二元运算基本概念和性质(离散数学)
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《离散数学》代数系统的一般性质-1
定义 设 S 为集合,函数 f：S×S→S 称为 S 上的 二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 特点： - 变量和函数值的取值限定在同一个集合上。 例1 - (1) N 上的二元运算：加法、乘法. - (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. - (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除 法. - (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai ∘aj = ai ， ∘ 为 S 上二元运算.
二元运算的特异元素 5.1 二 元 运 算 及 其 性 质 单位元
定义 设∘为S上的二元运算,如果存在el（或er）S，使得 对任意x∈S 都有 el ∘x =x (或x∘er =x)， 则称el(或er )是S中关于∘运算的左(或右)幺元（单位元）. 若e∈S关于∘运算既是左单位元又是右单位元，则称 e 为S上关于∘运算的幺元. 例：N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1 Mn(R)上加法的么元是0矩阵，乘法的幺元是单位阵
第5章 代数系统的一般 性质
代数结构
【引例】 （1）在Z集合上，x∈Z,
5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
则f(x)=-x是将x映为它的相反 数。-x是由x唯一确定的，它是对一个数施行求相反数运 算的结果。这个运算可表示为函数： f ：Z→Z
（2）在R+ 集合上，x∈R+,则f(x)= 1/x是将x映为它的倒 数。1/x是由x唯一确定的，它是对R+中的一个数施行倒数 运算的结果。这个元算可以表示为函数 f : R+ → R+。 （3）设a,b∈R,则f(a,b)=a+b(a-b，a×b)是将两个数a， b映为R中的唯一的一个数，它是对R中的两个数施行加 （减，乘）法运算的结果。这个运算可以表示为函数f : R2 → R。
4-6 二元关系与函数 离散数学 教学课件
问如何安排任务的加工次序，使截止时间D最 小？——最优调度问题
单机调度----拓扑排序
拓扑排序
构造一个包含某个给定部分序的全序的过程 。
拓扑排序算法----
1
对有限集T上给定的部分序R，产生一个全序S
Step1: (初始化)
2
3
令 k=1， T‘=T
Step2: (取下一个元素)
While T’ ≠
机器j的停止时间 Dj=max {sj(tk) | tk ∈Tj} + L(tk)
所有任务的截止时间
D=max{ Dj | j=1,2,…,m}
R={<ti,tj>|t1, tj∈T,i=j 或ti完成后tj才可开始加工} 一个可行调度是T的划分{T1,T2,…Tm},
Ti≠,由安排在机器cj上加工的所有任务组成，
多机调度
对任务集Tj,j=1,2,…,m,存在调度函数 sj: TjN，且满足下 述条件 (1)i, 0≤i<D, |{tk |tk∈T, sj(tk) ≤ i < sj(tk)+L(tk)}| ≤ 1 j=1,2,…,m 表示D之前的每个时刻 i，每台机器cj上至多只有一个任 务正在加工 (2) tk∈Ti, tj∈Tj, <tj, tj>∈R si(tk)+L(tk)≤sj(tL) i, j=1,2,…,m, i ≠ j 表示若任务tk与tj有偏序约束，则tk完成后tj才能开始加工
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
集合论在计算机科学中的应用
单机调度----拓扑排序
拓扑排序
构造一个包含某个给定部分序的全序的过程 。
拓扑排序算法----
1
对有限集T上给定的部分序R，产生一个全序S
Step1: (初始化)
2
3
令 k=1， T‘=T
Step2: (取下一个元素)
While T’ ≠
机器j的停止时间 Dj=max {sj(tk) | tk ∈Tj} + L(tk)
所有任务的截止时间
D=max{ Dj | j=1,2,…,m}
R={<ti,tj>|t1, tj∈T,i=j 或ti完成后tj才可开始加工} 一个可行调度是T的划分{T1,T2,…Tm},
Ti≠,由安排在机器cj上加工的所有任务组成，
多机调度
对任务集Tj,j=1,2,…,m,存在调度函数 sj: TjN，且满足下 述条件 (1)i, 0≤i<D, |{tk |tk∈T, sj(tk) ≤ i < sj(tk)+L(tk)}| ≤ 1 j=1,2,…,m 表示D之前的每个时刻 i，每台机器cj上至多只有一个任 务正在加工 (2) tk∈Ti, tj∈Tj, <tj, tj>∈R si(tk)+L(tk)≤sj(tL) i, j=1,2,…,m, i ≠ j 表示若任务tk与tj有偏序约束，则tk完成后tj才能开始加工
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
集合论在计算机科学中的应用
离散数学第五章
作业：P178 (2)；P185 (1), (2)
5.3 半群和独异点
一、半群
1、定义
①具有运算封闭性的代数系统A=〈s，*〉 称为 广群，满足运算封闭、结合律的代数 系统 A=＜s，*＞，称为半群，这里*是二 元运算。 ②存在么元的半群称为独异点，也称含么 半群， 单位半群，单元半群。
5.3 半群和独异点
二、么元（单位元）和零元
例：代数A=〈{a，b，c}， ○ 〉用下表定义： ○ a b c 特殊元: b是左么元，无右么元; a是右零元，b是右零元， 无左零元; 运算:既不满足结合律，也不满足交换律。 a a a a b b b b c b c a
二、么元（单位元）和零元
例: a）〈I，x〉， I为整数集
5.2 运算及其性质
5.吸收律：设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: x*(x △z)=x 称运算*满足吸收律; x △(x * y) =x； 运算 △满足吸收律
例:N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y},
x△y=min{x，y}
试证：*，△满足吸收律 证明：x，y∈N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x ∴*满足吸收律 x x≥y x<y x≥y =x =x
则么元为1，零元为0
b）〈（s）,∪,∩〉 对运算∪，是么元， s是零元，
对运算∩，s是么元 ，是零元。 c）〈N，+〉 有么元0，无零元。
二、么元（单位元）和零元
2、性质
性质1: 设*是s上的二元运算，满足结合律，具 有左么元el，右么元er，则el=er=e 证明： er = el* er = e
闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解：2r，2s∈A， 2r x 2s=2r+s∈A （r+s∈Ｎ）
离散数学关系的运算
4
二、关系基本运算的性质
定理1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF 定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)1= G1, T均为A上二元关系， 那么
1 rij 0
当且仅当aiRbj 当且仅当 ai Rb j
10
某关系R的关系图为：
1 2 3 5 4 6 a b c d
则R的关系矩阵为：
0 1 0 MR 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
注意： 对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 = R20 = IA 对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R
7
例：
X {a, b, c} R { a, b , b, c , c, a }
R { a, c , b, a , c, b }
2
R R R { a, a , b, b , c, c } Ix
R0, R1, R2, R3,…的关系图如下图所示
14
幂的求法（续）
对于集合表示的关系R，计算 Rn 就是n个R右复合 . 矩阵表示就是n个矩阵相乘, 其中相加采用逻辑加. 例3 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为
3
3、限制与像
定义 F 在A上的限制 F↾A = {<x,y> | xFy xA} A 在F下的像 F[A] = ran(F↾A)
二、关系基本运算的性质
定理1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF 定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)1= G1, T均为A上二元关系， 那么
1 rij 0
当且仅当aiRbj 当且仅当 ai Rb j
10
某关系R的关系图为：
1 2 3 5 4 6 a b c d
则R的关系矩阵为：
0 1 0 MR 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
注意： 对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 = R20 = IA 对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R
7
例：
X {a, b, c} R { a, b , b, c , c, a }
R { a, c , b, a , c, b }
2
R R R { a, a , b, b , c, c } Ix
R0, R1, R2, R3,…的关系图如下图所示
14
幂的求法（续）
对于集合表示的关系R，计算 Rn 就是n个R右复合 . 矩阵表示就是n个矩阵相乘, 其中相加采用逻辑加. 例3 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为
3
3、限制与像
定义 F 在A上的限制 F↾A = {<x,y> | xFy xA} A 在F下的像 F[A] = ran(F↾A)
离散数学 第五章：二元运算及其性质1
SS
是S上的所有函数的集合,则合成运算
是
S
S
上的二元运算.
注
通常用
、 、 等符号表示二元运算 ,称为算符.
例如: 设
f : S S S 是S上的二元运算,对 x, y S , 若 x 与 y 的运算结果是 z , 即
f x, y z
可利用算符
简记为
5.3代数系统的同态和同构
5.1 二元运算及其性质
一、 运算
1.二元运算
定义1: 设S为集合,函数
f : S S S 称为S上的
一个二元运算,简称为二元运算. 例如: (1) f1 : N N
N,
f1 ( x, y ) x y f 2 ( x, y ) x y
a a b max a,min a, b a a a b min a,max a, b a
是互为吸收的.
证明： 因为
故,
和
三、集合中与二元运算相关的一些特殊的元素
１.幺元
定义5-8 设
el (或 er ) S ,
则称
为S上的二元运算， 若存在一元素
是集合A上的二元运算， l 和 r 分别是 零 元，则 ，且 是 的唯一 l r
r
证明 1) 因为 l 和
因此， l
分别是
的左、右零元，
l r r ， 为零元 令 ，则 是 的零元。 l r
因此 是 2)设 也是
例5: 设Q是有理数集合，是Q上的二元运算，对任意的 a, b Q
a b a b a b,
问是否可交换. 解：因为
离散数学第七章二元关系
19
证明
(2) 任取<x,y>, <x,y>∈(FG)1 <y,x>∈FG t (<y,t>∈F∧<t,x>∈G) t (<x,t>∈G1∧<t,y>∈F1) <x,y>∈G1 F1 所以 (F G)1 = G1 F1
20
关系运算的性质
定理7.3 设R为A上的关系, 则 RIA= IAR=R <x,y> <x,y>∈RIA t (<x,t>∈R∧<t,y>∈IA) t (<x,t>∈R∧t=y∧y∈A) <x,y>∈R
例如 A = P(B) = {,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是 R = {<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 类似的还可以定义： 大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等.
注意： 关系矩阵适合表示从A到B的关系或A上的关系（A,B为有 穷集） 关系图适合表示有穷集A上的关系
11
实例
例4 A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 1 0 0 0 0 1 1 MR 0 0 0 0 0 1 0 0
10
关系的表示
离散数学笔记总结
离散数学笔记总结一、命题逻辑。
1. 基本概念。
- 命题：能够判断真假的陈述句。
例如“2 + 3 = 5”是真命题，“1 > 2”是假命题。
- 命题变元：用字母表示命题，如p,q,r等。
2. 逻辑联结词。
- 否定¬：¬ p表示对命题p的否定，若p为真，则¬ p为假，反之亦然。
- 合取wedge：pwedge q表示p并且q，只有当p和q都为真时，pwedge q才为真。
- 析取vee：pvee q表示p或者q，当p和q至少有一个为真时，pvee q为真。
- 蕴含to：pto q表示若p则q，只有当p为真且q为假时，pto q为假。
- 等价↔：p↔ q表示p当且仅当q，当p和q同真同假时，p↔ q为真。
3. 命题公式。
- 定义：由命题变元、逻辑联结词和括号按照一定规则组成的符号串。
- 赋值：给命题变元赋予真假值，从而确定命题公式的真值。
- 分类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式。
4. 逻辑等价与范式。
- 逻辑等价：若A↔ B是重言式，则称A与B逻辑等价，记作A≡ B。
例如¬(pwedge q)≡¬ pvee¬ q（德摩根律）。
- 范式：- 析取范式：由有限个简单合取式的析取组成的命题公式。
- 合取范式：由有限个简单析取式的合取组成的命题公式。
- 主析取范式：每个简单合取式都是极小项（包含所有命题变元的合取式，每个变元只出现一次）的析取范式。
- 主合取范式：每个简单析取式都是极大项（包含所有命题变元的析取式，每个变元只出现一次）的合取范式。
二、谓词逻辑。
1. 基本概念。
- 个体：可以独立存在的事物，如人、数等。
- 谓词：用来刻画个体性质或个体之间关系的词。
例如P(x)表示x具有性质P，R(x,y)表示x和y具有关系R。
- 量词：- 全称量词∀：∀ xP(x)表示对于所有的x，P(x)成立。
- 存在量词∃：∃ xP(x)表示存在某个x，使得P(x)成立。
1二元运算基本概念和性质(离散数学)
有
有
无
有
有
无
有
有
无
无
有
无
有
有
有
有Hale Waihona Puke 有有无无
无
有
有
无
无
有
无
17
二元运算的性质（续）
定义 设 ∘ 和 ∗ 为 S 上两个不同的二元运算, (1) 如果 x, y, z∈S 有 (x ∗ y) ∘ z = (x ∘ z) ∗ (y ∘ z) z ∘(x ∗ y) = (z ∘ x) ∗ (z ∘ y) 则称 ∘ 运算对 ∗ 运算满足分配律. (2) 如果∘ 和 ∗ 都可交换, 并且 x, y∈S 有 x ∘ (x ∗ y) = x x ∗ (x ∘ y) = x 则称 ∘ 和 ∗ 运算满足吸收律.
X ∼X {a,b} {a} {a} {b} {b} {a,b}
14
运算表的实例（续）
例5 Z5 = { 0, 1, 2, 3, 4 }, , 分别为模 5 加法 与乘法
的运算表
的运算表
01234
0 01234 1 12340 2 23401 3 34012 4 40123
24
消去律
定义 设∘为V上二元运算，如果 x, y, zV， 若 x ∘ y = x ∘ z，且 x不是零元，则 y = z 若 y ∘ x = z ∘ x, 且 x 不是零元，则 y = z
那么称 ∘ 运算满足 消去律.
实例: Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律. Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵 乘法不满足消去律.
18
二元运算的特异元素
单位元
定义 设∘为S上的二元运算, 如果存在el（或er）
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a2 a2∘a1 a2∘a2 … a2∘an
.
...
.
...
.
...
an an∘a1 an∘a2 … an∘an
∘ai
a1 ∘a1 a2 ∘a2 .. .. .. an ∘an
13
运算表的实例
例4 A = P({a, b}), , ∼分别为对称差和绝对补运算
（{a,b}为全集）
的运算表
∼ 的运算表
证
el = el ∘ er = el ∘ er = er
所以 el = er , 将这个单位元记作 e. 假设 e’ 也是 S
中的单位元，则有
e’ = e ∘ e’ = e.
惟一性得证.
类似地可以证明关于零元的惟一性定理.
注意：当 |S| 2，单位元与零元是不同的；
当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元也是零元. 23
因此当
x+y+2xy = 0 x 1/2时，
y
y
x
1
x 2x
是
x
(x = 1/2) 的逆元.
1 2x
27
例题分析（续）
例7 (1) 说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的. (2) 求出运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元.
abc
a cab b abc c bca
∘ abc
a aaa b bbb c ccc
25
例题分析
例6 设 ∘ 运算为 Q 上的二元运算， x, yQ, x∘y = x+y+2xy,
(1) ∘运算是否满足交换和结合律? 说明理由. (2) 求 ∘ 运算的单位元、零元和所有可逆元.
解 (1) ∘ 运算可交换，可结合. 任取x, yQ, x ∘ y = x+y+2xy = y+x+2yx = y ∘ x,
令 yl = yr = y, 则 y 是 x 的逆元. 假若 y’∈S 也是 x 的逆元, 则
y'= y’ ∘ e = y’ ∘(x ∘ y) = (y’ ∘ x) ∘ y = e ∘ y = y
所以 y 是 x 惟一的逆元. 说明：对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有 惟一的逆元，记作 x1.
(7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算∘.
9
一元运算的定义与实例（补）
定义 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一 元运算，简称为一元运算. 例2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算: 求相反数
(2) 非零有理数集 Q*，非零实数集 R*上的一元 运算: 求倒数
(3) 复数集合 C 上的一元运算: 求共轭复数 (4) 幂集 P(S) 上, 全集为 S: 求绝对补运算~ (5) A 为 S 上所有双射函数的集合，ASS: 求反
11
二元与一元运算的表示（续）
公式表示 例3 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运 算 ∗：
x, y∈R, x ∗ y = x. 那么 3 ∗ 4 = 3
0.5 ∗ (-3) = 0.5 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）
12
运算表的形式
∘
a1
a2 …
an
a1 a1∘a1 a1∘a2 … a1∘an
单位元也叫做 幺元. 19
二元运算的特异元素（续）
零元
设 ∘ 为 S 上的二元运算, 如果存在θl（或θr）
∈S，使得对任意 x∈S 都有
θl ∘ x =θl ( 或 x ∘θr =θr )， 则称θl ( 或θr )是 S 中关于 ∘ 运算的 左 ( 或右)
零元.
若θ∈S关于∘运算既是左零元又是右零元，则 称θ为 S 上关于运算 ∘ 的 零元.
24
消去律
定义 设∘为V上二元运算，如果 x, y, zV， 若 x ∘ y = x ∘ z，且 x不是零元，则 y = z 若 y ∘ x = z ∘ x, 且 x 不是零元，则 y = z
那么称 ∘ 运算满足 消去律.
实例: Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律. Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵 乘法不满足消去律.
16
实例分析
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA 为 A上A，|A|2.
集合 Z, Q, R Mn(R)
P(B)
AA
运算 普通加法+ 普通乘法 矩阵加法+ 矩阵乘法
并 交 相对补 对称差 函数符合
交换律 结合律 幂等律
有
有
无
有
有
无
20
二元运算的特异元素（续）
可逆元素及其逆元
令 e 为 S 中关于运算∘的单位元. 对于 x∈S，如
果存在yl（或 yr）∈S 使得
yl ∘ x = e（或 x ∘ yr = e），
则称 yl ( 或 yr )是 x 的 左逆元 ( 或右逆元 ).
关于 ∘运算，若 y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的
(2) 设∘运算的单位元和零元分别为 e 和 ，则对于 任意 x 有 x∘e = x 成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于 ∘ 运算可交换，所以 0 是幺元.
对于任意 x 有 x ∘ = 成立，即 x++2 x = x + 2 x = 0 = 1/2
给定 x，设 x 的逆元为 y, 则有 x ∘ y = 0 成立，即
• abc
a abc b bcc c ccc
解 (1) 满足交换、结合律；∘ 满足结合、幂等律； • 满足交换、结合律.
(2) 的单位元为 b, 没零元， a1 = c, b1 = b, c1 = a ∘ 的单位元和零元都不存在，没有可逆元素. • 的单位元为 a，零元为c, a1=a. b, c不可逆. 28
函数 (6) 在 Mn(R) ( n≥2 )上，求转置矩阵
10
二元与一元运算的表示
算符：∘, ∗, ·, , 等符号
表示二元或一元运算
对二元运算 ∘，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x∘y = z；
对一元运算 ∘, x 的运算结果记作 ∘x
表示二元或一元运算的方法： 公式、 运算表
注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符
任取x, y, zQ, (x ∘ y) ∘ z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z
= x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x ∘ (y ∘ z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz
= x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz 26
例题分析（续）
2/55
抽象代数系统的应用
• 毫无疑问，没有抽象代数结构研究和数理逻辑研究 的先行发展，图灵就不可能在1936年提出图灵机这 样的代数结构作为计算的模型。
• 在上世纪40~50年代，格和布尔代数成为电子计算 机硬件设计以及通信系统设计中的重要工具，
• 而半群理论在自动机和形式语言研究中发挥了重要 作用。
18
二元运算的特异元素
单位元
定义 设∘为S上的二元运算, 如果存在el（或er）
S，使得对任意 x∈S 都有
el ∘ x = x ( 或 x ∘ er = x )， 则称 el ( 或 er )是 S 中关于 ∘ 运算的 左 ( 或右 )
单位元.
若 e∈S 关于 ∘ 运算既是左单位元又是右单位 元，则称 e 为 S 上关于 ∘ 运算的 单位元.
yl ∘ x = e
逆元 X 的逆元 x X 的逆元 x1 (x-1属于给定集合)
X逆元X X的逆元 X1 （X是可逆矩阵） 的逆元为 B 的逆元为 B X 的逆元为 X
22
惟一性定理
定理 设 ∘为S上的二元运算，el 和 er 分别为 S
中关于运算的左和右单位元，则 el = er = e 为 S 上关于 ∘ 运算的惟一的单位元.
* ((a，b))=d 记之为
a*b =d
5/55
集合A上的代数运算
定义2 设A，B是两个非空集合。 若* 是A×A到B的一个运算， 则称 * 是集合A上的一个代数运算或二 元运算。
6/55
闭运算
设 * 是A×A到B的一个运算， 若B⊆A， 说*是集合A上的闭运算。 也说集合A对运算 * 是封闭的。
8/55
(5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n≥2) 实矩阵的集 合，即
二元运算的实例（续） Mn(R)
a11
a21
an1
a12 a22
an
aij R, i, j 1,2,...,n
矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：∪,∩,－, .
右逆元，则称 y 为 x 的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.
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实例分析
集合
Z, Q, R
运算 普通加法+ 普通乘法
el ∘ x = x
单位元 0 1
Mn(R) 矩阵加法+ n阶全0矩阵
矩阵乘法 n阶单位 矩阵
P(B) 并
交
B
对称差
θl ∘ x =θl
零元 无 0
无 n阶全0
矩阵 B 无
1、集合A中任意两个元素可以进行该运算； 2、运算的结果仍然属于集合A
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闭运算的例子
例1 (1) N 上的二元运算：加法、乘法. (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai ∘aj = ai ， ∘为 S 上二 元运算.