合肥工业大学2012-2013《高等数学》A(1)试卷B(答案)
合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题
合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________．2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y ds +-=⎰ ．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f = ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11x y dz ===( ) 2、二次积分20(,)dx f x y dy ⎰ 化为极坐标下累次积分为（ ）3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ）)(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（ ）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰（B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224z dS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰（D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y=+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂． 四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、（本题满分10分）计算二重积分：2DI y x d σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())()x xLy ye f x dx e f x d ---+⎰与路径无关,且6(0)5f = .求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy--=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑+-++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n nn x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛。
合肥工业大学试卷参考答案(A卷)
又因 N 必须为 2 的整数幂 所以一个记录中的最少点数为 N=210=1024。 二. 简答题（共 40 分，10 分/题） 1. 采用 FFT 算法，可用快速卷积实现线性卷积。现欲计算两个长度分别为 N1 和 N2 的有限 长序列 x(n)、 h(n)的线性卷积 x(n)*h(n)， 试写出该快速卷积算法的计算步骤 （注意说明点数） 。 M 1 将序列 x(n)、h(n) 补零至长度 N，其中：N≥N1+N2−1 且 N=2 （M 为整数） 答：○ ； 2 利用 FFT 算法分别计算序列 x(n)、h(n)的 N 点离散傅里叶变换 X(k)、H(k)； ○ 3 计算频谱 X(k)、H(k)的乘积，即 ○
Y (k ) = X (k ) H (k )
4 计算 Y(k)的 IFFT 变换，则求得序列 x(n)、h(n)的 N 点线性卷积 x(n)*h(n)，即 ○
x(n) ∗ h(n) = y (n) = IFFT [ X (k ) H (k )]
此快速卷积过程如图所示，图中，N≥N1+N2-1，且 N=2M（M 为整数） 。
−π
π
3. 试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积。
第 1 页 共 4 页
解：由循环卷积的定义，可知
6 x ( n) = [ x (( n)) ○ * x ((n )) ]R ( n) y (n) = x1 (n) ○ 2 1 6 2 6 6 * 3δ ((n − 3)) ]R ( n) = [ x1 ((n)) 6 ○ 6 6
第 3 页 共 4 页
∑
n =0
N −1
x (n) =
2
1 N
∑ X (k )
k =0
N −1
2
证：由 DFT 的定义，可知
合工大高数历年统考题
学年第 二 学期 课程名称 高等数学（下）一、填空题（每小题3分，满分15分） 1．设函数ln(32)xy z x y e =-+，则(1,0)dz =3144dx dy -。
2．=⎰⎰dy yydx x sin 0ππ2。
3．设V 为柱体：10,122≤≤≤+z y x ，则=⎰⎰⎰υυd e z(1)e π-。
4．设()1f x x =+，ππ≤≤-x ，则其以2π为周期的傅立叶级数在点x π=处收敛于1。
二、选择题（每小题3分，共15分） 1．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,,),(2222,y x y x y x xy y x f 则（ .C ）.A ),(lim 0y x f y x →→存在 .B ),(y x f 在点(0,0)处连续.C )0,0(),0,0(y x f f ''都存在 .D ),(y x f 在点(0,0)处可微2．曲线⎩⎨⎧=-+=+-632,922222z y x z e x y 在点(3,0,2)处的切线方程为（.B ） .A 32x y z -==- .B 326yx z -==- .C 32214x y z --==- .D {3(2)0x z y -=--= 3．设L 为圆周,122=+y x 则⎰=+Lds y x)(33（ .A ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 34．设常数0a >，则级数1111(1)ln n an n n∞++=-∑（ .C ）。
.A 发散 .B 条件收敛 .C 绝对收敛 .D 敛散性与a 有关。
三、设),)((2xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂。
（本题10分）解：122()zx y f yf x∂=-+∂， 2121111222122(2())22()[2()][2()]z x y f yf f x y x y f xf f y y x f xf x y y∂∂=-+=-+---+++-+∂∂∂ 221111222224()2()f x y f x y f xyf f =---+-++ 四（10分）、求函数)1(),(-=y x y x f 在由上半圆周)0(322≥=+y y x 与x 轴所围成的闭区域D 上的最大值和最小值。
合肥工业大学12--13学年第二学期《高等数学》期中试卷
合肥工业大学12--13学年第二学期《高等数学》期中试卷一.填空题(每小题4分, 满分16分)1.微分方程tan cos y y x x '+=的通解为 ．2.积分 0sin x y dx dy yππ⎰⎰= ． 3.函数2u xy z =在点P (1,-1,2)处的方向导数最大值为___________. 4.求过点0(1,1,0)P - 及直线21:213x y z L -+==-的平面方程___________. 二.选择题(每小题4分, 满分16分)1．设二阶非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=有3个线性无关的特解1y 、2y 、3y ，则方程的通解为（ ）(A) 11223y C y C y y =++ (B) 113223()()y C y y C y y =-+-(C) 1122123(1)y C y C y C C y =+--- (D)1122123(1)y C y C y C C y =++--2. 设函数(,)f x y连续，则二次积分24212(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰（ ）． (A) 241(,)y y dy f x y dx ⎰⎰ (B) 241(,)y y dy f x y dx ⎰⎰(C)221(,)y y dy f x y dx ⎰⎰ (D) 221(,)yy dy f x y dx ⎰⎰ 3．设()222222,0,,0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩则(),f x y 在点()0,0处（ ） (A) 极限存在 (B) 连续 (C) 偏导存在 (D) 可微4.设函数ln(32)xy z x y e =-+ 则(1,0)dz = ( ).(A) 3dx dy - (B) 3144dx dy -(C) 34dx dy - (D) 3144dx dy +三. 计算题（共68分）1、 (10分) 求微分方程2x y y y xe '''++=的通解.2、(12分) 设22(,)z f x y xy =+，其中f 有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2． 3、(16分)设函数22(,)44f x y x y x y =---(1)求(,)f x y 的极值；(2)求(,)f x y 在闭圆盘D ：229x y +≤上的最值. 4.（10分）求曲线2223023540x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩在(1,1,1)处的切线与法平面方程.5. (10分) 设D 为}{22(,)2,0,0,D x y x y x y =+≤≥≥ 计算221.Dx y dxdy +-⎰⎰6. (10分) 计算22(),x y dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是平面上的直线z x =绕z 轴旋转一周所得到的曲面与平面1z =所围成的闭区域.。
合肥工业大学高数下部分课后习题参考答案
AB 7 ， AC 7 ， BC 7 2 ; 等腰直角三角形.
14 3. M 0, 0, . 9
4. 5.
2x 6 y 6z 3 0 .
a b a b a b a b ； ； ； . 2 2 2 2
1 2 1 ， cos ； 7. AB 2 ； cos ， cos 2 2 2
5. 8x 9 y 22 z 59 0 . 6.
3 2 . 2
习题 8-5
1. （1）直线，平面； （2）抛物线，抛物柱面； （3）圆，圆柱面； （4）双曲线，双曲柱面. 2. （1）将 xOy 平面上双曲线 x2 y2 1绕 x 轴旋转一周；
（2）将 yOz 平面上直线 z y a 绕 z 轴旋转一周.
12. （1）见图 8-9；
（2）见图 8-10；
图 8-9
图 8-10
（3）见图 8-11；
（4）见图 8-12.
图 8-11 习题 9-1
图 8-12
1. （ 1 ）为有界开区域；聚点为集合 {(x, y ) | x 2 + y 2 1} ，边界点为集合 {(x, y ) | x 2 + y 2 =1} {(0, 0)} ；
4
x2 y 2 1, （ 2 ） 在 xOy 面 投 影 曲 线 方 程 ： 在 yOz 面 投 影 曲 线 方 程 ： z 0;
z z y sin , x cos , 2 在 zOx 面投影曲线方程： 2 y 0. x 0;
3020max21minminmaxmax上的点到原点的距离的最大值与最小值分别为15max16总复习题九11122sincoscossincos10
合肥工业大学试卷参考答案B卷
=
1 2π
π −π
X
2
(e
jω
)dω
所以
∫ ∫ ∫ 1
2π
π −π
X1 (e
jω
)X 2 (e
jω
)dω
=
{21π
π −π
X1 (e
jω
)dω}{21π
π −π
X
2 (e
jω
)dω}
第4页共4页
x(n) =
x(t) t =nTs
=
x(nTs ) =
x⎜⎜⎝⎛
n fs
⎟⎟⎠⎞
=
3
cos⎜⎜⎝⎛
2π
⎜⎛ ⎝
1 5
⎟⎞n ⎠
⎟⎟⎠⎞
+
5
sin⎜⎜⎝⎛
2π
⎜⎛ ⎝
3 5
⎟⎞n ⎠
⎟⎟⎠⎞
+
10
cos⎜⎜⎝⎛
2π
⎜⎛ ⎝
6 5
⎟⎞n ⎠
⎟⎟⎠⎞
=
3
cos⎜⎜⎝⎛
2π
⎜⎛ ⎝
1 5
⎟⎞n ⎠
⎟⎟⎠⎞
−
2π
⎜⎛ ⎝
1 5
⎟⎞n ⎠
⎟⎟⎠⎞
−
5 sin ⎜⎜⎝⎛
2π
⎜⎛ ⎝
2 5
⎟⎞n ⎠
⎟⎟⎠⎞
2. 设 x(n)的傅里叶变换为 X(ejω)，试利用 X(ejω)表示下列序列的傅里叶变换：
（1） x1(n) = x(1 − n) + x(−1 − n) （2） x(n) = 1 [x(n) + x∗ (−n)]
一. 计算题（共 60 分，12 分/题） 1. 设模拟信号 x(t)=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt，求： （1） 该信号的最小采样频率； （2） 若采样频率 fs=5000Hz，其采样后的输出信号； 解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是
合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷A试题
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0lim(13)x x x →+= ．2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e-，则()________xf x dx '=⎰．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r eθ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim 11cos x f x x→=-，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（ ）(A)1+∞⎰(B)111sin dx x -⎰ (C)221ln dx x x+∞⎰(D) 2x xe dx +∞--∞⎰5、曲线2211x x e y e--+=-（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++L ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→． 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '． 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x ． 5、2arctan x dx x ⎰． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩，求20(1)f x dx -⎰． 四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．。
《高等数学》BI(B卷)1213考试试卷(含答案)
共 6 页 第1页 南京工程学院试卷2012 /2013 学年 第 1 学期课程所属部门： 基础部 课程名称： 高等数学BI____________考试方式： 闭卷(Ｂ卷) 使用班级： 工本_ ___命 题 人： 集体 教研室主任审核： 主管领导批准：____________题号一 二三四五六七八九十总分 得分一、单项选择题：（本大题共5小题，每题3分，共15分）1．如果)(lim x f ax →存在，)(lim x g ax →存在，则)]()([lim x g x f ax +→ （ ）(A) 必存在； (B) 必不存在； (C) 可能存在 ； (D) 不能确定.2．已知)5)(4)(3()(---=x x x x f ，则0)(='x f 有 （ ）(A) 一个实根； (B) 两个实根； (C) 三个实根； (D) 无实根.3．设⎩⎨⎧>+≤+=1,1,1)(2x b ax x x x f 在1=x 可导，则b a ,为 （ ）(A) 2,2=-=b a ； (B) 2,0==b a ； (C) 0,2==b a ； (D) 1,1==b a ．4．下列广义积分收敛的是 （ ）(A) dx x ⎰+∞11； (B) dx x ⎰101； (C) dx x ⎰121； (D) dx x ⎰+∞121．本题 得分班级 学号 姓名______________南京工程学院试题评分标准及参考答案2012 / 2013 学年第 1 学课程名称： 高等数学BI 使用班级： 工本 （B ）制 作 人： 尤兴华 13 年 1 月共4 页 第 1 页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012～2013 学年第 一 学期 课程代码 课程名称 高等数学A(1) 学分 课程性质:必修;、选修 、限修 考试形式:开卷 、闭卷;专业班级（教学班） 考试日期 2012.11.20 命题教师 高等数学课程组 系（所或教研室） 主任审批签名 刘植
2012～2013 学年第 一 学期 课程代码 课程名称 高等数学A(1) 学分 课程性质:必修;、选修 、限修 考试形式:开卷 、闭卷;专业班级（教学班） 考试日期 2012.11.20 命题教师 高等数学课程组 系（所或教研室） 主任审批签名 刘植
2012～2013 学年第 一 学期 课程代码 课程名称 高等数学A(1) 学分 课程性质:必修;、选修 、限修 考试形式:开卷 、闭卷;
专业班级（教学班） 考试日期 2012.11.20 命题教师 高等数学课程组 系（所或教研室） 主任审批签名 刘植
五、（12分）设()f x 在上具有二阶导数，且，， [,]a b ()()0f a f b ==()()0f a f b +
−′′>证明：（1）存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=；
（2）存在(,)a b η∈，使()0f η′′=.
证明：（1）不妨设：，，即 ()0f a +′>()0f b −′> 1()()()
()lim lim 0,x a
x a f x f a f x f a x a x a x a +
++→→−′==>⇒∃>−−使 1()0f x > 2()()()()lim lim 0,x b
x b f x f b f x f b x b x b x b
−
−
−→→−′==>⇒∃<−−使2()0f x < ()f x 在12[,]x x 上满足零点定理条件，故存在一点12(,)(,)x x a b ξ∈⊂，使()0f ξ=
（2）()f x 在区间[],a ξ上满足Rolle 中值定理条件，故存在一点1(,)a ξξ∈，使1()0f ξ′=，
()f x 在区间[],b ξ上满足Rolle 中值定理条件，故存在一点2(,)b ξξ∈，使2()0f ξ′=， ()f x ′在区间[]12,ξξ上满足Rolle 中值定理条件，故存在一点12(,)ηξξ∈，使()0f η′′=.。