更减相损术及孙子定理
浅析大衍求一术及其教育价值
浅析大衍求一术及其教育价值刘超【摘要】大衍求一术是解一次同余式组的一种方法．关于它的产生要从“孙子问题”说起．“孙子问题”是指我国古代《孙子算经》中下卷的第26题“物不知数”，历代都有人研究，名称很多．例如：宋代周密《志雅堂杂钞》卷下的“鬼谷算”、“隔墙算”，宋代杨辉《续古摘奇算法》中的“秦王暗点兵”，明代程大位《算法统宗》中（1593年）的“物不知数”、【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2009(000)001【总页数】3页(P48,F0003,F0004)【关键词】教育价值;《孙子算经》;《算法统宗》;第26题;同余式;程大位;宋代;杨辉【作者】刘超【作者单位】石河子大学师范学院数学系,新疆石河子832003【正文语种】中文【中图分类】G40大衍求一术是解一次同余式组的一种方法.关于它的产生要从“孙子问题”说起.“孙子问题”是指我国古代《孙子算经》中下卷的第26题“物不知数”，历代都有人研究，名称很多.例如：宋代周密《志雅堂杂钞》卷下的“鬼谷算”、“隔墙算”，宋代杨辉《续古摘奇算法》中的“秦王暗点兵”，明代程大位《算法统宗》中(1593年)的“物不知数”、“韩信点兵”等.南宋秦九韶对它作了理论探讨，并定名“大衍求一术”.1852年英国人伟烈亚力以《中国算术科学摘记》为题，介绍了“大衍求一术”.1856年被译成德文，1862年又被译成法文，1874～1876年德国人马提生(A.Matthiessen，1830～1906)又先后向西方介绍了此方法，从而使中国独特而古老的算法受到世人瞩目，被命名为中国剩余定理.“大衍求一术”的原理实际上与德国数学家高斯(C.F.Gauss,1777～1855)于1801年在《算术探究》发表的一次剩余定理一致，而时间晚于孙子一千五、六百年，晚秦九韶也有五、六百年.“物不知数”来自于简单的生活实际问题，但问题解决过程中抽象出来的计算方法不仅具有重要的使用价值，而且是初等数论中同余理论的重要基础.为深入研究大衍求一术，将“孙子问题”及其解决过程呈现如下.《孙子算经》卷下第26题：“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”答曰:“二十三”.《算经》术曰：“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十.并之得二百三十二.以二百一十减之，即得.凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五.一百六以上，以一百五减之，即得”.如果用现代数学符号表示,“孙子问题”可以记作以下的一次同余式组:要解同余式组(1),先要解出一组正整数α,β,γ,使其满足以下的同余式组:根据同余式组(2)可得:由此得此时,易知35α×2+21β×3+15γ×2为同余式组(1)的一个特殊解.如果x是另外一个解,那么x-(35α×2+21β×3+15γ×2)必定是3,5,7的公倍数.由于(3，5，7)=105，所以同余式组(1)的解可表为不难发现，“孙子问题”解决的关键在于先解出一组正整数α,β,γ，使其满足同余式组(2).“孙子问题”的解法,后来推广成为以下的中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem):设m1,m2,…,mk是两两互质的自然数，M=m1×m2×…×mk.如果存在整数αi(i=1,2,…,k)，使得那么同余式组的解可表为《孙子算经》之后,由西汉到宋朝的千余年间,有很多天文学家和数学家都对一次同余式问题进行了研究.到南宋的数学家秦九韶时,便发展成为一个解联立一次同余式组的系统方法,称为“大衍求一术”,记载在他的著作《数书九章》之中.1247年，秦九韶把上述算法推广到一般情形，得到“大衍求一术”.所谓“大衍求一术”,是指求整数α使其满足αG≡1(mod m)的方法，其中m,G是给定的互质自然数，m称为定母，G称为衍数，α为乘率.若mlt;G，则先以m除G，得除数G1，然后求整数α使其满足αG1≡1(mod m).根据《数书九章》所述,求乘率α的步骤是这样的:置奇右上,定居右下,立天元一于左上.先以右上除右下,所得商数与左上一相生,入左下,然后乃以右行上下以少除多,递互除之,所得商数随即递互累乘,归左行上下,须使右上末后奇一而止.乃验左上所得以为乘率,或奇数已见单一者便为乘率.这段古文是说，运算开始时于右上、右下分别填上G1和m,然后于左上、左下分别填上1和0.运算时把右上、右下两数辗转相除,同时把除得的商数与左上、左下两数轮流增乘,直至右上数变成1为止,此时左上数即为所求之乘率α.为便于理解，以一个例题来解释《数书九章》中求乘率α的方法.例如,求同余式3800k≡1(mod 27)的一个整数解.由于3800gt;27,先以27除3800,取其余数20,然后考虑等价同余式:20k≡1(mod 27).第一步先在右上、右下分别填上20和27,然后在左上、左下分别填上1和0.第二步以20除27,得商数1及余数7.把7填入右下,并将1×0+1=1填入左下.第三步以7除20,得商数2及余数6.把6填入右上,并将2×1+1=3填入左上.第四步以6除7,得商数1及余数1.把1填入右下,并将1×3+1=4填入左下.第五步以1除6,得商数5及余数1.把1填入右上,并将5×4+3=23填入左上.由于右上数已等于1,因此此时左上数k=23便是同余式3800k≡1(mod 27)的解. “大衍求一术”与欧几里得“辗转相除法”的关系是十分密切的.如果我们把大衍求一术改写成常用的辗转相除法去求解一次同余式问题,亦未尝不可.假设要求解之同余式为αG=1(mod m),其中m,G是给定的互质自然数.那么我们可以将大衍求一术简化成以下的递归关系来计算乘率α:其中,n代表辗转相除时有非零余数产生的次数,而qn(1≤k≤n)代表每次相除时产生的商数，则所求乘率α≡(-1)ncn(mod m).大衍求一术除了用于求解一次同余式组之外，还有其他的应用.例如,在历法编算中求上元积年一类实际问题中有重要应用.我国古代在编制历法时，为了推算每年的历谱，先要确定一个计算起点(历元)；历元这个时刻一般都在遥远的过去(称为上元)，从上元到编历年份的年数为积年，推算积年要用到一次同余式组，每个同余式表示一个条件.譬如，要推算历元为甲子日夜半、朔旦及冬至，则要列出下列同余式组：大衍求一术的重要性不仅仅是为解决一次同余式组提供了有效的方法,更重要的是它把辗转相除法的逆推过程转化为一个简单递归的求解形式,关于它的一个重要的应用就是利用大衍求一术求解二元一次不定方程.例如求21x+15y=123的整数解.首先用辗转相除法求得[21,15]=3，因为3|123，所以21x+15y=123有整数解.若先求得方程21x+15y=123的一组特殊解x0,y0,则21x+15y=123的一般整数解可表为其中,k为任意整数.显然,满足同余式15y≡3(mod 21)的乘率可作为y0.引用辗转相除法得所以代入21x+15y=123,得x0=-2.因此21x+15y=123的一般整数解可表为x=-82+5k,y=123-7k,其中k为任意整数.“大衍求一术”是我国古代数学的一项辉煌成就，史称“孙子定理”或“中国剩余定理”.它是由简单的生活实际问题“物不知数”抽象概括出来的计算方法，而后应用于历法编算，成为初等数论的重要基础.它还在电子计算机的设计中有重要应用，对近代数学如环论、赋值论都有重要影响.同时，问题解决的过程还孕育了运用分配律解决线性代数问题的数学思想和方法.笔者发现,现时许多新出版的有关数论、离散数学或数学算法的参考书籍,很少讨论如何应用大衍求一术求解不定方程的问题,未免有点可惜.由此引发笔者的一点反思:如果仅把数学史作一门独立的数学科目来研究,而不注重它与其他数学分支的互相渗透；又或仅阅读或教授数学史而不注重如何古为今用,也许对数学教育是一个重大损失!【相关文献】[1] M·克莱因.古今数学思想(第2册)[M].张理京，张锦炎,江泽涵,等,译.上海:上海科学技术出版社，2002.[2] 钱宝琮.中国数学史[M].北京:科学出版社,1964.[3] 李文林.数学史教程[M].北京:高等教育出版社，2000.8.[4] 米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛正中,吴素华,译.成都:四川教育出版社，1986.。
论“孙子定理”在犯罪预防战略中的适用
文献 标识码 ： Ａ 文 章编 号： ０ ９ ５ ２２ １）９２ ５ ｌ １０ — ９ （０ ００ －９ — ０ ０ 中图 分类号 ： ９ ７ Ｄ １
现 代社会 ， 犯罪活动 的发来自迅速趋 于组织化 ， 科技化 和严 重暴 序 ， 预防 ” 以“ 为手段 ， 毋滥 甲 胄， 取得 预防和减 少犯罪案件发 生和
情： 一曰道 ， 日天 ， 二 三日地 。四日将 ， 无日法 。…… 由此可 见， ” 将 然 有其 原因 。从犯 罪的主 观上 看， 可分 为放意 与过 失， 使是 故 即
《 孙子 兵法》 运用于 预防犯罪 的战略部署 ， 将有助 于提高预 防犯罪 意 ， 也有 主动 与被迫 之分 。 分做好 犯罪分子 的犯 罪动机 与 目的 充 的战 斗力和科学 决策水平 ， 具有 积极的探索 意义 。
形 ， 代社 会的犯 罪活 动更加 迅速 ， 现 更加隐 蔽 ， 特别 是一些 有组
与“ 击” 字就存 在诸 多不 同。 打 二 在过 去的一 些时 期 内， 们紧 抓 织 ， 我 有预谋 的犯罪 活动 。 当其 出现 发 生苗 头时 ， 予 以坚 决打击 ， 就 “ 打击 ” 一面 ， 视 了“ 忽 预防 ” 虽在维护 社会综 治稳定 、 障人 民群 这也正 是“ ， 保 露头 必打 ” 的方钊‘ ， 快速 出击 ， 战速决 ， 速 充分发挥 突击
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论“ 孙子定理＂ 在犯罪预防战略中的适用
饶 晓 东
摘 要 （ （ 孙子兵 法》 是我 国古代孙 武所著 的一部 经典 传世 军事理 论著作 ， 被誉 为 “ 东方兵 学鼻祖” ‘ 界 古代 第一兵 书” 、世 ， 该 书全卷共 分 ｌ ， 示 了一 系列 军事规律 ， 成一 套完整 的军 事战略 思想体 系， 受推 崇。本 文认 为在 当代 ， ３篇 揭 构 备 它的应 用 范 围早 已超 越军 事范畴 ， 广泛 地运 用于政 治 ， 济 ， 交 ， 理 ， 育等领 域 ， 矧 、 法》 被 经 外 管 教 将 子兵 中的 军事理论 思想 引入 刑 事犯 罪预 防政 策 中未免 不是 一种崭 新的 尝试 。
《九章算术》原文
《九章算术》原文它是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右。
该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。
同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。
它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。
作者：张苍、耿寿昌、刘徽刘徽（约225年—约295年），汉族，山东滨州邹平市人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。
是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。
他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。
刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。
他虽然地位低下，但人格高尚。
他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
全文内容较多，本文仅摘选第一卷内容展示。
序昔在庖犠氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之数，以合六爻之变。
暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。
记称隶首作数，其详未之闻也。
按周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。
往者暴秦焚书，经术散坏。
自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。
苍等因旧文之遗残，各称删补。
故校其目则与古或异，而所论者多近语也。
徽幼习《九章》，长再详览。
观陰陽之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。
是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。
事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本榦知，发其一端而已。
又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。
且算在六艺，古者以宾兴贤能，教习国子；虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方；至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也。
更相减损术原理
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笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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更相减损术是出自《九章算术》的一 种求最大公约数的算法，它原本是为 约分而设计的，但它适用于任何需要 求最大公约数的场合。
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更相减损术的原理： (a,b)=(a-b,b) 这里将gcd (a,b)简记为(a,b).
更相减损术原理 —研究性学习
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求98与63的最大公约数
方法一：
7 98 63 14 9
方法二：
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
更相减损术是辗转相除法（欧几里德算法， Euclid algorithm）的一个特例，
它的原理是(a,b)=(a-nb,b)
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下面我们来证明：(a,b)=(a-nb,b) 证：不妨设d是a,b的最大公因子。 即a=rd,b=sd,并且 其中(r,s)=1,即存在x,y,使得xr+ys=1. 从而 a-nb=(r-ns)d,b=sd,且x(rns)+(xn+y)s=xr+ys=1,即(r-ns,s)=1 于是:d=(a-nb,b) 于是得证。
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九章算术
可半者半之，不可
翻译成现代语言如下： 第一步：任意给定两个正整
半者，副置分母、 数；判断它们是否都是偶数。
关于傅仁均《戊寅历》的“近距历元法”
!中国科技史杂志"第!"卷##$##年$第#期%#/$&#/-!"#$"%&#'#()*+&,-.)+/"#0%'/)+1).23%#&3#,&4!#3"&)-)51'()*+!"##$##$,)+#关于傅仁均 戊寅历 的 近距历元法王荣彬#中国民主同盟中央委员会'北京%$$$$&$摘'要'本文介绍了中国古代历法)上元积年法*和)近距历元法*的发展历程'分析了傅仁均!戊寅历"首创的)近距历元法*以及古代历算家的历元价值观'指出对于上元积年法')废*与)止*是两码事+关键词'上元'近距历元'傅仁均'!戊寅历"中图分类号',$-#2@%-!+"文献标识码'6''''文章编号'%&0"4%!!%##$##$$#4$#/$4%$中国古代历法内容十分丰富'一般包括日(月(五星运动和位置的计算'日(月食的预报'晷影算法与时间制度等'其算法涉及众多周而复始的量'因此'历算家编制历法时自然会想到去寻找这些周期量的共同起点&&&上元+从上元到历法编制完成年份或所要推算年份的年数叫做上元积年+在传统古历中往往将上元设定成一种非常特别的理想状态'比如南北朝时期祖冲之的!大明历"#!&"$即规定上元应位于某个甲子年天正十一月的甲子日夜半'恰逢合朔(冬至时刻'月亮经过黄白道交点之一'五大行星同时会聚在冬至点'且要求冬至点在虚宿一度#0%1'页%0!0$+类似的奇特天象'在人类实际天象观测历史上可能是不存在的+但从存世的史料来看'早在太初改历的时候#前%$!$就有了上元的推求实践'刘歆据之改编!三统历"时#约前0$则具体推算并给出了上元积年数'从汉唐到两宋'%$$$多年来古代历算家们代代相传'孜孜以求+但实际上'这种复杂的理想上元推求是完全不必要的+"!传统历法的历元设置法"#"!上元积年算法从数学上来说'推求上元通常是求解一个同余式组+因为古历从上元起算的天文周期很多'到祖冲之的!大明历"'与上元有关的相互独立的项目已经多达%#个'如果它们全部参与上元推算'则应列出%%个联立的一次同余式+然而'求解包含%%个同余式的同余式组'不用说%.$$多年前'就是用今天的数学工具也不是轻而易举的事'所以数学史家'''收稿日期%#$#%4$/4%#-修回日期%#$#%4%$4#0'''作者简介%王荣彬'%-&!年生'中国民主同盟中央委员会研究员'研究方向为中国数学史(中国历法史+'#期王荣彬%关于傅仁均!戊寅历"的)近距历元法*%/#们一直认为推求上元问题是个谜题0#1+钱宝琮曾推测%)大约在三世纪中'历法工作者开始应用剩余定理计算上元积年+我们认为!孙子算经"里8物不知数9问题解法不是作者的向壁虚造'而很可能是依据当代天文学家的上元积年算法写出来的+*0"1这一论断产生了广泛的影响+虽然正史历志中一般不记载其收录的历法算法之演算过程'古代天文机构当时使用的工具书如算草和数表等今天少有传世'但有幸在秦九韶!数书九章"#%#!0$中记载了)大衍术*#即中国剩余定理$与)演纪术*两种求解一次同余式组的方法+特别是其)治历演纪*题'引用了宋代!开禧历"#%#$0$推算上元的算例'详细记录了其演算步骤0!&&1+ !开禧历"正是秦九韶生活和著述年代的行用历法'唐代以来历法的开篇所给出的上元积年数值一般皆称为)演纪上元*'故秦九韶所记载的演纪之术应该就是当时历算家实际应用的推求上元积年的算法00'/1+!开禧历"的作者鲍遆之也曾指出%)国初!应天"而至于!绍熙"!会元"'所更者十二书'无非推求上元开辟为演纪之首'气朔同元'而七政会于初度+*0-1特别值得注意的是'据秦九韶的记载和现代天算史家的进一步实际验算与理论分析'证明了以日名(岁名(回归年(朔望月!项条件'几乎可以推出每一部历法的上元'从而排除了其他从上元起算的历法项目实际参与上元推算的可能性+换言之'相关历法常数都应是参考实测值进行调整而附会到上元起始的数值0%$1+无独有偶'除上述秦九韶!数书九章"的算例之外'清代学者张敦仁0%%1(宋景昌0%#1(黄宗宪0%"1(李锐0%!1等皆以这!个条件进行推算而得出所求上元积年+上述诸多天算史家的深刻研究表明'古历关于上元积年的推求'不仅计算任务繁难'而且还会损害不参与上元推算的历法常数选取的精度'特别是'这项费力的工作是完全可以省略的+当然'关于上元推求法的繁难和缺陷问题'身体力行的古代历算家自然是深有体会+所以到杨伟!景初历"##"0$时'首次设置了)交会差率*与)迟疾差率*'意思是黄白道交点和月亮过近地点不从上元同时出发+其实'!景初历"推算上元积年所用的条件为%)魏黄初元年十一月小'33己亥岁'十一月己卯朔旦冬至+*0%.1也就是说'!景初历"也是用了同期历法类似的方法进行了上元积年推算'其创立的两个)差率*与上元积年推算无关'仅与其交食周期和近点月值的选取便利并提高对应历取常数的精度相关+随后'何承天!元嘉历"#!!"$'又将五星会合周期各立)后元*'即五星会合周期皆不从上元起算#杨伟和何承天的这种历元设置法常被称为)多历元法*$+何承天因此将东汉以来数百年间徘徊乃至倒退的五星会合周期精度大幅提高0%&1+祖冲之则对!景初历"和!元嘉历"的多历元法评论道%)算自近始'众法可同'但!景初"之8二差9'承天之8后元9'实以奇偶不协'故数无尽同'为遗前设后'以从省易+*#0%1'页%00$$可见'祖冲之指出了!景初历"与!元嘉历"多历元法在计算量方面无疑有其便利性'但他同时也明确表示对这种做法并不赞成+当然'杨伟与何承天的创举不仅)以从省易*'更重要的意义是提高了不从上元起算的历法数据的精度'因而还是得到了后世不少历算家的响应+南宋杨忠辅在其!统天历" #%%--$中更是反对把历元同所谓的开天辟地之年相关联'!统天历"虽然推算有上元积年'但杨氏设立了相应的)七差*'以多个起算点来选取相应的天文常数#0%01'页.%$$+中'国'科'技'史'杂'志!"卷#/#"#$!近距历元法及其兴废应该强调指出的是'自杨伟到杨忠辅等所采用的多历元法'皆保留了上元积年的推算+其实'上元仅是由日名(岁名(回归年和朔望月决定的'从上元起始的其他数值都是附会到上元的'杨伟(何承天(杨忠辅等将一些本来就不参与上元推算的项目另设起点'只是减少附会参数的数量并增加相关参数的精度'并不构成上元算法的实质变化+但在传统天学和历算家看来'还是有损其历元设置的神圣性+实际上'历算家完全可以从编制历法的年份或所要推算的年份选取一个时间节点#比如冬至$作为历元'称按照这种思路选择历元且彻底放弃推算上元的历元设置方法为)近距历元法*+以下'本文将分析说明'在中国古代历法史上'傅仁均!戊寅历"#&%/$已经首创了这种)近距历元法*+但!戊寅历"弃用上元法而改用近距历元法的创举'在其历法还在行用期间即被反对声淹没'在朝廷下令修订!戊寅历"时'修订者即恢复了上元法+其后续历法的上元积年数还上演了越来越大之势+唐建中至元和年间#0/$&/#$$'曹士裝编制了一部与古历传统有诸多不同特点的历法&&&!符天历"+如它以显庆五年#&&$$庚申岁为历元'以雨水为岁首'用定气注历等'被认为是)始变古法*+五代时马重绩承袭!符天历"法'编制!调元历"#-!$$'以唐天宝十四年#0..$乙未岁为历元'也以雨水为岁首+根据新旧!五代史"的记述'!符天历"和!调元历"可能皆不推算上元积年'所用历元法应该就是近距历元法#0%/1'页#!$&$+可惜的是'正因为!符天历"和!调元历"采用了若干和传统历法格格不入的革新做法'在传统历算家眼里'它们被视为流俗不经的)小历*+!符天历"未被新旧!唐书"收录'!调元历"虽获得官方正式颁行使用了五年'新旧!五代史"也未收录#这是不符合正史历志习惯的$+此二历皆已失传+不过!符天历"曾在民间流行且传入日本产生了较大影响'在日本发现了!符天历"抄本的残页'引起了中日学者的关注0%-&#%1+但学者往往认为其中与传统迥异的内容都来源于印度天文学#0##1'页%00&%/&-0#"1$+综上'近距历元法在唐初创立后旋即又被上元法取代'上元法)废*而不)止*+中唐后'!符天历"等再次运用了近距历元法'仍然被传统天算家所不容+以往'中国天算史论著中一般认为'使用近距历元法且彻底废弃了上元积年法的代表作是!授时历"+!授时历"在上元积年问题上与传统如此决绝'也被学者认为可能是受印度天文学的影响所致#0##1'页%/&$+虽然!授时历"彻底废除了上元法'考虑到有明一代沿用!授时历"'我们有理由怀疑'若不是传统历法在其顶峰之后而无后起者'或许!授时历"的再次创新也会被复辟+传统历法中上元法废而不止的现象'可能与古代天算家的历元价值观有关+古历作为皇权象征'颁朔是中央政府的垄断权力'君权神授的理念根深蒂固+中国古历的上元问题不仅是算法和数值精度问题'中国古历发展的主旋律还是由那些主流天学大儒和正统的历算家的价值观主导的'在他们的价值观里'天学是沟通人神的神圣而严肃的大学问+正史的历志中'每部历法经文的前面往往会有一段绪论或前言'其中反复重申着这种理念+编制历法或评议历法的大儒们都是从历法事关国家政权和民生大事的角度进行讨论或向朝廷建言+!续汉书,律历志"即记载着这种关于政权兴废与历法关联的生动图景'当时的学者'#期王荣彬%关于傅仁均!戊寅历"的)近距历元法*"/#认为'帝王不仅要勤于治国理政'而且不能荒废治历#0#!1'页%.%$$+进而'治历要正元'要追求神圣的象征开辟的历元+)建历之本'必先立元'元正然后定日法'法定然后度周天'以定分至+三者有程'则历可成也*#0#!1'页%!-$$+在这样的观念下'即使有一些历算家从技术角度出发'找到了很好的革新方案'或者有一些技术性思维主导的历算家接受了其他文明的先进思想'从而主张对历元算法进行革新'但他们的努力都只会成为古历发展史上的一个个插曲'难成大势+例如'技术派像何承天这样的大儒'因为洞悉了!四分历"的缺陷所在'从而决意改革+但同样重量级的历算大家祖冲之'就坚决反对何承天的观点+他在上!大明历"的奏表中说道%)以上元之岁'历中众条并应以此为始'而!景初历"交会(迟疾'元首有差+又承天法'日(月(五星'各自有元'交会(迟疾'亦并置差'裁合朔气而已+条序纷互'不及古意+今设法'日(月(五纬(交会(迟疾悉以上元岁首为始+则合璧之曜'信而有征'连珠之晖'于是乎在'群流共源'实精古法+*#0%1'页%0!!$祖氏说得很明白')合璧之曜*)连珠之晖*是)群流共源*'是)古法*+因此'是历算家的信仰'是价值观+另一个生动的例子是发生在南宋姚舜辅与鲍遆之两位历法大家之间的故事'两人曾一起研究历法+鲍遆之对!统天历"的优缺点了然于胸'当!统天历"颁行不久出现预报日食不效时'他便有的放矢地改进了相关内容'编制自己的新历法!开禧历"'成功颠覆了!统天历"+鲍遆之对!统天历"有这样的评论%)进历未几'而推测日食已不验'此尤可也+但其历书演纪之始'起于唐尧百余年'非开辟之端也'气(朔(五星'皆立虚加(虚减之数33以是而为术'乃民间之小历'而非朝廷颁正朔(授民时之书也+*0-1虽然!统天历"保留了上元'且上推)起于唐尧百余年*'但还算不上)开辟之端*+鲍瀚之说得明白')推测日食不验*是)此尤可也*'但历元之事才兹事体大+即使鲍瀚之和姚舜辅有共同研究历算之学的私谊'但在历元问题上'他必须旗帜鲜明'因为事关道统'不容差池+所以'他还是毫不犹豫地将!统天历"归为!符天历"一类民间小历'而加以排斥+$!傅仁均 戊寅历 中的 近距历元法$#"! 戊寅历 的历元!戊寅历"编制完成于唐高祖武德元年#&%/$'于次年颁行+傅仁均抓住了唐朝建立之初有颁朔需要的契机'以隋代张胄玄的!大业历"为蓝本'受命当年即迅速地完成了!戊寅历"的编制+!戊寅历"有两项重要革新内容%一是选择了刘焯!皇极历"#&$$$的定朔主张'而这一点正是当年刘焯与张胄玄之间有过激烈争论的问题!+二是创立了和!授时历"方法实质相同的近距历元法+由于这两点皆不合古历传统'之后恰逢!戊寅历"刚颁!关于定朔算法问题'在中国古代历法史上曾经长期争论不休+刘洪!乾象历"##$&$创立月行迟疾术以来'唐代以前有记载的关于定朔问题的著名争论即有何承天与皮延宗(祖冲之与戴法兴'而尤以隋初改历时的争论最为激烈+每次争论的最终结果都是'用定朔法进行交食推算'用平朔法排算历谱+!戊寅历"则是第一部用定朔法排算历谱的历法+中'国'科'技'史'杂'志!"卷!/#行三年即出现日食预报失误'传统历法家于是就拿这两项内容责难傅氏+虽然傅仁均据理力争'在定朔问题上说服了崔善为'但!戊寅历"仍然被崔氏一干人等删改了)数十条* #0#.1'页#%%-$'首当其冲的就是其历元设置法+其定朔之法因后来李淳风发现依法推算可能会出现)四朔频大*'最终被改回平朔法#0#.1'页#%#$$+可见'冲破传统观念是多么困难+传本!戊寅历"分别见于!旧唐书"和!新唐书"的!历志一"#以下分别简称)旧志* )新志*$'旧志的!戊寅历"不完整'仅存五星(交食和漏刻部分内容'新志的!戊寅历"是完整的'依次为气朔(发敛(日躔(月离(定朔(五星(交食算法'新志出于宋代历算名家刘羲叟之手+旧志以武德九年崔善为等校定的历经为主'杂记有)仁均本术*+刘羲叟的新志则注明为)今所记者'善为所较也*#0#.1'页#%#$$+以下称傅仁均于武德元年进献的历法为)傅仁均原历*'崔善为等校定的历经为)校定戊寅历*+新志开篇即曰%)!戊寅历"上元戊寅岁至武德九年丙戌'积十六万四千三百四十八'算外+*#0#.1'页#%#$$天文学史家据之认为傅仁均是)典型的上元法论者'出于将唐高祖登极之期神圣化的考虑'借用了多历元法的形式'不自觉地发展了多历元法'开启了元代郭守敬等人!授时历"实测多历元法的先声*#0%01'页"!0$+但!戊寅历"完成于武德元年'这到武德九年的上元积年当是崔善为等推算的+新志曰%)九年'复诏大理卿崔善为与孝通等较定'善为所改凡数十条+初'仁均以武德元年为历始'而气(朔(迟疾(交会及五星皆有加减'至是复用上元积算+*#0#.1'页#%%-$新志这段话明确交待了三个重要问题%其一'傅仁均原历是以武德元年为)历始*#即历元$的-其二'傅仁均原历的)气(朔(迟疾(交会及五星*等项目皆设立了)加减差*-其三'上元积年推算是崔善为等人恢复的+用现代天文学回推当年的节气时刻'得武德元年的天正冬至#时间在&%0年$和其天正月朔同为癸亥日'但冬至时刻已经在夜半后#+.0刻0#&1+据此'傅氏当年推算得到的结果可能正是)武德元年天正冬至恰为甲子日夜半合朔*'这是古代历法推算需要的特别的节点天象+于是'傅仁均向皇帝报告%)唐以戊寅岁甲子日登极'历元戊寅'日起甲子'如汉!太初"'一也+*#0#.1'页#%%/$可见'傅仁均当时是十分激动地告诉朝廷'戊寅岁冬至可以作为历元'其意义等同于汉武大帝太初改历时刻+傅仁均此请求迎合了朝廷的需求'自然很快得到了批准'其进献的历法因此得名!戊寅元历"'这个)戊寅元*就是!戊寅历"的编成年份&&&武德元年+在!旧唐书,傅仁均传"中'记录有这样一段傅仁均答辩王孝通驳难的文字'其中明确显示了傅氏的历元观念%)夫理历之本'必推上元之岁'日月如合璧'五星如连珠'夜半(甲子(朔旦(冬至!+自此以后'既行度不同'七曜分散'不知何年更得余分普尽'还复总会之时也2唯日分气分得有可尽之理'因其得尽'即有三端之元+故造经立法者'小余尽即为元首'此乃纪其日数之元'不关合璧之事矣+时人相传'皆云大小余俱尽'即定夜半(甲子(朔旦(冬至者'此不达其意故也+何者2冬至自有常数'朔名由于月起'既月行迟疾无!)朔旦(冬至*是古历的一种习惯表述'意思是合朔和冬至在同一日+)朔旦*指朔望月的)初一*+)夜半(甲子(朔旦(冬至*的意思即为'合朔和冬至时刻同在甲子日的夜半时刻+'#期王荣彬%关于傅仁均!戊寅历"的)近距历元法*常'三端岂得即合2故必须日月相合与冬至同日者'始可得名为合朔冬至耳+故前代诸历'不明其意'乃于大余正尽之年而立其元法'将以为常'而不知七曜散行'气朔不合+今法唯取上元连珠(合璧(夜半(甲子(朔旦(冬至(合朔之始'以定一九相因行+至于今日常取定朔之宜'不论三端之事+皮延宗本来不知'何承天亦自未悟'何得引而相难耶2*0#01傅氏的大意是说')日月如合璧'五星如连珠'夜半(甲子(朔旦(冬至*'是理想上元时刻的天象+由于上元的数字一般都很大'理想上元之天象人们并无实际观测之可能+七曜自上元时刻同时出发'而后散行'不知何年才能)还复总会之时也*'天算家能够看到的无非朔分和气分同时为$之时恰在甲子日的)天象*'此)天象*发生的频率乃%纪%次+但如果就此即把这种理论上可能发生的天象之时刻作为)夜半(甲子(合朔(冬至*#即日月相合恰好发生在冬至日的夜半时刻$'还是错误的+傅仁均的结论是%)冬至自有常数'朔名由于月起'月行迟疾无常'三端安得即合+*即考虑到日月不均匀运动')三端*仍然不能相合+总之'傅氏关于历元问题的态度就是%上元不过就是一个理想概念'实际)造经立法*时'则)常取定朔之宜'不论三端之事*'也)不关合璧之事矣*?$#$! 戊寅历 相关术文分析首先来看!戊寅历"的求)入平交分*术+旧志曰%)置入上元已来积月'以交会法去之+余以朔差乘之'满交会法又去之+#仁均本术'武德年加交差七百七十五万五千一百六十四分+$余为所求年天正朔入平交分+*0#/1新志对应的术文则为)以朔差乘积月'满交会法去之'余得天正月朔入平交分*#0#.1'页#%".$+所谓)天正月朔入平交分*即推求所求年前十一月平朔时刻日月到黄白道交点的距离+我们知道'古历的上元时刻'七曜是同度的+)朔差*乃朔望月与交点月值的差'用上元以来的)积月*数乘以朔差'所得为上元以来合朔点与交点分离的总量'即傅仁均所说的)散行*值+满交会法去之'所余即为图%中所示的)交差*+对于校定!戊寅历"'此术的所求年是武德九年'而傅仁均原历的所求年就是武德元年+旧志术文中括号内的文字原来是用小字夹注给出的'且明确说明了所加交差值#00..%&!分$是)仁均本术*+按此分析'此)仁均本术*是不用计算上元以来)积月*的'傅仁均原历的)交差*和!授时历"的)交应*不仅概念相同'其在相应算法中的作用也是相同的+图%'!戊寅历"推天正月朔入平交分示意图古历的历法数值一般都是用分数表示'不同数值的加减需要先进行通分'但在古历术文中经常会省略其通分环节+以上旧志的术文中还先用交会法直接)满去*积月数'这是从!大业历"继承来的'目的是)满去*的效率更高'不过算理上比较晦涩+新志的术文表述则更加干净利落'这是刘羲叟整理的特色!+./#!刘羲叟编撰的!新唐书,历志"和!新五代史,司天考"中在专门术语和语言表达'乃至历法结构和算法表述等方面皆有出色的精炼或优化+中'国'科'技'史'杂'志!"卷&/#遗憾的是'旧志缺失推气(朔(迟疾算法'其推五星算法也残缺了可能用到五星会合周期差率值的)行五星法*'致使我们不可能更多地了解傅仁均原历中除推交会算法以外的其他)加减差*内容+新志的推)入平交分*术中没有关于)交差*的注'其不缺的推气(朔(迟疾(五星等术也都没有傅仁均原历各项)加减差*的影子'这应该是刘羲叟对)近距历元法*的态度所致+其实'!新唐书,历志"和!新五代史,司天考"类似这种涉及价值观色彩的取舍例证很多'仅举!新五代史,司天考"中与本文近距历元法有关的一例即可见一斑+!旧五代史,历志"记述了马重绩编制!调元历"的情况'以及马重绩进献历法的表文'其记载内容陈述较为客观+)司天监马重绩始造新历'奉表上之云%833自古诸历'皆以天正十一月为岁首'循太古甲子为上元'积岁弥多'差阔至甚+臣改法定元'创为新历一部二十一卷七章'上下经二卷'算草八卷'立成十二卷+取唐天宝十四载乙未立为上元'以雨水正月朔为岁首+9晋高祖命司天少监赵仁!(张文皓'秋官正徐皓'天文参谋赵延 (杜升(杜崇龟等'以新历与!宣明"!崇玄"考核得失'俾有司奉而行之'因赐号!调元历"+仍命翰林学士承旨和凝撰序+*0#-1但刘氏的!新五代史,司天考"则曰%)五代之初'因唐之故'用!崇玄历"+至晋高祖时'司天监马重绩'始更造新历'不复推古上元甲子冬至七曜之会'而起唐天宝十四载乙未为上元'用正月雨水为气首+初'唐建中时'术者曹士裝始变古法'以显庆五年为上元'雨水为岁首'号!符天历"+然世谓之小历'只行于民间+而重绩乃用以为法'遂施于朝廷'赐号!调元历"+然行之五年'辄差不可用'而复用!崇玄历"+*#0%/1'页#!$.&#!$&$更有甚者'!调元历"是施于朝廷的官历#即大历$'按照正史历志惯例'刘氏是应该记载其历法的'他毫不掩饰地说%)而!调元历"法既非古'!明玄"又止藏其家'!万分"止行于民间'其法皆不足纪+*#0%/1'页#!$&$就是说'即使!调元历"是大历'但因其历元法不是古法'在刘羲叟看来'它和小历同样)不足纪*+其)有色眼镜*之义跃然纸上+再来看!戊寅历"的推气与推朔术+旧志残缺推气(朔术+新志推朔术曰%)章月乘年'如章岁得一'为积月+以月法乘积月'如日法得一'为朔积日'余为小余+日满六十去之'余为大余+命甲子算外'得天正平朔+*推气术曰%)余数乘年'如气法得一'为气积日+命日如前'得冬至+*#0#.1'页#%##$!大业历"的推朔(气术分别为%)以月法乘积月'如法得一'为积日'余为小余+以六十去积日'余为大余'命以甲子算外'为所求年天正月朔日*)以月法乘闰余'又以章岁乘朔小余'加之'如气法得一'为日'命朔算外'为冬至日*0"$1+凡推算上元积年的历法'其推所求年天正气(朔算法一般皆如!大业历"的以上术文+推气(朔法的算理可见图#所示'其中)朔积*为上元以来的积年数乘以历取朔望月值' )气积*为积年数乘以回归年值'或用图#所示的关系%气积j朔积f闰余+气积(朔积的推算总是要使用积年数+但要特别注意的是'!戊寅历"这里用)章月乘年*)余数乘年*'这里的)年*'对于校定戊寅历即为图#中的上元积年'而对于傅仁均原历来说'则是所求年到历元的年数+这里用)年*而不用)积年*'或许正是傅仁均原历经文未被刘羲叟抹去的痕迹+。
对孙子创新品格的再认识
总第27期General No.27对孙子创新品格的再认识路秀儒摘 要：推动孙子兵学文化研究创新发展，就要深刻领悟孙子敢破敢立的创新品格：一、突破“卜筮占验”的定式，倡导“必取于人”；二、突破“兵凶战危”的定理，倡导“先发制人”；三、突破“耻于言利”的定律，倡导“非利不动”；四、突破“仁者不诡”的定规，倡导“兵以诈立”；五、突破“德者不掠”的定识，倡导“胜敌益强”；六、突破“婴儿之爱”的定执，倡导“投亡后存”；七、突破“多多益善”的定见，倡导“兵非益多”；八、突破“常规”“正矩”的定论，倡导“无法”“无政”。
关键词：孙子 创新品格 敢破敢立中图分类号：B22 文献标识码：A 文献编号：2095-9176（2020）03-0088-006守正创新，最重要的是既要有非凡之识，又要有超人之胆。
敢破敢立是孙子的鲜明个性，是《孙子兵法》“鹤立鸡群”、历久弥新的关键所在。
推动孙子兵学文化研究创新发展，很重要的一点就是，在守正的前提下，要深刻领悟孙子那种敢破敢立的胆魄魂、精气神。
一、突破“卜筮占验”的定式，倡导“必取于人”孙子生活的时代，上古三代流传下来的卜筮占验之风依然很盛行，人们往往依据卜筮的结果判定胜负之数，择定作战日期。
孙子坚决反对这种做法，认为一切求神问卜的行为都是迷信，毫不足取。
在《孙子兵法·用间篇》中鲜明地提出：“先知者，不可取于鬼神，不可象于事，不可验于度。
”指出正确的方法应该是“必取于人，知敌之情者也”。
这实际上是在突出强调人在掌握敌情上的主观能动作用，充满了朴素的唯物精神，摆脱了当时笼罩在兵学思想界的神怪诡谲迷雾。
在我国古代思想家中，像他这样公然否定鬼神的极为罕见。
历史上，在人们的心目中，“神”具有至高无上的地位，“鬼”具有无量无限的魔力，人们对鬼神不仅崇拜有加，而且敬畏无比，许多情况下既要求助于鬼神，也不敢冒犯鬼神，生怕招来报应、带来祸收稿日期：2020-05-02作者简介：路秀儒，山东孙子研究会专家委员会常务副主任、原济南军区司令部动员部部长。
中国古代数学ppt课件
1.巴比伦：60进位的分数 2.埃及：单位分数 3.阿拉伯：主分数，单位分数 ——都未能给出行之有效的分数算法
中算分数算法的特点.
1. 除法运算定义分数 2. 分数概念的两重性 运算结果：独立的数； 运算过程：母与子 3 .基本性质 分子、分母同乘不为零的数，其值不变。 4. 通分——“齐同术” 母互乘子谓之齐，母相乘谓之同
初等数学理论的发展 刘徽：《九章算术注》（264AD） 祖冲之：3.1415926<π<3.1415927
刘 徽（造像）
祖冲之（造像）
隋唐:589-960AD
国家数学教育 国子监:明算科 李淳风:编纂“十部算经” 周髀算经、九章算术、海岛算经 缀术(唐朝佚） 数术记遗（南宋补） 孙子算经、张丘建算经、夏侯阳算经 五曹算经、五经算术 缉古算经
2 注释者
刘徽，魏晋间人，263AD年注释《九章算术》 “徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。” ——刘徽：《九章算术注》
祖冲之，祖暅:南北朝，圆周率，球体体积公式 李淳风：唐朝，“十部算经”国子监教科书 杨辉：南宋，《详解九章算法》 吴敬：明，《九章算法比类大全》 李潢：清，《九章算术细草图说》 现代：钱宝琮校点《算经十书》 白尚恕《〈九章算术〉注释》《〈九章算术〉今译》 李继闵《〈九章算术〉与刘徽注研究》《〈九章算术〉校证》 《〈九章算术〉导读与译注》 郭书春：汇校《九章算术》 沈康身：《〈九章算术〉导读》
负数是怎样进入数学的？
盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就产生一种误解：似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。 问题：那个文明最早使用负数？
算法案例--中国剩余定理[上学期]--江苏教育版(201908)
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失威仪 用延年所改《文王》声 毁弃三正 阿卡索外教网 异代之文 更逼而不行 文皇愍斯民 言权卒父之业而征伐也 诏曰 皇旅又将谁卫 以告成也 或操版以启其心 以为 赤 驾牛 驾一 以此乘敌 汉魏失之大者也 出母之丧 则不可许以改娶更适矣 其一车又是轺车 亦是也 保祚永世 汉已后并因之
古曲《关东有贤女》 左延年改夔《驺虞》 诣东閤下 解长蛇之交 百尺高楼与天连 宜是鉴咎征乎 其于王者 依大习仪作雁羽仗 枉暴既甚 上天报应 使人方廉而好义 永无逮及 若乃不敬鬼神 敬授人时 女则不课 昔迎恭皇后 亮乃畏天威 外教 武教于时日新 马饰缨 第四曰复用《鹿鸣》 而远方来
§5.44 算法案例（第一课时）
三维目标：1．知识技能
通过案例孙子不知数问题的解决，理解掌握其算法， 然后把解决问题方法和经验应用于其它问题的解决 之中；通过对问题算法的探究，进一步体会算法的 思想，提高逻辑思维能力和算法设计水平。
2．过程与方法 先阅读案例，独立探究解决问题的算法，体验 其过程，然后研读例题算法，体会其中算法思想， 利用其解决具体问题。
著作旧属中书 则土得其性矣 苦身不已 不然则行人顺省 诏二千石长吏以入谷多少为殿最 阆中有渝水 若遂其情 斯则母臣子也 所不忍闻 非所见之难 诚非靖等所能原本也 何曾为司徒 权时调给 著作郎始到职 昔周公负成王 周人之旧也 大带 从之 历象日月星辰 丧乱弥甚 阿卡索 其四曰军 及
太元四年 卓 天子车乘冠服从欧阳氏说 《殿前生桂树》 始引帻服之 历阳县有岩穿 诸子之职 以调声韵 岂逾月之嫌乎 外教网 思心齐 其于事义 增其上似爵头色 诸王妃 而服色尚赤 各有等差 万世之固 以入广州 惟天之命 寻而被废焉 自远代而废矣 袁术战士取给蠃蒲 覆兆民 迹禽 成都不悟
此皆水之为害也 此亦桓温强盛 次弩 于是除《高縆》 以亏法宪 阿卡索外教网 及晋受命 斯则子爵母也 梁七州又大水 文多不载 孙皓天纪中 古之人皆然 外教 太康元年 是以袁绍 阿卡索外教网 唯蠲在役之身 鼓 各以贵贱占田 骑而散从 怀终流弑 又曰 发壬午兵 中尉司马 次五牛旗 之旧仪 随王事之缓急也 监司当以为意 人多被刑 外教网 孔粲议 不过二万馀顷 其为轻重也远 建安十三年 苏峻覆乱京都 次光禄引从 黑介帻 不并列 大寒 谓之为善 及晋受命 长公主 后代遵之 朝无异论 魏明帝以其制似通天 巍巍祖考 有斩石勒首者 众议不
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更减相损术
原理
定理12: 如果[a，b]=m,(a,b)=d,那么md=ab
定理20：如果b/a,那么（a,b）=b
定理21：如果a÷b=q……r,(r≠0),那么（a,b）=(b,r)
中国剩余定理
定理23：如果a=rmodb,那么a+bn=rmodb (a,b都是整数，n是自然数)
性质1：a=amodn
性质2：a=bmodn等价与b=amodn
性质3：a=bmodn,b=cmodn,那么a=c(modn)
性质4：如果a=bmodn,c=dmodn,那么a+c=b+d(modn)
推论4：如果a=bmodn,c=dmodn,那么a-c=b-d(modn)
性质5：a=bmodn,c=dmodn,那么a×c=b×d(modn)
《孙子算经》：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问无几何？”
X=2mod3
X=3mod5
X=2mod7
求适合条件的最小自然数x
解：[5,7]=35,35=2mod3,
[3,7]=21,21=1mod5,
∵ 3=3mod5，∴63=3mod5 （性质5）
[3,5]=15,15=1mod7,
∵ 2=2mod7, ∴30=2mod7 (性质5)
35+63+30=128.
由定理23可知：
128=2mod3,128=3mod5,128=2mod7,
所以128符合问题所提条件。
又[3,5,7]=105,
∵128=2mod3,105=0mod3
∴128-105=2-0(mod3) (性质4推论) 即23=2mod3.
同理 23=3mod5,23=2mod7，
且23<105,
所以适合条件的最小自然数是23.
练习： X=3mod5
X=4mod6
X=1mod7
求最小的自然数X (答案148)。