2 集合的关系与运算

第2课集合的关系与运算

徐琼玲

【教学目标】

一、知识目标

1、了解集合的含义，元素与集合的属于关系；

2、能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；

3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

4、在具体情境中，了解全集与空集的含义；

5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

7、能使用韦恩（V enn）图表达集合的关系及运算。

二、能力目标

理解集合在表述数学问题时的工具性作用，“韦恩图”在表示集合之间的关系和运算中的作用三、情感目标

集合语言在数学中的运用及集合论的了解。

【教学重点】

集合的概念表示及集合的运算

【教学难点】

注重基础知识和基本技能，要求具备数形结合的思想意识，会借助V enn图、数轴等工具解决集合运算问题，常与不等关系、不等式的解集相联系

【知识点梳理】

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合

a∈；若b不是集合A的元素，记（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A

b?

作A

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；

（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R

2．集合的包含关系：

（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B ?A ）；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A=B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ；

（2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有n

2个子集（其中n

2－1个真子集）； 3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S

C A=}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集；

（3）简单性质：1）S C (S

C A)=A ；2）

S

C S=Φ，

Φ

S C =S

4．交集与并集：

（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。交集}|{B x A x x B A ∈∈=?且

（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。}|{B x A x x B A ∈∈=?或并集

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合V enn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法 5．集合的简单性质：

（1）;,,A B B A A A A A ?=?Φ=Φ?=? （2）;,A B B A A A ?=?=Φ? （3）);()(B A B A ???

（4）B B A B A A B A B A =???=???;； （5）

S

C （A ∩B ）=（

S

C A ）∪（

S

C B ），

S

C （A ∪B ）=（

S

C A ）∩（

S

C B ）。

【典型例题】

题型一、集合的基本概念表示与性质

例1: 第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是 （ ）

A ．A ?

B B ．B ?

C C ．A ∩B=C

D ．B ∪C=A

解析：本例主要考查子集的概念及集合的运算．易知选D ．

例2: 下列集合中表示同一集合的是（ ）

A ．M = {(3，2)}，N = {(2，3)}

B ．M = {(x ，y)|x + y = 1}，N = {y|x +y = 1}

C ．M = {4，5}，N = {5，4}

D ．M = {1，2}，N = {(1，2)} 解析：由集合中元素的特征（确定性、无序性、唯一性）即得。易知选C 。

例3： 设集合{},,P x y x y xy =-+，{}2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、

Q ．

解析：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈．

（1）若0x y +=或0x y -=，则220x y -=，从而{}22,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性矛盾，∴0x y +≠且0x y -≠； （2）若0xy =，则0x =或0y =．

当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠； 当0x =时，{,,0}P y y =-，22{,,0}Q y y =-， 由P Q =得2

2

0y y y y y -=??=-?≠?? ① 或2

20

y y y y y -=-??=?≠?? ②

由①得1y =-，由②得1y =，∴{01x y ==-或{

01x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-．

变式1：设,a b R ∈，集合{1,,}{0,

,}b a b a b a

+=，求b a -的值.

分析：利用集合中元素互异性和集合相等性质，得到集合中对应元素的关系.

解：由题知，0a ≠， 0a b +=，则1b

a =-，所以 1

b

a

a b ?=???=?

，解得11a b =-??=?，所以2b a -=.

变式2：已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2

{|1}E x y x ==+，

2

{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则 （ ）

()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G =

解析：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．易知选D

点评：本题型以基础题为主，以集合中元素的性质为载体，考察学生对条件的把握分析能力，

以寻找解题的突破口. 二、集合间的基本关系和运算

例5：(1) 已知集合A={1,2,3}，B={2，m ，4}，A ∩B={2,3}，则m=

分析：考查集合的关系和运算．

集合的关系关键是研究好集合中元素的从属关系，分为二种情形：一是部分从属；二是全从属．集合的运算包括交、并和补．

解析：∵A ∩B={2,3}，∴B 中一定有元素3，则m=3.

(2) 已知{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，则 ( ) A ．{}4,6M

N =

B ．M N U =

C ．U M N C u = )(

D ．N N M C u = )(

分析：本题主要考查集合的并、交、补的运算以及集合间关系的应用． 解析：由{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，故选B ．

变式1：集合{}0,2,A a =,

{}2

1,B a

=,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为( )

A.0

B.1

C.2

D.4

解析 ∵{}0,2,A a =,{}2

1,B a =,{}0,1,2,4,16A B = ∴216

4

a a ?=?=?∴4a =,故选D.

变式2：设集合{}1,2,3,4U =,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U

=?e（M N ） （A ）{}12，

（B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 分析：解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法 解析： {2,3},(){1,4}U M N M N =∴= e.选D.

例6：已知集合

{}

3

0,31x M

x

N x

x x ?

+?

=<=

-??-?

?

…

，则集合

{}

1x x …为 ( )

A ．M N

B ．M N

C ．()R M N e

D ．()

R M N e

分析：本题主要考查集合的运算，同时考查解不等式的知识内容．可先对题目中所给的集合化简，即先解集合所对应的不等式，然后再考虑集合的运算． 解析：依题意：{}{}

31,3M x x N x x =-<<=-…，∴{|1}M N x x ?=<，

∴

()R M N =

e{}1.

x x …故选C ．

例7：已知集合{026}A x ax =<+≤，{124}B x x =-<≤.

（1） 若A B A ?=，求实数a 的取值范围；

（2） 集合A ，B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由. 分析：（1）对a 进行分类讨论，利用数轴求a 的取值范围. 解： {124}B x x =-<≤1{2}2

x x =-

<≤，{026}A x ax =<+≤{24}x ax =-<≤.

①当0a =时，A R =，所以A B ?不可能；

②当0a >时，24{}A x x a a =-<≤，若A B ?，则2

1,2

4 2.

a a ?-≥-????≤??解得4a ≥.

③当0a <时，42{}A x x a a =≤<-，若A B ?，则4

1,2

2 2.

a a

?>-????-≤??解得8a <-.

综上所得，a 的取值范围为(,8)[4,)-∞-?+∞.

(2)分析一：求出满足B A ?时a 的取值范围，再与（1）取交集.

解法一：①当0a =时，A R =，所以B A ?成立；

②当0a >时，24{}A x x a a =-<≤，若B A ?，则2

1,2

4 2.a a ?-≤-????≥??解得02a <≤.

③当0a <时，42{}A x x a a =≤<-，若B A ?，则4

1,2

2 2.

a a

?≤-????->??解得10a -<<.

综上，B A ?时，12a -<≤.

A B A B =?? 且B A ?，∴若A B =，则(1,2]a ∈-且(,8)[4,)a ∈-∞-?+∞，矛盾.

所以，集合A 与B 不可能相等.

分析二：利用两个相等集合中元素的对应关系，建立等量关系.

解法二：①当0a =时，A R =，所以B A ≠；

②当0a >时，24{}A x x a a =-<≤，若B A =，则2

1,2

4 2.a a

?-=-????=??无解.

③当0a <时，42{}A x

x a

a

=≤<-

，若B A =，显然不成立.

综上，集合A 与B 不可能相等.

变式1：已知集合{,0}M a =，2{30,}N x x x x Z =-<∈，且{1}M N ?=，

记P M N =?，

写出集合P 的所有子集.

分析：求出N ，由{1}M N ?=，可知1M ∈，解得a ，进而求出P . 解：由230x x -<，得03x <<；又x Z ∈，故{1,2}N =. 由{,0}M a =且{1}M N ?=，可得1a =.{1,0}M ∴=，

故P 的子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}.

点评：同不等式有关的集合问题是高考命题的热点之一，也是高考常见的命题形式，且多为含参数的不等式问题，需讨论参数的取值范围，主要考查分类讨论的思想，此外，解决集合运算问题还要注意数形结合思想的应用．

题型三、图解法解集合问题

例8： 已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},u eB ∩A={9},则A=（ ） A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9}

解析：本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学

们借助于V enn 图解决集合问题的能力。 因为A ∩B={3}，所以3∈A ，又因为u eB ∩A={9}，所以9∈A ，

所以选D 。

例9：某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．

解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为

15-3=12(人)．答案：12

例10：已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=，

{01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B 。

分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.

解： {12}A x x =≤≤ ，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=，R A C A R ?=，可得A B ?.

而{01R B C A x x ?=<<或23}x <<，∴{01x x <<或23}x <<.B ? 借助数轴可得B A =?{01x x <<或23}x <<{03}x x =<<.

变式1：设全集U 是实数集R ，}034|{},22|{2<+-=>-<=x x x N x x x M 或，则图中

阴影部分所表示的集合是 A ．}12|{<≤-x x B ．}22|{≤≤-x x

C ．}21|{≤

D ．}2|{

答案：C

变式2：已知集合

{}2

12

A x x x =-

-<，集合

{}0

822

>-+=x x x B ，集合

{}2

2

430,0C x

x ax a a =-+<≠，

（Ⅰ）求

()

R A C B ； （Ⅱ）若)(B A C ?，试确定实数a 的取值范围.

解答：（Ⅰ）依题意得：{}{34,4

A x x

B x x =-<<=<-或

}

2x >，

()(3,2]

R A C B =-

（Ⅱ）∴

{}

24A B x x =<< ①若0a =，则

{}2

0C x x =<=?

不满足()

C

A B ? ∴0a ≠

②若0a >，则

{}

3C x a x a =<<，由()

C

A B ? 得

24

234

3a a a ≤??≤≤?

≥?

③若0a <，则{}3C x a x a =<<，由()

C A B ? 得32

4a a a ≤??∈??

≥?

综上，实数a 的取值范围为

42

3

a ≤≤

点评：对集合的子、交、并、补等运算，常借助于文氏图来分析、理解．高中数学中一般考查数集和点集这两类集合，有限数集多用文氏图，无限数集应多结合对应的数轴来理解，点集则多结合对应的几何图形或平面直角坐标系来理解．

题型四、对新定义问题的考查 例11：（2008江西）定义集合运算：

{},,.

A B z z xy x A y B *=

=∈∈设

{}

1,2A =,

{}

0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为 （ ）

A ．0

B ．2

C ．3

D ．6

分析：本题为新定义问题，可根据题中所定义的*A B 的定义，求出集合*A B ，而后再进一步求解．

解析：由*A B 的定义可得：*{0,2,4}A B =，故选D ．

变式1：（2010四川）设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x ,y S ∈，都有x y ,x y ,xy S +-∈，则称S 为封闭集。下列命题：

①集合S ＝{a ＋bi|（a ,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；

④若S 为封闭集，则满足S T C ??的任意集合T 也是封闭集。 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

解析：直接验证可知①正确. 当S 为封闭集时，因为x －y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，②正确 对于集合S ＝{0}，显然满足素有条件，但S 是有限集,③错误

取S ＝{0}，T ＝{0,1}，满足S T C ??,但由于0－1＝－1?T ，故T 不是封闭集，④错误 答案：①②

点评：近年来，新定义问题也是高考命题的一大亮点，此类问题一般难度不大，需严格根据

题中的新定义求解即可，切忌同脑海中已有的概念或定义相混淆．

【方法与技巧总结】

集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号.

2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用V enn 图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“V enn 图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；

3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

【巩固练习】

1.（2011福建卷文科）若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M∩N 等于( ) (A).｛0，1｝ (B).｛-1，0，1｝ (C).｛0，1，2｝ (D).｛-1，0，1，2｝

2.（2011新课标全国文科）已知集合

{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,

M N P M N === 则P 的子集

共有( ) （A ）．2个 （B ）.4个 （C ）.6个 （D ）.8个 3.（2011辽宁高考文科）已知集合A={x 1

x ＞}，B={x

2

x 1-＜＜}，则A B=

（A ） {x

2

x 1-＜＜} （B ）{x

1

-x ＞} （C ）{x

1

x 1-＜＜} （D ）{x 2

x 1＜＜}

4．（2010江苏卷）1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A ∩B={3}，则实数a=___________.

5. (2011汕头华侨中学高三摸底)设集合

37

22A {x ||x |}

=-

≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若B A ?，则实数m 的取值范围为

6. 设全集},1|{},0)3(|{,-<=<+==x x B x x x A R U 则右图中阴影部分表示的集合为___ ．

7. 设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A ∩B={3}，则实数a 的值为_____.

8. 50名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人，问这种测验都优秀的有 人。

【课后作业】

一、选择题

1.( 2011西城区一模)已知集合

{5}

A x x =∈

{20}

B x x =-≥，则A B 等于

（A ）(2,5) （B ）[2,5) （C ）{2,3,4} （D ）{3,4,5}

2. (2011西城区一模)已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{2,5}A =，{4,5}B =，则()

U A B e等

于

（A ）{1,2,3,4} （B ）{1,3} （C ）{2,4,5} （D ）{5} 3. (（2011北京昌平二中3月考）已知集合{}

2

1M x x =∈≤Z ，

{}

12N x x =∈-<

则M N = （ ） A ．

{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,0- D ．{}1

4.设全集为R ，集合

2{|

1}

1

A x x =≥-，2

{|4}B x x =>则()R C B A = （ ）

A.{|21}x x -≤<

B.{|22}x x -≤≤

C.{|12}x x <≤

D.{|2}x x < 5.设集合{}

1,2,3,4U =,

{}

2,3A =,

{}

1B =, 则

)

(B C A U 等（ ）

A.

{}2

B.

{}3

C.φ

D.

{}2,3

6. （2011长沙市一中高三月考） 已知全集{1,2,3,4,5},{1,2,3},{3,4},()U U A B C A B ===?=

则 （ ）

A ．{3}

B ．{5}

C ．{1，2，4，5}

D ．{1，2，3，4}

7、已知集合},2||0|{},1,lg |{Z x x x B x x y y A ∈≤<=>==则下列结论正确的是（ ） A ．}1,2{--=B A B }0|{<=x x B A C ．}0|{≥=x x B A D ．}2,1{=B A

8、（2011江西吉安一中高三开学模拟）{

5

42

+-==x x y y M }+∈N x {

1

2

+==x y y B

}+∈N x ，则

A ．

M N

ü B ．

N M

ü C ．M=N D ．以上都错

9、已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }，N ={ x| x + 1 < 0 }，则M ∩N =（ ）

A. (－1，1)

B. (－2，1)

C. (－2，－1)

D. (1，2) 10、若非空集合

{}{}

|2135,|322A x a x a B x x =+≤≤-=≤≤，则使?A (A ∩B)成立的所有

a 的值的集合是（ ） A ．

{}/19a a ≤≤

B.{/69}a a ≤≤

C ．

{}/9a a ≤

D ．φ

二、解答题 1、（2011长沙市一中高三月考（文））（本小题满分12分）

已知集合

2

{|680},{|()(3)0}.

A x x x

B x x a x a =-+<=--<

（1）若,A B a ?求的取值范围； （2）若{|34},A B x x a

?=<<求的值。

2、已知集合{}{}

R

m m x x C x x x B x x x A ∈<-=≥-+=??????<-+=,2,054,12222

（1）求B A ；（2）若

()C B A ? ，求实数m 的取值范围。

【拓展训练】

1．（2010重庆）设U=

{}0,1,2,3，A=

{}2

x U

x mx ∈+=，若{}

1,2U

A =

，则实数

m=_________.

2. 已知集合{}2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤， 若A B φ≠ ，求实数m 的取值范围．

3. （2011·福建）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k 丨n ∈Z}，k=0,1,2,3,

4.给出如下四个结论： ①2 011∈[1] ②-3∈[3]；

③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];

④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”.

其中，正确结论的个数是（ ）

（A ）.1 （B ）.2 （C ）.3 （D ）.4

【参考答案】

1. 巩固练习答案

1.选A

2.选B

3. A B=

{}21<

5. 5m ≤

6. }13|{-<<-x x

7. 1

8. 25

2. 课后作业答案

一．1.C 2. B 3. B 4. C 5. D 6. B 7．D 8．B 9．C 10．B 二、解答题 1、解析：（1）2

{|680},{|24}

A x x x A x x =-+<∴=<<

当0a =时，B 为空集，不合题意

当0a >时，{|3}

B x a x a =<<，应满足24

2.343a a a ≤??≤≤?

≥? 当0a <时，{|3}B x a x a =<<，应满足32

4

a a a φ≤??∈?

≥?

A B ∴?时，4

2.

3

a ≤≤

（2）要满足{|3,4}A B x x ?=<，显然0a >且3a =时成立， 此时{|39}B x x =<<

而{|34}A B x x ?=<<，故所求a 的值为3。

2、解析：由{}

2402

412

2

2<<-=?<-+?

<-+x x A x x x x

由

{}

150)1)(5(0542

≥-≤=?≥-+?≥-+x x x B x x x x 或

（1）{}{}{}451524->-≤=≥-≤<<-=x x x x x x x x B A 或或

（2）

{}

21<≤=x x B A ，而由

{}

222+<<-=?<-m x m x C m x

由()3

0221

2<≤????≥+<-??m m m C B A

3. 拓展训练答案 1．解析：

{}

1,2U A = ，∴A={0,3},故m= -3

2. 分析：本题的几何背景是：抛物线22y x m x =++与线段1(02)y x x =+≤≤有公共点，求实数m 的取值范围．

解法一：由{

2

20

10

x mx y x y +-+=-+=得2(1)10x m x +-+= ①

∵A B φ≠ ，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，

首先，由2

(1)40m ?=--≥，解得：3m ≥或1m ≤-．

设方程①的两个根为1x 、2x ，

（1）当3m ≥时，由12(1)0x x m +=--<及121x x ?=知1x 、2x 都是负数，不合题意； （2）当1m ≤-时，由12(1)0x x m +=-->及1210x x ?=>知1x 、2x 是互为倒数的两个正数，故1x 、2x 必有一个在区间[0,1]内，从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解， 综上所述，实数m 的取值范围为(,1]-∞-．

解法二：问题等价于方程组{

2

2

1

y x m x y x =++=+在[0,2]上有解，

即2(1)10x m x +-+=在[0,2]上有解，

令2()(1)1f x x m x =+-+，则由(0)1f =知抛物线()y f x =过点(0,1)， ∴抛物线()y f x =在[0,2]上与x 轴有交点等价于2(2)22(1)10f m =+-+≤ ① 或2

2

(1)40

1022(2)22(1)10

m m f m ?=--≥?-?

<? ② 由①得32

m ≤-

，由②得312

m -

<≤，

∴实数m 的取值范围为(,1]-∞-．

3. 思路点拨：根据题目中所给的“类”的概念，对逐个选项进行判断，从中找出正确的. 精讲精析：选C. 对于①：201154021=?+，2011[1],∴∈故①正确；

对于②：-35-1+2?

＝（），-3[2]∴∈，故②不正确； 对于③: 整数集Z []50Z ∴=被除，所得余数共分为五类.[][][][]1234

,故③正确；对于④：若整数,a b 属于同一类，则

1212125,5,5(5)5()5a n k b n k a b n k n k n n n

=+=+∴-=+-+=-=，

[]

0a b ∴-∈，若[0],-55,5a b a b n a b n a b -===+则，即故与被除的余数为同一个数

a b ∴与属于同一类，,a b 所以"整数属于同一类"的充要条件是“[]0"a b -∈，故④正确，∴正

确结论的个数是3.