，则实数 k 的取值范围是：．故答案为： ．16．如图，已知 O 为△ ABC 的重心，∠ BOC=90°，若 4BC2=AB?AC ，则 A 的大小为．【考点】相像三角形的性质．【剖析】利用余弦定理、直角三角形的性质、三角函数求值即可得出．【解答】解： cosA=，连结AO而且延伸与BC订交于点D．设AD=m ，∠ ADB=α ．则AB 2 α= ﹣2× ×mcos ，AC 2=m2+﹣2m××cos（π﹣α），相加可得： AB 2+AC 2=2m2+．m2=（3OD）2==．∴ AB2+AC 2=5BC2．又 4BC2=AB?AC，∴ cosA=，A∈（0，π）∴ A=，故答案为：．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，a1≠0，常数λ＞0，且λa1n=S1+S n对全部正整数 n 都成立．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设 a1＞ 0，λ=100，当 n 为什么值时，数列的前n项和最大？【考点】数列递推式；数列的乞降．【剖析】（1）利用递推关系即可得出．（ 2）利用对数的运算性质、等差数列的通项公式与单一性即可得出．【解答】解：（ 1）令 n=1，得，由于a1≠0，所以，当 n≥ 2 时，，，两式相减得2a n﹣2a n﹣1=a n（n≥2），所以 a n=2a n﹣1（n≥2），进而数列 { a n} 为等比数列，所以．（2）当a1＞0，λ=100时，由（1）知，，所以数列 { b n} 是单调递减的等差数列，公差为﹣ lg2 ，所以，当 n≥7 时，，所以数列的前6项和最大．18．某同学在研究性学习中，采集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据以下表所示：月份 x 1 2 3 4 5y（万盒） 4 4 5 6 6（1）该同学为了求出 y 对于 x 的线性回归方程 = + ，依据表中数据已经正确计算出 =0.6，试求出的值，并预计该厂 6 月份生产的甲胶囊产量数；（ 2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊5 盒，小红同学从中随机购置了 3 盒甲胶囊，后经认识发现该制药厂今年二月份生产的全部甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购置的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的散布列和数学希望．【考点】失散型随机变量及其散布列；线性回归方程；失散型随机变量的希望与方差．【剖析】（1）由线性回归方程过点（，），得 = ﹣，而，易求，且 =0.6，进而可得的值，把 x=6 代入回归方程可得 6 月份生产的甲胶囊产量数；（ 2）ξ=0，1，2，3，利用古典概型的概率计算公式可得 P（ξ=0）、P（ξ=1）、P （ξ=2）、 P（ξ=3），进而可得ξ的散布列，由希望公式可求ξ的希望；【解答】解：（1） = =3，（4 4 5 6 6） =5，+ + + +因线性回归方程= x+ 过点（，），∴= ﹣ =5﹣ 0.6×3=3.2，∴ 6 月份的生产甲胶囊的产量数：=0.6× 6+3.2=6.8．（2）ξ=0，1，2，3，P（ξ =0） = =，P（ξ =1）==，P（ξ =2） ==，P（ξ =3）==，其散布列为ξ012 3P所以 Eξ==．19．已知多面体 ABCDEF 以下图，此中 ABCD 为矩形，△ DAE 为等腰等腰三角形，DA ⊥AE ，四边形 AEFB 为梯形，且 AE∥ BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2 ．（1）若 G 为线段 DF 的中点，求证： EG∥平面 ABCD ；（2）线段 DF 上能否存在一点 N，使得直线 BN 与平面 FCD 所成角的余弦值等于？若存在，请指出点N的地点；若不存在，请说明原因．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判断．【剖析】（1）以 B 为原点， BA ，BF，BC 分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，成立如图所示的空间直角坐标系，求出平面 ABCD 的一个法向量，通过，推出，即可证明EG∥平面ABCD ．（ 2）当点 N 与点由以下：直线BN 所成角的正弦值为D 重合时，直线 BN 与平面 FCD 所成角的余弦值等于．理与平面 FCD 所成角的余弦值为，即直线BN与平面FCD ，求出平面 FCD 的法向量，设线段 FD 上存在一点 N，使得直线BN 与平面FCD 所成角的正弦值等于，设，经过向量的数目积，转变求解λ，推出当N点与D点重合时，直线BN 与平面 FCD 所成角的余弦值为．【解答】解：（1）证明：由于 DA ⊥AE ，DA ⊥AB ，AB ∩AE=A ，故 DA ⊥平面ABFE ，故CB⊥平面 ABFE ，以 B 为原点， BA ，BF，BC 分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，成立以下图的空间直角坐标系，则F（0，2，0），D（ 2，0，1），，E（2，1，0），C（0，0，1），所以向量，所以，易知平面 ABCD，所以的一个法，又 EG?平面ABCD ，所以EG∥平面ABCD ．（ 2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值等于．理由以下：直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值为，即直线BN 与平面FCD 所成角的正弦值为，由于，设平面FCD 的法向量为，由，得，取y1=1 得平面FCD 的一个法向量假定线段设FD 上存在一点N，使得直线，则BN 与平面FCD 所成角的正弦值等于，，，所以，2（舍去）所以 9λ﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或所以，线段 DF 上存在一点 N，当 N 点与 D 点重合时，直线BN 与平面 FCD 所成角的余弦值为．20．如图，椭圆 E ： + =1（a ＞b ＞0）左、右极点为 A ， B ，左、右焦点为F 1， F 2 ，| AB | =4，| F 1F 2| =2 ．直线 y=kx +m （ k ＞ 0）交椭圆 E 于 C ， D 两点，与线段 F 1 2、椭圆短轴分别交于 M ， N 两点（ M ，N 不重合），且 CM = DN ．F | | | | （ Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（ Ⅱ）设直线 AD ， BC 的斜率分别为 k 1，k 2，求的取值范围．【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【剖析】（Ⅰ ）确立 2a=4， 2c=2 ，求出 b ，即可求椭圆 E 的方程；（ Ⅱ ）直线 y=kx m （k ＞0）与椭圆联立，利用韦达定理，联合 | CM = DN ， + | | |求出 m 的范围，再求的取值范围．【解答】 解：（Ⅰ）由于2a=4，2c=2，所以 a=2， c=，所以 b=1，所以椭圆 E 的方程为；（ Ⅱ）直线 y=kx +m （k ＞0）与椭圆联立，可得（ 4k 2+1）x 2+x8mk +4m 2 ﹣4=0．设 D （x 1， y 1）， C （x 2，y 2），则 x 1+x 2 = ﹣， 1 2，x x =又 M （﹣ ，0）， N （0，m ），由 CM = DN 得 x 1 x 2 M x N ，所以﹣=﹣ ，所以 k=（k ＞0）．|| | | + =x + 所以 x 1 x 2 1 22﹣ 2． + =﹣2m ，x x =2m由于直线 y=kx +m （ k ＞ 0）交椭圆 E 于 C ， D 两点，与线段 F 1F 2、椭圆短轴分别交于 M ， N 两点（ M ，N 不重合），所以﹣≤﹣ 2m ≤ 且 m ≠0，所以（）2=] 2=[=== ，所以 = =﹣ 1﹣∈[ ﹣2 ﹣3，2 ﹣ 3] ．21．设函数 f （x ）= ﹣ax ，e 为自然对数的底数（ Ⅰ）若函数 f （x ）的图象在点 （ e 2，f （ e 2））处的切线方程为 3x 4y ﹣e 2+ =0， 务实数 a ，b 的值；（ Ⅱ）当 b=1 时，若存在 x 1 ，x 2 ∈ e ， e 2 ] ，使 f （x 1）≤ f ′（x 2） a 成立，务实[ + 数 a 的最小值．【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用．【剖析】（I ）﹣ a （x ＞0，且 x ≠1），由题意可得 f ′（e 2）= ﹣ a=， f （ e 2）==﹣，联立解得即可．（ II ）当 b=1 时， f （x ）=，f ′（x ）= ，由 x ∈[ e ，e 2] ，可得 ．由 f （′x ） a==﹣+，可得 f （′x ） a max+[ + ] = ，x ∈[ e ，e 2] ．存在 x 1， x 2∈[ e ，e 2] ，使 f （x 1）≤ f ′（x 2）+a 成立 ? x ∈ [ e ，e 2] ，f （x ）min ≤ f （x ）max +a= ，对 a 分类议论解出即可．【解答】 解：（I ）﹣a （x ＞0，且 x ≠ 1），∵函数 f （x ）的图象在点（ e 2，f （e 2））处的切线方程为 3x+4y ﹣e 2=0，∴ f （′ e 2）= ﹣a= ， f （e 2） = =﹣，联立解得 a=b=1．（ II ）当 b=1 时， f （x ）= ， f ′（ x ） =，∵ x ∈ [ e ，e 2] ，∴ lnx ∈[ 1，2] ， ．∴ f ′（ x ） +a==﹣+，∴ [ f ′（x ） a 2 ． + ] max = ， x ∈ [ e ，e ]存在 x 1，x 2∈[ e ，e 2] ，使 f （ x 1）≤ f ′（x 2） +a 成立 ? x ∈[ e ，e 2] ，f （ x ） min ≤f（ x ） max +a= ，①当 a时， f ′（ x ）≤ 0 ， f （ x ）在x ∈ [ e ， e 2] 上为减函数，则f （ x ）min =，解得 a ≥．②当 a时，由 f （′x ）=﹣ a 在 [ e ，e 2] 上的值域为．（ i ）当﹣ a ≥ 0 即 a ≤0 时， f ′（x ）≥ 0 在 x ∈[ e ，e 2] 上恒成立，所以 f （x ）在 x ∈ [ e ，e 2] 上为增函数，∴ f （x ）min =f （e ）=，不合题意，舍去．（ ii ）当﹣ a ＜0 时，即时，由 f ′（x ）的单一性和值域可知：存在独一x 0∈（ e ，e 2 ），使得 f ′（x 0）=0，且知足当 x ∈[ e ，x 0），f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数；当 x ∈时，f （′x ）＞ 0， f （x ）为增函数．∴ f （x ）min =f （x 0） =﹣ax 0，x 0∈（ e ，e 2）．∴ a ≥ ，与 矛盾．（或结构函数即可）．综上可得： a 的最小值为．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]22．在平面直角坐标系 xOy 中，斜率为 1 的直线 l 过定点（﹣ 2，﹣ 4）．以 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴成立极坐标系．已知曲线 2C 的极坐标方程为 ρsin θ﹣4cos θ =0．（ 1）求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的参数方程；（ 2）两曲线订交于 M ，N 两点，若 P （﹣ 2，﹣ 4），求 | PM|+| PN| 的值．【考点】 简单曲线的极坐标方程．【剖析】（ 1）由斜率为 1 的直线l 过定点（﹣ 2，﹣ 4），可得参数方程为：（，22 2t 为参数）．由曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ﹣4cos θ ，即 ρθ=0sin﹣ 4ρcos θ，=0利用互化公式可得直角坐标方程．（ 2）把直线 l 的方程代入抛物线方程可得： t 2﹣12 t+48=0．利用根与系数的关系及其 | PM|+| PN| =| t 1|+| t 2| =| t 1+t 2| 即可得出．【解答】 解：（1）由斜率为 1 的直线 l 过定点（﹣ 2，﹣ 4），可得参数方程为：，（t 为参数）．2 22 θ﹣ 4ρ cos θ，=0可得直角坐由曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ﹣4cos θ =0，即 ρsin标方程： C ： y 2=4x ．（ 2）把直线 l 的方程代入抛物线方程可得： t 2﹣ 12t+48=0．t 1 t 2=121 2∴ + ，t t =48．∴ | PM|+| PN= t 1|+| t 2 = t 1 t 2| =12．| | | | +[ 选修4-5：不等式选讲]23 ． 已知 函数f （ x ） =| 2x+1|+|3x ﹣ 2|，且 不等式f （ x ） ≤ 5的解集 为，a，b∈R．（1）求 a，b 的值；（2）对随意实数 x，都有 | x﹣ a|+| x+b| ≥m2﹣3m+5 成立，务实数 m 的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【剖析】（1）经过若，若，若，化简不等式求出解集，利用已知条件，求解a，b．（2）由（ 1）知 a=1， b=2，求出绝对值的最值，获得m2﹣3m 5≤3，而后求解+实数 m 的最大值．【解答】解：（ 1）若，原不等式可化为﹣2x ﹣ 1﹣ 3x+2≤ 5，解得，即；若，原不等式可化为 2x 1﹣ 3x 2≤ 5，解得 x≥﹣ 2，即；+ +若，原不等式可化为2x+1+3x﹣ 2≤5，解得，即；综上所述，不等式 | 2x+1|+| 3x﹣ 2| ≤5 的解集为，所以 a=1，b=2．（2）由（ 1）知 a=1，b=2，所以 | x﹣ a|+| x+b| =| x ﹣1|+| x+2| ≥ | x ﹣1﹣x ﹣2| =3，故 m2﹣ 3m+5≤3，m2﹣ 3m+2≤0，所以 1≤m≤2，即实数 m 的最大值为 2．2017 年 5 月 7 日。
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2019～2020学年高三年级第五次调研考试
数学试题(理科)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.)
1.()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}
5217B x x =<<，则
()Z A B ⋂=( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
2.已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是( ) A. 2i -
B. 2i +
C. 12i +
D. 12i -
3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则( ) A. ()()0.63(3)log 132f f f -<-<
B. ()()0.6
3(3)2log 13f f f -<<-
C. ()()0.6
3
2log 13(3)f
f f <-<- D. ()()0.6
3
2(3)log 13f
f f <-<-
4.宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是( ) A.
25
B.
425
C.
25
π D.
16
25π
5.命题p ：,x y R ∈，222x y +<，命题q ：,x y R ∈，2x y +<，则p 是q 的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 必要充分条件
D. 既不充分也不必要条件
6.已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是( )
A. 2018?n …
B. 2019?n …
C. 2020?n …
D. 2021?n …
7.函数()2sin 2x
f x x x x
=
+-的大致图象为( ) A. B.
C. D.
8.若函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0A >，||)2
π
ϕ<图象的一个对称中心为(
3
π
，0)，其相邻一条对称轴
方程为712
x π
=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A. 向右平移6
π
个单位长度 B. 向左平移12
π
个单位长度 C. 向左平移
6
π
个单位长度 D. 向右平移
12
π
个单位长度
9.已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v
的最小值是( ) 21
2
C. 0
D. 1
10.圆锥SD (其中S 为顶点，D 为底面圆心)的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球(即顶点在球面上且底面圆周也在球面上)的体积比为( ) A. 9:32
B. 8:27
C. 9:22
D. 9:28
11.已知直线()0y kx k =≠与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过
双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为
A.
B.
C. 2
D.
12.若对于任意的120x x a <<<，都有
2112
12
ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为( ) A. 2e
B. e
C. 1
D.
12
二.填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.)
13.
在2n
x ⎫⎪
⎭的二项式中，所有项的二项式数之和为256，则常数项等于______．
14.在ABC V 中，角A 、B 、C 的
对边分别为a 、b 、c ，若b =3c =，2B C =，则cos 2C 的值
为____________．
15.正四棱锥S ABCD -底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保
持0PE AC ⋅=u u u r u u u r
，则动点P 的轨迹的周长为_______．
16.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()0f x >，()()
f x f x '为的导函数，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，则
()
()
23f f 的取值范围是_______ 三.解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17.在公差为d
等差数列{}n a 中，22
1212a a a a +=+.
(1)求d 的取值范围；
(2)已知1d =-，试问：是否存在等差数列{}n b ，使得数列2
1n n a b ⎧
⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为1n
n +？若存在，求{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由.
18.如图()1，梯形ABCD 中，//AB CD ，过,A B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别
.2EF AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿,AE BF 同侧折起，得空间几何体ADE -
BCF ，如图()2．
(1)若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ；
(2)若//DE CF ，3CD =AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 5AP 的长．
19.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，
将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为
给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布
(60,169)N ．
(1)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；
(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望． (附：若随机变量(
)2
~,N ξμσ
，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=，
(33)0.997P μσξμσ-<<+=)
20.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>，点()1,e 和22,⎭
都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率. (1)求椭圆C 的方程；
(2)若过原点的直线1:l y kx =与椭圆C 交于,A B 两点，且在直线22:20l kx y k -+-=上存在点P ，使得
PAB ∆是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围
21.已知函数()()21ln 2
f x x x ax a R =++∈，()23
e 2x g x x x =+-.
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数
()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y α
α=⎧⎨
=⎩
(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. (1)求1C ，2C 交点的直角坐标； (2)设点A
的
极坐标为(4,
)3
π
，点B 是曲线2C 上的点，求AOB ∆面积的最大值.
23.已知函数()121f x x x =++-． (1)解不等式()2f x x ≤+；
(2)若()3231g x x m x =-+-，对1x R ∀∈，2x R ∃∈，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．。