解三角形题型总结

解三角形题型分类解析

类型一：正弦定理

1、计算问题：

例1、〔2021•〕在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=_________ 例2、∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，则sin sin sin a b c A B C

++++=． 例3、在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=

b ． 求角A 的大小；

2、三角形形状问题

例3、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，

1) B

A b cos cos a =试确定ABC ∆形状。 2〕假设

cos cos a B b A =，试确定ABC ∆形状。 4〕在ABC ∆中，A b B a tan tan 22=，试判断三角形的形状。

5〕在ABC ∆中，C c B b sin sin =，且C B A 222sin sin sin +=，试判断三角形的形状。 例4、〔2021年〕ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于______ 类型二：余弦定理

1、 判断三角形形状：锐角、直角、钝角

在△ABC 中，

假设222a b c +=，则角C 是直角；

假设222a b c +<，则角C 是钝角；

假设222a b c +>，则角C 是锐角．

例 1、在△ABC 中，假设a 9,b 10,c 12,则△ABC 的形状是_________。

2、求角或者边

例2、〔2021年**高考〕在△ABC 中，假设=13AB ,BC=3，120C ∠= ,则AC =． 例 3、在△ABC 中，三边长3a =，4b =，37c =，求三角形的最大角．

例 4、在△ABC 中，a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC?

3、余弦公式直接应用

例 5、：在∆ABC 中，假设222a b c bc =++，求角A ．

例 6、：(2021理20)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，

且a 2＋b 22ab ＝c 2.

(1)求C ；

例7、设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 假设()()a b c a b c ab +-++=，则角C =

例8、〔2021年高考〕在∆ABC 中，2222+=a c b ac .

〔1〕求B ∠的大小；

〔2〕求2cos cos A C +的最大值. 类型三：正弦、余弦定理根本应用 例1.【2021 高考，理11】设ABC ∆的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设3a =，1sin 2B =，6

C =π，则b =. 例2.1)(2

2=-+ac

b c a ，则B 等于。 例3.【2021 高考**，理13】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积

为315，12,cos ,4b c A -==-则a 的值为. 例4.在△ABC 中，sin(C-A)=1 , sinB=3

1，求sinA=。 例5.【2021 高考，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则

sin 2sin A C =． 例6.假设△ABC 的三个角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC

〔A 〕一定是锐角三角形. 〔B 〕一定是直角三角形.

〔C 〕一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.

变：在ABC ∆中，假设7:5:3sin :sin :sin =C B A ，则角C 的度数为

例7.△ABC 的三个角满则A:B:C=1:2:3则a:b:c=.

例8.设ABC ∆的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且53cos =A ，13

5cos =B ,3=b 则c = 类型四：与正弦有关的解的个数

思路二：利用大边对大角进展筛选

例1：在△ABC 中，b sin A ＜a ＜b ，则此三角形有

A.一解B .两解 C.无解 D.不确定

例2：在ABC ∆中，分别根据以下条件解三角形，其中有两解的是【】

A 、7=a ，14=b ，︒=30A ；

B 、25=b ，30=c ，︒=150

C ；

C 、4=b ，5=c ，︒=30B ；

D 、6=a ，3=b ，︒=60B 。

例3：在ABC ∆中，有几个？则满足此条件的三角形,45),0(3,a o A b =∠>==λλλ 类型五：与π=++C B A 有关的问题

例1：在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为 _____________.

变：在△ABC 中，B C B C cos )sin(2sin +=，则△ABC 一定是。

例2:在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .()cos23cos 1A B C -+=.

(I)求角A 的大小;

(II)假设ABC ∆的面积53S =,5b =,求sin sin B C 的值.

例3:△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝1

3

，求B . 例4:在△ABC 中，a, b, c 分别为角A, B, C 的对边，且b)sinC (2c c)sinB (2b 2asinA +++= 〔Ⅰ〕求A 的大小；〔Ⅱ〕求sin sin B C +的最大值.

类型六：边化角，角化边

注意点:①换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分

②怎么区分边化角还是角化边呢.假设两边都是正弦首先考虑角化边，假设sin,cos 都存在时首先考虑边化角

例1:在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC ．

〔Ⅰ〕求角C 的大小；

例2在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .假设3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A

的值为

例3.△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为

A.直角三角形

B.等腰直角三角形

C.等边三角形

D.等腰三角形

例4：(2021·全国)△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .

(1)求B ；

(2)假设A ＝75°，b ＝2，求a ，c .

例5：〔2021年高考〕在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B C a b c

+=. 〔I 〕证明：sin sin sin A B C =；

〔II 〕假设22265

b c a bc +-=

，求tan B . 例6：〔2021年高考〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . b +c =2a cos B. 〔I 〕证明：A =2B ； 〔II 〕假设△ABC 的面积2=4

a S ，求角A 的大小. 例7：ABC ∆的角C B A ，，所对的边分别为c

b a ，，

. 〔I 〕假设c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ；

〔II 〕假设c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.