计算物理随机游走
随机游走离散型随机变量的随机漫步模型
随机游走离散型随机变量的随机漫步模型随机游走是一种描述随机变量在一条离散路径上从一个状态跳转到另一个状态的模型。
在该模型中，随机变量在每次转移时根据一定的概率进行状态的跳转，使得其在状态空间中进行“随机漫步”。
本文将介绍随机游走的概念、离散型随机变量以及随机漫步模型的基本原理。
一、随机游走的概念随机游走（Random Walk）是一种数学模型，用于描述在离散路径上随机变量的运动轨迹。
在随机游走过程中，随机变量从当前状态跳转到下一个状态的概率是随机的，并且其转移规律通常遵循一定的概率分布。
随机游走常用于模拟各种现实中的问题，如股票价格的变化、传染病的传播等。
二、离散型随机变量离散型随机变量（Discrete Random Variable）指的是在一定的取值范围内，可能取到有限个或可列个数值的随机变量。
与连续型随机变量不同，离散型随机变量的取值仅限于某些特定的数值。
常见的离散型随机变量包括二项分布、泊松分布等。
三、随机漫步模型随机漫步模型（Random Walk Model）是一种描述随机变量以随机方式在状态空间中移动的数学模型。
在随机漫步模型中，随机变量在每次转移时根据一定的概率进行状态的跳转，使得其在状态空间中进行随机的移动。
具体的转移规律通常由转移概率矩阵来描述。
在离散型随机变量的随机漫步模型中，随机变量的状态空间是有限个或可列个状态。
随机漫步模型可以用一个状态转移矩阵来表示，矩阵的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
通过迭代计算，可以得到随机变量在每个状态下的概率分布，从而对其进行建模和分析。
随机漫步模型在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在金融领域中，可以利用随机漫步模型来预测股票价格的变化趋势；在物理学领域中，可以使用随机漫步模型来模拟原子或分子的扩散过程等。
总结：随机游走离散型随机变量的随机漫步模型是一种描述随机变量在离散路径上随机跳转的数学模型。
通过随机漫步模型，我们可以对离散型随机变量的状态进行建模和分析，为实际问题的解决提供参考。
计算物理 随机游走
n
x n = ( p − q )n = 0
i = 1, i = j
∑s s
i
n
j
+
i j i =1, j =1, i ≠ j
6
∑s s
n
x n = ∑ si
i =1
2 x n = ∑ si ⋅ ∑ s j = i =1 j =1 n n
n
xn = 0
( s1 + s2 ) ⋅ ( s1 + s2 )
正方形格点划分 等步长h 等步长
其中， 是在区域D的正则内点 上的函数q(x,y)的值。 的正则内点0上的函数 的值。 其中，q0是在区域 的正则内点 上的函数 的值
13
1 φ0 = (φ1 + φ2 + φ3 + φ4 − h2 q0 ) 4
其中， 可以解释为概率 即有： 可以解释为概率。 其中，1/4可以解释为概率。即有：
右边分布积分再代入边界条件：p( ±∞ , t ) = 0
+ ∞ ∂ p( x , t ) ∂ p( x , t ) ∂ p( x , t ) D∫ x dx = Dx dx = 0 − D∫ 2 −∞ −∞ ∂ x ∂x − ∞ ∂x +∞ 2
9
+∞
∂ x =0 ∂t
由于在t=0时 粒子在原点处， 由于在 时 ， 粒子在原点处 ， 从而粒子 位置的平均值是不随时间变化的。 位置的平均值是不随时间变化的。
x2 =
2 k BT
α
t + c1e
−α t
m
+ c2
x
2
=
2 k BT
α
t = 2 Dt
D为扩散系数。 为扩散系数。 为扩散系数
彭芳麟计算物理基础课后答案
彭芳麟计算物理基础课后答案P968、t=[0:0.1:2*pi]; A1=5; A2=3; w1=2; w2=4;x1=A1*sin(w1*t+pi/3); x2=A2*sin(w2*t+pi/4); plot(t,x1,'-r',t,x2,'-b');1234567-5-4-3-2-1012345P98 21 x=-5:0.1:5; y=0:0.1:10;[X,Y]=meshgrid(x,y); z=X.^2.*Y + sqrt(Y)./X; mesh(X,Y,z);-2024-22P97 20 subplot(1,2,1);[X0,Y0,Z0]=sphere(20); X=2*X0;Y=3*Y0; Z=4*Z0+1; surf(X,Y,Z); axis equal subplot(1,2,2) t=-1:0.1:1;[X,Y,Z]=cylinder(1+t.^2,20);%形成旋转曲面 surf(X,Y,Z); P195 1x=[-1.0 -0.75 -0.50 -0.25 0 0.25 0.50 0.75 1.00];y=[-0.2209 0.3295 0.8826 1.4392 2.0003 2.5645 3.1334 3.7061 4.2836];a=polyfit(x,y,1);a= 2.2516 2.0131y=2.2516x+2.0131P151 3syms vvp=1578;f=int(4/pi^(1/2)*v^2/vp^3*exp(-v^2/vp^2),v,0,Inf);VF=vpa(f);1. 解：依题，取a 5,c 1,m 16, x0 1xn 1 (5xn 1)(mod16),x0 1,x伪随机数：n n162. 解：依题，取a 137,c 187,m 256,x0 1xn 1 (137xn 187)(mod 256),x0 1,xn 2 (137xn 1 187)(mod 256),x x x伪随机数：n n ,n 1 n 1 ,n 2 n 2256 256 2563. 解：引入二维随机均匀分布向量(x,) 表示针在桌上的位置，s 1 1x [0, ], f (x ) ;[0, ], f () .1 22 s / 2 0 2 / 2 0其中，s 为线间的距离，l 为针长度，x 为线中点到最近平行线的距离，为针与线平行线间的夹角。
耦合的公式(二)
耦合的公式(二)耦合的公式在物理学和工程学中，耦合是指两个或多个系统之间相互影响或相互依赖的现象。
在数学建模中，我们可以使用耦合的公式来描述这种相互影响或依赖关系。
下面是一些常见的耦合公式及其解释说明。
1. 费马的小定理费马的小定理是数论中的一个重要定理，它描述了素数与模运算之间的关系。
该定理可以表示为以下公式：a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}其中，a是一个整数，p是一个素数。
例如，我们要判断一个数是否为素数，可以使用费马的小定理。
如果对于给定的数a，我们选择一个素数p，计算a^{p-1}对p取余，如果结果等于1，则a可能是素数，否则不是素数。
2. 随机游走随机游走是一种随机过程，描述了在随机因素的影响下，物体在空间中的连续移动。
其中一个经典的随机游走模型是随机行走模型，可以用以下公式表示：x_t = x_{t-1} + \epsilon_t其中，x_t表示在时间t的位置，x_{t-1}表示在时间t-1的位置，_t表示在时间t的随机步长。
例如，我们可以用随机游走模型来模拟股票价格的变动。
每个时间点的股票价格可以通过上一个时间点的价格加上一个随机的步长来计算。
3. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是电磁学中的一组基本方程，描述了电场和磁场之间的耦合关系。
其中一个麦克斯韦方程可以表示为以下公式：\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf {B}}{\partial t}其中，表示电场，表示磁场，，表示对时间的偏导数。
这个方程描述了磁场随时间变化的规律与电场的旋度之间的关系。
4. 生态系统模型生态系统模型是用于描述生物群落、能量流动和物质循环等生态系统过程的数学模型。
一个常见的生态系统模型是Lotka-Volterra方程，可以表示为以下公式：\frac{dN_1}{dt} = r_1N_1 - \alpha_1N_1N_2\frac{dN_2}{dt} = -r_2N_2 + \alpha_2N_1N_2其中，N_1和N_2表示两个物种的数量，r_1和r_2表示它们的自然增长率，_1和_2表示相互作用的强度。
原子物理学中的量子随机行走
原子物理学中的量子随机行走量子随机行走（Quantum Random Walk），是原子物理学中研究的重要课题之一。
它通过模拟单个粒子在离散空间中随机移动的过程，揭示了微观世界中非经典的行为特征。
量子随机行走的基本概念可以从经典随机行走开始理解。
在经典随机行走中，一个粒子在平面上进行二维随机移动，每一步只能向上、下、左或右移动。
经过多次随机选择方向并移动一步，粒子的位置会随着时间的推移逐渐扩散，形成一个随机分布。
而在量子随机行走中，粒子不再是经典粒子，而是由量子态描述的，具有波粒二象性。
它既可以表现为粒子的离散位置，也可以表现为波函数的连续分布。
在量子随机行走中，粒子的行为会受到“硬币”操作的影响。
这里的“硬币”是指量子系统的一个自由度，它的状态可以是0或1，分别代表右移或左移的方向。
在每一步移动之前，粒子都会与这个“硬币”进行相互作用，并根据测量结果决定下一步移动的方向。
而这个“硬币”操作通常由一系列基本的量子逻辑门实现，比如Hadamard门或CNOT门等。
值得注意的是，量子随机行走和经典随机行走之间存在很大差异。
经典随机行走是完全随机的，而量子随机行走则会在某些情况下表现出非经典的行为。
例如，当“硬币”处于纠缠态时，粒子的位置分布会出现干涉现象，形成一种周期性的特征。
这种干涉效应与经典随机行走的扩散过程形成鲜明对比，展现了量子行走的独特之处。
量子随机行走不仅在理论物理中具有重要意义，而且在实验方面也有广泛的应用。
通过实验可以观测到量子随机行走的多种行为特征，如扩散速率、干涉现象等。
这些实验结果不仅丰富了对量子行为的理解，也有助于开发新的量子技术。
量子随机行走的研究还涉及到许多其他领域，比如量子算法、量子通信以及量子传感等。
在量子算法中，量子随机行走可以用于设计一些特定问题的高效算法，如搜索和优化问题。
而在量子通信和传感中，量子随机行走可以用于实现更安全和高效的通信和传感方案。
实际上，量子随机行走已经成为量子信息领域的一个重要研究方向，吸引了越来越多的科学家的关注和研究。
计算物理学练习题及参考解答
如图第一项限中单位正方形内投点在圆内的概率即为单位圆面积的四分之一。
2 数学方程： 4 dx1 dx2 (1 x12 x2 )
1
0
1
0
算法框图： 产生随机点 （ξ， η） M 个； 统计其中满足条件 2 2 1 的点的个数 N； 计算π值 4 N / M 。 Matlab 程序：P=4/100000*length(find(sum(rand(2,100000).^2)<1))
F ( x ) pi 。
xi x
在区间[0,1]上取均匀分布的随机数ξ，判断满足下式的 j 值：
F ( x j 1 ) F ( x j )
则抽样值η为 x j ，η分布符合分布函数 F(x)的要求为。 25、试述连续分布的随机变量的变换抽样法。 答：设连续型随机变量η的分布密度函数为 f ( x ) 。要对满足分布密度函数 f(x)的随机变量η 抽样较难时 可考虑通过其它已知函数的抽样来得到。考虑变换
!输出 avu,du1,du2,del 100 open(12,file='out.dat') write(12,1000) Nt,Ng,Nf,Ns,dx,avu,du1,du2,del close(12)
5
1000 format(4i10,5f15.4) end 计算距离的函数子程序 function dist(x,y,z) dist=sqrt(x*x+y*y+z*z) return end ! 计算权重的函数子程序 subroutine weight(x,f) dimension x(6) r1=dist(x(1),x(2),x(3)) r2=dist(x(4),x(5),x(6)) f=exp(-3.375*(r1+r2)) return end ! 梅氏游动一步的子程序 subroutine walk(RND,dx,x) dimension x(6),x0(6) call weight(x,f0) do 10 i=1,6 x0(i)=x(i) call random(RND) ! 存旧 10 x(i)=x(i)+dx*(RND-0.5) ! 生新 call weight(x,f) call random(RND) if(f.ge.f0*RND) goto 30 !游动 do 20 i=1,6 20 x(i)=x0(i) !不动 30 return End 29．有限差分法 答：微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来 代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数 来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件 就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组 ，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。 然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 30．采用有限差分法求解微分方程时可以用直接法、随机游走法和迭代求解法。其中迭代法被广泛采用， 有直接迭代法、高斯－赛德尔迭代法和超松弛迭代法。 !
闪电的随机游走模型
423社会科学闪电的随机游走模型吕源淇（南京市江宁区汤山作厂，江苏 南京 210000）摘 要：本文对一个兴趣性的问题，即闪电的模型，进行了一些简单初步的探索。
我们分成两部分的来介绍。
第一部分，我们阐述模型的基础，也是概率模型或者说随机游走，因为闪电的形成是由于某处的空气作为介质被“击穿”，从而产生电流，接着在空气中传导，然后不断重复上述过程。
因此只有在电势差足够大的地方才可能产生击穿空气，进而产生电流。
所以我们考虑用电势差的大小来代表击穿的概率。
接着在第二部分，我们通过求解一组偏微分方程，即麦克斯韦方程组，来精确求出上述的概率值。
关键词：闪电模型；随机游走；偏微分方程数值解 一、闪电的随机游走模型首先，我们考虑对二维空间进行电势的初值设定，不妨设最上端(云层)的电势为1,而地面的电势为0，然后采用线性插值对空间的每一点赋值。
接着，假设t 时刻，之前产生的电流到达了点（ii,jj），此处的电势记为φii,jj 那么此时刻电流有三个方向可以走即前，前左，前右，概率大小由电势差决定即：由于概率是[0,1]之间的实数，因此归一化得：用计算机随机模拟得到下面的“闪电”：二、闪电的微分方程模型（一）建立模型直接用到的物理知识我们考虑麦克斯韦方程组电场部分的两个方程，它们可以归结为一个方程即：这个二阶偏微分方程描述了电势随空间的变化规律，通过给定边值和初值条件，利用该方程就能够求解全空间的电势分布。
（二）模型的建立我们的模型有以下假定：(1)假定空间中每一点均无电荷(于是ρ=0)。
(2)假定初始时刻大地与天空形成一个平行板电容器(于是初始空间电势是线性分布的)。
(3)假定闪电传播只受到空间各点电势的影响。
在上述假设的基础上，我们把方程(1)用差分形式表示，得：其中h x 表示把X 轴等分为n 分后每一份的长度，由于我们考虑的是，因此进一步简化为从上式可以看到在点(j,i)的电势是其四个邻接点的电势的算术平均。
马文淦《计算物理学》习题
第 6 页，共 7 页
H 0 ( x ) = 1, H1 ( x ) = x , = H n +1 ( x ) 2 x H n ( x ) − 2n H n −1 ( x ). （7）Mathematica 语言编写一个从某点出发求多元函数的局部极小或极大 值的程序包。 （8）用 Mathematica 语言编写一个程序包，它能实现平面图形的（a）平 移， （b）旋转， （c）对 x 坐标轴的反射。
第三章、Monte Carlo 方法的若干应用（习题）
（1）利用 Monte Carlo 方法计算三维、四维、五维和六维空间的单位半径 球的体积。 （2）利用分布密度函数 f ( x ) = A e − x 做重要抽样来求积分，并分析误差与 投点数的关系。
I =∫
+∞ 0
x 5/2 e − x d x.
∑
j =1
l
1 π4 ≥ ξ , 1 j4 90
然后置 x = −
1 ln(xxxx 2 3 4 5 ) ，其中 ξi 为 [0,1] 区间均匀分布的伪随机数。 L （11）对正则高斯分布抽样： ( x − µ )2 1 = p( x ) d x exp − d x. 2 σ 2 σ 2p （12）Gamma 函数的一般形式为 = f ( x) d x an x n −1 e − ax d x ( x ≥ 0) ( n − 1)!
第四章、有， 数值求解正方形场域 （ 0 ≤ x ≤ 1，
的拉普拉斯方程：
∇2ϕ ( x, y ) = 0; ( x,0) ϕ = ( x,1) 0, ϕ= (0, y ) ϕ= (1, y ) 1. ϕ=
（2）用有限差分法发展一个程序，数值求解极坐标下的泊松方程：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 d2 1 d 2 2 2 xFx x ( mx ) mx 2 2 dt 2 dt
2
1 d2 1 d 2 2 2 xFx x ( mx ) mx 2 2 dt 2 dt
对颗粒总数进行平均：
涨落力平局值为零
2 k BT mx
1 d2 1 d 2 2 2 xFx mx mx x 2 2 dt 2 dt d2 2 d 2 2 k BT x x 2 dt m dt m
x ( 0) 0
p( x , t ) D 2 p( x , t ) t 2 x (t ) 2 D t
x(t ) x(0) 0
╳
x2，再积分。
x 2 ( t ) 2 Dt
该结果与Brown 运动方程完全一致，说明Brown 运动
或RW 模型的随机行走就是描述了扩散的物理过程。
等步长h
其中，q0是在区域D的正则内点0上的函数q(x,y)的值。
12
1 0 (1 2 3 4 h2q0 ) 4
其中，1/4可以解释为概率。即有：
一 Brown运动
1827 年 植 物 学 家 Brown 观 察到水中的花粉等颗粒可以不 停的作无规则运动。
由于 Brown 颗粒的质量远较液体的分子大，我们将颗 粒看成是一个巨分子，它不停地受到周围环境中液体分子 的碰撞，这种碰撞的频率为每秒1019次，因此我们观察到的 Brown 颗粒的运动是大量碰撞的涨落的结果，它是一种完 全无规则的随机运动。
由于指数项的幂系数 非常大，α/m≈107秒-1，当 时 间 t=10-6 秒时指数项可 以忽略。 将起始点放在原点，c2=0
x x
2
2 k BT
t c1e
t
m
c2
2
2 k BT
t 2 Dt
D为扩散系数。
3
二 醉汉行走问题 x
O s i 1
Person 在1905 年发表于《Nature》的论文中提出的： “一个人从θ点出发，沿直线走了l 码，然后他转了 一个角度后由沿第二条直线走了l 码，他重复了n 次这样 的过程。我想求出 n 次过程后此人位于离开起始点 r 到 r+dr 距离内的概率”
9
pro=0.5 do i=1,nwalk x=0.0d0 do j=1,nstep call randomnum() if (rand .lt. pro) then x=x+1.0 else x=x-1.0 end if write(10,'(I15,F15.6)')j,x sumx(j)=sumx(j)+x sumx2(j)=sumx2(j)+x*x end do end do do i=1,nstep write(11,'(I15,2F15.6)') $ i,sumx(i)/dble(nwalk),sumx2(i)/dble(nwalk) end do
Байду номын сангаас
i j i 1, j 1, i j n
i 1, i j
s s
i
n
j
s s
x
2 n
s n
i 1 2 i
n
x
2
2 k BT
t 2 Dt
1 D 2
6
三 扩散的物理
扩散是由于粒子浓度梯度的存在▽ρ形成粒子往低浓 度区域迁移的趋势，单位时间内通过某一方向垂直截面
的粒子数即为粒子流密度：
J D
由粒子数守恒的Liouvill连续性方程：
J 0 t
p( x , t ) D 2 p( x , t ) t
p(x,t)dx为粒子在t时刻存在于x-x+dx之间的概率：
( x, t ) 0 p( x, t )
7
任意函数的平均值可以表示为：
1
在描述Brown 运动时，我们 将影响系统在相空间中轨迹的随 机力应用于决定性运动方程，也 就是把液体分子的自由度凝缩为
仅用随机力代表。
1907 年 由 Langevin 提 出 的 Brown 运动方程：
Fx x m x
f v为阻力
Fx为涨落力
2 d 1 d 2 2 ( xx ) x 2 x x x x dt 2 dt 2
i 1, i j
s s
i
n
j
i j i 1, j 1, i j
5
s s
n
x n si
i 1
2 xn si s j i 1 j 1 n n
n
xn 0
( s1 s2 ) ( s1 s2 ) s1 s1 s1 s2 s2 s1 s2 s2
f ( x, y )
f ( x, t ) p( x, t )dx
p( x , t ) D 2 p( x , t ) t
╳
x，再积分。
p( x , t ) xp( x , t )dx x =0 x t dx t t
10
11
四 蒙特卡罗方法求解泊松方程
若泊松方程及其边界条件为
2 2 2 2 q( x , y ) y x F ( s )
Γ为求解区域D的边界， s为边界Γ上的点。
1 0 (1 2 3 4 h2q0 ) 4
正方形格点划分
4
醉汉的步长为1 向右行走的一步的几率为p=0.5
O
x
向左走一步的几率为q=1-p=0.5
向右走了nR步，向左走了nL
s i 1
s 1
2 i
总共走了n=nR+nL步
x n si
i 1
2 xn si s j i 1 j 1 n n
n
xn ( p q)n 0
右边分布积分再代入边界条件：p( , t ) 0
p( x , t ) p( x , t ) p( x , t ) D x dx Dx D dx 0 2 x x x 2
8
x 0 t
由于在 t=0时，粒子在原点处，从而粒子 位置的平均值是不随时间变化的。