二一阶电路的瞬态响应
(完整版)拉普拉斯变换在一阶和二阶电路的瞬态分析
拉普拉斯变换在一阶和二阶电路的瞬态分析
内容摘要：（1）一阶电路的解法：经典解法和拉普拉斯解法（2）二阶电路的拉普拉斯解法
通过这两个例子中的经典解法和拉普拉斯解法的对比来体现出拉普拉斯变换在解决复杂电路问题的快捷、省时、简便优越性！
关键词：拉普拉斯变换、一阶电路、二阶电路
引言：通常研究电路的稳态只要利用代数方程就行了，而研究电路的瞬态就需要借助于微分方程。
因为只有微分方程才能不仅表明状态而且能表明状态的变换即过程！在分析解决电路瞬态问题时每一个不同的电路瞬态就要建立一个微分方程，解决一些简单问题的微分方程对我们打学生来说相对比较容易一些，而对于一些复杂的高阶微分方程将是一个大难题！本文将通过对一阶电路和二阶电路的微分方程的分析来证明拉普拉斯变换在解决瞬态电路问题是优越性！
正文：随着计算机的飞速发展,系统分析和设计的方法发生了革命化的变革，原来用传统的模拟系统来进行的许多工作现在都可以用数学的方法来完成。
因此，数学电路、离散系统的分析方法就更显的重要了。
拉普拉斯变换一直是分析这类系统的有效方法。
下面用一个实例来证明其的优越性！
例一有一个电路如下图所示，其电源电动势为E=EmSinwt(Em、w都
是常数)，电阻R 和电感L 都是常量，求电流i(t).
解法一——传统法
有电学知识知道，当电流变化时，L 上有感应电动势——L
(t →0)
Us R i +
-。
一阶电路和二阶电路的动态响应.
电路的全响应:u c (t=U 0e -t/RC +U s (1-e -t/RC (t>=0 (1零输入响应u c (t=U 0e -t/RC (t>=0
输出波形单调下降。当t=τ=RC时, u c (τ=U 0/e=0.368U 0,τ成为该电路的时间常数。(2零状态响应u c (t=U s (1-e -t/RC u(t
u L
t m
U 0
① C
L
R 2>,响应是非振荡性的,称为过阻尼情况。
响应曲线如图所示②C
L R 2
= ,响应临界振荡,称为临界阻尼情况。响应曲线如
③C
L R 2<,响应是振荡性的,称为欠阻尼情况。响应曲线如图
U 0
二阶电路的欠阻尼过程
④当R =0时,响应是等幅振荡性的,称为无阻尼情况。响应曲线如图
随着输入信号的频率升高,输出信号稳定所需时间越来越短,输出信号的幅度值越来越小。一阶RC电路的时间常数越大传输速率越小。
2、用Multisim研究二阶电路的动态特性
(1实验电路
(2初始条件、电感及电容的值如图所示,t=0电路闭合。计算临界阻尼时的R值。并分别仿真R1=R/3、R和3R三种情况下电容上的电压,在同一张图上画出输入及三种情况的输出响应曲线。说明各属于什么响应(欠阻尼、临界及过阻尼。
经计算得临界阻尼R=632.46欧
R/3欠阻尼状态R临界阻尼状态3R过阻尼状态
(3从(2的仿真曲线上分别测量出电容上的电压相对误差小于1%所需要的时间。定性说明哪种响应输出最先稳定?哪种响应输出稳定最慢?
由图知所需时间为460.1266微秒
由54.0146微秒临界阻尼状态响应最先稳定过阻尼状态响应的最后稳定（4）输入频率为500Hz、占空比为50%、振幅为10V的时钟信号，仿真电阻R1=R/3、R和3R三种情况下电容上的输出电压波形（3个周期），在同一张图中画出输入信号和输出信号三条曲线，根据仿真曲线，说明在同样的误差范围，哪种电路传输的信号速率最高？哪种电路传输的信号速率最低？
二阶系统的瞬态响应
二阶系统的瞬态响应二阶系统是指系统的传递函数中包含二次方项的系统，通常是指具有惯性元件和阻尼元件的系统。
二阶系统的瞬态响应是指系统在受到输入信号时，其输出信号的变化情况，通常是指系统的过渡过程。
二阶系统的瞬态响应对于系统的性能和稳定性具有重要意义，因此需要对其进行深入的分析和研究。
二阶系统的传递函数通常可以表示为：$$G(s)=\frac{K}{(s-a)(s-b)}$$其中，$K$ 为系统的增益，$a$ 和 $b$ 为系统的极点。
极点是指系统传递函数的分母为零时的根，它们决定了系统的稳定性和响应速度。
当极点为实数时，系统具有欠阻尼（underdamped）的响应特性；当极点为共轭复数时，系统具有过阻尼（overdamped）的响应特性；当极点为重根时，系统具有临界阻尼（critical damping）的响应特性。
为了研究二阶系统的瞬态响应，通常要采用步变函数作为输入信号，即：$$u(t)=\begin{cases}0&t<0\\u_0&t\geq 0\end{cases}$$其中，$u_0$ 表示步变后的幅值大小。
步变函数是一种理想的输入信号，因为它可以使得系统的响应变化更加直观和可观察。
在进行二阶系统的瞬态响应分析时，通常需要计算系统的单位阶跃响应或者单位冲击响应。
单位阶跃响应是指在输入信号为单位阶跃函数时，系统的输出信号的变化情况；单位冲击响应是指在输入信号为单位冲击函数时，系统的输出信号的变化情况。
这两种响应函数可以通过拉普拉斯变换求得，具体形式如下：$$h_{step}(t)=\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{sG(s)}\}$$其中，$h_{step}(t)$ 表示单位阶跃响应函数，$h_{impulse}(t)$ 表示单位冲击响应函数。
$$y_{step}(t)=h_{step}(t)*u(t)$$其中，$y_{step}(t)$ 表示系统的阶跃响应。
自动控制实验一一阶系统的时域分析、二阶系统的瞬态响应
自动控制实验报告姓名: 学号: 班级:实验指导老师：__________________ 成绩：____________________实验一 一阶系统的时域分析、二阶系统的瞬态响应一阶系统的时域分析一、实验目的（1）熟悉THBDC-1型 信号与系统·控制理论及计算机控制技术实验平台及上位机软件的使用；（2）熟悉各典型环节的阶跃响应特性及其电路模拟；（3）测量各典型环节的阶跃响应曲线，并了解参数变化对其动态特性的影响。
二、实验设备（1）THBDC-1型 控制理论·计算机控制技术实验平台；（2）PC 机一台(含上位机软件)、数据采集卡、37针通信线1根、16芯数据排线、采接卡接口线；三、实验内容（1）设计并组建各典型环节的模拟电路；（2）测量各典型环节的阶跃响应，并研究参数变化对其输出响应的影响； 四、实验原理典型的一阶系统的传递函数与方框图分别为：当U i (S)输入端输入一个单位阶跃信号，且放大系数(K)为1、时间常数为T 时响应曲线如图1-7所示。
图1-7五、实验步骤1 根据一阶系统的的方框图，选择实验台上的通用电路单元设计并组建其相应的模拟电路，如下图所示。
图中后一个单元为反相器，其中R 0=200K 。
2 若比例系数K=1、时间常数T=1S时，1)()()(+==TS KS U S U s G i O电路中的参数取：R1=100K，R2=100K，C=10uF(K= R2/ R1=1,T=R2C=100K×10uF=1)。
3 若比例系数K=1、时间常数T=0.1S时，电路中的参数取：R1=100K，R2=100K，C=1uF(K= R2/ R1=1,T=R2C=100K×1uF=0.1)。
4 若比例系数K=2、时间常数T=0.1S时，电路中的参数取：R1=100K，R2=200K，C=1uF(K= R2/ R1=2,T=R2C=100K×1uF=0.1)。
一阶、二阶电路的动态响应
一阶电路和二阶电路的动态响应学号：1028401083 姓名：赵静怡一、实验目的1、掌握用Multisim研究一阶电路的动态响应特性测试方法2、掌握用Multisim软件绘制电路原理图3、掌握用Multisim软件进行瞬态分析4、深刻理解和掌握零输入响应、零状态响应和完全响应5、深刻理解欠阻尼、临界、过阻尼的意义6、研究电路元件参数对二阶电路动态响应的影响二、实验原理⑴一阶电路含有一个独立储能元件，可以用一阶微分方程来描述的电路，称为一阶电路。
一阶RC电路零输入响应：当U s=0时，电容的初始电压U c(0+)=U0时，电路的响应称为零输入响应。
RCt c U t u -=0)(（t>=0）零状态响应：当电容电压的初始值U c (0+)=0时，而输入为阶跃电压u s =U S u(t)时，电路的响应称为零状态响应。
)()1()(t u eU t u RCts c --=⑵二阶电路用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。
RLC 串联二阶电路如上图就是一个典型的二阶电路，可以用下述二阶线性常系数微分方程来描述：s c cc U u dt du RC dtu d LC =++22 衰减系数（阻尼系数）LR2=α 自由振荡角频率（固有频率）LCw o 1=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=<=>，称为无阻尼情况，响应是等幅振荡性的0伟欠阻尼情况，响应是振荡性的，陈2临界阻尼情况，响应临界振荡，称为2为过阻尼情况响应是非振荡性的，称,2RCLR CLR CLR三、实验内容：1．用Multisim研究一阶电路的动态响应（1）实验电路（a） (b) (c)（2）初始条件如图所示，t=0电路闭合，分别仿真出电容上电压（从零时刻开始）的波形，说明各属于什么响应？三种情况下分别测量电容电压达到3v所用的时间。
①图（a）为零状态相应，电容上电压的波形如下图：由上图可知，电容电压达到3v所用的时间约为91.6146μm②图（b）为零输入相应，电容上电压的波形如下图：由上图可知，电容电压达到3v所用的时间为51.1196μm ③图（c）为全响应，电容上电压的波形如下图：由上图可知，电容电压达到3v 所用的时间为40.6082μm（3）写出三种情况下电容电压随时间的函数表达式，并分别计算出电容电压为3V 时的时间。
《二阶系统的瞬态响应分析实验报告》
《二阶系统的瞬态响应分析实验报告》
二阶系统的瞬态响应分析实验旨在分析静态系统的瞬态响应及分析系统对瞬态信号的响应特性，它可以帮助我们了解系统容积特性，确定系统回路元件数量。
本实验使用模拟电路设计了一个二阶系统，它由一个阻容耦合放大器组成，并采用正弦信号进行测试。
实验中，首先用方程式通过调节输入不同频率的正弦输入信号计算出阻尼比和谐振频率，经参数校准后，设计一个小型电路，用模拟示波器采样测量系统的实时响应的。
然后设置空状态，采用编程的方法，以1KHz的频率来触发输入信号，经过决策保持该频率，再通过变频信号调节��成慢速步进，如数组[20KHz, 10KHz, 8KHz, 6KHz,
4KHz]，衡量系统响应速率。
最后，通过数据分析，分析瞬态信号的响应特性，捕获系统的变化以及它们伴随而来的影响，从而更好地描述系统行为规律。
本实验研究了二阶系统及其瞬态响应结果，了解了其过程及其对瞬态信号的改变，这也为进一步的实验准备提供了基础。
二阶系统的瞬态响应实验报告
二阶系统的瞬态响应实验报告二阶系统的瞬态响应实验报告引言：在控制系统中，瞬态响应是指系统在受到外部激励后，从初始状态到达稳定状态所经历的过程。
而二阶系统是一类常见的动态系统，其特点是具有两个自由度。
本次实验旨在通过对二阶系统的瞬态响应进行实验研究，探索其特性和性能。
实验目的：1. 理解二阶系统的结构和特性；2. 掌握二阶系统的瞬态响应分析方法；3. 通过实验验证理论模型的准确性。
实验装置与方法：本次实验采用了一台二阶系统实验装置，其中包括了一个二阶系统模块、信号发生器、示波器等设备。
实验步骤如下：1. 搭建实验装置，确保各设备连接正确并稳定；2. 设定信号发生器的输入信号频率和幅值；3. 通过示波器观察和记录系统的输出响应；4. 改变输入信号的频率和幅值，重复步骤3。
实验结果与分析：通过实验观察和记录，我们得到了二阶系统在不同输入信号条件下的瞬态响应曲线。
根据实验数据，我们可以进行以下分析：1. 频率对瞬态响应的影响：在实验中，我们分别设定了不同频率的输入信号，并观察了系统的瞬态响应。
结果显示，当输入信号的频率较低时，系统的瞬态响应较为迟缓，需要较长时间才能达到稳定状态。
而当输入信号的频率较高时，系统的瞬态响应较为迅速，能够更快地达到稳定状态。
这说明在二阶系统中，频率对瞬态响应具有显著影响。
2. 幅值对瞬态响应的影响：我们还通过改变输入信号的幅值，观察了系统的瞬态响应。
实验结果显示，当输入信号的幅值较小时，系统的瞬态响应较为平缓，没有明显的过冲现象。
而当输入信号的幅值较大时，系统的瞬态响应会出现过冲现象，并且需要更长的时间才能达到稳定状态。
这表明在二阶系统中，幅值对瞬态响应同样具有重要影响。
结论：通过本次实验，我们深入了解了二阶系统的瞬态响应特性。
实验结果表明，频率和幅值是影响二阶系统瞬态响应的重要因素。
频率较低和幅值较小的输入信号可以使系统的瞬态响应更加平缓和稳定。
而频率较高和幅值较大的输入信号则会导致系统瞬态响应更快和过冲现象的出现。
二阶电路的瞬态响应实验报告
二阶电路的瞬态响应实验报告
实验目的：
1、学习二阶电路的基本性质和特性。
2、学习瞬态响应的基本概念和理论知识。
3、掌握不同初始条件下二阶电路的瞬态响应计算方法。
实验器材：
电压源、电容、电感、电阻、示波器、万用表等。
实验原理：
二阶电路是由电容、电感和电阻组成的，具有振荡和滤波等特点。
瞬态响应是指电路在初始时刻，由于电压、电流等物理量的突变而引
起的响应。
实验步骤：
1、搭建串联谐振电路，连接示波器，调节电压源，记录电压波形
和示波器上的振荡频率。
2、改变电容和电感的值，重复步骤一。
3、调节电源电压，记录电压波形和示波器上的振荡频率。
4、搭建平面电路，加入脉冲信号，记录电压波形和示波器上的响应。
实验结果：
1、串联谐振电路在一定范围内，振荡频率随电容和电感的变化呈
现线性关系，当达到谐振频率时，电压幅值最大。
2、改变电源电压，谐振频率不变，电压幅值随电源电压的变化而
变化。
3、平面电路对脉冲信号的响应分为超阻尼、临界阻尼和欠阻尼三
种情况，具有不同的振荡周期和衰减幅值。
实验结论：
1、二阶电路具有谐振特性，可以用于振荡电路和滤波电路的设计。
2、不同初始条件下的二阶电路具有不同的瞬态响应，可以用于信
号处理和控制电路的设计。
3、实验中所搭建的二阶电路在不同的调节和控制条件下，具有不
同的特性和性能，对于电路组成、操作方式等具有重要的指导意义。
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实验二 一阶电路的瞬态响应
一 实验目的
1 用万用表观察时间常数τ较大的RC 串联电路接通直流电压的瞬态响应。
熟悉用万
用表判别较大电容好坏的方法。
2 用示波器观察和测定RC 电路的阶跃响应和时间常数τ。
3 了解时间常数对响应波形的影响及积分、微分电路的特点。
二 原理说明
1 用万用表观察大时间常数的RC 串联电路接通直流电压的瞬态响应。
如上图所示，虚线框内为万用表的欧姆档等效电路，它由电池，中值电阻r 和电流表G 组成。
当万用表黑、红表笔分别接电解电容的正、负极时，就构成了RC 串联电路接通直流电压的情况，而表头指针的偏转就反映了电路响应电流的大小（满度电流I=v/r ）。
当将电容的两个端点短路，即使电容的初始电压为零 0)0(=C V ，则电容两端的电压为
)1(/τt C e V V --=
电路中电流为 τ
/t e r
V i -=
其中rc =τ是这个电路的时间常数，若从下图所示响应电流随时间变化的曲线上，任
意选两点P （i 1，t 1）和Q （i 2, t 2）
则由 τ
/11t e r V i -=
τ/22t e r
V
i -=
得 τ/)(ln 122
1t t i i
-=
于是，可得时间常数τ的关系式 )
/ln(211
2i i t t -=
τ
若取 2/12i i = 则 7
.01
2t t -=
τ 这样，只要从某点电流值i 1开始计时到i 1/2值所经历的时间除以0.7即为电路的时间常数τ。
图2-1 万用表的欧姆档检查电解点容等效电路
图2-2 点容器接通直流电压时响应
电流
当改变万用表欧姆档的档值时，其中值电阻值也随之改变，即电路的时间常数τ也随之改变，则瞬态响应所经历的时间也随之改变。
当被测电容很小时，由于τ太小和表针的惰性，表针还未启动瞬态响应过程已经结束。
所以，当电容量小于0.01uF 时，用万用表欧姆档还不能观察到电路的瞬态响应过程，且也只能在R ×10K 档（r 中=240K ）观察到表针有摆动的现象，表针未偏转至满度值就返回。
利用上述原理就可用万用表来判别大于0.01uF 的电容器的好坏，若表针不摆动或偏转后不返回，则说明电容器开路或短路。
若表针不返回至“∞”处，则说明电容器漏电。
2 积分电路和微分电路 如图所示为一阶RC 串联电路图。
)(t Vs 是周期为T 的方波信号， 设0)0(=C V 则
dt t V RC
dt R t V C dt t i C t V R R C ⎰⎰⎰===
)(1
)(1)(1)( 当时间常数RC =τ很大，即τ》T 时，在方波的激励下，C V 上冲得的电压远小于R V 上的电压，即)(t V R 》)(t V C 因此 )()(t V t Vs R ≈
所以 dt t V RC t V S C ⎰
≈
)(1
)( 上式表明，若将)(t V C 作为输出电压，则)(t V C 近似与输出电压)(t Vs 对时间的积分成正比。
我们称此时的RC 电路为积分电路，波形如下
如果输出电压是电阻R 上的电压V R （t ）则有
dt
t dV RC t i R t V C R )
()()(⋅
=⋅=
V S
V 图2-3 一阶RC 串联实验电路图
当时间常数RC =τ很小 ，即τ《T 时，)(t V C 》)(t V R ，因此)()(t V t V C S ≈ 所以 dt
t dV RC
t V S R )
()(≈ 上式表明，输出电压V R （t ）近似与输出电压ＶS （t ）对时间的微分成正比。
我们称此时的RC
在实验中，我们可以选择不同的时间常数满足上述条件，以实现积分电路和微分电路。
三 预习练习
1 复习有关瞬态分析的理论，瞬态响应的测量，弄清一阶电路的瞬态响应及其观察方法。
2 定性画出本实验中不同时间常数的瞬态响应的波形，并从物理概念上加以说明。
3 计算用（指针式）万用表的R ×1K 档接通1000uF 电路的时间常数τ。
4 如何使用万用表和示波器来测量电路的时间常数τ 四 实验内容和步骤
1 用万用表观察τ较大的RC 串联电路接通直流电压的瞬态响应。
（1） 将待用的电容器短路，将其原有充电电荷放电。
（2） 观察当用万用表的欧姆档R ×1K 、R ×100接通1000uF （25V ）、10uF （25V ）电容器时（注意表笔的极性），表针的偏转和返回速率的变化（此即为RC 串联电路的电流瞬态响应），记录表针稳定后的读数。
（3） 观察用万用表的欧姆档R ×1K 、R ×10K 接通0.01uF 电容时表针的变化，并解释其现象。
（4） 用万用表欧姆档R ×1K 测定接通1000uF 电容器的电路的时间常数。
（5）用万用表判别有故障的电容器属于何类故障，记录观察到的现象和故障的类别。
2 用示波器测量一阶电路的瞬态响应。
（1） RC 电路瞬态响应的测量
V 图2-5 微分电路波形
图2-6 RC瞬态响应实验电路
如图，取C=0.1uF，R分别为10k ，1k，510Ω时，用示波器观察和描绘输入方波（周期T=100us）时的输出电压V c（t）波形，并用示波器测量R=1k时电路的时间常数。
（2） CR电路瞬态响应的测量
图2-7 CR瞬态响应实验电路
如图，取C=0.01uF，R分别为10k，1k， 510Ω时，用示波器观察和描绘输入方波（周期T=200us）时的输出电压V R(t)波形。
五实验器材
1（指针式）万用表
2双踪示波器
3 信号与系统实验箱
六实验报告
1 整理各项实验观察和测量的结果，描绘不同时间常数的输入和输出波形。
2 分析实验结果，说明元件数值改变对一阶电路瞬态响应的影响。