第二课时函数的最大值

第二课时函数的最大值
课标要求:1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.2.会求一些简单函数 的最大值或最小值.3.体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值问题 中的应用.
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】
导入 如图所示是某市房管局公布的2013年10月～2014年9月该市房价 走势图:
想一想 1:从导入图中能否得出2013年10月～2014年9月房价的最大值? (在2014年5月,房价达到最大值,约为27 000元) 想一想 2:从导入图中能否得出2013年10月～2014年9月房价的最小值? (在2013年12月,房价达到最小值,约为25 400元)
(1)判断f(x)在[3,5]上的单调性,并证明;
(2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值.
【备用例2】 已知函数f(x)=1-
.
(1)证明:函数f(x)在定义域上是增函数;
(2)求函数f(x)在[-3,0]上的最大值与最小值; (3)求函数的值域.
题型三 二次函数的最值 【例3】 已知函数f(x)=3x2-12x+5,当自变量x在下列范围内取值时,求函数 的最大值和最小值. (1)x∈R;
方法技巧 利用图象求函数最值的方法:①画出函数y=f(x)的图象; ②观察图象,找出图象的最高点和最低点; ③写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最 小值.
即时训练1-1:作出函数y=|x-2|(x+1)的图象,说明函数的单调性,并判断是否存在 最大值和最小值.
题型二 单调性法求最值
自我测
1.(最小值)函数y=-x2+2x-1在[0,3]上的最小值为( B )
(A)0
(B)-4
(C)-1 (D)以上都不对
2.(最大值)函数f(x)=3-x2的最大值为( A ) (A)3 (B)2
(C)0 (D)4
B
4.(最值的应用)若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则
实数a的值是
.
答案:±2
5.(最值)函数f(x)在[-2,+∞)上的图象如图所示,则函数的最小值为
;
最大值为
.
答案:不存在 3
课堂探究——典例剖析·举一反三
题型一 图象法求最值
(1)画出函数的图象并写出函数的单调区间; (2)根据函数的图象求出函数的最小值. 解:(1)函数的图象如图所示. 由图象可知f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和[0,+∞),无递减区间. (2)由函数图象可知, 函数的最小值为f(0)=-1.
变式探究:(1)若本例函数解析式不变,求此函数在[0,a]上的最大值和最
小值;
解:(1)由题意知a>0,f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7, 故此函数的对称轴为x=2, 当0<a<2时,f(x)min=f(a)=3a2-12a+5, f(x)max=f(0)=5, 当2≤a<4时,f(x)min=f(2)=-7, f(x)max=f(0)=5, 当a≥4时,f(x)min=f(2)=-7, f(x)max=f(a)=3a2-12a+5.
解:f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7. (1)当x∈R时,f(x)=3(x-2)2-7≥-7, 当x=2时,等号成立. 即函数f(x)的最小值为-7,无最大值.
(2)[0,3]; (3)[-1,1].
解:(2)函数f(x)=3(x-2)2-7的图象如图所示, 由图可知,函数f(x)在[0,2)上递减, 在[2,3]上递增,并且f(0)=5, f(2)=-7,f(3)=-4, 所以在[0,3]上,f(x)max=f(0)=5, f(x)min=f(2)=-7. (3)由图象可知,f(x)在[-1,1]上单调递减, f(x)max=f(-1)=20, f(x)min=f(1)=-4.
【例2】 已知函数f(x)=
.
(1)判断函数在区间(-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.
方法技巧 (1)由函数单调性结合函数图象找出最高(低)点的纵坐标即为函 数的最大(小)值. (2)分段函数的最大(小)值是函数整体上的最大(小)值.
知识探究
1.最大值
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的x∈I,都有f(x) ≤ M;
②存在x0∈I,使得 f(x0)=M
.
那么,称M是函数y=f(x)的最大值.
(2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最 高 点的 纵 坐标.
探究:若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?
答案:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值 ,否则不是.
2.最小值
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x) ≥ M;
②存在x0∈I,使得 f(x0)=M
.
那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
(2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最 低 点的 纵 坐标.
方法技巧 二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m,n]上的最值情况如下:
【备用例3】 设f(x)=x2-4tx+5t2在区间[t-1,t+1]上的最大值是M(t),最 小值是m(t),试求M(t)与m(t)的解析式.
解:因为f(x)=x2-4tx+5t2=(x-2t)2+t2. 所以函数f(x)的对称轴方程是x=2t. ①当2t≤t-1,即t≤-1时,函数f(x)在[t-1,t+1]上单调递增, 所以M(t)=f(t+1)=2t2-2t+1, m(t)=f(t-1)=2t2+2t+1. ②当t-1<2t<t+1,且f(t-1)<f(t+1), 即-1<t<0时, f(x)在x=2t处取最小值,即m(t)=t2, 此时函数的最大值为M(t)=f(t+1)=2t2-2t+1.
(2)若将函数“f(x)=3x2-12x+5”变为“f(x)=x2-2ax+2”,则函数在[-1,1]上 的最小值如何?
解:(2)f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,其图象开口向上, 对称轴为x=a, ①a<-1时,f(x)在[-1,1]上单调递增, f(x)min=f(-1)=3+2a; ②-1≤a≤1时,f(x)min=f(a)=2-a2,
③当t-1<2t<t+1,且f(t-1)≥f(t+1), 即0≤t<1时,f(x)在x=2t处取最小值,即m(t)=t2, 此时函数的最大值为M(t)=f(t-1)=2t2+2t+1.