山东省威海荣成市2020届高三数学上学期期中试题【含答案】
2020年威海市高三数学上期中一模试题带答案
【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间 内的任意一个 都有 时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.
7．已知 中， ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ， ，则 边上的中线的长为( )
A． B．
C． 或 D． 或
8．已知： ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
9．在 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 ，则 的形状为（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
4．已知数列 的首项 ，数列 为等比数列，且 ．若 ，则 （）
A． B． C． D．
5．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 取最大值时的 为
A．4B．5C．6D．4或5
6．已知数列{an}满足a1=1，且 ，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为（）
A． B． C．an=n+2D．an=（n+2）·3n
故 （其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），
故答案为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.
16．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故
山东省2020届高三数学上学期期中试题(含解析)
高三数学上学期期中试题（含解析）一、单选题1.已知集合 ,则（）A. B.C.D.2.设 ,则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.命题“ ”的否定为（）A. B.C. D.4.设为非零实数,复数 ,则的最小值为（）A.B.C.D.5.函数f(x)=x2+ 的图象大致为( )A. B.C. D.6.若 ,则（）A. B. C.D.7.在平行四边形中, 与交于点 ,则在方向上的投影为（）A.B.C.D.8.已知函数 ,则“ ”是“ 在上单调递增”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件9. ,则的取值范围为（）A. B.C. D.10.已知定义在上的函数满足 ,且在上单调递增,则（）A. B.C. D.二、多选题11.将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),得到的图象,则下列说法正确的是（）A. 的图象关于直线对称B. 在上的值域为C. 的图象关于点对称D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到12.已知函数 ,若 ,且 ,则下列结论正确的是（）A. B.C. D.13.定义在上的函数的导函数为 ,且对恒成立.下列结论正确的是（）A.B. 若 ,则C.D. 若 ,则三、填空题14.若向量与互相垂直,且 ,则 ________．15.若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则 ________．16.已知是定义在上的奇函数,当时, ,则的解析式为________．不等式的解集为________．17. 分别为内角的对边.已知（1） ________．（2）若 ,则 ________．四、解答题。
18. 分别为内角的对边.已知 .（1）若的面积为 ,求 ;（2）若 ,求的周长.19.已知 .（1）若 ,求 ;（2）若向量中存在互相垂直的两个向量,求的值.20.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量 (单位:焦耳)与地震里氏震级之间的关系为 .（1）已知地震等级划分为里氏级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于级的为“小地震”,介于级到级之间的为“有感地震”,大于级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约焦耳，试确定该次地震的类型;（2）2008年汶川地震为里氏级,2011年日本地震为里氏级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? (取 )21.已知函数（1）化简 ,并求的最小正周期;（2）若 ,求 ;（3）求的单调递增区间.22.已知二次函数 .（1）若是的两个不同零点,是否存在实数 ,使成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.（2）设 ,函数 ,存在个零点.(i)求的取值范围;(ii)设分别是这个零点中的最小值与最大值,求的最大值.23.已知函数 .（1）讨论的单调性;（2）用表示中的最大值，若函数只有一个零点,求的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】 C【考点】交集及其运算【解析】【解答】解:因为所以 ,故答案为：C.【分析】先由二次不等式的解法求再利用集合交集的运算可得，得解.2.【答案】 D【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：由题意知 ,即，故在复平面内对应的点位于第四象限，故答案为：D.【分析】先由已知条件求得，再确定在复平面内对应的点位于的象限即可.3.【答案】 C【考点】命题的否定【解析】【解答】解：由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零，即命题“ ”的否定为“ ”，故答案为：C.【分析】由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零,得解.4.【答案】 B【考点】基本不等式在最值问题中的应用，复数代数形式的混合运算，复数求模【解析】【解答】解：因为 ,所以，当且仅当，即时，等号成立,故的最小值为3.故答案为：B.【分析】由复数的乘法运算得，再结合复数模的运算得，即可求得复数模的最小值. 5.【答案】 B【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】【解答】∵f( x)=( x)2+ =x2+ =f(x),∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除C,D；又时， ,排除A,故答案为：B.【分析】利用奇偶性排除C、D；利用时， ,排除A,从而可得结论.6.【答案】 D【考点】两角和与差的正切公式，二倍角的正切公式【解析】【解答】解：，，即ABC不符合题意，D符合题意，故答案为：D.【分析】先由，再由两角差的正切公式求出，再利用正切的二倍角公式求出即可得解.7.【答案】 B【考点】向量的投影【解析】【解答】解：因为 ,所以 .又，，所以，故在方向上的投影为 .故答案为：B.【分析】由平面向量的线性运算得，又，，则可得在方向上的投影为，得解.8.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：若在上单调递增，则 ,即在上恒成立.又在上单调递增,则，所以 .故“ ”是“ 在上单调递增”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】由在上单调递增，等价于在上恒成立，再求得，再判断“ ”与“ ”的充分必要性即可.9.【答案】 B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】因为 ,所以，当且仅当即时等号成立.又，则等价于 ,解得：，则的取值范围为，故答案为：B.【分析】先由重要不等式求得的最小值为4，再利用配方法求二次函数的最值可得的最大值为，再求解即可.10.【答案】 A【考点】函数单调性的性质，图形的对称性【解析】【解答】解：依题意可得, 的图象关于直线对称.因为 ,则，又在上单调递增,所以 .故答案为：A.【分析】由已知可得的图象关于直线对称.因为，又在上单调递增,即可得解.二、多选题11.【答案】 B,D【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：因为，所以 ,对于A，令，解得（），即函数的对称轴方程为（），即A不符合题意；对于B，因为，所以，即，即在上的值域为，即B符合题意；对于C，令，解得，即的图象关于点对称，则的图象关于点对称，C不符合题意.对于D,由的图象向右平移个单位长度,得到的图象,D符合题意.故答案为：BD.【分析】由三角恒等变换可得，再结合三角函数值域的求法、三角函数图像的对称轴、对称中心的求法逐一判断即可得解.12.【答案】 B,C,D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】【解答】画出函数的大致图象如下图，得出 ,则 ,A不符合题意,B符合题意;由图可知 ,C符合题意;因为 ,所以 ,D符合题意.则结论正确的是BCD，故答案为：BCD.【分析】先作出的图像，再观察图像可得，再结合，求解即可.13.【答案】 C,D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：设函数，则因为 ,所以 ,故在上单调递减,从而 ,整理得，,A不符合题意,C符合题意.当时,若 ,因为在上单调递减,所以即 ,即 .D符合题意,从而B不正确.故答案为：CD.【分析】先构造函数，再利用导数可得在上单调递减,再利用函数的单调性判断四个命题即可得解.三、填空题14.【答案】【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】解：因为向量与互相垂直,可得，又，则，故答案为： .【分析】由向量模的运算，再将已知条件代入运算即可.15.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】【解答】解：因为，所以即，故答案为： .【分析】先求原函数的导函数再利用导数的几何意义可得得解.16.【答案】；【考点】函数单调性的性质，奇函数【解析】【解答】解：设，则，由函数为奇函数，可得，则，又，则，当时， ,所以 ;当时,设，则函数为增函数，又，即的解集为，即的解集为 .综上的解集为 .故答案为： .【分析】先由函数为奇函数，结合时, ,求函数解析式即可；再分时，时求解不等式即可得解.17.【答案】（1）3（2）【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数基本关系的运用，正弦定理，余弦定理【解析】【解答】（1）解：由 ,得 ,而 ,所以，即 ,故 .（2）因为 ,所以 ,则 ,所以，从而，由正弦定理得 ,则，【分析】(1)由余弦定理可得，再由两角和、差的余弦公式展开运算求解即可；(2)由（1）可得，再由正弦定理可得，得解.四、解答题。
山东省2020版高三上学期期中数学试卷(理科)C卷 (2)
山东省2020版高三上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·濮阳模拟) 如图，为正方体，下面结论错误的是（）A . 平面B .C . 平面D . 异面直线与所成的角为2. （2分） (2016高二上·南昌期中) 命题“a＞﹣5，则a＞﹣8”以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）(2017·黑龙江模拟) 已知，且，则sin2α的值为（）A .B .C .D .4. （2分）下列函数中，最小正周期为π的是（）A . y=2sinxB . y=cos2xC . y=sin xD . y=2cos（x+ ）5. （2分） (2020高二下·赣县月考) 如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）等差数列中，，，则此数列前20项和等于（）A . 220B . 200C . 180D . 1607. （2分）设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）A . 必在圆内B . 必在圆上C . 必在圆外D . 以上三种情形都有可能8. （2分） (2018高一上·赤峰月考) 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）A .B .C .D .9. （2分）(2013·上海理) 在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（ + + ）•（ + + ）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）A . m=0，M＞0B . m＜0，M＞0C . m＜0，M=0D . m＜0，M＜010. （2分）在等比数列{an}中，设Tn=a1a2…an ，n∈N* ，则（）A . 若T2n+1＞0，则a1＞0B . 若T2n+1＜0，则a1＜0C . 若T3n+1＜0，则a1＞0D . 若T4n+1＜0，则a1＜011. （2分） (2016高二上·杭州期中) 已知变量，满足，目标函数是z=2x+y，则有（）A . zmax=5，zmin=3B . zmax=5，z无最小值C . zmin=3，z无最大值D . z既无最大值，也无最小值12. （2分） (2019高二下·上海期末) 连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为，则的概率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·邵东月考) 已知函数，若存在实数使的值域是，则实数的取值范围是________14. （1分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极小值10，则的值为________．15. （1分）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=________16. （1分） (2019高二上·浙江月考) 已知函数，对任意的，存在实数，使得成立，则实数a的最大值为________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分） (2018高一上·赤峰月考) 已知集合.（1）当时, 求；（2）若，求实数的值.18. （15分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最小值及取最小值时相应的x值；（3）求函数f（x）的单调递增区间．19. （10分） (2018高一上·新余月考) 已知数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和 .20. （10分） (2016高一下·河源期末) 已知向量，函数f（x）= • +2．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）设锐角△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）=2，，求角A和边c的值．21. （10分） (2017高二上·汕头月考) 已知函数（1）求方程的根;（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值.22. （15分）(2016·海南模拟) 已知函数f（x）= 在x=1处取得极值．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥ 恒成立，求实数m的取值范围；（3）当n∈N* ，n≥2时，求证：nf（n）＜2+ + +…+ ．。
2020届高三数学上学期期中试题_1
2020届高三数学上学期期中试题一、选择题：1、已知全集，，则（）A、 B、 C、 D、2、若函数的最小正周期为，则正数的值是（）A、 B、 C、 D、3、已知都是实数，那么“”是“”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限 D、第四象限5、函数的图像大致是（）6、若函数在上是增函数，则正数的最大值是（）A、 B、 C、 D、7、已知函数的零点，其中常数满足，，则整数的值是（）A、 B、 C、 D、8、若关于的不等式的解集中有个整数，则实数的取值范围是（）A、 B、 C、 D、9、设，则（）A、 B、 C、 D、10、设是的外心，满足，若，则面积的最大值是（）A、 B、 C、 D、二、填空题11、已知向量，则_________，若，则_________.12、已知角的终边经过点，则___________，_________.13、已知函数，则_________，若，则实数的值是_________.14、如右图，四边形中，分别是以和为底的等腰三角形，其中，则_________，_________.15、设，曲线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的值是_________.16、设向量是单位向量且，则_________.17、若为实数，对任意，当时，不等式恒成立，则的最大值是_________.三、解答题：18、设，.（1）解不等式：；（2）若是成立的必要不充分条件，求的取值范围.19、在中，分别为角所对的边的长.且.（1）求角的值；（2）若，求的面积.20、已知函数.（1）若不等式在上有解，求的取值范围；（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.21、已知平面向量，且.（1）若，平面向量满足，求的最大值；（2）若平面向量满足，，，求的取值范围.22、设，已知函数.（1）设，求在上的最大值；（2）设，若的极大值恒小于，求证：.2020届高三数学上学期期中试题一、选择题：1、已知全集，，则（）A、 B、 C、 D、2、若函数的最小正周期为，则正数的值是（）A、 B、 C、 D、3、已知都是实数，那么“”是“”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限5、函数的图像大致是（）6、若函数在上是增函数，则正数的最大值是（）A、 B、 C、 D、7、已知函数的零点，其中常数满足，，则整数的值是（）A、 B、 C、 D、8、若关于的不等式的解集中有个整数，则实数的取值范围是（）A、 B、 C、 D、9、设，则（）A、 B、 C、 D、10、设是的外心，满足，若，则面积的最大值是（）A、 B、 C、 D、二、填空题11、已知向量，则_________，若，则_________.12、已知角的终边经过点，则___________，_________.13、已知函数，则_________，若，则实数的值是_________.14、如右图，四边形中，分别是以和为底的等腰三角形，其中，则_________，_________.15、设，曲线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的值是_________.16、设向量是单位向量且，则_________.17、若为实数，对任意，当时，不等式恒成立，则的最大值是_________.三、解答题：18、设，.（1）解不等式：；（2）若是成立的必要不充分条件，求的取值范围.19、在中，分别为角所对的边的长.且.（1）求角的值；（2）若，求的面积.20、已知函数.（1）若不等式在上有解，求的取值范围；（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.21、已知平面向量，且.（1）若，平面向量满足，求的最大值；（2）若平面向量满足，，，求的取值范围.22、设，已知函数.（1）设，求在上的最大值；（2）设，若的极大值恒小于，求证：.。
2020高三数学理期中考试试卷及答案
福州三中2020—2020学年度高三上学期期中考试 数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号码（31103XXXX ，XXXX 为班级+座号）、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将答题卡收回。
第I 卷（选择题共50分）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A=122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,B={}21x x ≤，则A∪B=（ ）A ．{}12x x ≤<B ．112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}2x x <D ．{}12x x -≤<2．已知4sin 25θ=，则cos θ的值为 （ ）A ．257 B ．725-C ．54D ．45-3．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅等于（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 4．下列命题中的假命题．．．是（ ）A ．,lg 0x R x ∃∈=B ．,tan 1x R x ∃∈=C ．3,0x R x ∀∈>D ．,20x x R ∀∈>5．已知α∈（2π,π），sin α=35，则tan （4πα+）等于（ ）A ．17B ．7C ．－17D ．－76．m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（ ）（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）αγβγαβα⊥=⊥⊥m m 则,,, （4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m A ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7．将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移得到图象F′,若F′的一条对称轴是直线4x π=，则θ的一个可能取值是（ ） A ．512π B．512π-C ．1112π D ．1112π-8．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈)(x f B x A ++=)sin(ϕω0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定()f x 的解析式为 （ ）A ．()2sin()744f x x ππ=++(112,)x x N *≤≤∈B ．()9sin()44f x x ππ=-(112,)x x N *≤≤∈ C ．()22sin74f x x π=+(112,)x x N *≤≤∈D ．()2sin()744f x x ππ=-+(112,)x x N *≤≤∈ 9．如图，圆O 的内接“五角星”与圆O 交与),5,4,3,2,1(=i A i 点，记弧1i i A A +在圆O 中所对的圆心角为),4,3,2,1(=i a i ，弧51A A 所对的圆心角为5a ，则425312sin 3sin )cos(3cos a a a a a -+=（ ）A ．23- B ．21-C ．0D ．110．已知函数()y f x =和()y g x =在[2,2]-的图象如下所示()y f x = ()y g x =给出下列四个命题：（1）方程[()]06f g x =有且仅有个根； （2）方程[()]03g f x =有且仅有个根；（3）方程[()]05f f x =有且仅有个根； （4）方程[()]04g g x =有且仅有个根．其中正确的命题个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题共100分）填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．21edx x⎰= ． 12．已知向量(3,1),(1,3),(,2)a b c k ===，若()a c b -⊥，则实数k =____________．13．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合．直线l 的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)02θ∈π，），则圆心C 到直线l 的距离等于 ． 14．过双曲线22221x y a b-=的左焦点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于,M N 两点，且双曲线的右顶点A 满足MA NA ⊥，则双曲线的离心率等于 ． 15．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]208.1,3-=-=π，定义函数{}[]x x x -=．那么下列命题中正确的序号是___________．①函数{}x 的定义域为R ，值域为[]1,0． ②方程{}21=x 有无数多个解．③函数{}x 是周期函数． ④函数{}x 是增函数． 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．本题（1）、（2）两个必答题，每小题7分，满分14分．（1）（本小题满分7分） 已知,,x y z 为正实数，且1111x y z++=，求49x y z ++的最小值及取得最小值时,,x y z 的值．（2）（本小题满分7分）已知矩阵33A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，属于特征值1的一个特征向量为232a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵A ．17．（本小题满分13分）已知)(x f x x 2cos 222sin 3++=．（1）求)(x f 的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A B C 、、的对边，若ABC b A f ∆==,1,4)(的面积为23，求a 的值．18．（本小题满分13分）迎世博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm），能使整个矩形广告面积最小．（单位：cm）19．（本小题满分13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1-分．现从盒内一次性取3个球．（1）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（2）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分13分）设椭圆C:22221x ya b+=(,0)a b>的左、右焦点分别为12,F F，若P 是椭圆上的一点，124PF PF +=，离心率12e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，1254PF PF ⋅=-，求点P 的坐标；（3）设过定点(0,2)P 的直线与椭圆交于不同的两点,A B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,().2f x x g x ax bx ==+（1）当12a b ==时，求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；（2）若2()()()b h x f x g x ==-且存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）当0a ≠时，设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，则是否存在点R ，使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行？如果存在，请求出R 的横坐标，如果不存在，请说明理由．。
2020届山东省威海荣成市高三上学期期中考试数学试题解析版
2020届山东省威海荣成市高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{|{2023}A x y B ===-,,,,，M A B =，则M 的子集共有（ ） A ．3个 B ．4个C ．7个D ．8个【答案】B【解析】先由已知条件求出集合A B M 、、，再求M 的子集即可知子集个数. 【详解】因为{}{2{||230|3A x y x x x x x ===+-≥=≤-或}1x ≥ 且{}2,0,2,3B =-，所以{}2,3M A B ==所以M 的子集共有224=个. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算以及集合子集的个数，涉及求函数的定义域，属于基础题.2．已知命题p ：(,0)x ∀∈-∞，32x x a <，若p 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．0a >C ．1a >D ．01a <<【答案】A【解析】先以命题p 为真命题求得实数a 的取值范围，再根据题意求补集即可得答案. 【详解】解：当命题p 为真命题时，(),0x ∀∈-∞，32x x a <等价于(),03,2xa x ⎛⎫>∈ ⎪-∞⎝⎭所以有1a ≥所以当p 为假命题时，实数a 的取值范围是：1a < 故选：A. 【点睛】本题考查根据命题的真假求参数范围，是基础题.3．已知向量()2,2AB =，(),1AC t =，若2AB BC ⋅=，则t =（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】先根据已知条件计算BC ，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案. 【详解】解：根据题意得：()()(),12,22,1BC AC AB t t =-=-=--， 所以()()22212422AB BC t t ⋅=-+⨯-=--=，解得4t =. 故选：B. 【点睛】本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题. 4．点P 从(0 1)-,出发，沿单位圆顺时针方向运动83π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标（ ）A ．1( 2-, B ．1( 2, C ．1( )2, D ．1)2-, 【答案】C【解析】单位圆的周长为2π，由题意82233πππ=+，可得到QOx ∠的大小，然后求出点Q 的坐标，得到结果. 【详解】 如图设(0 1),A -,P 点从(0 1)-,出发，沿单位圆按顺时针方向运动83π弧长到达Q 点，由单位圆的周长为2π，所以23AQ π=. 由单位圆的半径为1，所以23AOQ π∠=，即56QOx π∠=即551cos sin 6262x y ππ==-==，所以Q 点坐标为1( )22-, 故选：C.【点睛】该题考查的是有关单位圆上点的坐标的求解问题，涉及到的知识点有弧长公式，注意转动的方向，明确角的大小之后，点的坐标显而易见，属于基础题目. 5．已知函数()f x 对任意x y R ∈,，都有()()()f x y f x f y +=，且1(1)2f =，则01()ni f i ==∑（ ） A ．112n-B ．122n-C ．21n -D ．121n +-【答案】D【解析】根据题意，由赋值法，先求出(0)1f =；1(1)()2f n f n +=，n ∈+N ；记()1n a f n =，得到数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】因为函数()f x 对任意x y R ∈,，都有()()()f x y f x f y +=，且1(1)2f =， 令0x =，1y =，则(1)(0)(1)f f f =，所以(0)1f =； 令xn =，1y =，n ∈+N ，则(1)()(1)f n f n f +=，所以1(1)()2f n f n +=，n ∈+N ； 记()1n a f n =，则1122(1)()n n a a f n f n +===+，()1121a f == 即数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以2nn a =，n ∈+N ；所以21201111...122...2()(0)nnn i n i i a a a a f i f ===+=++++=++++∑∑ ()111122112n n ++⨯-==--.故选：D.【点睛】本题主要考查求等比数列的前n 项和，涉及赋值法求函数值，属于跨章节综合题. 6．设θ为第二象限角，若1tan()47θπ+=，则sin cos θθ+=（ ） A ．15- B ．15C ．75D ．75-【答案】A【解析】将1tan()47θπ+=展开可得tan θ的值，再由同角三角函数基本关系结合θ为第二象限角，可sin cos θθ、的值，即可得答案. 【详解】tan 11tan()41tan 7θθθπ++==-,即()7tan 11tan θθ+=-可得：8tan 6θ=-，解得：3tan 4θ=-由22sin 3tan cos 4sin cos 1θθθθθ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩可得：3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以1sin cos 5θθ+=-. 故选：A 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，以及同角三角函数基本关系，属于基础题 7．已知函数()ln(1f x x =+，若正实数 a b ,满足(4)(1)2f a f b +-=，则11a b+的最小值为（ ） A ．4 B ．8C ．9D ．13【答案】C【解析】由函数()ln(1f x x =+，知()f x 是奇函数，又因为正实数a ，b 满足(4)(1)2f a f b +-=，所以41a b +=，利用基本不等式求得结果． 【详解】解：由函数()ln(1f x x =+，设()(ln g x x =，知()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，则()()2f x f x +-=，又因为正实数a ，b 满足(4)(1)2f a f b +-=，，所以41a b +=，114()(4)5549a ba b a b b a ++=+++=，当且仅当16a =，13b =时取到等号． 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，基本不等式应用，属于简单题．8．物理学规定音量大小的单位是分贝（dB ），对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：010lgII η=(其中0I 是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40dB 与60dB 之间，则60dB 声音的声波强度1I 是40dB 声音的声波强度2I 的（ ） A ．32倍 B ．3210倍C ．100倍D ．3lg2倍 【答案】C【解析】先根据010lg II η=得10010I I η=，再将60dB 和40dB 代入得计算12I I 即可得答案. 【详解】解：因为音量大小与强度为I 的声波的关系为010lgII η=， 所以1010I I η=，所以606101001010I I I ==，404102001010I I I ==，所以6014201010010I I I I ==， 故选：C. 【点睛】本题以物理知识为背景，考查指对数的互化，运算等，是中档题.9．已知函数10 ()ln0xf x xx x⎧<⎪=⎨⎪>⎩,,，()()g x f x x a=-+，若()g x恰有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．1a<-B．0a>C．10a-<<D．1a>【答案】D【解析】()g x恰有3个零点，即函数()f x的图像与y x a=-的图像有三个交点，先求出y x a=-与函数lny x=相切时a的值，然后数形结合得出答案.【详解】由()g x恰有3个零点，即方程()f x x a=-恰有3个实数根.即函数()f x的图像与y x a=-的图像有三个交点，如图.y x a=-与函数()1()0f x xx=<的图像恒有一个交点，即函数lny x=与y x a=-有两个交点.设y x a=-与函数lny x=相切于点()00,x y，由()1ln xx'=所以11kx==，得1x=，所以切点为()1,0，此时1a=，切线方程为1y x=-将1y x=-向下平移可得y x a=-与lny x=恒有两个交点，所以1a>故选：D【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数范围，考查数形结合的思想应用，属于中档题. 10．已知函数()f x定义域为R，且满足下列三个条件：①任意12(4,0)x x≠∈-，都有2121()()f x f xx x->-；②()(4)f x f x=-+；③(4)y f x=+为偶函数，则（）A ．(2019)(15)(2)f f f >>B ．(15)(2)(2019)f f f >>C ．(2)(15)(2019)f f f >>D ．(2)(2019)(15)f f f >>【答案】B【解析】由①可得()f x 在(4,0)-单调递增，由②可得()f x 周期为8T =，由③可得函数()f x 对称轴是4x =，结合以上性质既可以比较(2)(15)(2019)f f f 、、的大小关系. 【详解】由①对任意12(4,0)x x ≠∈-，都有2121()()0f x f x x x ->-，可得()f x 在(4,0)-单调递增，由②()(4)f x f x =-+，可得(4)(8)()f x f x f x +=-+=-，所以(8)()f x f x += 即函数()f x 周期为8T =由③(4)y f x =+为偶函数，可得函数()f x 对称轴是4x =，所以(2)(6)(2)f f f ==-，(15)(1)f f =-，(2019)(3)(5)(3)f f f f ===-， 因为()f x 在(4,0)-单调递增，且123->->-， 所以(15)(2)(2019)f f f >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，涉及函数的单调性，周期性和对称性，属于中档题.二、多选题11．下列命题正确的是（ ） A ．若角(,)44k k ππθππ∈-+（k Z ∈），则22sin cos θθ> B ．任意的向量,a b ，若a b a b ⋅=，则//a bC ．已知数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++（ , ,a b c 为常数），则{}n a 为等差数列的充要条件是0cD ．函数()f x 的定义域为R ，若对任意x ∈R ，都有(21)(12)f x f x +=-，则函数(2)y f x =的图像关于直线1x =对称【答案】BC【解析】对于A 选项：当0k =时，(,)44ππθ∈-，当0θ=时，代入可判断A ；对于B 选项：设,a b 的夹角为θ，则cos a b a b a b θ⋅=⋅⋅=⋅，由向量的数量积的定义可判断B ；对于C ：验证必要性和充分性两个方面，可判断C ；对于D 选项：取函数2()2+1f x x x =-，满足(21)(12)f x f x +=-，求得函数(2)y f x =的对称轴，可判断 D. 【详解】对于A 选项：当0k =时，(,)44ππθ∈-，当0θ=时，sin 0cos 1θθ==，，不满足22sin cos θθ>，故A 不正确；对于B 选项：设,a b 的夹角为θ，则cos a b a b a b θ⋅=⋅⋅=⋅，所以cos 1θ=，所以0θ=或θπ=，所以//a b ，故B 正确；对于C ：验证必要性：当n =1时，1 a a b c =++；当n ≥2时，1 2 n n n a S S an b a -=-=+-；由于0a ≠，所以当n ≥2时，{}n a 是公差为2a 等差数列.要使{}n a 是等差数列，则21 2a a a -=，解得c = 0.即{an }是等差数列的必要条件是：c = 0.验证充分性：当c =0时，20n S an bn a =+≠，.当n =1时，1a a b =+；当n ≥2时，1 2n n n a S S an b a -=-=+-，显然当n =1时也满足上式，所以*()2n a an b a n N =+-∈，进而可得12(*)n n a a a n N --=∈，所以{}n a 是等差数列.所以{}n a 为等差数列的充要条件是0c成立，故C 正确；对于D 选项：设函数2()2+1f x x x =-，满足其定义域为R ，且对任意x ∈R ，都有2222(21)(21)(21)4(12)(12)(122+1)+22+14+2f x x x x f x x x x +=++=-=----=，，满足(21)(12)f x f x +=-，而()2222+144(2+1)2y f x x x x x -⨯=-==，则函数(2)y f x =的图像关于直线12x =对称，故D 不正确， 故选：BC . 【点睛】本题综合考查正弦函数与余弦函数的性质，向量的数量积的定义，等差数列的定义，抽象函数的对称性，属于中档题.12．设{}n a 是各项均为正数的数列，以n a ，1n a +为直角边长的直角三角形面积记为n S ()n *∈N ，则{}n S 为等比数列的充分条件是（ ）A ．{}n a 是等比数列B ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅或 2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列C ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅和 2a ，4a ，⋅⋅⋅，2n a ，⋅⋅⋅均是等比数列D ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅和 2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅均是等比数列，且公比相同 【答案】AD【解析】根据{}n S 为等比数列等价于2n na a +为常数，从而可得正确的选项. 【详解】{}n S 为等比数列等价于1n n S S +为常数，也就是等价于12+1n n n n a a a a ++即2n na a +为常数.对于A ，因为{}n a 是等比数列，故22n na q a +=（q 为{}n a 的公比）为常数，故A 满足； 对于B ，取21221,2nn n a n a -=-=，此时满足2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列，1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅不是等比数列，2121n n a a +-不是常数，故B 错. 对于C ，取2123,2n nn n a a -==，此时满足2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列，1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅是等比数列，21213n n a a +-=，2222n naa +=，两者不相等，故C 错. 对于D ，根据条件可得2n na a +为常数. 故选：AD. 【点睛】本题考查等比数列的判断，此类问题应根据定义来处理，本题属于基础题. 13．已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且其图像向左平移3π个单位得到函数()cos g x x ω=的图像，则（ ） A ．6πϕ=-B ．()()f x g x =在5(0)4π,有且仅有3个解C ．()f x 在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在7,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有6个极值点 【答案】ABD【解析】由周期可以求ω的值，由平移变换可以求ϕ的值，即得()f x 解析式，然后利用三角函数图象与性质逐一检验四个选项正误即可. 【详解】因为()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为π， 所以222T ππωπ=== ，即()()sin 2f x x ϕ=+， 其图像向左平移3π个单位得2()sin 2sin(2)33f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 所以2sin(2)3cos x x πϕω++=，即()232k k Z ππϕπ+=+∈, 解得：()6k k Z πϕπ=-+∈，又2πϕ<，令0k =，得6πϕ=-，所以()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 对于选项A ：显然正确；对于选项B ：sin 2cos 26x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开得tan 2x =，所以23x k ππ=+ ， 即()62kx k Z ππ=+∈ ， 因为5(0 )4x π∈,，所以27636x πππ=、、 ，仅有3个解，故选项B 正确. 对于选项C ：因为5012x π<<，所以22663x πππ-<-< ，显然()f x 在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭不单调，故选项C 错误.对于选项D ：()f x 的极值点，即为取得对称轴的位置，令()262x k k Z πππ-=+∈，可得：()32k x k Z ππ=+∈， 因为7,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以541171710,,,,,636363x ππππππ= ，共有6个极值点，显然正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质，属于中档题.三、填空题14．在等差数列{}n a 中，若124a a +=，566a a +=，则910a a +=_________. 【答案】8【解析】根据等差数列的性质可得910a a +的值. 【详解】因为910a a ++()5162122a a a a +==+，故9108a a +=， 故答案为：8. 【点睛】本题考查等差数列的性质，关于等差数列的处理方法，一般有两类方法：（1）基本量法，即把问题归结为首项和公差的问题；（2）利用等差数列的性质来处理，本题属于基础题.15．化简：(4010sin tan ︒︒＝ ________. 【答案】－1 【解析】原式sin10sin?40?(cos10＝︒︒︒)()sin402sin40 sin1?0?0cos10cos10︒︒︒︒︒︒＝＝(1sin1?0?0)2︒︒ 2sin40sin80cos?401cos10cos10-︒-︒︒︒︒＝＝＝－.故答案为1－【点睛】本题的关键点有： 先切化弦，再通分； 利用辅助角公式化简；同角互化.16．已知函数()sin 24cos f x x a x =+在(0,)2π单调递增，则实数a 的取值范围_________. 【答案】1(,]2-∞- 【解析】把函数()f x 在(0,)2π单调递增，即()0f x '≥在(0,)2π恒成立，进入得到cos 22sin x a x ≤在(0,)2π恒成立，令()cos 212sin sin sin x g x x x x ==-，(0,)2x π∈，结合换元法和导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin 24cos f x x a x =+，则()2cos 24sin f x x a x '=-， 因为函数()f x 在(0,)2π单调递增，即()2cos 24sin 0f x x a x '=-≥在(0,)2π恒成立，即cos 22sin x a x ≤在(0,)2π恒成立， 令()2cos 212sin 12sin sin sin sin x x g x xx x x-===-，(0,)2x π∈， 令sin (0,1)t x =∈，则()12,(0,1)t t t tϕ=-∈， 可得()2120t tϕ'=--<，可得函数()t ϕ在(0,1)上为单调递减函数， 所以()()1121t ϕϕ>=-=-， 所以21a ≤-，解得12a ≤-，即实数a 的取值范围1(,]2-∞-.故答案为：1(,]2-∞-. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解参数的取值范围问题，其中解答中因为函数()f x 在(0,)2π单调递增，转化为()0f x '≥在(0,)2π恒成立，结合分离参数法，结合新函数的单调性与最值求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17．《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方（正方形小城）不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何（小城的边长）.根据描述如图所示，其中A 点代表北门，B 处是木，C 点代表南门（A ，C 分别是所在边中点），则邑方边长为_________步.【答案】250【解析】正方形边长为x ，则由三角形相似可得202177534xx=+，从而可求正方形的边长. 【详解】由题设可知14CD =，20AB =，1775ED =，设正方形边长为x ，则202177534xx=+，整理得到2344017750x x +-⨯=， 解得250x =或280x =-（舍）， 故答案为：250. 【点睛】本题考查数学文化，注意读懂题意，弄清楚“见木”的意义（即,,B E F 共线），本题属于基础题.四、解答题18．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，从A 处沿斜坡向上走a 米到达B 处，在B 处测得山顶P 的仰角为β，且斜坡AB 的倾斜角BAQ γ∠=.求证：山高sin sin()sin()a PQ αβγβα-=-.【答案】证明见解析.【解析】已知仰角为α，AB 的倾斜角BAQ γ∠=，在B 处测得山顶P 的仰角为β，用正弦定理可计算出高度.【详解】由题意可知，PAQ α∠=，PBC β∠=，PAB αγ∠=-分别在Rt PQ A ∆，Rt PC B ∆中，2APQ απ∠=-，2BPQ βπ∠=-，所以APB APQ BPQ βα∠=∠-∠=-， 又sin sin[)]ABP APB BAP ∠=π-(∠+∠，sin )sin()APB BAP βγ=(∠+∠=-在ABP ∆中，由正弦定理可得，sin sin AB APAPB ABP=∠∠， 即sin()sin()aAPβαβγ=--，sin()sin()a AP βγβα-=-，在Rt PQ A ∆中，sin sin()sin sin()a PQ AP αβγαβα-==-.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，涉及正弦定理，锐角三角函数的定义，以及直角三角形的边角关系，属于中档题19．已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，且1111,n n n a a S S ++==()n *∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设212131n n n a b a +++=-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）221+=+n n nT n . 【解析】（Ⅰ）由11n n n S S a ++-=1=，得到表示首项为1，公差为1的等差数列，求得2n S n =，进而求得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ），化简得111()1n b n n =+-+，结合“裂项法”，即可求得数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】（Ⅰ）因为11n n n S S a ++-=且1n a +=所以1n n S S +-=即=又因为各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，所以0n S >，1=， 又由11a =1=，所以数列表示首项为1，公差为1的等差数列，1(1)1n n =+-⨯=，所以2n S n =， 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时也满足，综上可得，数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2221222213(21)3111111()1(21)11n n n a n n n b a n n n n n n n +++++++====+=+--+-+++， 所以数列{}n b 的前n 项和211111112(1)()()()2233411n n nT n n n n +=+-+-+-+⋅⋅⋅+-=++. 【点睛】本题主要考查了数列的通项公式n a 与n S 的关系求解数列的通项公式，以及数列的“裂项法”求和的应用，其中解答中熟练n a 与n S 的关系，以及合理利用裂项法求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，且sin cos b c B a C =+. （Ⅰ）求证：2B A π-=；（Ⅱ）若 1b c ==,，求边a .【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）a =【解析】（Ⅰ）根据正弦定理和两角和的正弦可把题设中的边角关系化简为cos sin A B =，结合B 为钝角可证2B A π-=.（Ⅱ）根据正弦定理和2B A π-=可得cos 2A A =，从该方程可求cos 3A =，结合余弦定理可得边a 的长. 【详解】解：（Ι）因为sin cos b c B a C =+ ，由正弦定理得，sin sin sin sin cos B C B A C =+ ①. 因为()B A C π=-+，所以sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+， 代入①式得，sin cos cos sin sin sin sin cos A C A C C B A C +=+；化简得，cos sin sin sin A C C B =，因为sin 0C >，故cos sin A B =， 又cos sin()2A A π=+， 所以sin()sin 2A B π+=.因为B 为钝角，所以A 为锐角，所以2A π+为钝角 因为sin y x =在(,)2ππ单调递减，所以2A B π+=，即2B A π-=.（Ⅱ）由正弦定理可知，sin sin b cB C =1sin C= ， 因为2A B π+=，得()222C A A A ππ=π-++=-，所以61sin()sin(2)22A A =ππ+-， 整理得cos 6cos 2A A =，226cos cos 60A A --=(3cos 2)(22cos 3)0A A -+= ，A 为锐角，所以6cos A =， 由余弦定理可知，6162633a =+-⋅=.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦以及诱导公式，遇到三角形中的边角关系时，可根据正弦定理或余弦定理把边角关系转化为边的关系或角的关系，另外三角形中有三角三边，注意知三求三，本题属于中档题.21．某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧PMQ （M 为此圆弧的中点）和线段PQ 构成.已知圆O 的半径为12千米，M 到PQ 的距离为16千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域1R 为矩形ABCD ，养殖区域2R 为AMB ，且 ,A B 均在圆弧上， C D ,均在线段PQ 上，设AOM α∠=.（Ⅰ）用α分别表示矩形ABCD 和AMB 的面积，并确定cos α的范围；（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在1R 内养殖鱼类，在2R 内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为3:2.求当α为何值时，能使年总产值最大.【答案】（Ⅰ）矩形：96sin (13cos )αα+；AMB ：144sin (1cos )αα-，1cos 13α≤<；（Ⅱ）3πα=.【解析】（Ⅰ）利用解三角形可求出矩形ABCD 的边长以及AMB 的底边AB 边上的高，从而两者的面积，过P 作//PN OM 交圆弧于点N ，连接ON ，则可得1cos 13α≤<.. （Ⅱ）设鱼类与贝类单位面积的年产值分别为3,2(0)k k k >，根据（Ⅰ）中的结果集合三角变换可得1576(sin sin cos )S k ααα=+，利用导数可得当3πα=时总产值最大.【详解】解：（Ⅰ）设矩形ABCD 和AMB 的面积分别为12,S S ，由题意可得，矩形ABCD 的边长分别为24sin α，412cos α+ ， 所以196sin (13cos )S αα=+， 等腰三角形AMB 的底与高分别为24sin α，1212cos α-，所以2144sin (1cos )S αα=-，过P 作//PN OM 交圆弧于点N ，连接ON ，设0MON α∠=，0(0,)2πα∈，易得041cos 123α==因为,C D 均在线段PQ 上，所以 00αα<≤，所以0cos cos cos 0αα≤<，即1cos 13α≤<.（Ⅱ）因为鱼类与贝类单位面积的年产值比为3:2，所以设鱼类与贝类单位面积的年产值分别为3,2(0)k k k >， 则年总产值为1396sin (13cos )2144sin (1cos )S k k αααα=⋅++⋅-576(sin sin cos )k ααα=+设()sin sin cos f αααα=+，且00αα<≤，22()cos cos sin f αααα'=+- 22cos cos 1αα=+- (2cos 1)(cos 1)αα=-+，()0f α'=，得3πα=，因为011cos 32α=<，所以0(,)32αππ∈，当(0,)3πα∈，1cos 2α>，()0f α'>，()f α在(0,)3π单调递增；当0(,)3ααπ∈，1cos 2α<，()0f α'<，()f α在0(,)3πα单调递减. 所以3πα=，能使年总产值最大.【点睛】本题考查导数的实际应用，注意根据图形合理构建数学模型，根据函数的特征选择导数来研究目标函数的最值，本题属于中档题.22．将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：1a2a 3a 4a5a 6a 7a 8a 9a10a 11a 12a 13a 14a 15a 16a其中24a =，1710a =，1412a =，且表中的第一列数12510,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数.表中每一行正中间的项13713,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成的数列记为{}n b . （I ）求{}n b 的前n 项和n S ；（II ）记集合{}|(1),n M n n b n N λ*=+≥∈，若M 的元素个数为4，求实数λ的取值范围.【答案】（Ⅰ）4882nn n S +=-；（Ⅱ）1544λ<≤.【解析】（1）先根据题意得第n 行的第1项为2n ，1212()22n n n n b n --==，再用错位相减法求和即可得答案； （2）设2(1)(1)2n n n n n c n b -+=+=，则123c c c >=，当3n ≥时，1n n c c +<，再根据题意得51c c λ<≤，即1544λ<≤.【详解】解：（Ⅰ）第一列构成的等差数列公差为172104233a a --==， 所以11a =所以第n 行的第1项为2n ，由此可知第4行的第1项108a =，又14a 为第4行的第5项，所以每行的公比1144141011()()162a q a ===.由题意可知，第n 行共有21n -项，且n b 为第n 行的中间项， 所以n b 为第n 行的第n 项，得1212()22n n n n b n --==.10132123122222n n n n n S ----=+++⋅⋅⋅++ …① ①式各项乘以12得， 0122111231222222n n n n n S ---=+++⋅⋅⋅++ …②①-②式得，1012211111112222222n n n n S ---=++++⋅⋅⋅+- 12(1)122424212212n n nn n n S -+=-=-- 4882nn n S +=-（Ⅱ） 设2(1)(1)2n n n n n c n b -+=+=， 1211(1)(2)(1)22(1)(2)2n n n n n n n n n c c n n --+-+++-=-+-=所以123c c c >=，当3n ≥时，1n n c c +<12345154 6 5 4c c c c c =====,,,，即23415 >c c c c c =>>，当6n >时，5n c c >，因为集合{ |(1) }n M n n b n λ*=+≥∈,N 的元素个数为4，所以51c c λ<≤， 即1544λ<≤，{ 1 2 3 4 }M =,,, . 【点睛】本题考查等差等比数列的通项公式的求解，错位相减法求和，数列单调性求参数，考查分析问题解决问题的能力，考查运算能力，是中档题.23．已知函数()xf x e ax -=+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）若()f x 有两个零点1x 、2x ，且12 x x <.证明：（i ）210x -<<；（ii ）12ln 2x x a +>-. 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】（I ）求得函数()y f x =的定义域和导数()xf x a e -'=-，对实数a 的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()y f x =的单调递增区间和单调递减区间；（II ）（i ）由函数()y f x =由两个零点可求得a e >，然后利用零点存在定理可证得210x -<<；（ii ）利用分析法得出要证12ln 2x x a +>-，即证()22ln 0f a x -->，由()20f x =，得22x e a x -=-，进而需证明()22212ln 0x x x -++->，然后构造函数()()12ln h x x x x=-++-，()1,0x ∈-，利用导数证明出()0h x >，由此可证得结论成立.【详解】（Ⅰ）函数()y f x =的定义域为R ，且()xf x a e -'=-. ①当0a ≤时，()0f x '<，函数()y f x =在R 上单调递减；②当0a >时，令()0f x '<，可得ln x a <-；令()0f x '>，可得ln x a >-.此时，函数()y f x =的单调递减区间为(),ln a -∞-，单调递增区间为()ln ,a -+∞； （Ⅱ）证明：（i ）当0a ≤时，函数()y f x =在R 单调递减，此时，函数()y f x =至多一个零点，所以要使得函数()y f x =有两个零点1x 、2x ， 一定有0a >且()ln 0f a <，即()()ln ln ln ln 1ln 0a f a e a a a a a a a -=-=-=-< ，解得a e >，则ln 1a -<-，即()1ln ,a -∈-+∞，因为函数()y f x =的单调递减区间为(),ln a -∞-，单调递增区间为()ln ,a -+∞， 且12x x <，则12ln x a x <-<，又因为()10f e a -=-<，()010f =>，所以()21,0x ∈-；（ii ）因为12 ln x a x <-<，则22ln ln a x a --<-， 要证12ln 2x x a +>-，即证122ln x a x >--， 因为函数()y f x =在(),ln a -∞-单调递减，即证()()122ln f x f a x <--， 又()10f x =，即证()22ln 0f a x -->，()()()()2222ln 222222ln 2ln 2ln 2ln a x x x f a x e a a x a e a a x a ae a x +--=-+=-+=--，因为()20f x =，得22x e a x -=-， 所以()2222222222112ln 2ln 2ln ln x x x e ae a x x e x x x x x --⎛⎫⎡⎤--=----=----- ⎪⎣⎦⎝⎭ ()()2222222112ln 2ln x x x x x x x =------=-++-⎡⎤⎣⎦， 令()()12ln h x x x x=-++-，()1,0x ∈-，()()222221122110x x x h x x x x x +++'=++==>， 所以函数()y f x =在()1,0-单调递增，又210x -<<，所以()()210h x h >-=，即222ln 0x ae a x -->，所以()222ln 0x a ae a x -->，()22ln 0f a x -->， 综上可知，12ln 2x x a +>-. 【点睛】 本题考查利用导数求解含参函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。
2020届高三数学(理)上学期期中试题+参考答案+评分标准
2020届高三数学(理)上学期期中试题完卷时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 复数z 满足()132z i i -=+，则复数z ＝( )A ．1322i + B ．1322i - C ．1522i - D ．1522i +2. 已知集合{|A x y ==， {|31,}B x x n n N +==-∈，则A B =I （ ）A ．{2}B ．{}2,5C ．{}2,5,8D ．{}1,2,5,8-3. 已知命题2:,10p x R x x ∀∈-+>；命题:q a b >是11a b>的充要条件，则下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧ B.p q ⌝∨ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝4. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足251115a a a ++=，则数列{}n a 的前11项和为（ ）A ．40B ．45C ．50D ．555. 已知函数(1)f x +是偶函数，函数()f x 在(]1-∞，上单调递增，0.512(4),(log 4)a f b f ==，(3)c f =，则（ ）A. b c a <<B.a c b <<C.c a b <<D. a b c << 6. 将函数2()cos(2)cos 23f x x x π=-+的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是( )A.6πB.3πC.23π D.56π 7. 若1x =是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极大值为（ ）A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 18. 函数22sin 22()(,00,)133x x f x x x ππ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥+⎣⎭⎝⎦的图像大致为（ ）A B C D9.已知向量ar，br的夹角为135o，且1a=r，2b=rmu r满足4a mb m⋅=⋅=r u r r u r，则mu r= ( )A. 22B. 5C. 42D. 510. 已知函数()2018,2020,412022,2020,2019xm xf x mx x-⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-<⎪⎪⎝⎭⎩数列{}n a满足(),na f n n N*=∈，且{}na是单调递增函数，则实数m的取值范围是（）A.(]1,3 B.()1,+∞ C.[)3,+∞ D.()3,+∞11. 已知函数()2sin cos(0,0)6f x x a x aπωωω⎛⎫=++>>⎪⎝⎭对任意12,x x R∈都有()()1243f x f x+≤，若()f x在[0,]π上的值域为[3,23]，则实数ω的取值范围为( )A．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 对于任意的实数[]1,x e∈，总存在三个不同的实数[]1,4y∈-，使得21ln0yy xe ax x---=成立，则实数a的取值范围是（）A．3160,e⎛⎤⎥⎝⎦B．23163,ee e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C．23161,ee e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D．3163,e e⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4题，每小题5分共20分，把答案填在答题卡相应位置上。
2019-2020年高三上学期期中测试数学(理)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期中测试数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷从第 1页至第2页；第Ⅱ卷从第3页至第4页；答题纸从第1页至第6页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸第1,3,5页左侧密封线内书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（共40分）第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15．（本小题共13分）在锐角中，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的值.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得 ----------2分因为所以 ------------------------5分在锐角中， ---------------------------7分（Ⅱ）由余弦定理可得 -------------------------9分又因为，所以，即 -------------------------11分解得， ---------------------------12分经检验，由可得，不符合题意，所以舍去. --------------------13分16.（本小题满分13分）已知向量，，，其中．（Ⅰ）当时，求值的集合；（Ⅱ）当时，求的最大值．16．解：（Ⅰ）由，得，即……4分则，∵,得或，．……………………………5分∴ 或为所求．………………………………6分（Ⅱ），………10分∵，∴，由图象性质，当即时，有最大值为12，有最大值为．……………………13分17.（本小题满分13分）某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式 已知每日的利润，且当时，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.17.解：（Ⅰ）由题意可得： …………2分因为时，，所以. ……………………………………4分所以. ……………………………………5分（Ⅱ）当时，.18182818=[2(8)]1818688L x x x x =-++--++-=--（）≤. ……………………………………9分 当且仅当，即时取得等号.……………………………………10分当时，. ……………………………………12分所以当时，取得最大值.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元. …………………13分18.（本小题满分13分） 如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△ 的面积为，△的面积为．若，求角的值．解：（Ⅰ）由三角函数定义，得 ，…………2分因为 ，，所以 ． ………………3分所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α （Ⅱ）解：依题意得 ，．所以 ， ………………7分2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα ……9分 依题意得 ，整理得 ． ………………11分因为 ， 所以 ，所以 ， 即 ． ………………13分19.（本小题满分14分）已知函数，.（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅲ)若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.19. 解：（Ⅰ）∵，∴，定义域 ，减 增∴无极大值， ……3分（Ⅱ）， 定义域 ，∴ ………4分①当时，在上恒成立，∴在上递增； ………6分②当时，令得，减 增∴在上递减，在上递增； …………8分（Ⅲ）∵区间上存在一点，使得成立，即： 在上有解，即：当时， …………9分由（Ⅱ）知①当时，在上增，∴；……10分②当时，在上递减，在上递增（ⅰ）当即时， 在上增， ∴， ∴无解 ……11分（ⅱ）当即时， 在上递减∴2min 11()01a e h h e e a a e e ++==-+<⇒>- ∴ …………12分 （ⅲ）当即时， 在上递减，在上递增∴， 令2ln(1)2()1ln(1)a a a F a a a a+-+==+-+，则 ∴在递减 ∴ ∴无解即无解 ………14分综上：或20．（本小题满分14分）已知是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A 、B 、C 三点.若点B 的坐标为（2，0），且上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性.（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）在函数的图象上是否存在一点在点M 处的切线斜率为3b ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求的取值范围.20．解：（Ⅰ） ……………………………………2分依题意上有相反的单调性.所以的一个极值点.故 ………………4分（Ⅱ）令，由（Ⅰ）得………………………2分因为上有相反的单调性，所以上有相反的符号.故………………………………………………7分假设存在点使得在点M 处的切线斜率为3b ，则即 因为),9(4364)3(34)2(22+=+=-⨯-=∆ab ab ab b b a b 且、b 异号.所以故不存在点使得在点M 处的切线斜率为3b .………………10分（Ⅲ）设),)(2)(()(),0,(),0,(βαβα---=x x x a x f C A 依题意可令即]2)22()2([)(23αβαββαβα-+++++-=x x x a x f .2)22()2(23αβαββαβαa x a x a ax -+++++-=所以即…………………………12分所以因为max 63,6,b b AC a a-≤≤-=-=所以当时当………………………14分。