集合之间的关系与运算
第二讲 集合之间的基本关系及其运算
第二讲 集合之间的基本关系及其运算一．知识盘点知识点一：集合间的基本关系注意：1.A B A B B AA B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩且且2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。
3.集合间基本关系必须熟记的3个结论（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身 （3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。
知识点二：集合的基本运算运算 符号语言 Venn 图 运算性质交集{}|A B x x A =∈∈且x B()(),AB A A B B ⊆⊆ (),AA A AB B A ==A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ并集{}|A B x x A x B =∈∈或()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==,A B B A B A A =⇔⊆Φ=补集{}|U C A x x U x A =∈∉且,U U C U C U =ΦΦ=()(),U U U C C A A A C A U ==()U AC A =Φ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =二．例题精讲Ep1.下列说法正确的是A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，UAC. 如果{}264,2,m m ∈++2， 则实数m 组成的集合是{}-22，D. {}{}(){}222||,|x y xy y x x y y x =====解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。
{}2|x y x R == ,{}{}2||0y y x y y ==≥ ，(){}2,|x y y x = 是二次函数2y x = 的点集Ep2.已知集合A={}2|1log ,kx N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，则A.K>8B.K ≥ 8C.K>16D.K ≥ 16解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k> ，所以k>16.Ep3.已知集合M={}{}2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是A.M N ⊂B.N M ⊂C.R M C N ⊆D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取值集合{}1,0,1-Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合A B 的子集的个数是解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=A.4B.7C.8D.16Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<， ，故选CEp9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]解析：选CEp10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B={}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，故选D.Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<解析：{}|01B y y =≤<，则{}|01R C B y y =<≥或y，(){}{}{}|11|01|10R AC B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或 选B.Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.三．总结提高1.题型归类（1）2个集合之间的关系判断（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题 （3）求子集或真子集的个数问题 （4）2个有限集之间的运算（5）1个有限集和1个无限集之间的运算 （6）2个无限集之间的运算（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结（1）判断集合间关系的方法a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。
高中数学集合知识总结
高中数学知识总结高中数学集合知识总结集合语言是现代数学的基本语言,使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些相关内容.以下是小编搜集整合了高中数学集合知识，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。
高中数学知识总结篇1一、集合间的关系1.子集：如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集。
2.真子集：如果集合AB，但存在元素a∈B,且a不属于A,则称集合A是集合B的真子集。
3.集合相等：集合A与集合B中元素相同那么就说集合A与集合B相等。
子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)，这时我们说集合是集合的子集，更多集合关系的知识点见集合间的基本关系二、集合的运算1.并集并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}3.补集三、高中数学集合知识归纳：1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
高中数学第一章集合1.2集合之间的关系与运算1.2.2.1交集与并集bb高一数学
.
解析:由题意得A={x|x>a},B={x|x>2},
因为A∪B=B,所以A⊆B.
在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,
则实数a必须在2的右边或与2重合,所以a≥2.
答案:a≥2
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5.已知集合A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则m=
解析:由于A∩B={2,3},则3∈B,又B={2,m,4},则m=3.
事实上有:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).
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一
二
三
3.填写下表:
交集的运算性质
A∩B=B∩A
A∩A=A
A∩⌀=⌀∩A=⌀
如果 A⊆B,则 A∩B=A
并集的运算性质
A∪B=B∪A
A∪A=A
A∪⌀=⌀∪A=A
如果 A⊆B,则 A∪B=B
3.做一做:已知集合M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},则M∩N等于(
A.{0}
B.{1}
C.{0,1,2}
D.{0,1}
解析:按照交集的定义求解即可.
M∩N={x|-2≤x<2}∩{0,1,2}={0,1}.
故选D.
答案:D
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)
一
二
三
二、并集
【问题思考】
1.集合A∪B中的元素个数如何确定?
提示:(1)当两个集合无公共元素时,A∪B的元素个数为这两个集
合元素个数之和;
(2)当两个集合有公共元素时,根据集合元素的互异性,同时属于A
和B的公共元素,在并集中只列举一次,所以A∪B的元素个数为两个
专题01 集合、集合间的关系、集合的运算(重难点突破)解析版
专题01 集合、集合间的关系、集合的运算一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．(4).常见的数集及其表示符号2. 集合间的基本关系A B (或B A )【名师提醒】子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 3. 集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；【名师提醒】1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1，非空真子集n2-2个. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUAB A B U ⇔=∅⇔= .3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()UUU A B A B ； ②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU A B A B ．【名师点睛】1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．5.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.6.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．三、重难点题型突破考点1 集合的概念及其表示归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．例1.（1）（集合的确定性）下面给出的四类对象中，能组成集合的是()A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家C．无限接近于4的实数D．到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】选项A，B，C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D的标准唯一，故能组成集合．故选：D．（2）．（集合的确定性）（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是( )A.中国各地最美的乡村；B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；C.不小于3的自然数；D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． 【答案】BCD【解析】A 中“最美”标准不明确，不符合确定性，BCD 中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD 【变式训练1】（集合的互异性）在集合{1A =，21a a --，222}a a -+中，a 的值可以是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2【答案】A【解析】当a ＝0时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝2，当a ＝1时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝1，当a ＝2时，a 2﹣a ﹣1＝1，a 2﹣2a +2＝2， 由集合中元素的互异性知：选A ．【变式训练2】（集合的互异性）若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a = ) A ．1- B ．0C ．1D ．0 或1【答案】B【答案】解：①若a 2﹣a ﹣1＝﹣1，则a 2﹣a ＝0，解得a ＝0或a ＝1， a ＝1时，{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a ＝0； ②若a 2+1＝﹣1，则a 2＝﹣2，a 无实数解；由①②知：a ＝0．故选：B ． 考点2 元素与集合的关系(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . (3)常见的数集及表示符号归纳总结：(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn 图等来直观解决这类问题． 例2．（1）（元素与集合的关系）（多选题）下列关系中，正确的有（ ） A ．∅∪{0} B ．13Q ∈C ．Q Z ⊆D ．{}0∅∈【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的； 选项B:13是有理数，故13Q ∈是正确的； 选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的；选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB. （2）（元素个数问题）集合12{|3A x Z y x =∈=+，}y Z ∈的元素个数为( ) A ．4B ．5C ．10D ．12【思路分析】根据题意，集合中的元素满足x 是整数，且12x+3是整数．由此列出x 与y 对应值，即可得到题中集合元素的个数．【解析】由题意，集合{x ∈Z |y =12x+3∈Z }中的元素满足x 是整数，且y 是整数，由此可得 x ＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1， 符合条件的x 共有12个，故选：D ．例3.（单元素集合）若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值． 【答案】解：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ， ∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91． 故a 、b 的值分别为31，91.【变式训练1】（1）（元素与集合的关系）下列关系中，正确的个数为( )R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈．A ．6B ．5C ．4D ．3【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解． 【答案】解：由元素与集合的关系，得：在①中，√5∈R ，故①正确；在②中，13∈Q ，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误；在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z ，故⑥正确．故选：D ．（2）（元素个数问题）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，x y <，}x y A +∈，则集合B 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【思路分析】通过集合B ，利用x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A ，求出x 的不同值，对应y 的值的个数，求出集合B 中元素的个数．【解析】因为集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A }， 当x ＝1时，y ＝2或y ＝3或y ＝4；当x ＝2时y ＝3； 所以集合B 中的元素个数为4．故选：C ．【点睛】本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用． 【变式训练2】（二次函数与集合）设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R } （1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围； （3）求：A 中各元素之和． 【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1， ∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1，∴a 的取值范围是（﹣∞，1]． （3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-； 当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素． 考点3 集合间的基本关系 1.集合A 中含有n 个元素，则有(1)A 的子集的个数有2n 个．(2)A 的非空子集的个数有2n －1个．(3)A 的真子集的个数有2n －1个．(4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．2.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例4．（1）.（2020·全国高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞【解析】由B A ⊆可得：当B =∅,则121m m +>-，∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤; ∴实数m 的取值范围是(],3-∞.故答案为:(],3-∞.（2）.（空集）如果2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围为( ) A ．04a <<B ．40<≤aC ．40≤<aD ．40≤≤a【思路分析】由A ＝∅得不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解． 【答案】解：因为A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，所以不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集， 当a ＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a ＝0成立．当a ≠0时，要使ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，则{a ＞0△=a 2−4a ≤0，解得0＜a ≤4．综上实数a 的取值范围0≤a ≤4．（3）（子集与真子集）已知集合1{|42k M x x ==+，}k Z ∈，1{|24k N x x ==+，}k Z ∈，则( ) A ．M N =B ．M ⊊NC ．N ⊊MD ．M∩N=∅【思路分析】将集合M ，N 中的表达式形式改为一致，由N 的元素都是M 的元素，即可得出结论． 【答案】M ＝{x |x =k4+12，k ∈Z }＝{x |x =k+24，k ∈Z }，N ＝{x |x =k2+14，k ∈Z }＝{x |x =2k+14，k ∈Z }，∵k +2（k ∈Z ）为整数，而2k +1（k ∈Z ）为奇数，∴集合M 、N 的关系为N ⊊M ．故选：C ．【变式训练1】．（1）（2019·浙江省温州中学高一月考）（子集与真子集个数问题）已知集合21,,{1}A a a =-，若0A ∈，则a =______；A 的子集有______个.【答案】0或1- 8【解析】∵集合21,,{1}A a a =-，0A ∈，∴0a =或2101a a ⎧-=⎨≠⎩，解得0a =或1a =-.A 的子集有328=个.故答案为：0或1-，8.（2）若集合2{|20}A x x x m =-+==∅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1，)+∞【解析】∵A ＝{x |x 2﹣2x +m ＝0}＝∅，∴方程x 2﹣2x +m ＝0无解，即△＝4﹣4m ＜0， 解得：m ＞1，则实数m 的范围为（1，+∞），故选：C ．【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键． 考点4 集合的基本运算1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B } 2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B 。
集合数学知识点高一公式
集合数学知识点高一公式高一数学公式集合一、集合的基本概念在数学中，集合是指由若干个元素组成的事物的总体。
集合中的元素可以是具体的数、点、线，也可以是抽象的概念、命题等。
以下是一些高一数学常见的集合相关的基本概念和符号：1.1 集合的表示方式一般来说，集合可以通过列举元素、描述特性或使用图形等方式进行表示。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示集合A中包含元素1, 2, 3, 4。
1.2 集合的关系运算集合之间常见的关系运算有并集、交集、差集和补集。
假设集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，则它们的关系运算如下所示：- 并集：A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}- 交集：A∩B={3, 4}- 差集：A-B={1, 2}- 补集：A'={(所有不属于A的元素)}1.3 集合的基数与空集以集合A为例，A中元素的个数称为集合A的基数，用符号|A|表示。
若集合A中没有任何元素，则称集合A为空集，用符号Ø表示。
例如，集合A={1, 2, 3}的基数为3，而空集的基数为0。
二、集合的运算法则在集合论中，有一些常见的运算法则，包括交换律、结合律、分配律等。
2.1 交换律对于并集和交集运算来说，交换律成立。
也就是说，对于任意的集合A和B，有A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
2.2 结合律对于并集和交集运算来说，结合律成立。
也就是说，对于任意的集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
2.3 分配律对于并集和交集运算来说，分配律成立。
也就是说，对于任意的集合A、B和C，有A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
三、常用的集合相关公式除了集合的基本概念和运算法则外，高一数学中还有一些常用的集合相关公式，包括排列组合公式、二项式定理等。
3.1 排列公式排列是从n个不同的元素中取出m个元素按照一定的顺序排列的方法数。
集合的运算与关系
集合的运算与关系在数学中，集合是一种由元素组成的对象，它们可以通过不同的运算进行操作，并且可以建立起元素之间的关系。
本文将介绍集合的运算，包括并集、交集、补集以及集合的关系，通过清晰的排版和流畅的语句，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、并集运算并集运算是指将两个或多个集合中的所有元素合并成一个新的集合。
使用符号"∪"表示并集运算。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的并集可以表示为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
并集运算的结果包含了所有在两个集合中出现过的元素，不重复计算。
二、交集运算交集运算是指找出两个或多个集合中共同存在的元素所组成的新集合。
使用符号"∩"表示交集运算。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的交集可以表示为A∩B={3}。
交集运算的结果只包含那些在两个集合中同时出现的元素。
三、补集运算补集运算是指对于给定的一个集合，找出不属于该集合的所有元素组成的新集合。
使用符号"'"表示补集运算。
例如，对于集合A={1, 2, 3}，其补集可以表示为A'={4, 5}。
补集运算的结果包含了在全集中但不属于原始集合的元素。
四、集合的关系在集合中，可以根据元素之间的包含关系建立各种集合关系。
常见的集合关系包括相等关系、包含关系和互斥关系。
相等关系是指两个集合具有完全相同的元素。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={1, 2, 3}是相等的，可以表示为A=B。
包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素。
例如，集合A={1, 2, 3}包含集合B={1, 2}，可以表示为B⊆A。
互斥关系是指两个集合没有任何相同的元素，它们之间没有交集。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={4, 5}是互斥的，可以表示为A∩B=∅。
通过集合的关系，可以更好地理解元素的归属和集合之间的连接。
集合的知识点
集合的知识点集合是数学中一个基本的概念，在许多学科和领域中都有广泛的应用。
本文将介绍集合的定义、基本运算和常用的集合表示方法，以及集合之间的关系和重要的集合定理。
一、集合的定义集合是由元素组成的，元素之间没有顺序关系的整体。
记作A={a,b,c,...}，其中a,b,c,...为元素。
集合中的元素可以是任意对象，例如数字、字母、词语、图形等等。
二、集合的基本运算1. 并集（Union）：将两个或多个集合中的所有元素合并为一个集合。
记作A∪B。
2. 交集（Intersection）：两个或多个集合中共有的元素组成的集合。
记作A∩B。
3. 差集（Difference）：从一个集合中减去与另一个集合相同的元素后所剩下的元素组成的集合。
记作A-B。
4. 互斥集（Disjoint）：两个集合没有共同的元素，互不相交。
5. 补集（Complement）：相对于某个全集U，一个集合未包含的元素组成的集合。
记作A'或A^c。
三、集合的表示方法1. 列举法：直接列举集合中的元素。
例如A={1,2,3,4,5}。
2. 描述法：通过描述集合中元素的特点来表示集合。
例如A={x | x 是正整数，且x<5}，表示A是由小于5的正整数组成的集合。
3. 定义法：通过给出集合的定义来表示集合。
例如A是所有偶数的集合，可以表示为A={x | x是偶数}。
四、集合之间的关系1. 包含关系：若集合A中的所有元素都是集合B的元素，则称集合B包含集合A，记作A⊆B。
若A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，记作A=B。
2. 子集关系：若集合A中的所有元素都是集合B的元素，且集合B 中存在集合A中没有的元素，则称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。
3. 交集为空：若两个集合的交集为空集，则称两个集合互斥，即A∩B=∅。
4. 并集和交集的关系：对于任意两个集合A和B，有下面两个重要的集合定理：- 分配律：A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)- 结合律：A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)五、重要的集合定理1. 德摩根定律：- 对于任意两个集合A和B，有 (A∪B)' = A'∩B'- 对于任意两个集合A和B，有(A∩B)' = A'∪B'2. 两个集合互为补集：- 若A和B是某个全集U的子集，且A∪B=U，A∩B=∅，则称A和B互为补集。
高中数学集合的基本关系及运算
集合的基本关系及运算要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集.记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）．真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二、集合的运算 1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作：UU A A={x|x U x A}∈∉；即且；补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A 是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A 表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ）．4.集合基本运算的一些结论：A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，， A A B B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅， 若A ∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立 若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】类型一：集合间的关系例1. 请判断①0{0} ；②{}R R ∈；③{}∅∈∅；④∅{}∅；⑤{}0∅=；⑥{}0∈∅；⑦{}0∅∈；⑧∅{}0，正确的有哪些？【变式1】用适当的符号填空：(1) {x||x|≤1} {x|x 2≤1}； (2){y|y=2x 2} {y|y=3x 2-1}； (3){x||x|>1} {x|x>1}；(4){(x ，y)|-2≤x ≤2} {(x ，y)|-1<x ≤2}．例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.【变式1】已知{},a b A⊆{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有 个.【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M有（ ）A. 16个B. 15个C. 7个D. 6个【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a 2}，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值.例3. 设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅ 例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【变式1】设a ，b ∈R ，集合b{1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( )类型二：集合的运算例5. （1）已知集合M={y|y=x 2-4x+3，x ∈R }，N={y|y=-x 2+2x+8，x ∈R }，则M ∩N 等于( )．A. ∅B. RC. {-1，9}D. {y|-1≤y ≤9} （2）设集合M={3，a}，N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}，M ∩N={1}，则M ∪N 为( )． A. {1，2，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3} 【变式1】设A 、B 分别是一元二次方程2x 2+px+q=0与6x 2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A ∩B={21}，求A ∪B.【变式2】设集合A={2，a 2-2a ，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A ∩B={2，3}，求A ∪B.例6. 设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.类型三：集合运算综合应用例7．已知全集A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}. （1）若A ∩B ≠∅，求实数 a 的取值范围； （2）若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；（3）若A ∩B ≠∅且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（ ） A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）例8. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈. （1）若A B B =，求a 的值； （2）若A B B =，求a 的值.【变式1】已知集合{}{}222,|120A B x x ax a =-=++-=，若A B B =,求实数a 的取值范围.课后练习一、选择题1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则UA B =（ ）A ．{|01}x x ≤< B ．{|01}x x <≤ C ．{|0}x x < D ．{|1}x x >2．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）3．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0 4．已知集合,A B 满足A B A =,那么下列各式中一定成立的是（ ） A ． A B B ． B A C ． A B B = D ． A B A = 5．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．M NC ．N MD ．M N =∅二、填空题7．用适当的符号填空：（1）m {},m n ；（2）{}m {},m n ；（3）∅ {},m n . 8. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则C 的非空子集的个数为 .9．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =_____________． 10．设集合{32}A x x =-≤≤，{2121}B x k x k =-≤≤+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 .11．已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =_________. 三、解答题12．已知集合{}{}1,2,1,2,3,4,5A B ==，若A M B ⊆，请写出满足上述条件得集合M .13．已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围.14．已知集合{}{}22|20,|0A x x px B x x x q =+-==-+=，且{}2,0,1A B =-,求实数,p q 的值．15．设全集U R=，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0,N n x x n =-+=方程有实数根()U C M N 求.巩固训练一、选择题1. 设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ） A 、BA B 、AB C 、A=B D 、A ∩B=∅2. 集合M={y| y=x 2-1, x ∈R}， N={x| y=23x -}，则M ∩N 等于（ ） A 、{(-2, 1), (2, 1)} B 、{}|03x x ≤≤ C 、{}|13x x -≤≤ D 、∅3．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）4．已知集合,A B 满足A B A =,那么下列各式中一定成立的是（ ） A ． A B B ． B A C ． A B B = D ． A B A =5．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0 6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．M NC ．N MD ．M N =∅二、填空题 7．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则___________,__________==b a . 8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.9．若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = . 10．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则N C I = .11．设全集{}(,),U x y x y R =∈，集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-，那么()()U U C M C N 等于________________.12．设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12,,,k S S S ⋅⋅⋅都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i i S a b =，{},j j j S a b =（{},,1,2,3,,i j i j k ≠∈⋅⋅⋅），都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（{}min ,x y 表示两个数,x y 中的较小者）则k 的最大值是 .三、解答题13．设222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A B B =，求实数a 的取值范围.14．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若()U C A B =∅，求m 的值.15．设1234,,,a a a a N +∈，集合{}{}222212341234,,,,,,,A a a a a B a a a a ==.满足以下两个条件：（1）{}1414,,10;A B a a a a =+=（2）集合A B 中的所有元素的和为124，其中1234a a a a <<<. 求1234,,,a a a a 的值.。
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集合之间的关系与运算
一、知识回顾
1、集合间的关系：①子集：若集合A的元素都属于集合B，称A是B的子集，记为。
②若A⊂B，这个式子有两层意思，即且
③相等
2、空集：，记为
3、集合的运算：{|
A B x
=
U}，A B=
I{x| } 若U为全集，则集合A相对于U的补集，记为C U A=｛x| ｝
二、例题：
1、判断下列说法是否正确，对的打“√”错的打“×”
（1）{0}＝∅；（2）０∈∅；
（3）∅⊂{0} （4）}
,
{
}
{b
a
a∈
2、设U={|x x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则A B=
U，
A B=
I，C U A= ，()
U
A C B=
I
3、设集合A={|12}
x x
-<<，集合B={|13}
x x
<<，
则A B=
U，A B=
I，
R
C A=
4、设S={|x x是平行四边形或梯形}，A={|x x是平行四边形}，B={|x x是菱形}，
C={|x x是矩形}，则B C=
I，C S A=
5、若C=}1
2
)
,
{(=
-y
x
y
x，D=}5
4
)
,
{(=
+y
x
y
x，则C∩D=
6、若}
,
6
{
},
,
3
{N
m
m
x
x
N
N
k
k
x
x
M∈
=
=
∈
=
=,则N
M,的关系为（）
A、N
M⊆B、N
M=C、M
N⊂D、N
M⊂
7、集合{,}
a b的真子集个数为（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
8．已知全集U={2，4，1-a}，A={-1}，C U A={2，2
2+
-a
a},则实数a=
9. 已知U＝R，A＝｛x|－1≤x≤3｝，B＝｛x|x－a＞0｝．
A B
A B
(1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；
(2) 若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．
三、课后练习
1、集合{,,}a b c 的子集为
2、设A=2{|450}x x x --=，B=2{|1}x x =，则A B =U ，A B =I
3、设A={|x x 是等腰三角形}，B={|x x 是直角三角形}，
则A B =U ，A B =I
4、设A={|24}x x ≤<，B={|3782}x x x -≥-，则A B =U ，A B =I
5、已知A={1,2}，集合B 满足A B =U {1,2}，则集合B 可以为
6、若A ={|2x Z x k ∈=},B={|21x Z x k ∈=+}，则A B =U ，A B =I
7、已知}1|{2==x x A ，}1|{==ax x B 若B A ⊆，则a 的取值范围是
8、已知}73{<≤=x x A ,{}102<<=x x B ，求C R (A ∩B) C R (B A Y ) C R A ∩B
9、已知集合}0|{2=++=q px x x A ，}023|{2=+-=x x x B ，}1{,=⊆B A B A I ，求q p ,的值。