2020年浙江省绍兴市诸暨市高考数学模拟试卷(5月份)(有答案解析)
解析：解：∵i（1-ai）=2+bi， ∴a+i=2+bi，得 a=2，b=1． ∴ab=2． 故选：A． 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
3.答案：A
解析：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
9.答案：D
解析：解：由条件可得 f（-2-x）=-2-x+g（-2-x）=-2-x+g（x）+2x+2=g（x）+x=f（x） ∴函数 f（x）关于直线 x=-1 对称； ∵f（x）在[-1，+∞）上单调递增，且在-2＜t＜0 时使得 f（0）•f（t）＜0；又∵f（-2）=f（0） ∴f（t）＜0，f（-2）=f（0）＞0，所以选项 B 成立；
由 k1，-2k，k2 成等差数列，可得-4k=k1+k2， 化为- = ，即 c2= a2，
可得 e= = ，
故选：B． 求得双曲线的一条渐近线方程，设出 P 的坐标，由题意求得 P（a，b），运用直线的斜率公式可得 k1，k，k2，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值． 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，属于中档 题．
A. 2
B. -2
C. -
D.
3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这 个几何体的体积是（ ）
A.
B. C. D.
4. 将函数 y=sin2x 的图象向左平移 φ（φ＞0）个单位得到函数 y=sin（2x+ ）的图象，则 φ 的最小
值为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 已知
，则
=（ ）
A. α＜β≤2α
B. 2α≤β≤3α C. β≤2α，2α＜β≤3α 两种情况都存在 D. 存在某一位置使得 β＞3α
二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分） 11. 《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，
问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出 8 元， 则付完钱后还多 3 元；若每人出 7 元，则还差 4 元才够付款．问他们的人数和物品价格？答： 一共有______人；所合买的物品价格为______元． 12. 已知随机变量的 ξ 的分布列如表所示，则 x+y=______；
20. 已知数列{an}满足 a1=2，an+1=2+2n（n∈N*），其前 n 项和为 Sn．
（1）通过计算
，猜想并证明数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足 b1=1， 递减数列，求常数 t 的取值范围n}是单调
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21. 已知抛物线 C：x2=4y 与直线 l：x-2y-2=0． （1）求抛物线 C 上的点到直线 l 距离的最小值； （2）设点 P（x0，y0）是直线 l 上的动点，Q（1，1）是定点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线， 切点为 A，B，求证 A，Q，B 共线；并在 =3 时求点 P 坐标．
A. 6 -5
B. 6 -7
C. -
D.
8. 已知 P 是双曲线
渐近线上一点，F1，F2 是双曲线的左、右焦点，∠F1PF2= ，记 PF1，
PO，PF2 的斜率为 k1，k，k2，若 k1，-2k，k2 成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
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9. 定义在 R 上的函数 f（x）=x+g（x），g（x）=-2x-2+g（-2-x），若 f（x）在区间[-1，+∞）上为 增函数，且存在-2＜t＜0，使得 f（0）•f（t）＜0．则下列不等式不一定成立的是（ ）
则
，
解得 x=7，y=53． 故答案为：7，53． 列方程组求解． 本题考查了方程的应用，属于基础题．
12.答案：
A. 2
B.
C.
D. 3
6. 已知点 P 不在直线 l、m 上，则“过点 P 可以作无数个平面，使得直线 l、m 都与这些平面平行”
是“直线 l、m 互相平行”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 已知实数 x，y 满足
，则|x2+y2-2|+|x2+y2-6x+7|的最小值等于（ ）
∵t2+t+2- =（
，∴t2+t+1 比 离对称轴远，
∴可得 f（t2+t+1）＞f（ ），∴选项 A 成立；
∵（t+3）2-（t+2）2=2t+5＞0，∴|t+3|＞|t+2|，∴可知 t+2 比 t+1 离对称轴远 ∴f（t+2）＞f（t+1），选项 C 成立； ∵-2＜t＜0，∴（t+2）2-（t+1）2=2t+3 符号不定，∴|t+2|，|t+1|无法比较大小， ∴f（t+1）＞f（t）不一定成立． 故选：D． 根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可． 本题考查了函数的基本性质的应用，属于中档题；
此时与函数 y=sin（2x+ ）的图象重合，
则 2φ=2kπ+ ，即 φ=kπ+ ，k∈Z，
∴当 k=0 时，φ 取得最小值为 φ= ，
故选：B． 根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．
其底面面积 S= ×1×（1+1）=1，
高 h= ，
故体积 V= = ，
故选：A 由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积 公式，可得答案． 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
4.答案：B
解析：解：将函数 y=sin2x 的图象向左平移 φ（φ＞0）个单位， 得到 y=sin2（x+φ）=sin（2x+2φ），
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5.答案：A
解析：解：∵
，∴
=
；
∴
；
故选：A． 利用分段函数的性质求解即可得答案． 本题考查了函数值得求法，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用．
6.答案：C
解析：解：∵点 P 不在直线 l、m 上， ∴若直线 l、m 互相平行，则过点 P 可以作无数个平面，使得直线 l、m 都与这些平面平行，即必要性 成立， 若过点 P 可以作无数个平面，使得直线 l、m 都与这些平面平行，则直线 l、m 互相平行成立， 若直线 l、m 互相不平行，则 l，m 为异面直线，则过点 P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则 与条件矛盾，即充分性成立 则“过点 P 可以作无数个平面，使得直线 l、m 都与这些平面平行”是“直线 l、m 互相平行”的充 要条件， 故选：C． 根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．
A.
B. f（-2）＞0＞f（t）
C. f（t+2）＞f（t+1）
D. f（t+1）＞f（t）
10. 如图，△ABC 中∠A=2∠B=60°，点 D 在 BC上，∠BAD=30°，将△ABD沿 AD旋转得到三棱锥 B′-ADC，
分别记 B′A，B′D 与平面 ADC 所成角为 α，β，则 α，β 的大小关系是（ ）
15. 已知 ， ， 是平面向量， 是单位向量．若 • =2， • =3，且 • =0，则| + |的取值范围是______．
16. 假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹 拾玖（219）元的货款，则有______种不同的支付方式．
17. 已知数列{an}的各项都是正数，
10.答案：A
解析：解：由题可得过点 B 作 BE⊥AD 交 AD 于点 E，过 B′作 CD 的垂线，垂足为 O，则易得 α=∠B′AO， β=∠B′DO． 设 CD=1，则有 BD=AD=2，DE=1，BE= ，∴可得 AB′=AB= ，B′D=BD=2．
∵sinα=
，
∴sinβ=
，∴β＞α；
∵
22. 已知函数 f（x）=ex-ax2（a＞0）（其中 e=2.718…是自然对数的底数）． （1）若 f（x）在 R 上单调递增，求正数 a 的取值范围； （2）若 f（x）在 x=x1，x2（x1＜x2）处导数相等，证明：x1+x2＜2ln2a； （3）当 a= 时，证明：对于任意 k≤ +1，若 b＜ ，则直线 y=kx+b 与曲线 y=f（x）有唯一公共点 （注：当 k＞1 时，直线 y=x+k 与曲线 y=ex 的交点在 y 轴两侧）．
（n∈N*），若数列{an}各项单调递增，则首项
a1 的取值范围______；当 a1= 时，记 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分）
，若 k＜b1+b2+…+b2019＜k+1，则整数 k=______．
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18. 已知函数 f（x）=
．
（1）求函数 f（x）的单调递增区间；
8.答案：B
解析：解：设双曲线
的一条渐近线方程为 y= x，
且 P（m， m），由∠F1PF2= ，可得以 O 为圆心，c 为半径的圆与渐近线交于 P，
2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷及答案解析(23页)
2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷数学试题一、选择题.1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，则（∁R A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．R D．（1，+∞）2．双曲线﹣y2＝1的焦点到渐近线的距离是（）A．1B．C．D．23．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．4B．8C．D．4．若实数x，y满足不等式组，则x﹣3y（）A．有最大值﹣2，最小值﹣B．有最大值，最小值2C．有最大值2，无最小值D．有最小值﹣2，无最大值5．在△ABC中，已知A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知a＞0，且a≠1，若log a2＞1，则y＝x﹣的图象可能是（）A．B．C．D．7．已知x1，x2，x3∈R，x1＜x2＜x3，设y1＝，y2＝，y3＝，z1＝，z2＝，z3＝，若随机变量X，Y，Z满足：P（X＝x i）＝P（Y＝y i）＝P（Z＝z i）＝（i＝1，2，3），则（）A．D（X）＜D（Y）＜D（Z）B．D（X）＞D（Y）＞D（Z）C．D（X）＜D（Z）＜D（Y）D．D（X）＞D（Z）＞D（Y）8．如图，三棱锥V﹣ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，则α+β不可能是（）A．B．C．D．9．如图，一系列椭圆∁n：+＝1（n∈N*），射线y＝x（x≥0）与椭圆∁n交于点P n，设a n＝|P n P n+1|，则数列{a n}是（）A．递增数列B．递减数列C．先递减后递增数列D．先递增后递减数列10．设a∈R，若x∈[1，e]时恒有（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a（其中e＝2.71828……为自然对数的底数），则恒有零点的是（）A．y＝x2+ax+1B．y＝ax2+3x+1C．y＝e x+a﹣1D．y＝e x﹣a+1二、填空题（共7小题）11．函数f（x）＝﹣3sin（πx+2）的最小正周期为，值域为．12．已知i为虚数单位，复数z满足＝1﹣2i，则z＝，|z|＝．13．已知（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，则a6＝，|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝．14．已知函数f（x）＝，若f（﹣1）＝f（1），则实数a＝；若y＝f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为．15．某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有种不同分配方案．（用具体数字作答）16．已知平面向量，，，，满足||＝||＝||＝1，•＝0，|﹣|＝|•|，则•的取值范围为．17．已知a，b∈R，设函数f（x）＝2|sin x+a|+|cos2x+sin x+b|的最大值为G（a，b），则G （a，b）的最小值为．三、解答题（共5小题）18．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝1，＝．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积．19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE是正方形，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝1，AE＝．（Ⅰ）求证：BC⊥AE；（Ⅱ）求直线AD与平面BCDE所成角的正弦值．20．已知数列{a n}是等比数列，a1＝2，且a2，a3+2，a4成等差数列．数列{b n}满足：b1+ ++……+＝（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：+++……+＜．21．如图，已知点O（0，0），E（2，0），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为线段OE中点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点E的直线交抛物线C于A，B两点，＝4，过点A作抛物线C的切线l，N为切线l上的点，且MN⊥y轴，求△ABN面积的最小值．22．已知函数f（x）＝（x+1）e x﹣ax2（x＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：+﹣＞1．（其中t0为f（x）的极小值点）参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，则（∁R A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．R D．（1，+∞）【分析】进行交集和补集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，∴∁R A＝{x|x≤1}，（∁R A）∩B＝{1}．故选：B．2．双曲线﹣y2＝1的焦点到渐近线的距离是（）A．1B．C．D．2【分析】根据双曲线的方程求出啊、焦点坐标和渐近线，利用点到直线的距离公式进行求解即可．解：双曲线﹣y2＝1的渐近线为y＝±x，a2＝3，b2＝1，c2＝a2+b2＝3+1＝4，即C＝2，设一个焦点F（2，0），渐近线方程为x+y＝0，则焦点F到其渐近线的距离d＝＝，故选：A．3．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．4B．8C．D．【分析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积．解：根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为S＝22＝4，高为h＝＝；所以该四棱锥的体积是V＝Sh＝×4×＝．故选：C．4．若实数x，y满足不等式组，则x﹣3y（）A．有最大值﹣2，最小值﹣B．有最大值，最小值2C．有最大值2，无最小值D．有最小值﹣2，无最大值【分析】画出不等式组表示的平面区域，设z＝x﹣3y，则直线x﹣3y﹣z＝0是一组平行线，找出最优解，求出z有最大值，且z无最小值．解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；设z＝x﹣3y，则直线x﹣3y﹣z＝0是一组平行线；当直线过点A时，z有最大值，由，得A（2，0）；所以z的最大值为x﹣3y＝2﹣0＝2，且z无最小值．故选：C．5．在△ABC中，已知A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】A＝，则“sin A＞sin B”，利用正弦定理可得：a＞b，A＞B，B＜，C为钝角．反之不成立．可能B是钝角．解：A＝，则“sin A＞sin B”，由正弦定理可得：a＞b⇔B＜，C为钝角，⇒“△ABC是钝角三角形”，反之不成立．可能B是钝角．∴A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．6．已知a＞0，且a≠1，若log a2＞1，则y＝x﹣的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先根据对数不等式求出a的范围，然后利用特殊值验证找出图象．解：∵log a2＞1，∴a＞1．结合图象f（1）＝1﹣a＜0，故排除B，C．又∵f（﹣1）＝﹣1﹣a＜0，故排除A．D选项满足．故选：D．7．已知x1，x2，x3∈R，x1＜x2＜x3，设y1＝，y2＝，y3＝，z1＝，z2＝，z3＝，若随机变量X，Y，Z满足：P（X＝x i）＝P（Y＝y i）＝P（Z ＝z i）＝（i＝1，2，3），则（）A．D（X）＜D（Y）＜D（Z）B．D（X）＞D（Y）＞D（Z）C．D（X）＜D（Z）＜D（Y）D．D（X）＞D（Z）＞D（Y）【分析】计算可得E（X）＝E（Y），进而得到D（X）＞D（Y），同理D（Y）＞D（Z），解：E（X）＝，E（Y）＝（++）＝＝E（X），，，距E（Y），x1，x2，x3较近，所以D（X）＞D（Y），同理D（Y）＞D（Z），故D（X）＞D（Y）＞D（Z），故选：B．8．如图，三棱锥V﹣ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，则α+β不可能是（）A．B．C．D．【分析】由题意，三棱锥V﹣ABC为正三棱锥，过P作PE∥AC，则∠BPE为直线PB 与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，即V﹣AC﹣B的平面角为β，然后利用运动思想分析两角的范围，可得α+β∈（，π），则α+β不可能是，答案可求．解：如图，由题意，三棱锥V﹣ABC为正三棱锥，过P作PE∥AC，则∠BPE为直线PB与直线AC所成角为α，当P无限靠近A时，∠PBE无限接近，但小于，则∠BPE＝∠BEP＝α＞．当棱锥的侧棱无限长，P无限靠近V时，α无限趋于但小于；二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，即V﹣AC﹣B的平面角为β，由三棱锥存在，得β＞0，随着棱长无限增大，β无限趋于．∴α+β∈（，π）．则α+β不可能是．故选：D．9．如图，一系列椭圆∁n：+＝1（n∈N*），射线y＝x（x≥0）与椭圆∁n交于点P n，设a n＝|P n P n+1|，则数列{a n}是（）A．递增数列B．递减数列C．先递减后递增数列D．先递增后递减数列【分析】取射线y＝x的参数方程，利用参数t的几何意义表示出a n，然后作差法判断其单调性．解：设y＝x的参数方程，代入+＝1（n∈N*）整理得，∴，∴a n＝t n+1﹣t n＝要判断上式增大还是减小，只需研究的值增大或减小即可．将上式通分得＝＝，显然随着n的增大，a n的逐渐减小．故该数列是递减数列．故选：B．10．设a∈R，若x∈[1，e]时恒有（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a（其中e＝2.71828……为自然对数的底数），则恒有零点的是（）A．y＝x2+ax+1B．y＝ax2+3x+1C．y＝e x+a﹣1D．y＝e x﹣a+1【分析】原式变形可得，构造，可得（e﹣1）lnt ≤t﹣1，再构造，利用导数可知，满足g（t）≤0的t∈（0，1]∪[e，+∞），结合x∈[1，e]，可知，由此再逐项判断即可得出结论．解：（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a等价于，令，则（e﹣1）lnt≤t﹣1，令，则，令g′（t）＝0，解得t＝e，∴函数g（t）在（0，e﹣1）单调递增，在（e﹣1，+∞）单调递减，注意到g（1）＝g （e）＝0，作函数g（t）的图象如下，由图可知，g（t）≤0的解集为t∈（0，1]∪[e，+∞），当t∈（0，1]时，，则，此时无解；当t∈[e，+∞）时，，则，对A，取时，y＞0恒成立，不合题意；对B、C，取a→+∞时，y＞0恒成立，不合题意；对D，事实上，，必有a﹣1＞0，因此y＝e x﹣a+1必有零点．故选：D．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．函数f（x）＝﹣3sin（πx+2）的最小正周期为2，值域为[﹣3，3]．【分析】利用周期计算公式和y＝sin x的值域直接计算即可．解：由题意最小正周期．因为sin（πx+2）∈[﹣1，1]，所以﹣3sin（πx+2）∈[﹣3，3]，故值域为[﹣3，3]．故答案为：2，[﹣3，3]．12．已知i为虚数单位，复数z满足＝1﹣2i，则z＝3﹣2i，|z|＝．【分析】利用复数的加减法、乘法公式、复数模的计算公式直接计算即可．解：∵＝1﹣2i，∴z+i＝（1﹣2i）（1+i）＝3﹣i．∴z＝3﹣2i．．故答案为：3﹣2i，13．已知（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，则a6＝0，|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝665．【分析】根据其特点可知a6为x6的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令x＝1即可求解．解：因为（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，令x＝1可得：a0+a1+a2+……+a5+a6＝26﹣36＝﹣665．所以：a6＝﹣＝0；∵a0＝﹣26＝﹣63；a1＝﹣25＝﹣186；a2x2+＝﹣24＝﹣225；……a5＝﹣2＝﹣6；a6＝﹣20•＝0；故|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝﹣a0﹣a1﹣a2﹣……﹣a5﹣a6＝665．故答案为：0，665．14．已知函数f（x）＝，若f（﹣1）＝f（1），则实数a＝1﹣；若y＝f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为[﹣1，0）．【分析】（1）根据题意列出关于a的方程即可；（2）在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．解：（1）∵f（﹣1）＝f（1），∴2﹣1＝log2（1﹣a），∴，∴．（2）易知x＜0时，f（x）＝2x∈（0，1）；又x≥0时，f（x）＝log2（x﹣a）递增，故f（x）≥f（0）＝log2（﹣a），要使函数f（x）存在最小值，只需，解得：﹣1≤a＜0．故答案为：1﹣，[﹣1，0）．15．某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有324种不同分配方案．（用具体数字作答）【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，将9人分成3组，有A33×种情况，其中存在某组没有女性即全部为男性的情况有C42C42种，则有A33×﹣C42C42＝90﹣36＝54种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，有A33＝6种情况，则有54×6＝324种不同的分配方案；故答案为：324．16．已知平面向量，，，，满足||＝||＝||＝1，•＝0，|﹣|＝|•|，则•的取值范围为．【分析】根据已知条件，假设各向量的坐标表示，通过转换成三角函数的范围来求解．【解答】解；由题，设．∵|﹣|＝|•|，∴（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝sin2θ．①．．根据①中圆的几何意义，•的取值范围即：，∴•的取值范围为[]．故答案为：．17．已知a，b∈R，设函数f（x）＝2|sin x+a|+|cos2x+sin x+b|的最大值为G（a，b），则G （a，b）的最小值为．【分析】换元t＝sin x∈[﹣1，1]，可知G（a，b）＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b ﹣1|}，分G（a，b）＝|﹣2t2+3t+2a+b+1|及G（a，b）＝|2t2+t+2a﹣b﹣1|讨论，利用绝对值的几何意义两点控制可求得对应的最小值，进而求得G（a，b）的最小值．解：设t＝sin x∈[﹣1，1]，则f（x）＝2|sin x+a|+|1﹣2sin2x+sin x+b|＝|2t+2a|+|﹣2t2+t+b+1|＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b﹣1|}，∴G（a，b）＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b﹣1|}，当G（a，b）＝|﹣2t2+3t+2a+b+1|时，令g（t）＝﹣2t2+3t+2a+b+1，t∈[﹣1，1]，则此时，故＝，由a，b∈R可知，等号能成立；当G（a，b）＝|2t2+t+2a﹣b﹣1|时，令h（t）＝2t2+t+2a﹣b﹣1，t∈[﹣1，1]，则此时，故＝，由a，b∈R可知，等号能成立；综上，G（a，b）的最小值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝1，＝．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由已知结合正弦定理求得A的正切值，即可求得结论；（Ⅱ）由余弦定理求得边c，进而求得其面积．解：（Ⅰ）∵＝⇒a sin B＝cos A，∵＝⇒a sin B＝b sin A；∵b＝1；所以：cos A＝sin A⇒tan A＝⇒A＝．（三角形内角）（Ⅱ）因为a2＝b2+c﹣22bc cos A⇒c2﹣c﹣3＝0⇒c＝；（负值舍）；∴S△ABC＝bc sin A＝．19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE是正方形，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝1，AE＝．（Ⅰ）求证：BC⊥AE；（Ⅱ）求直线AD与平面BCDE所成角的正弦值．【分析】（I）由BC⊥AB，BC⊥BE，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明结论．（II）过点B作平面ABC的垂线Bz，则BA，BC，Bz两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A（，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，z）．可得•＝0，|BE|＝1，|EA|＝．z＞0，解得E．由＝＝（﹣，0，）．得D坐标．设平面BCDE的法向量为：＝（a，b，c），则•＝•＝0，可得：，利用向量夹角公式即可得出．【解答】（I）证明：∵BC⊥AB，BC⊥BE，AB∩BE＝B，∴BC⊥平面ABE，又AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE．（II）解：过点B作平面ABC的垂线Bz，则BA，BC，Bz两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A（，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，z）．则•＝0，|BE|＝1，|EA|＝．可得：y＝0，x2+z2＝1，+z2＝7．z＞0，解得E（﹣，0，）．由＝＝（﹣，0，）．得D（﹣，1，）．∴＝（﹣，1，）．设平面BCDE的法向量为：＝（a，b，c），则•＝•＝0，可得：﹣x+z＝0＝y，可得：＝（1，0，）．∴cos＜，＞＝＝﹣．∴直线AD与平面BCDE所成角的正弦值为．20．已知数列{a n}是等比数列，a1＝2，且a2，a3+2，a4成等差数列．数列{b n}满足：b1+ ++……+＝（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：+++……+＜．【分析】（Ⅰ）由递推公式可以求出通项公式a n＝2n，b n＝n．（Ⅱ）采用缩放的方法证明当n＝1和n≥2时成立，采用缩放的方法证明．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则a2＝2q，a3＝2q2，a4＝2q3，由a2，a3+2，a4成等差数列，得2（a3+2）＝a2+a4，即2（2q2+2）＝2q+2q3，即（q﹣1）（q2+1）＝0，解得q＝2，所以a n＝2n．当n＝1时，b1＝1，当n≥2时，b1+++…+＝，b1+++…+＝，作差得＝n，所以，b n＝n（n≥2），当n＝1时，b1＝1×＝1也成立，所以b n＝n，综上，a n＝2n，b n＝n．（Ⅱ）因为当n≥2时，＝＜＝，所以，+++…+＜++…+，设T n＝++…+，则T n＝++…+，两式相减得，T n＝+（+…+）﹣＝+﹣＝+（1﹣）﹣＝﹣，所以T n＝﹣，所以T n＜．所以+++……+＜．21．如图，已知点O（0，0），E（2，0），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为线段OE中点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点E的直线交抛物线C于A，B两点，＝4，过点A作抛物线C的切线l，N为切线l上的点，且MN⊥y轴，求△ABN面积的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知得焦点F（1，0），所以p＝2，从而求出抛物线C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），与抛物线方程联立，利用△＝0求得，所以直线l的方程为：2x﹣y1y+2x1＝0，由＝4，求得点M的坐标，进而求出点N的坐标，所以S△ABN＝设直线AB的方程为：x＝my+2，与抛物线方程联立，设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），利用韦达定理代入S△ABN，利用基本不等式即可求出△ABN面积的最小值．解：（Ⅰ）由已知得焦点F的坐标为（1，0），∴p＝2，∴抛物线C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）设直线AB的方程为：x＝my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立方程，消去x得：y2﹣4my﹣8＝0，∴△＝16m2+32＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），联立方程，消去x得：，由相切得：，∴，又，∴，∴，∴，∴直线l的方程为：2x﹣y1y+2x1＝0，由＝4，得，，将代入直线l方程，解得＝，所以S△ABN＝＝＝＝＝，又，所以，当且仅当时，取到等号，所以△ABN面积的最小值为4．22．已知函数f（x）＝（x+1）e x﹣ax2（x＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：+﹣＞1．（其中t0为f（x）的极小值点）【分析】（Ⅰ）先求其导函数，转化为f′（x）≥0，即求g（x）＝•e x﹣2a的最小值即可；（Ⅱ）（ⅰ）结合第一问的结论得f（x）不单调，故a＞；设f′（x）＝0有两个根，设为t1，t0，且0＜t1t0，可得原函数的单调性，把问题转化为f（t0）＜0，即可求解结论．（ⅱ）转化为先证明不等式，若x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，则＜＜．再把原结论成立转化为证x1+x2＜2t0；构造函数r（x）＝f（t0+x）﹣f（t0﹣x）一步步推其成立即可．解：（Ⅰ）由f（x）＝（x+1）e x﹣ax2，得f′（x）＝x（e x﹣2a），设g（x）＝•e x，（x＞0）；则g′（x）＝；由g′（x）≥0，解得x﹣1，所以g（x）在（0，﹣1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f′（x）≥0，所以2a≤g（）＝（2+）•e；所以，实数a的取值范围是：（﹣∞，]．（Ⅱ）（i）因为函数f（x）有两个不同的零点，f（x）不单调，所以a＞．因此f′（x）＝0有两个根，设为t1，t0，且0＜t1t0，所以f（x）在（0，t1）上单调递增，在（t1，t0）上单调递减，在（t0，+∞）上单调递增；又f（t1）＞f（0）＝1，f（x）＝（x+1）e x﹣ax2＝a（e x﹣x2）+（x+1﹣a）•e x，当x 充分大时，f（x）取值为正，因此要使得f（x）有两个不同的零点，则必须有f（t0）＜0，即（t0+1）e﹣a•t02＜0；又因为f′（t0）＝（t0+2）e﹣2at0＝0；所以：（t0+2）e﹣•（t0+2）e＜0，解得t0，所以a＞g（）＝•e；因此当函数f（x）有两个不同的零点时，实数a的取值范围是（•e，+∞）．（ⅱ）先证明不等式，若x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，则＜＜．证明：不妨设x2＞x1＞0，即证＜ln＜，设t＝＞1．g（t）＝lnt﹣，h（t）＝lnt﹣，只需证g（t）＜0且h（t）＞0；因为g′（t）＝﹣＜0，h′（t）＝＞0，所以g（t）在（1，+∞）上单调递减，h（t）在（1，+∞）上单调递增，所以g（t）＜g（1）＝0，h（t）＞h（1）＝0，从而不等式得证．再证原命题+﹣＞1．由得；所以＝，两边取对数得：2（lnx2﹣lnx1）﹣[ln（x2+1）﹣ln （x1+1）]＝x2﹣x1；即﹣＝1．因为﹣＜﹣，所以1+＜＜+，因此，要证+﹣＞1．只需证x1+x2＜2t0；因为f（x）在（t0，+∞）上单调递增，0＜x1＜t0＜x2，所以只需证f（x2）＜f（2t0﹣x2），只需证f（x1）＜f（2t0﹣x1），即证f（t0+x）＜f（t0﹣x），其中x∈（﹣t0，0）；设r（x）＝f（t0+x）﹣f（t0﹣x），﹣t0＜x＜0，只需证r（x）＜0；计算得r′（x）＝（x+t0+2）e+（﹣x+t0+2）e﹣4at0；r″（x）＝e[（x+t0+3）e2x+（x﹣t0﹣3）]．由y＝（x+t0+3）e2x+（x﹣t0﹣3）在（﹣t0，0）上单调递增，得y＜（t0+3）e0+（0﹣t0﹣3）＝0，所以r″（x）＜0；即r′（x）在（﹣t0，0）上单调递减，所以：r′（x）＞r′（0）＝2f′（t0）＝0；即r（x）在（﹣t0，0）上单调递增，所以r（x）＜r（0）＝0成立，即原命题得证．。
浙江省绍兴市诸暨市2023届高三下学期5月适应性考试数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝，BC ＝1，将△ACD 沿AC 折起，使得D 折起后的位置为D 1，且D 1在平面ABC 上的射影恰好落在AB 上，在四面体D 1ABC 的四个面中，有n 对平面相互垂直，则n等于A ．2B ．3C ．4D ．52. 下列所给关系正确的个数是（ ）①；②；③；④.A ．1B ．2C ．3D ．43. 已知集合，则A．B．C．D．4. 已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ）A．B．C．D．5. 设一元二次不等式ax 2+bx +1＞0的解集为{x |-1＜x ＜3}，则a •b 的值为（ ）A．B．C．D．6. 已知是等差数列，数列是递增数列，则（ ）A．B．C．D．7.若复数，下列说法正确的是（ ）A ．若z在复平面内对应点位于第二象限，则B ．若z为纯虚数，则C ．若，则D ．若，则8. 已知三棱锥中，，分别是的中点，是棱上（除端点外）的动点，下列选项正确的是（）A ．直线与是异面直线；B ．当时，三棱锥体积为；C．的最小值为；D．三棱锥外接球的表面积.浙江省绍兴市诸暨市2023届高三下学期5月适应性考试数学试题(高频考点版)浙江省绍兴市诸暨市2023届高三下学期5月适应性考试数学试题(高频考点版)四、解答题9. 计算：_________．10.在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与的左、右两支分别交于两点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则的离心率为_________．11.已知，若与的夹角为钝角.则实数的取值范围为______________.12.如果数列满足(为常数)，那么数列叫做等比差数列，叫做公比差.给出下列四个结论：①若数列满足，则该数列是等比差数列；②数列是等比差数列；③所有的等比数列都是等比差数列；④存在等差数列是等比差数列.其中所有正确结论的序号是___________.13. 如图所示，已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是.(1)求证：平面平面；(2)若点分别在棱上，且，问点在何处时，?14. 设椭圆的左右焦点分别为是该椭圆C 的右顶点和上顶点，且，若该椭圆的离心率为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 与椭圆C交于两点，且与x 轴交于点若直线与直线的倾斜角互补，求的面积的最大值.15. 为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养鸡地，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知 m ， m ，，﹒(1)若m ，求护栏的长度(的周长)；(2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求AM 的长；(3)鱼塘的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．16. 函数在区间上的最大值为．求的解析式；。
浙江省绍兴市诸暨市高三下学期5月适应性考试数学试题(解析版)
浙江省绍兴市诸暨市高三下学期5月适应性考试数学试题一、单项选择题1．集合满足{1,2}{1,2,3}A ⊆⊆，那么集合A 可以是〔 〕 A ．{3} B ．{1,3}C ．{2,3}D ．{1,2}【答案】D【分析】由题可得集合A 可以是{}1,2，{}1,2,3. 【详解】{1,2}{1,2,3}A ⊆⊆，∴集合A 可以是{}1,2，{}1,2,3.应选：D.2．x ，y 为正实数，那么〔 〕A ．()22lg (lg )lg x y x y ⋅=+ B ．1lg(lg lg 2x x y =+C ．ln ln x y e x y +=+D ．ln ln x y e xy ⋅=【答案】B【分析】根据指数和对数的运算法那么进行运算即可求得结果. 【详解】A 中，()22lg lg lg =2lg lg x y x y x y ⋅=++，故A 不正确；B 中，(1lg lg lg lg 2x x x y =+=+，故B 正确；C 中，ln ln ln ln x y x y e x e e y +=⋅=，故C 不正确；D 中，()ln ln ln ln ln yx yx y eex ⋅==，故D 不正确.应选：B.3．z 是复数，i 是虚数，那么“z i =-〞是“21z =-〞的〔 〕 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据复数的运算及充分必要条件的判断即可求得结果. 【详解】∵z i =-，∴()221z i =-=-； ∵21z =-，∴z i =±.故“z i =-〞是“21z =-〞的充分而非必要条件. 应选：A.4．函数()21sin ()x xx x f x e e --=+的局部图象是〔 〕A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先判断()y f x =的奇偶性，排除A 、B ；再取特殊值，排除C ，即可得到正确答案.【详解】()21sin ()x xx x f x e e --=+定义域为R.∵()()()()()221sin 1sin (-)==xxx xx x x x f x f x e ee e------=--++，∴()y f x =为奇函数，其图像关于原点对称，排除A 、B ；对于CD ，令()0f x =，解得：1231,0,1x x x =-==，即()y f x =有三个零点，如图示，取12x =，有21111222211311sin sin 22142()2f e e e e --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==++， ∵112201sin 0,20,e e -⎛⎫>>⎪⎝⎭> ，∴1()02f >.排除C ； 应选：D【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图像．5．双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的渐近线过点(2,)a c ，那么该双曲线的离心率为〔 〕A B ．3C ．2D 【答案】B【分析】将点(2,)a c 代入双曲线的渐近线方程即可求得,b c 之间的关系，再根据在双曲线中222+=a b c 即可求得,a c 之间的关系，进而可求得该双曲线的离心率.【详解】∵22221(,0)x y a b a b-=>的渐近线方程为b y x a =±，而点(2,)a c 在第一象限， ∴22bc a b a=⋅=， 又∵222+=a b c ，∴2222c a c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2243c a =，∴双曲线的离心率3e =应选：B.6．假设实数x ，y 满足约束条件20,0,x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩，那么|2|z x y =+的取值范围是〔 〕A ．[3,)+∞B ．[4,)+∞C ．[0,3]D ．[0,4]【答案】A【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解． 【详解】画出约束条件的可行域，如图示：作出直线2y x t =-+，显然当直线经过阴影局部，直线的纵截距大于零，所以|2|z x y =+可以转化为2z x y =+，由图示可知，经过点()1,1A 时min 211=3z =⨯+，无最大值. 应选：A .【点睛】简单线性规划问题的解题步骤： (1)画出可行域;(2)作出目标函数所表示的某条直线〔通常选作过原点的直线〕，移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个〔些〕点时，函数有最大〔小〕值； (3)求〔写〕出最优解和相应的最大〔小〕值； (4)下结论．7．设,0m n >，假设随机变量,ξη的分布列如下：ξ1- 0 2η52-12 132Pm 12n那么以下说法错误的选项是〔 〕 A ．12m n += B ．(0)(0)P P ξη><> C ．()()E E ξη<D ．()()D D ξη<【答案】C【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，以及离散型随机变量的期望和方差公式，根据题中所给的分布列，得到相应的结果，逐项分析，从而得到答案. 【详解】由分布列的性质可知112m n ++=，所以有12m n +=，所以A 项正确； (0)(2)P P n ξξ>===，1131(0)()()222P P P n ηηη>==+==+，因为,0m n >，所以12n n +>，所以B 项正确；1()(1)0222E m n n m ξ=-⋅+⋅+⋅=-，511135131()2222224E m n m n η=-⋅+⋅+⋅=-++，513139139115()()2()622422422242E E n m m n m n m m m ξη-=-+--=--=---=-，因为102m <<，所以5516222m -<-<， 所以()()E E ξη-不一定小于0，所以()()E E ξη<不一定成立，所以C 项错误；2221()(21)(20)(22)2D m m n m n n m n ξ=-+++-+-+-+-322233366442m m n m mn n n n =--+-++22255151513()(6)(6)(6)2222222D m m m n m η=-++--+--322936181836108812m m m m n mn n =+-+-++，且12m n +=，所以有32322399()()3546773911422D D m m n n n m n mn ξη-=--+---+- 327015313744m m m =-+-，令32()7015313744h m m m m =-+-，所以2'()210306137h m m m =-+，∆<0，所以'()0h m >， 所以()h m 在1(0,)2上单调递增，max 1111()()701531374402842h m h ==⨯-⨯+⨯-<，所以()()D D ξη< 所以D 项正确；应选：C.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关离散型随机变量分布列的问题，正确解题的关键是理解离散型随机变量分布列的性质，以及熟练掌握其期望和方差公式.8．底面ABCD 为正方形的四棱锥P ABCD -，P 点的射影在正方形ABCD 内，且P 到BC 的距离等于PD 的长，记二面角PAB C 的平面角为α，二面角P CD A --的平面角为β，二面角P AD C --平面角为γ，那么以下结论可能成立的是〔 〕A ．αβγ==B ．αγβ=<C ．αβγ=<D ．αβγ>=【答案】C【分析】设P 点在正方形ABCD 内的射影为Q ，作PE BC ⊥，得PE PD =； 假设A 成立，由对称性可知Q 与正方形ABCD 中心O 重合，此时不满足PE PD =，A 错误；假设B 成立，由αγ=知Q 在AC 上，得到PB PD PE =>，B 错误；假设C 成立，由αβ=知Q 在,BC AD 中点,F G 连线上，由βγ<知Q OG ∈，可知存在满足PE PD =的Q 点，C 正确；假设D 成立，由βγ=知Q 在BD 上，由αβ>知Q OB ∈，此时不存在满足PE PD =的Q 点，D 错误.【详解】设P 点在正方形ABCD 内的射影为Q ，连接,AC BD ，且AC BD O =，作PE BC ⊥，垂足为E ，那么PE PD =，对于A ，假设αγ=，由对称性可知，Q 点在AC 上； 同理，当βγ=时，Q 点在BD 上；那么ACBD Q =，即Q 点与O 点重合，此时PB PD =，又PB PE >，PD PE ∴>，与PD PE =矛盾，A 错误；对于B ，假设αγ=，那么Q 点在AC 上，此时PB PD =，又PB PE >，PD PE ∴>，与PD PE =矛盾，B 错误；对于C ，假设αβ=，那么Q 点在,BC AD 中点,F G 连线上，如以下列图所示：由对称性可知：PB PC =，此时PF BC ⊥，即E 与F 重合，PF PD =；βγ<，Q ∴在线段OG 上，设正方形ABCD 边长为a ，那么当38OG a =时，58QF QD a ==，使得PF PD =成立，C 正确； 对于D ，假设βγ=，那么Q 在BD 上，如以下列图所示：αβ>，那么Q 在线段OB 上，此时不存在点Q 满足QE ED =，使得PE PD =，D错误. 应选：C.【点睛】关键点点睛：此题考查立体几何中二面角相关问题的求解，解题关键是能够根据二面角的大小关系和对称性确定点P 在底面ABCD 上的投影点Q 的位置，结合Q 点位置来进行分析.9．等差数列{}n a 满足0n a >，11a =，公差为d ，数列{}n b 满足22n n a an b e e --=+，假设对任意的*n N ∈都有5n b b ≥，那么公差d 的取值范围是〔 〕 A ．22,119⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．22,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．22,117⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．22,95⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】根据题意构造函数()xxf x e e -=+，解不等式可得到函数的单调性，进而得到当n a 距离2最近时，n b 取得最小值，根据5b 为最小值可得5a 距离2最近，建立绝对值不等式求解即可.【详解】令2n a x -=，构造函数()x xf x e e -=+，()21x xxxe f x e ee--'=-=， ∴当0x >时，0f x ，()f x 单调递增， 当0x <时，0f x，()f x 单调递减；那么对于22n n a a n b ee --=+，当20n a ->，即2n a >时，n b 单调递增，当20n a -<，即2n a <时，n b 单调递减， 所以当n a 距离2最近时，n b 取得最小值， 根据题意知，5b 为最小值，所以5a 距离2最近，而等差数列{}n a 满足0n a >，11a =，所以0d >，所以{}n a 是递增数列，∴54115611224232224252a a a a a d a a d d a d ⎧⎧--+-+-⎪⎪⇒⎨≤≤≤⎨-≤-+-+-⎪⎪⎩⎩，解得2729d d ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩. 应选：B.【点睛】此题的核心是利用函数导数思维根据n b 的表达式求出当n a 距离2最近时，n b 取得最小值，根据题意可得5a 距离2最近，再根据可得{}n a 是递增数列，且两个数值之间的距离问题可以使用绝对值思维，所以可得不等式组，解不等式组即可. 10．函数32()(0)f x ax bx cx d a b =+++<<没有极值点，那么b aa b c-++的最大值为〔 〕 A ．25B．3C ．27D．5【答案】D【分析】根据题意，可知函数32()(0)f x ax bx cx d a b =+++<<在R 上单调递增，即'()0f x ≥在R 上恒成立，得到不等式组，利用条件，对所求式子进行放缩，以b t a=为变量建立函数关系式，利用构造函数和根本不等式求出其最小值. 【详解】32()(0)f x ax bx cx d a b =+++<<，2'()32(0)f x ax bx c a b =++<<，因为函数32()(0)f x ax bx cx d a b =+++<<没有极值点， 所以函数()f x 在R 上单调递增， 所以'()0f x ≥在R 上恒成立，那么有204120a b b ac <<⎧⎨∆=-≤⎩，即203a b b ac <<⎧⎨≤⎩， 所以221()11()()3bb a a b a a b b a bc a ab ac a a---=≤++++++，令bt a =，因为0a b <<，所以1t >，所以221113317(1)5(1)71(1)531b a t t a bc t t t t t t ---≤=⋅=⋅++-+-+++-++-5)353≤==，当且仅当1t =时取等号， 应选：D.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关利用导数研究三次函数的问题，正确解题的关键对函数无极值点这个条件的正确转化，以及会利用根本不等式求最值.二、填空题11．P 是圆22:1C x y +=上一点，动点A ，B 的坐标为(,0)A t ，(4,3)+B t ，其中t ∈R .假设恰好存在一个点P ，使得PA PB ⊥，那么t =______.【答案】2-或2-【分析】根据题意得以AB 为直径的圆与圆C 相切，根据圆与圆的位置关系可得结果. 【详解】设以AB 为直径的圆为圆D ， ∵(,0)A t ，(4,3)+B t ，∴()()22235:222D x t y ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵圆22:1C x y +=上恰好有一个点P 满足PA PB ⊥， ∴圆()()22235:222D x t y ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与圆22:1C x y +=相切.①512=+，解得2t =-±②512=-，解得2t =-.故答案为：2-或2-±.【点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.两圆相切注意讨论内切外切两种情况.12．把编号为(1,2,3,4,5)i i =的五个小球随机放入编号为(1,2,3,4,5)j j =的五个盒子，每盒一个小球，假设满足||2i j -≤，那么不同的放法共有________种． 【答案】31【分析】用列举法列举符合题意的，去掉||2i j ->，再相加即可.【详解】||2i j ->的所有可能包括：1,4,5i j ==；2,5i j ==；4,1i j ==；5,1,2i j ==.〔1〕盒1放球1时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：2345，3245，4235，2354，3254，4253，2435，3425，4325，2453，2534，3524，4523，2543〔其中球5不能放在盒2，不用列举.而3452，4352，3542，4532满足||2i j ->，应舍去〕共14种；〔2〕盒1放球2时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：1345，3145，4135，1354，3154，4153，1435，1453，1534，1543〔其中球5不能放在盒2，不用列举.而3415，4315，3451，4351，3514，4513，3541，4531满足||2i j ->，应舍去〕共10种；〔3〕盒1放球3时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：1245，2145，4125，1254，2154，1425，1524，〔其中球5不能放在盒2，不用列举.而4152，2415，4215，1452，2454，4251，2514，4512，1542，5241，4521满足||2i j ->，应舍去〕共7种； 所以共有14+10+7=31种. 故答案为：31.【点睛】计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类；2、是排列还是组合． 13．平面向量,,a b c 满足：||||1a c ==，0a b ⋅=，||a c b ⋅=，那么()a b c +⋅的最大值是________．【分析】建立平面直角坐标系，()cos sin ,a b c t θθ+⋅=+利用导函数求最值即可. 【详解】把平面向量,,a b c 请进平面直角坐标系， 设()1,0a =，()cos ,sin c θθ=， 又0a b ⋅=，可设()0,,b t =∵cos ||a c b t θ⋅===，∴cos t θ=，()cos sin ,a b c t θθ+⋅=+要使()a b c +⋅的最大，可令0,,02t πθ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭， ∴()cos sin cos cos sin a b c t θθθθθ+⋅=+=+， 令()cos cos sin fθθθθ=+()222sin sin cos 2sin sin 1f θθθθθθ'=--+=--+ ()()1sin 12sin θθ=+-∴()cos cos sin fθθθθ=+的增区间为0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴()max 6ff πθ⎛⎫=== ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：()cos cos sin fθθθθ=+处理函数的最值方法有二，其一：利用导数大法，其二：利用四元均值不等式亦可，()cos cos sin f θθθθ=+===三、双空题14．角α的终边过点(1,2)，那么tan α=_______，sin 2α=________． 【答案】245【分析】首先根据三角函数的定义可得角α的三个三角函数值，进而可得结果. 【详解】∵角α的终边过点(1,2)，∴2tan 21α==，sin α===cos 5α===，∴4sin 22sin cos 25ααα===. 故答案为：2；45. 15．6260126(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，那么3a =______；0246a a a a +++=_______．【答案】20 32【分析】变形为[]66260126(2)(1)(1)(1)1(1)x x a a x a x a x ++=+++=+++++，利用通项公式求3a ，利用赋值法求0246a a a a +++.【详解】因为[]66260126(2)(1)(1)(1)1(1)x x a a x a x a x ++=+++=+++++，所以33620a C ==，令11x +=，得02661264a a a a =+++=+， 令11+=-x ，得01260a a a a --+-=，由两式得024632a a a a +++=， 故答案为：20,3216．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23．(2,1),(2,1)A B -为抛物线2:4C x y =上两点，那么在A 点处抛物线C 的切线的斜率为_______；弦AB 与抛物线所围成的封闭图形的面积为_________． 【答案】1- 83【分析】由214y x =，求得12y x '=，那么()2k y '=-，写出在A 点处和B 点处抛物线C 的切线方程，求得交点，再求得阿基米德三角形面积，再根据弦与抛物线所围成的封闭图形的面积与阿基米德三角形面积的关系求解. 【详解】因为214y x =， 所以12y x '=， 所以()'|12212k y x ==-=⨯-=-， 所以在A 点处抛物线C 的切线的斜率为-1， 切线方程为：()12y x -=-+，即1y x =--， 同理在B 点处抛物线C D 切线方程1y x =-，由11y x y x =--⎧⎨=-⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩， 所以两切线的交点为()0,1P -， 所以阿基米德三角形面积14242S =⨯⨯=， 所以弦AB 与抛物线所围成的封闭图形的面积为128424233S =⨯⨯=⨯=，故答案为：-1，8317．某几何体的三视图如下列图，俯视图为平行四边形，内部图形为扇形，正视图、侧视图上方为直角三角形，下方为矩形，那么三视图中侧视图的面积为________；该几何体的体积为________．【答案】33+ 43239π+【分析】侧视图的下面是一个矩形，上面是一个直角三角形，根据三视图的特征可得边长，进而求出侧视图的面积；根据根据三视图得其直观图为组合体，上面是底面是16的圆锥，下面是直四棱柱，根据体积的计算方法即可求得结果.【详解】根据三视图得其直观图为组合体，在俯视图平行四边形中，如下列图，因为内部图是扇形，所以平行四边形ABCD 邻边相等， 所以平行四边形ABCD 是菱形，设AB 中点为E ，由主视图可得DE AB ⊥，所以三角形ABD 是正三角形， 所以3DAB π∠=，所以该几何体的上面是16圆锥，圆锥的底面半径是2，高是3面是底面是16的圆锥，下面是直四棱柱，如下列图，根据图中的数据可得侧视图的面积为3311222333222⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 该几何体的体积为23114322223232639π⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+. 故答案为：33+；43239π+.四、解答题18．如图，平面四边形ABCD 中，1AB CD ==．〔1〕假设2AD =4ADB π∠=，求ABD △的面积；〔2〕假设BC t =，2AD t =，4C A π∠-∠=，求t 的最大值．【答案】〔1〕12；〔2〕2． 【分析】〔1〕由正弦定理求出sin ABD ∠即可求出面积；〔2〕在,ABD CBD 中分别利用余弦定理表示出BD ，可得出2sin 4t A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出最值.【详解】解：〔1〕由正弦定理可得sin 2sin 212ADB ABD AD AB ∠∠=⋅=⋅=∴,24ABD BAD ππ∠=∠=∴1121sin 1224222ABDSAB AD π=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= 〔2〕,ABD CBD 中，由余弦定理得：2212cos BD t t C =+-⋅，221222cos BD t t A =+-⋅，∴22cos 2cos 22cos 2cos 4t A C A A π⎛⎫=-=-+⎪⎝⎭∴2sin 24t A π⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭∴,42A C ππ==时，t 的最大值是2．【点睛】关键点睛：此题考查三角形面积的求解，考查余弦定理的应用，解题的关键是在,ABD CBD 中分别利用余弦定理表示出BD .19．如图，三棱柱111ABC A B C -各棱长均为2，160A AB ∠=︒．〔1〕求证：1AB A C ⊥； 〔2〕假设二面角1A ABC 为60︒，求11A C 与平面11ABB A 所成角的正弦值．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕34． 【分析】〔1〕取AB 中D 点，根据正三角形性质证明AB ⊥面1A DC ，从而证明1AB A C ⊥.〔2〕法一：作CH 垂直1A D 于H ，1A DC ∠为二面角1A ABC 的平面角，然后证明CH ⊥面11ABB A ，那么CAH ∠为AC 与平面11ABB A 所成角的平面角，求得sin CAH ∠即可.法二：建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，利用向量间的夹角求得线面夹角的正弦值.【详解】〔1〕证明：取AB 中D 点连接11,,A D CD A B ， ∴正1A AB 和正ABC 中：∴11,,AB A D AB CD A D CB D ⊥⊥⋂=，AB ∴⊥面1A DC ，∴1AB A C ⊥〔2〕法一：作CH 垂直1A D 于H ，连AH ， 由AB ⊥面1A DC 可得1A DC ∠为二面角1A AB C 的平面角，∴160A DC ∠=︒，AB ⊥面1A DC ，CH ⊂面1A DC AB CH ⇒⊥，又1CH A D ⊥，∴CH ⊥面11ABB A ，∴CAH ∠为AC 与平面11ABB A 所成角的平面角，133sin ,2sin 24CH CH DC A DC AC CAH AC =⋅∠==⇒∠==，∵11//A C AC ，∴11A C 与平面11ABB A 所成角的正弦值为34.法二：建立如图以为坐标原点的空间直角坐标系，那么：(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),3,0)D A B C -， (0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),3,0)D A B C -，由AB ⊥面1A DC 可得1A DC ∠为二面角1A AB C 的平面角，∴1133600,22A DC A ⎛⎫∠=︒⇒ ⎪⎝⎭， 设面11ABB A 的法向量为n (x,y,z)→=，∴1330330(0,)(,,)02200(1,0,0)(,,)0DA n z x y z DB n x x y z ⎧⎧⎧⋅=+=⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⋅==⎪⎩⎪⎪⋅=⎩⎩， ∴3,1),3,0)n AC →→=-=， 又∵11//A C AC ， ∴(1,3,0)(0,3,1)3sin 4||||AC nAC n θ→→→→⋅⋅-===⋅.【点睛】方法点睛：求线面夹角由两种方法：几何法需要作出线面夹角的平面角，然后解三角形求得夹角的三角函数值；建系法，通过建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，把问题转化为向量间的夹角来求解.20．数列{}n a 、{}n b 满足：()*111,1,,n n a a a n n N R λλ+==++∈∈，1n nb a =，数列{}n b 前n 项和为n S ．〔1〕假设1λ=，求数列{}n a 的通项公式及n S ； 〔2〕假设2λ=，求证：32n S <． 【答案】〔1〕(1)2n n n a +=；21n n S n =+；〔2〕证明见解析．【分析】〔1〕可得11n n a a n +-=+，由累加法可求出n a ，再利用裂项相消法即可求出n S ； 〔2〕由题可得数列{}2n a n ++是以4为首项，2为公比的等比数列，可得122n n a n +=--，那么可得12n nb ≤，即可证明. 【详解】解〔1〕11,1n n a a n λ+=-=+，()()()121321(1)1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=12112(1)1n n b a n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， ∴1111122122311n n S n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-+⎝⎭ 〔2〕12,21n n a a n λ+==++，那么()1322n n a n a n +++=++，即1322n n a n a n +++=++， ∴数列{}2n a n ++是以4为首项，2为公比的等比数列，112422n n n a n -+∴++=⨯=，122n n a n +∴=--()11122222n n n nb n n +==--+--，∵2n ≥时，1222n n n n b ≥+⇒≤， ∴12231111222n n nS b b b =+++≤++++1111423131122212n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+=-<-.【点睛】关键点睛：解题的关键是得出数列{}2n a n ++是以4为首项，2为公比的等比数列，推出12n n b ≤. 21．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>12⎫⎪⎭．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕过椭圆C 外一点()00,P x y 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，记,PA PB 的斜率分别为12,k k ，且1214k k ⋅=-． ①求P 点轨迹方程；②求证：PAB △的面积为定值．〔参考公式：过椭圆22221x y a b+=上一点()11,x y 的切线方程为11221x x y y a b +=〕【答案】〔1〕2214x y +=；〔2〕①2248(2)x y x +=≠±；②证明见解析． 【分析】〔1〕根据椭圆上的点及离心率求出,a b 即可得到椭圆方程； 〔2〕①根据1214k k ⋅=-，由轨迹方程的求法计算即可；②联立方程，求出||AB ，由点到直线距离求d ，利用面积公式即可求解.【详解】〔1〕2222222314431114b e a a b a b ⎧=-=⎪⎧=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=〔2〕①设()00,P x y ，过点P 直线方程设为()00y y k x x -=-由()002214y kx kx y x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩ 消元得：22200001()2()()104k x k kx y x kx y +--+--= 由直线与椭圆相切()()()2222000041410k kx y k kx y ⎡⎤⇒∆=--+--=⎣⎦ 化简得：()22200004210x k x y k y -++-= ∴2220120020114844y k k x y x -==-⇒+=-， ∴点轨迹方程为2248(2)x y x +=≠±．②设()()1122,,,A x y B x y ，那么11:14x x PA y y +=，22:14x x PB y y += 因为,PA PB 过点()00,P x y ，∴201020204444x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，∴AB 方程为0044x x y y +=由002200224422044x x y y x x x y x y +=⎧⇒-+-=⎨+=⎩， 222000884x y y ∆=-+=∴||AB d === ∴1||12S AB d =⋅=， ∴PAB △的面积为定值．【点睛】关键点点睛：根据弦长公式及点到直线的距离，由面积公式化简即可求解，属于中档题.22．函数l ()1n f x x a x =--，()a R ∈.〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕函数21()ln (1)2g x x ax x a x =-+-. ①假设()g x 在1x =处取得极小值，求实数a 的取值范围；②假设()g x 的一个极值点为1x ，且1(1,)x ∈+∞，求()1g x 的最大值．【答案】〔1〕具体见解析；〔2〕①1a <；②212e e -. 【分析】〔1〕首先求出函数的导函数，再通过讨论a 的范围解不等式，进而得到结果；〔2〕①通过讨论a 的范围，找到函数()g x 的单调性，再根据极值点是否满足题意，得到a 的范围；②首先根据()g x 的极值点得到a 与1x 的关系，从而消去1()g x 中的参数a ，建立关于1x 的关系式，构造函数，通过求导讨论函数的单调性得到函数的最大值，即得1()g x 的最大值.【详解】〔1〕()1a x a f x x x-'=-=，0x >， 假设0a ≤，那么()0f x '>恒成立，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增．假设0a >，那么当(0,)x a ∈时，()0f x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>， ∴()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；〔2〕①()ln 1()g x x a x f x -'=-=，且(1)(1)0g f '==由〔1〕得：i 〕假设0a ≤，那么()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴(0,1)x ∈时，()()(1)0g x f x f <'==，()g x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()()(1)0g x f x f >'==，()g x 单调递增，∴(1)g 为()g x 的极小值，满足条件；ii 〕假设0a >，那么()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，当01a <<时，(,1)x a ∈时，()()(1)0g x f x f <'==，()g x 单调递减， (1,)x ∈+∞时，()()(1)0g x f x f >'==，()g x 单调递增，∴(1)g 为()g x 的极小值，满足条件；当1a ≥时，(0,1)x ∈时，()()(1)0g x f x f >'==，()g x 单调递增，不满足条件； 综上所述：1a <；②()111111ln 10ln x g x x a x a x -=--='⇒= ∴()22211111111111ln (1)22ln x x g x x ax x a x x x -=-+-=-+设221()2ln x x h x x x-=-+，1x >， 22(ln )(21)ln 1()(ln )x x x x x h x x -+-='-+， 设2()(ln )(21)ln (1)m x x x x x x =-+---， 那么21()(ln )1m x x x--'=+， 1104m =-+>'，1()110m e e'=--+<， 又∵222ln 112ln ()0x x x m x x x x-=-+='='只有一个实根，∴存在唯一一个0)x e ∈，使得()00m x '=，∴()01,x x ∈时，()0()m x m x >⇒'单调递增，∴()0,x x ∈+∞时，()0()m x m x <⇒'单调递减.又(1)0,()0m m e ==，∴(1,)x e ∈时，()0()0m x h x '>⇒>，()h x 单调递增，(,)x e ∈+∞时，()0()0m x h x '<⇒<，()h x 单调递减， ∴2max 1()()2h x h e e e ==-，即()1g x 的最大值为212e e -. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：〔1〕考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；〔2〕利用导数求函数的单调区间，判断单调性；单调性，求参数；〔3〕利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；〔4〕考查数形结合思想的应用.。
2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷(有答案解析)
2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x>1}，B={x|x≥1}，则(∁R A)∩B=()A. ⌀B. {1}C. RD. (1,+∞)2.双曲线x23−y2=1的焦点到渐近线距为()A. √32B. 1C. √3D. 23.底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是()A. 4√3B. 8C. 4√33D. 834.若实数x，y满足不等式组{y≥0x−2y≤22x−y≥2，则x−3y()A. 有最大值−2，最小值−83B. 有最大值83，最小值2C. 有最大值2，无最小值D. 有最小值−2，无最大值5.在△ABC中，已知A=π4，则“sinA>sinB”是“△ABC是钝角三角形”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知a>0，且a≠1，若log a2>1，则y=x−a|x|的图象可能是()A. B.C. D.7.已知x1，x2，x3∈R，x1<x2<x3，设y1=x1+x22，y2=x2+x32，y3=x3+x12，z1=y1+y22，z2=y2+y32，z3=y3+y12，若随机变量X，Y，Z满足：P(X=x i)=P(Y=y i)=P(Z=z i)=13(i=1,2，3)，则()A. D(X)<D(Y)<D(Z)B. D(X)>D(Y)>D(Z)C. D(X)<D(Z)<D(Y)D. D(X)>D(Z)>D(Y)8.如图，三棱锥V−ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)，记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P−AC−B的平面角为β，则α+β不可能是()A. 3π4B. 2π3C. π2D. π39.如图，一系列椭圆C n：x2n+1+y2n=1(n∈N∗)，射线y=x(x≥0)与椭圆C n交于点P n，设a n=|P n P n+1|，则数列{a n}是()A. 递增数列B. 递减数列C. 先递减后递增数列D. 先递增后递减数列10.设a∈R，若x∈[1,e]时恒有(e−1)x⋅ln(x+ax)≤x2−x+a(其中e=2.71828……为自然对数的底数)，则恒有零点的是()A. y=x2+ax+1B. y=ax2+3x+1C. y=e x+a−1D. y=e x−a+1二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 函数f(x)=−3sin(πx +2)的最小正周期为______，值域为______． 12. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z+i1+i =1−2i ，则z =______，|z|=______．13. 已知(1+x)6−(2+x)6=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯…+a 5x 5+a 6x 6，则a 6=______，|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯…+|a 5|+|a 6|=______． 14. 已知函数f(x)={2x ,x <0log 2(x −a),x ≥0，若f(−1)=f (1)，则实数a =______；若y =f(x)存在最小值，则实数a 的取值范围为______． 15. 某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员(1男2女)和6名警察(4男2女)分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有______种不同分配方案．(用具体数字作答)16. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，d ⃗ ，满足|a |=|b ⃗ |=|c |=1，a ⋅b ⃗ =0，|c −d |=|b ⃗ ⋅c |，则a ⋅d的取值范围为______．17. 已知a ，b ∈R ，设函数f(x)=2|sinx +a|+|cos2x +sinx +b|的最大值为G(a,b)，则G(a,b)的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b =1，acosA=√3sinB ． (Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)若a =2，求△ABC 的面积．19. 如图，四棱锥A −BCDE 中，底面BCDE 是正方形，∠ABC =90°，AC =2，BC =1，AE =√7． (Ⅰ)求证：BC ⊥AE ；(Ⅱ)求直线AD 与平面BCDE 所成角的正弦值．20. 已知数列{a n }是等比数列，a 1=2，且a 2，a 3+2，a 4成等差数列．数列{b n }满足：b 1+b 2√2+b3√3+⋯…+b n √n=n 2+n 2(n ∈N ∗).(Ⅰ)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (Ⅱ)求证：b 1−1a 1+2√2⋅a +3√3⋅a +⋯…+n √n⋅a <32．21. 如图，已知点O(0,0)，E(2,0)，抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 为线段OE 中点．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点E 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =4AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，过点A 作抛物线C 的切线l ，N 为切线l 上的点，且MN ⊥y 轴，求△ABN 面积的最小值．22. 已知函数f(x)=(x +1)e x −ax 2(x >0)．(Ⅰ)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若函数f(x)有两个不同的零点x 1，x 2， (ⅰ)求实数a 的取值范围；(ⅰ)求证：1x 1+1x 2−1t0+1>1.(其中t 0为f(x)的极小值点)-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵A={x|x>1}，B={x|x≥1}，∴∁R A={x|x≤1}，(∁R A)∩B={1}．故选：B．进行交集和补集的运算即可．本题考查了交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：双曲线x23−y21的渐近线y=±√33x，则焦点到渐近线的距离=|√33×2|1+(√33)2=2√332√33=1，一个点F(2,0)，近线方程为√33x+=0，选：B根据双曲线的方程求出啊、坐和近，点到直线的距离公式进行解即可．本题考查双曲线的性质，根据双线的定义求出焦坐渐近线方程以点到直线的距离公式是解决题的关键．3.答案：C解析：解：根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为S=22=4，高为ℎ=√22−12=√3；所以该四棱锥的体积是V=13Sℎ=13×4×√3=4√33．故选：C．根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．4.答案：C解析：解：画出不等式组{y ≥0x −2y ≤22x −y ≥2表示的平面区域，如图阴影所示；设z =x −3y ，则直线x −3y −z =0是一组平行线； 当直线过点A 时，z 有最大值，由{y =0x −2y =2，得A(2,0)；所以z 的最大值为x −3y =2−0=2，且z 无最小值． 故选：C ．画出不等式组表示的平面区域，设z =x −3y ，则直线x −3y −z =0是一组平行线，找出最优解，求出z 有最大值，且z 无最小值．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题． 5.答案：A解析：解：A =π4，则“sinA >sinB ”，由正弦定理可得：a >b ⇔B <π4，C 为钝角，⇒“△ABC 是钝角三角形”，反之不成立．可能B 是钝角．∴A =π4，则“sinA >sinB ”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A ．A =π4，则“sinA >sinB ”，利用正弦定理可得：a >b ，A >B ，B <π4，C 为钝角．反之不成立．可能B 是钝角．本题考查了解三角形、正弦定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于一般题． 6.答案：D解析：【分析】本题考查对数函数的性质、函数的图象的确定，属基础题．先根据对数不等式求出a 的范围，然后利用特殊值验证找出图象． 【解答】解：∵log a 2>1， ∴a >1．结合图象f(1)=1−a <0，故排除B ，C ． 又∵f(−1)=−1−a <0，故排除A ．D 选项满足． 故选：D ． 7.答案：B解析：解：E(X)=13(x 1+x 2+x 3)， E(Y)=13(x 1+x 22+x 2+x 32+x 3+x 12)=13(x 1+x 2+x 3)=E(X)，x 1+x 22，x 2+x 32，x 3+x 12距E(Y)，x 1，x 2，x 3较近，所以D(X)>D(Y)， 同理D(Y)>D(Z)，故D ( X )>D(Y )>D(Z )， 故选：B ．计算可得E(X)=E(Y)，进而得到D(X)>D(Y)，同理D(Y)>D(Z)， 本题考查离散型随机变量的期望与方差的关系，属于中档题． 8.答案：D解析：解：如图，由题意，三棱锥V −ABC 为正三棱锥， 过P 作PE//AC ，则∠BPE 为直线PB 与直线AC 所成角为α，当P 无限靠近A 时，∠PBE 无限接近π3，但小于π3，则∠BPE =∠BEP =α>π3． 当棱锥的侧棱无限长，P 无限靠近V 时，α无限趋于π2但小于π2； 二面角P −AC −B 的平面角为β，即V −AC −B 的平面角为β， 由三棱锥存在，得β>0，随着棱长无限增大，β无限趋于π2． ∴α+β∈(π3,π)．则α+β不可能是π3．故选：D ．由题意，三棱锥V −ABC 为正三棱锥，过P 作PE//AC ，则∠BPE 为直线PB 与直线AC 所成角为α，二面角P −AC −B 的平面角为β，即V −AC −B 的平面角为β，然后利用运动思想分析两角的范围，可得α+β∈(π3,π)，则α+β不可能是π3，答案可求．本题考查空间中异面直线所成角与二面角，考查空间想象能力与思维能力，训练了“极限思想”的应用，是中档题． 9.答案：B解析：解：设y =x 的参数方程{x =√22t y =√22t (t >0)，代入x 2n+1+y 2n =1(n ∈N ∗)整理得 t =√2n(n+1)2n+1，∴t n+1=√2(n+1)(n+2)2n+3，∴a n =t n+1−t n =√2(n +1)(n +2)2n +3−√2n(n +1)2n +1要判断上式增大还是减小，只需研究2(n+1)(n+2)2n+3−2n(n+1)2n+1的值增大或减小即可．将上式通分得2(n+1)[(n+2)(2n+1)−n(2n+3)](2n+3)(2n+1)=4n 2+8n+44n 2+8n+3=1+14n 2+8n+3，显然随着n 的增大，a n 的逐渐减小． 故该数列是递减数列．故选：B ．取射线y =x 的参数方程{x =√22ty =√22t(t >0)，利用参数t 的几何意义表示出a n ，然后作差法判断其单调性．本题考查了数列与圆锥曲线的综合问题，同时考查了数列的函数特征，属于中档题． 10.答案：D解析：解：(e −1)x ⋅ln (x +ax )≤x 2−x +a 等价于(e −1)ln (x +ax )≤x +ax −1， 令t =x +ax >0，则(e −1)lnt ≤t −1，令g(t)=lnt −t−1e−1(t >0)，则g′(t)=1t −1e−1，令g′(t)=0，解得t =e ，∴函数g(t)在(0,e −1)单调递增，在(e −1,+∞)单调递减，注意到g(1)=g(e)=0， 作函数g(t)的图象如下，由图可知，g(t)≤0的解集为t ∈(0,1]∪[e,+∞)，当t ∈(0,1]时，0<x +ax ≤1，则{0<1+a ≤10<e +a e≤1，此时无解；当t ∈[e,+∞)时，x +ax ≥e ，则a ≥e24，对A ，取a ∈[e 24,2)时，y >0恒成立，不合题意；对B 、C ，取a →+∞时，y >0恒成立，不合题意；对D ，事实上，a ∈[e 24,+∞)，必有a −1>0，因此y =e x −a +1必有零点．故选：D．原式变形可得(e−1)ln(x+ax )≤x+ax−1，构造t=x+ax>0，可得(e−1)lnt≤t−1，再构造g(t)=lnt−t−1e−1(t>0)，利用导数可知，满足g(t)≤0的t∈(0,1]∪[e,+∞)，结合x∈[1,e]，可知a≥e24，由此再逐项判断即可得出结论．本题考查函数与导数的综合运用，考查利用导数研究函数的零点问题，考查化简变形能力及运算能力，属于较难题目．11.答案：2 [−3,3]解析：解：由题意最小正周期T=2ππ=2．因为sin(πx+2)∈[−1,1]，所以−3sin(πx+2)∈[−3,3]，故值域为[−3,3]．故答案为：2，[−3,3]．利用周期计算公式和y=sinx的值域直接计算即可．本题考查了正弦型三角函数的周期、值域的求法，属于基础题．12.答案：3−2i√13解析：解：∵z+i1+i=1−2i，∴z+i=(1−2i)(1+i)=3−i．∴z=3−2i．|z|=√32+(−2)2=√13．故答案为：3−2i，√13利用复数的加减法、乘法公式、复数模的计算公式直接计算即可．本题主要考查了复数的加减法、乘法运算以及模的计算公式．属于基础题．13.答案：0 665解析：解：因为(1+x)6−(2+x)6=a0+a1x+a2x2+⋯…+a5x5+a6x6，令x=1可得：a0+a1+a2+⋯…+a5+a6=26−36=−665．所以：a6=∁66−∁66=0；∵a0=∁60−26⋅∁60=−63；a1=∁61−25∁61=−186；a2x2+=∁62−24∁62=−225；……a5=∁65−2⋅∁65=−6；a6=∁66−20⋅∁66=0；故|a0|+|a1|+|a2|+⋯…+|a5|+|a6|=−a0−a1−a2−⋯…−a5−a6=665．故答案为：0，665．根据其特点可知a6为x6的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令x=1即可求解．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．14.答案：1−√2 [−1,0)解析：解：(1)∵f(−1)=f (1)， ∴2−1=log 2(1−a)， ∴1−a =212，∴a =1−√2．(2)易知x <0时，f(x)=2x ∈(0,1)；又x ≥0时，f(x)=log 2(x −a)递增，故f(x)≥f(0)=log 2(−a)， 要使函数f(x)存在最小值，只需{−a >0log 2(−a)≤0，解得：−1≤a <0．故答案为：1−√2，[−1,0)．(1)根据题意列出关于a 的方程即可；(2)在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．本题考查分段函数的值域的求法．分段函数问题本着先分段研究，再综合的原则解决问题，属于基础题．15.答案：324解析：解：根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性， 将9人分成3组，有A 33×C 62C 42C 22A 33种情况，其中存在某组没有女性即全部为男性的情况有C 42C 42种，则有A 33×C 62C 42C 22A 33−C 42C 42=90−36=54种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，有A 33=6种情况，则有54×6=324种不同的分配方案； 故答案为：324．根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，注意先分好组，再进行排列，属于基础题． 16.答案：[−√2,√2]解析：解；由题，设a =(1,0),b ⃗ =(0,1),c =(cosθ,sinθ),d=(x,y)． ∵|c −d |=|b ⃗ ⋅c |，∴(x −cosθ)2+(y −sinθ)2=sin 2θ.①． 又∵a⋅d =x ． 根据①中圆的几何意义，a ⋅d 的取值范围即：cosθ+sinθ=√2sin (θ+π4)， ∴a ⋅d的取值范围为[−√2,√2]. 故答案为：[−√2,√2]．根据已知条件，假设各向量的坐标表示，通过转换成三角函数的范围来求解．本题考查了平面向量的线性运算与坐标运算，考查了学生转化的思想以及分析问题，解决问题的能力，属于中档难度题目．17.答案：4916解析：【分析】本题考查绝对值函数最大值中的最小值求解，考查分类讨论思想及转化思想，充分理解绝对值的几何意义，并掌握|a|+|b|=max{|a +b|,|a −b|}是解题的关键，属于较难题目．换元t =sinx ∈[−1,1]，可知G(a,b =max{|−2t 2+3t +2a +b +1|,|2t 2+t +2a −b −1|}， 分G(a,b)=|−2t 2+3t +2a +b +1|及G(a,b)=|2t 2+t +2a −b −1|讨论，利用绝对值的几何意义两点控制可求得对应的最小值，进而求得G(a,b)的最小值．【解答】 解：设t =sinx ∈[−1,1]，则f(x)=2|sinx +a|+|1−2sin 2x +sinx +b|=|2t +2a|+|−2t 2+t +b +1|=max{|−2t 2+3t +2a +b +1|,|2t 2+t +2a −b −1|}， ∴G(a,b)=max{|−2t 2+3t +2a +b +1|，|2t 2+t +2a −b −1|}，当G(a,b)=|−2t 2+3t +2a +b +1|时，令g(t)=−2t 2+3t +2a +b +1，t ∈[−1,1]，则此时g(t)max =g(−34),g(t)min =g(−1)， 故G(a,b)=|g(t)|≥|g(−1)|+|g(34)|2=|2a+b−4|+|2a+b+178|2≥|−4−178|2=4916，由a ，b ∈R 可知，等号能成立；当G(a,b)=|2t 2+t +2a −b −1|时，令ℎ(t)=2t 2+t +2a −b −1，t ∈[−1,1]，则此时ℎ(t)min =ℎ(−14),ℎ(t)max =ℎ(1)， 故G(a,b)=|ℎ(t)|≥|ℎ(−14)|+|ℎ(1)|2=|2a−b−98|+|2a−b+2|2≥|−98−2|2=2516，由a ，b ∈R 可知，等号能成立；综上，G(a,b)的最小值为4916． 故答案为：4916．18.答案：解：(Ⅰ)∵a cosA =√3sinB ⇒asinB =√3cosA ，∵a sinA=b sinB⇒asinB =bsinA ；∵b =1；所以：√3cosA =sinA ⇒tanA =√3⇒A =π3.(三角形内角) (Ⅱ)因为a 2=b 2+c−22bccosA ⇒c 2−c −3=0⇒c =1+√132；(负值舍)；∴S △ABC =12bcsinA =√3+√398．解析：(Ⅰ)由已知结合正弦定理求得A 的正切值，即可求得结论； (Ⅱ)由余弦定理求得边c ，进而求得其面积．本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，是对基本知识的综合考查．19.答案：(I)证明：∵BC ⊥AB ，BC ⊥BE ，AB ∩BE =B ，∴BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE ．(II)解：过点B 作平面ABC 的垂线Bz ，则BA ，BC ，Bz 两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A(√3,0，0)，C(0,1，0)，设E(x,y ，z).则BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|BE|=1，|EA|=√7.可得：y =0，x 2+z 2=1，(x −√3)2+z 2=7．z >0，解得E(−√32,0，12).由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,0，12).得D(−√32,1，12).∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√32，1，12). 设平面BCDE 的法向量为：n ⃗ =(a,b ，c)，则n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得：−√32x +12z =0=y ， 可得：n⃗ =(1,0，√3). ∴cos <AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√32×2√2=−√68． ∴直线AD 与平面BCDE 所成角的正弦值为√68．解析：(I)由BC ⊥AB ，BC ⊥BE ，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明结论．(II)过点B 作平面ABC 的垂线Bz ，则BA ，BC ，Bz 两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A(√3,0，0)，C(0,1，0)，设E(x,y ，z).可得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， |BE|=1，|EA|=√7.z >0，解得E.由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,0，12).得D 坐标．设平面BCDE 的法向量为：n ⃗ =(a,b ，c)，则n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得：n ⃗ ，利用向量夹角公式即可得出． 本题考查了线面垂直的判定定理与性质定理、法向量的性质及其应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2=2q ，a 3=2q 2，a 4=2q 3， 由a 2，a 3+2，a 4成等差数列，得2(a 3+2)=a 2+a 4，即2(2q 2+2)=2q +2q 3，即(q −1)(q 2+1)=0，解得q =2，所以a n =2n ． 当n =1时，b 1=1，当n ≥2时，b 1+2√2+3√3+⋯+n √n=n 2+n 2，b 1+2√2+3√3+⋯+n√n−1=(n−1)2+(n−1)2，作差得n√ n =n ，所以，b n =n √n(n ≥2)，当n =1时，b 1=1×√1=1也成立，所以b n =n √n ，综上，a n =2n ，b n =n √n ． (Ⅱ)因为当n ≥2时，n √na =√n−1√n×2n<√n √n×2n =n 2n，所以，b 1−1a 1+b 2−1√2a +b 3−1√3a +⋯+b n −1√ na <222+323+⋯+n2 n ，设T n =222+323+⋯+n2 n ，则12T n =223+324+⋯+n2n+1，两式相减得，12T n=222+(123+⋯+12n )−n 2n+1=12+123(1−12n−1)1−12−n 2n+1=12+14(1−12n−2)−n 2n+1=34−n+22n+1，所以T n =32−n+22n+1，所以T n <32．所以b 1−1a 1+2√2⋅a 3√3⋅a +⋯…n √n⋅a <32．解析：(Ⅰ)由递推公式可以求出通项公式a n =2n ，b n =n √n ．(Ⅱ)采用缩放的方法证明当n =1和n ≥2时成立，采用缩放的方法证明． 本题考查根据递推公式求出数列前几项进而求出通项公式，还有根据缩放的方法证明不等式成立．属于较难题．21.答案：解：(Ⅰ)由已知得焦点F 的坐标为(1,0)， ∴p =2，∴抛物线C 的方程为：y 2=4x ；(Ⅱ)设直线AB 的方程为：x =my +2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，联立方程{x =my +2y 2=4x ，消去x 得：y 2−4my −8=0，∴△=16m 2+32>0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8， 设直线l 方程为：y −y 1=k(x −x 1)，联立方程{y −y 1=k(x −x 1)y 2=4x ，消去x 得：y 2−4k y +4k y 1−4x 1=0，由相切得：△=16k 2−4(4k y 1−4x 1)=0，∴1k 2−1k y 1+x 1=0， 又x 1=y 124，∴1k 2−1k y 1+y 124=0，∴(1k −y 12)2=0，∴k =2y 1，∴直线l 的方程为：2x −y 1y +2x 1=0， 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得x 0=3x 1+x 24，y 0=3y 1+y 24， 将y 0=3y 1+y 24代入直线l 方程，解得x N =y 12+y 1y 28=y 12−88，所以S △ABN =12|x 0−x N |×|y 1−y 2|=12|3x 1+x 24−y 12−88|×|y 1−y 2| =|y 12+y 22+1632|×|y 1−y 2|=|y 1−y 2|332=|y 1+8y 1|332，又|y 1+8y 1|≥4√2，所以S △ABN ≥4√2，当且仅当y 1=±2√2时，取到等号，所以△ABN 面积的最小值为4√2．解析：(Ⅰ)由已知得焦点F(1,0)，所以p =2，从而求出抛物线C 的方程；(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，设直线l 方程为：y −y 1=k(x −x 1)，与抛物线方程联立，利用△=0求得k =2y 1，所以直线l 的方程为：2x −y 1y +2x 1=0，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求得点M 的坐标，进而求出点N 的坐标，所以S △ABN =12|x 0−x N |×|y 1−y 2|设直线AB 的方程为：x =my +2，与抛物线方程联立，设直线l 方程为：y −y 1=k(x −x 1)，利用韦达定理代入S △ABN ，利用基本不等式即可求出△ABN 面积的最小值．本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．22.答案：解：(Ⅰ)由f(x)=(x +1)e x −ax 2，得f′(x)=x(x+2xe x −2a)，设g(x)=x+2x⋅e x ，(x >0)；则g′(x)=x 2+2x−2x 2⋅e x ；由g′(x)≥0，解得x ≥√3−1，所以g(x)在(0,√3−1)上单调递减，在(√3−1,+∞)上单调递增， 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，f′(x)≥0，所以2a ≤g(√3−1)=(2+√3)⋅e √3−1； 所以，实数a 的取值范围是：(−∞,(2+√3)⋅e√3−12].(Ⅱ)(i)因为函数f(x)有两个不同的零点，f(x)不单调，所以a >(2+√3)⋅e√3−12．因此f′(x)=0有两个根，设为t 1，t 0，且0<t 1<√3−1<t 0，所以f(x)在(0,t 1)上单调递增，在(t 1,t 0)上单调递减，在(t 0,+∞)上单调递增；又f(t 1)>f(0)=1，f(x)=(x +1)e x −ax 2=a(e x −x 2)+(x +1−a)⋅e x ，当x 充分大时，f(x)取值为正，因此要使得f(x)有两个不同的零点，则必须有f(t 0)<0，即(t 0+1)e t 0−a ⋅t 02<0； 又因为f′(t 0)=(t 0+2)e t 0−2at 0=0； 所以：(t 0+2)e t 0−t 02⋅(t 0+2)e t 0<0，解得t 0>√2，所以a >12g(√2)=1+√22⋅e √2；因此当函数f(x)有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是(1+√22⋅e √2,+∞)．(ⅰ)先证明不等式，若x 1，x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，则√x 1x 2<x 2−x1lnx 2−lnx 1<x 1+x 22．证明：不妨设x 2>x 1>0，即证2(x 2x 1−1)x 2x 1+1<lnx 2x 1<x 2x 1−1√x 2x1，设t =x 2x 1>1.g(t)=lnt −√t，ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1，只需证g(t)<0且ℎ(t)>0； 因为g′(t)=√t−1)22t √t<0，ℎ′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0，所以g(t)在(1,+∞)上单调递减，ℎ(t)在(1,+∞)上单调递增， 所以g(t)<g(1)=0，ℎ(t)>ℎ(1)=0，从而不等式得证．再证原命题1x 1+1x 2−1t0+1>1．由{f(x 1)=0f(x 2)=0得{(x 1+1)e x 1−ax 12=0(x 2+1)e x 2−ax 22=0； 所以(x 1+1)e x 1x 12=(x 2+1)e x 2x 22，两边取对数得：2(lnx 2−lnx 1)−[ln (x 2+1)−ln (x 1+1)]=x 2−x 1；即2(lnx 2−lnx 1)x 2−x 1−ln (x 2+1)−ln (x 1+1)(x 2+1)−(x1+1)=1． 因为2(lnx 2−lnx 1)x 2−x 1−ln (x 2+1)−ln (x 1+1)(x 2+1)−(x 1+1)<√x x 2(x 1+1)+(x 2+1)，所以1+2x1+x 2+2<√x x <1x 1+1x 2，因此，要证1x 1+1x 2−1t0+1>1．只需证x 1+x 2<2t 0；因为f(x)在(t 0,+∞)上单调递增，0<x 1<t 0<x 2，所以只需证f(x 2)<f(2t 0−x 2)， 只需证f(x 1)<f(2t 0−x 1)，即证f(t 0+x)<f(t 0−x)，其中x ∈(−t 0,0)； 设r(x)=f(t 0+x)−f(t 0−x)，−t 0<x <0，只需证r(x)<0； 计算得r′(x)=(x +t 0+2)e t 0+x +(−x +t 0+2)e t 0−x −4at 0； r″(x)=e t 0−x [(x +t 0+3)e 2x +(x −t 0−3)]．由y =(x +t 0+3)e 2x +(x −t 0−3)在(−t 0,0)上单调递增， 得y <(t 0+3)e 0+(0−t 0−3)=0，所以r″(x)<0；即r′(x)在(−t 0,0)上单调递减， 所以：r′(x)>r′(0)=2f′(t 0)=0；即r(x)在(−t 0,0)上单调递增，所以r(x)<r(0)=0成立，即原命题得证．解析：(Ⅰ)先求其导函数，转化为f′(x)≥0，即求g(x)=x+2x⋅e x −2a 的最小值即可；(Ⅱ)(ⅰ)结合第一问的结论得f(x)不单调，故a >(2+√3)⋅e√3−12；设f′(x)=0有两个根，设为t 1，t 0，且0<t 1<√3−1<t 0，可得原函数的单调性，把问题转化为f(t 0)<0，即可求解结论．(ⅰ)转化为先证明不等式，若x 1，x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，则√x 1x 2<x 2−x1lnx 2−lnx 1<x 1+x 22.再把原结论成立转化为证x 1+x 2<2t 0；构造函数r(x)=f(t 0+x)−f(t 0−x)一步步推其成立即可．本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，是对导数知识的综合考查，属于难题．。
2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨浦中学高三数学理模拟试题含解析
2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨浦中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果数列，，，…，，…是首项为1，公比的等比数列，则等于（）A．32 B．64 C．-32 D．-64参考答案：A2. 已知，A是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为A. B. C. D.参考答案：D本题为几何概率.区域的面积为.区域A的面积为，所以点P落入区域A的概率为，选D.3. 设函数f（x）=，则满足不等式f（a）＜的实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）∪（，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（，）参考答案：D【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】直接分成两类讨论，①当a≤0时，解得a∈（﹣∞，﹣1）；②当a＞0时，解得a∈（，），再综合即可．【解答】解：分段函数解不等式，直接分段讨论求解，①当a≤0时，f（a）=2a＜=2﹣1，根据指数函数y=2x的单调性，解得a＜﹣1，即a∈（﹣∞，﹣1）；②当a＞0时，f（a）=|log2a|＜，即﹣＜log2a＜，解得a∈（，），综合以上讨论得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（，），故答案为：D．【点评】本题主要考查了分段函数的应用，涉及对数不等式和指数不等式的解法，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．4. 设函数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数的值域是( )A．{0,1} B．{0，－1} C．{－1,1}D．{1,1}参考答案：B略5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A． B． C． D．参考答案：C略6. 命题“若则”的否命题是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则参考答案：A略7. 命题，命题当时，对任意恒成立，则（）A．“”为假命题；B．“” 为真命题；C．““为假命题；D．“”为真命题参考答案：D8. 在中角、、的对边分别是、、，若，则为（）A. B.C. D.参考答案：C略9. 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数在x＝x1，x＝x2，x＝x3(x1<x2<x3)处的函数值分别为y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，y3＝f(x3)，则在区间[x1，x3]上可以用二次函数来近似代替：，其中。
2020年浙江省普通高中高考数学模拟试卷(二)(5月份)(有答案解析)
A. 5
B. -5
C. -2
D. 2
3. 若 α∈（ ，π），sin（π-α）= ，则 cosα=（ ）
A.
B.
C.
D.
4. lg（ ）2=（ ）
A. -4
B. 4
5. 下列函数中，最小正周期为 的是（
A. y=2018sinx
C. y=-cos2x
C. Байду номын сангаас0
）
D. -10
B. y=sin2018x D. y=sin（4x+ ）
考查函数定义域的概念及求法，指数函数的定义域．
7.答案：C
解析：解：直线 y=x，即 x -y=0，它与直线 x-y+2=0 的距离为 = ，
故选：C． 由题意利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意未知数的系数必需相同，属于基 础题．
8.答案：C
解析：解：∵1=log44＜log49＜log416=2， ∴1＜a＜2，
2020 年浙江省普通高中高考数学模拟试卷（二）（5 月份）
一、选择题（本大题共 18 小题，共 54.0 分） 1. 已知集合 P={-3，-2，-1，0}，Q={x∈N|-2＜x＜2}，那么集合 P∪Q 中元素的个数是
（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2. 已知向量 =（-1，1）， =（3，-2），则 =（ ）
6. 函数 f（x）=2x
的定义域为（
A. [-2，2] C. （-∞，-2]∪[2，+∞）
7. 直线 y=x 与直线 x-y+2=0 的距离为（
A. 2
B.
2020年浙江省新高考研究联盟高考数学模拟试卷(5月份)(含解析)
2020年浙江省新高考研究联盟高考数学模拟试卷(5月份)一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合A={x|–6≤x≤2}，B={x|–2<x<3}，则A∩(∁R B)=()A. {x|–6<x≤3}B. {x|–6≤x<2}C. {x|–6≤x≤–2}D. {x|x<–6或x≥3}2.双曲线x2−y23=1的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. 33.设x，y满足约束条件{x−y+1≤0x+y−3≥0y≤4，则z=2x+y的最大值是()A. 10B. 5C. 4D. 24.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A. π2+1B. π2+3C. 3π2+1D. 3π2+35.某函数部分图像如图所示，它的函数解析式可能是()A. y=sin(−56x+3π5) B. y=sin(65x−2π5)C. y=sin(65x+3π5) D. y=−cos(56x+3π5)6.设a，b∈R，则a>b是(a−b)b2>0的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.随机变量X的分布列为X−101P a b c其中a+c=2b，若E(X)=13，则V(X)的值是()A. 13B. 49C. 59D. 238.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD,BC//AD,PA⊥平面ABCD，AB=BC=2,AD=3,PA=2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为()A. √427B. √77C. √33D. √639.已知符号函数sgn(x)={1,x>00,x=0−1,x<0则函数的零点个数为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a2009的值是()A. 2 008×2009B. 2008×2007C. 2009×2 010D. 20092二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.若复数z满足1−iz=−i，其中i为虚数单位，则z−=______．12.直线y=kx+3(k≠0)与圆(x−3)2+(y−2)2=4相交于A、B两点，若|AB|=2√3，则k的值为________．13.已知(2x+√2)4=a0+a 1x+a 2x2+a 3x3+a 4x4，则(a0+a 2+a 4)2−(a 1+a 3)2=______．14.在△ABC中，∠BAC=120°，AC=2AB=4，点D在BC上，且AD=BD，则AD=________．15.已知斜率为k的直线与椭圆x24+y23=1交于A、B两点，弦AB的中垂线交x轴于点P(x0,0)，则x0的取值范围是______．16.函数y=x−sinx,x∈[π2,π]的最大值为__________.17.若向量a⃗=(1,x)，b⃗ =(2,1)，且a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知，．(1)求的值；(2)求函数的最大值．19.如图，在四棱锥E−ABCD中，底面为菱形，已知∠DAB=∠EAB=60°，AD=AE=2，DE=√6．(1)求证：平面ABE⊥平面ABCD；(2)求直线AE与平面CED的所成角的正弦值．20.已知a n是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=1，且a2·b2=12，S3+b2=20．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式．(2)设c n=a n·b n，求数列{c n}的前n项和T n．21.如图，已知M(1,2)为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，过点D(2,−2)的直线与抛物线C交于A，B两点(A,B两点异于M)，记直线AM，BM的料率分别为k1，k2．(1)求k1k2的值；(2)记△AMD，△BMD的面积分别为S1，S2，当k1∈[1,2]，求S1的取值范围．S222.已知函数f(x)=ax2−2ln(x+1)，g(x)=e2x−bx−1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若实数a=1，f(x)≤g(x)对∀x∈[0,+∞)恒成立，求实数b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合的补集、交集运算，属于简单题． 先求出∁R B ，再计算A ∩(∁R B)．解：由于A ={x|–6≤x ≤2}，B ={x|–2<x <3}，则∁R B ={x|x ⩽−2或x ⩾3} 所以A ∩(∁R B)={x|–6≤x ≤–2} ， 故选C ．2.答案：C解析：解：双曲线x 2−y 23=1的a =1，b =√3，可得c =√a 2+b 2=2， 即有e =ca =2． 故选：C ．求出双曲线的a ，b ，c ，由离心率公式e =ca ，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．3.答案：A解析：解：由约束条件{x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4作出可行域如图，联立{y =4x −y +1=0，解得A(3,4)，化z=2x+y为y=−2x+z，由图可知，当直线y=−2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+4=10．故选：A．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．4.答案：A解析：本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为12×13×π×12×3+13×12×√2×√2×3=π2+1，故选A ．5.答案：C解析：本题考查了三角函数图象以及性质；熟练掌握正弦函数的图象和性质是解答的关键．首先由函数图象求出A，T，再计算φ，即可求出解析式．解：由图象得到A=1，函数周期为T=4(3π4−π3)=5π3=2πω，所以ω=65，由f(3π4)=−1得到φ=3π5，所以f(x)=sin(65x+3π5)，故选C .6.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础． 结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 解：当a >b ，b =0时，不等式(a −b)b 2>0不成立． 若(a −b)b 2>0，则b ≠0，且a −b >0， ∴a >b 成立．即a >b 是(a −b)b 2>0的必要不充分条件． 故选：B ．7.答案：C解析：本题考查离散型随机变量的分布列、期望、方差，属于基础题．由题意得，2b =a +c.又a +b +c =1，且E(X)=−1×a +1×c =c −a =13，联立求得a ，b ，c ，代入方差公式求解即可．解：∵ 2b =a +c.又a +b +c =1，且E(X)=−1×a +1×c =c −a =13， 联立得a =16，b =13，c =12．∴D(X)=(−1−13)2×16+(0−13)2×13+(1−13)2×12=59．8.答案：B解析：本题考查了空间向量的应用，线面角的计算，属于中档题．以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，平面PCD 的法向量，即可求PB 与平面PCD 所成角的正弦值．解：依题意，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，AB =BC =2，AD =3，PA =2，则P(0,0，2)， B(2,0，0)，C(2,2，0)，D(0,3，0)，从而PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−2)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，−2)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，−2)， 设平面PCD 的法向量为n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2a +2b −2c =03b −2c =0, 不妨取c =3，则b =2，a =1，所以平面PCD 的一个法向量为n ⃗ =(1,2，3)， 所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值： sinθ=|cos <PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >| =22222=|−√77|=√77， 故选：B ．9.答案：B解析：本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用．函数f(x)=sgn(lnx)−ln 2x 的零点个数可转化为方程sgn(lnx)−ln 2x =0的解的个数，从而解方程即可．解：令sgn(lnx)−ln 2x =0得，当lnx >0，即x >1时， 1−ln 2x =0，解得，x =e ； 当lnx <0，即0<x <1时， −1−ln 2x =0，无解； 当lnx =0，即x =1时，sgn(lnx)−ln 2x =0恒成立；。
浙江省诸暨市高三5月适应性考试数学试题
浙江省诸暨市高三5月适应性考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：1．已知集合}2,1{=P ，}3,2{=Q ，全集}3,2,1{=U ，则)(Q P C U 等于（ ）A ．}3{B ．}3,2{C ．}2{D ．}3,1{2．已知i R b a bi ai i ,,()1)(43(∈=++是虚数单位)，则=a （ ）A ．43-B ．43C ．34D ．34- 3．已知圆422=+y x 与直线0=-+t y x ，则“22=t ”是“直线与圆相切”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，且)4()(x f x f -=，当02<≤-x 时，||log )(3x x f =，则=)311(f （ ）A ．11log 13+-B ．11log 13-C ．1D ．1-5．已知1|cos |,1|sin |,,22≤+≤-∈θθb a R b a ，则（ ）A ．b a +的取值范围是]3,1[-B ．b a +的取值范围是]1,3[-C ．b a -的取值范围是]3,1[-D ．b a -的取值范围是]1,3[-6．等差数列}{n a 的前n 项和是n S ，公差d 不等于零，若632,,a a a 成等比，则（ ）A ．0,031>>dS d aB ．0,031<>dS d aC ．0,031><dS d aD ．0,031<<dS d a 7．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线截椭圆1422=+y x 所得弦长为334，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．26 D ．6是（ ）A ．),1(+∞-B ．)3,1(-C ．),0(+∞D ．)3,0(9．甲盒子装有3个红球，1个黄球，乙盒中装有1个红球，3个黄球，同时从甲乙两盒中取出)3,2,1(=i i 个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为)(),(21i E i E ，则以下结论错误的是（ ）A ．)1()1(21E E >B ．)2()2(21E E =C ．4)1()1(21=+E ED ．)1()3(21E E <10．如图，矩形ABCD 中，3,1==Bc Ab ，E 是线段BC （不含点C ）上一动点，把ABE ∆沿AE 折起得到E AB '∆，使得平面⊥AC B '平面ADC ，分别记A B '，E B '与平面ADC 所成角为βα,，平面AE B '与平面ADC 所成锐角为θ，则（ ）A ．βαθ>>B ．αθ2>C ．βθ2>D ．αθtan 2tan >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤--≤-+020202x y x y x ，则目标函数y x z +=3的最大值等于 ,最小值等于 ．12．某几何体的三视图如图所示（单位为cm ），则该几何体的表面积为 2cm ，体积为 3cm.13．ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别是c b a ,,，已知C B A sin 45sin sin =+，且ABC ∆的周长为9，则 =c ；若ABC ∆的面积等于C sin 3，则=C cos ．14．已知0144555)12()12()12(a x a x a x a x +++++++= ，则=5a ，=4a ．15．已知+∈R b a ,，且9)2)((=++++b a b a b a ，则b a 43+的最小值等于 ．16．某翻译处有8名翻译，其中有小张等3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取5名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻译日语，且小张与小李恰有1人选中，则有 种不同选取方法.17．已知)(,,c a R c b a >∈+，关于x 的方程cx b ax x =+-||2恰有三个不等实根，且函数=)(x f cx b ax x ++-||2的最小值是2c ，则=ca ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．已知函数1)3sin(sin 4)(-+=πx x x f . （1）求)65(πf 的值； （2）设A 是ABC ∆中的最小角，58)(=A f ，求)4(π+A f 的值.19．如图，四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，PAD ∆是边长为2的等边三角形，底面ABCD 是直角梯形，2π=∠=∠CDA BAD ，222==CD AB ，E 是CD 的中点.（1）证明：PB AE ⊥；（2）设F 是棱PB 上的点，//EF 平面PAD ，求EF 与平面PAB 所成角的正弦值.20. 已知函数x e x x f -=1)(，c bx ax x g ++=2)(，)()()(x g x f x h -=. （1）当1,2,21=-==c b a 时，求函数)(x h 的极值； （2）若1-=a ，且函数)(x f 与)(x g 在0=x 处的切线重合，求证：0)(≥x h 恒成立.21．已知F 是抛物线)0(2:2>=p py x C 的焦点，过F 的直线交抛物线C 于不同两点),(),,(2211y x B y x A ，且121-=x x .（1）求抛物线C 的方程；（2）过点B 作x 轴的垂线交直线AO （O 是原点）于D ，过A 作直线DF 的垂线与抛物线C 的另一交点为E ，AE 中点为G .①求点D 的纵坐标； ②求||||DG GB 的取值范围.22．已知数列}{n a 的各项都小于1，211=a ，)(2*2121N n a a a a n n n n ∈-=-++. （1）求证：)(*1N n a a n n ∈<+；（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，求证：432143<<-n n S ； （3）记nn n a a b 211-=+，求证：32≤n b .试卷答案一、选择题1-5：DBACC 6-10：CBADD二、填空题11．6,10- 12．64+，32 13．4，41- 14．325,321- 15．126- 16．21 17．5 三、解答题18．解：（1）167sin )21(41)365sin(65sin 4)65(-⋅⋅=-+=πππππf21)21(2-=--⋅=（2）1)cos 23sin 21(sin 4)(-+=x x x x fx x x x x 2cos 2sin 31cos sin 32sin 22-=-+=)62sin(2π-=x]3,0(π∈A ，]2,6(62πππ-∈-A,54)62sin(,58)62sin(2)(=-=-=ππA A A f ]2,0(62ππ∈-A ∴)4(π+A f 56)62cos(2)622sin(2=-=-+=πππA A .19、解：（1）取AD 中点G ，连BG PG ,，面⊥PAD 平面ABCD ，AD PG ⊥，面 PAD 平面AD ABCD =，得⊥PG 平面ABCD∴PG AE ⊥又∵ABG DAE ∠=∠tan tan∴BG AE ⊥∴⊥AE 平面PBG ，∴PG AE ⊥（2）作AB FH //交PA 于H ，连DH//EF 面PAD ，面 FHDE 面DH PAD =∴DH EF //∴四边形FHDE 为平行四边形AB HF //AB HF 1=H PAAD AB ⊥，面⊥ABCD 面⇒PAD ⊥AB 面PAD作PA DK ⊥于K∴DK AB ⊥，PA DK ⊥，A AB PA = ，⊥DK 面PAB∴DHK ∠为所求线面角，133922133sin ===∠DH DK DHK . 20、（1）12211)(2-+--=x x e x x h x )11)(2(2)()1()('2--=+----=xx x x e x x e e x e x h 令0)('>x h 20<<⇒x∴)(x h 在)0,(-∞，),2(+∞上单调递减，在)2,0(上单调递增)(x h 极大值211)2(e h -=，)(x h 极小值0)0(=h （2）xe x xf 2)('-=，∴2)0('-=f 即切线为12+-=x yb x x g +-=2)('，∴2)0('-==b g 且)(x g 过)1,0(∴12)(2+--=x x x g 一方面先证：122+-≥-x ex x ，另一方面：12122+--≥+-x x x 恒成立 令=)(x m 122-+-x e x x ，x x ex e x m 22)('-+= 令22)(-+=x e x n x ，为R 上的单调递增函数，0)0(=n ，∴令0)('>x m 得0>x∴)(x m 在),0(+∞递增，在)0,(-∞递减，0)0()(=≥m x m ∴122+-≥-x e x x∴≥-x ex 212122+--≥+-x x x ，即0)(≥x h . 21、（1）设AB ：2p kx y +=， ⎪⎨⎧+=p kx y 2)2(22p kx p x +=⇒∴0222=--p pkx x∴1221-=-=p x x ，∴1=p∴y x 22=（2）直线OA ：x x x x y y 2111== ∴)2,(212x x x D 即)21,(2-x D ， ∴21x k DF -=，2x k AE = 即直线AE ：)(121x x x y y -=-⎪⎩⎪⎨⎧=-=-2)(2121x y x x x y y 012122=---⇒y x x x ∴122x x x E -=∴)12,(122++y y x G ,∴D B G ,,三点共线2321||||1212++++=y y y y GD GB ∵4121=y y )2,1(21112212141212||||111111∈+-=+-=+++-=y y y y y y GD GB ∴)1,21(||||∈GD GB . 22、（1）先证：0>n a02111>--=++n n n n a a a a ，n n a a ,1+同号，211=a 0>，所以0>n a 11-a a第页 11 （2）n n n n n n n a a a a a a a +-=-=-++2222121=n S 432)2(2121121121+-=---++++n n n n a a a a a a 由（1）得022211<-=-++n n n n a a a a 所以=<-≤n n n n S a 2143,21432121+-++n n a a 43< （3）由412121222-=-=-a a a a 得2322-=a ，从而321=b )1()2(11n n n n a a a a -=-++n n n n a a a a -+=+-⇒++12212111⇒11211221++---=-=n n n n n a a a a b 下证}{n b 为单调递减数列∵=-+n n b b 1----++212112n n a a 12112+---n n a a )2)(2()1)(1()(2122111++++++---+----=n n n n n n n n a a a a a a a a 我们先证}{1+-n n a a 为单调递减数列11121221)(1)(1++++++++-=+-<+-=-n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a 所以0)2)(2()1)(1()(2122111<---+----++++++n n n n n n n n a a a a a a a a ∴}{n b 为单调递减数列，321=≤b b n。
浙江省绍兴市高三下学期数学5月适应性考试试卷附解析
高三下学期数学5月适应性考试试卷一、单项选择题1.集合满足，那么集合A可以是〔〕A. {3}B.C.D.2.x，y为正实数，那么〔〕A. B. C. D.3.z是复数，i是虚数单位，那么“ 〞是“ 〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数的局部图象是〔〕A. B.C. D.5.双曲线的渐近线过点，那么该双曲线的离心率为〔〕A. B. C. 2 D.6.假设实数x，y满足约束条件，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.7.设，假设随机变量的分布列如下：-1那么以下说法错误的选项是〔〕A. B. C. D.8.底面为正方形的四棱锥，点的射影在正方形内，且到的距离等于的长，记二面角的平面角为，二面角的平面角为，二面角平面角为，那么以下结论可能成立的是〔〕A. B. C. D.9.等差数列满足，，公差为d，数列满足，假设对任意的都有，那么公差d的取值范围是〔〕A. B. C. D.10.函数没有极值点，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.二、填空题11.角的终边过点，那么________，________．12. ，那么________；________．13.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的．为抛物线上两点，那么在A点处抛物线C的切线的斜率为________；弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为________．14.某几何体的三视图如下列图，俯视图为平行四边形，内部图形为扇形，正视图、侧视图上方为直角三角形，下方为矩形，那么三视图中侧视图的面积为________；该几何体的体积为________．15.P是圆上一点，动点，的坐标为，，其中.假设恰好存在一个点，使得，那么________.16.把编号为的五个小球随机放入编号为的五个盒子，每盒一个小球，假设满足，那么不同的放法共有________种．17.平面向量满足：，，，那么的最大值是________．三、解答题18.如图，平面四边形中，．〔1〕假设，，求的面积；〔2〕假设，，，求t的最大值．19.如图，三棱柱各棱长均为2，．〔1〕求证：；〔2〕假设二面角为，求与平面所成角的正弦值．20.数列、满足：，，数列前n项和为．〔1〕假设，求数列的通项公式及；〔2〕假设，求证：．21.椭圆的离心率为，且过点．〔参考公式：过椭圆上一点的切线方程为〕〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过椭圆C外一点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，记的斜率分别为，且．①求P点轨迹方程；②求证：的面积为定值．22.函数，.〔1〕求函数的单调区间；〔2〕函数.①假设在处取得极小值，求实数的取值范围；②假设的一个极值点为，且，求的最大值．答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】，集合A可以是，。
2020年浙江省高考数学模拟试卷及答案
2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x|的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为4C ．≥√2D ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a bA．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f（x）＝a有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为（）A．(-154，0]B．(-154，2]C．[﹣4，+∞）D．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为γ．则（）A．α≥β，β≤γB．α≤β，β≤γC．α≥β，β≥γD．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n}满足a n+1＝a n2+2a n﹣2（n∈N*），若存在常数λ，使得a n≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n}和正项等比数列{b n}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{b n}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）n d n＝nc n+n，求数列{d n}的前项和为T n．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A y B为常数；（3）是否存在t，使得y A y B＝1且y P?y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cosx，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当??∈[0，]时，求f（x）的值域；3恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．（2）当x∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1，2，3}，故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵??=2+3??=(2+3??)(-??)-??2=3-2??，∴??=3+2??．故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方．取得最小值：(6-2√4+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α＝13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α＝±√33，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的不充分条件；若sin α＝√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α＝13，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要条件；综上所述：“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．6．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是（）A．线段PQ与平面CDD1C1可能平行B．当Q为线段B1C1的中点时，线段PQ与DD1所成角为4C．≥√2D．CD1与PQ不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，在A中，当Q为线段B1C1中点时，线段PQ与平面CDD1C1平行，故A正确；在C中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，∴线段PQ与DD1所成角为∠C1DD1=4，故B正确；在C中，PQ≥√2AB，当且仅当Q为线段B1C1的中点时取等号，故C正确；在D中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，CD1与PQ垂直，故D错误．故选：D．7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a b A．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增【解答】解：依题可知{()=-13+??+??=23，∴??(??)=-13+23-??，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（）A ．(-154，0]B ．(-154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2，不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4，﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故-154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．∴根据最小角定理得α≥β，根据最大角定理得β≤γ．故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：??+1-????=????2+????-2=(????+2)(????-1)，若a n ＜﹣2，则a n+1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n+1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12）．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线可得：{12-122=??22-222=??，两式相减可得：1-??2??1-??2=2(??1+??2)??1+??2，而由题意可得，x1+x2＝2×1＝2，y1+y2＝2×1＝2，所以直线AB的斜率k=1-??21-??2=2×２2=2，所以直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，代入双曲线的方程可得：2x2﹣4x+1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：??＜12，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体，如图所示：所以：V=13×12(2+4)×3×3=9，故答案为：913．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为??+1=??6(-??)??可得，令r＝2，即x2项的系数a2为??62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝√2．【解答】解：∵a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，∴sinC=√１-2??=√74，可得√74=12absinC=√78ab，解得ab＝2，∴b＝2，∴由余弦定理可得c=√??2+??2-2=√12+22-2×1×2×34=√2．故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为2√23．【解答】解：设P（x0，y0），B1（0，﹣b），B2（0，+b），由|k1-k2|=89，|0-??-??0+????0|=89，∴|x0|=94b，由题意得圆M的圆心在x轴上，设圆心（t，0），由题意知：t2+b2＝2b2∴t2＝b2，∴MP2＝2b2＝（x0﹣t）2+y02，∴y02=716??2，P在椭圆上，所以81??216??2+716=1，∴a2＝9b2＝9（a2﹣c2），∴e2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，过点D做DP⊥x轴，过点D做DQ⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，==2√3，∴B（0，0），A（2，0），C（0，2√3），D（3，√3），设M（0，a），则→=（﹣2，a），→=（﹣3，a-√3），故→→=6+a（a-√3）=(??-√32)2+214≥214，故答案为：214．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）【解答】解：令g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞）．g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）即不等式（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），x+1＞0．∴x+1＞x2﹣1＞0，解得：1＜x＜2．∴不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，∴sinA=√１-2=2√23，∵△ABC的面积为12bc?sinA=22√23=√23bc＝2√2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2，∴a=√??2+??2-2=√9+4-2?3?2?13=3．再根据正弦定理可得=??，即32√23=2，∴sinC=4√29．（Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA=4√29，cos2A＝2cos2A﹣1=-79，故cos（2A-6）＝cos2Acos6+sin2Asin??6=-79√32+4√29?12=4√2-7√318．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC中点O，连结BO，DO，∵AD＝CD，AB＝BC，∴AC⊥BO，AC⊥DO，∵BO∩DO＝O，∴AC⊥平面BOD，又BD?平面BOD，∴AC⊥BD．（2）解：由（1）知∠BOD是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴∠BOD＝150°，∵AC⊥平面BOD，∴平面BOD⊥平面ABC，在平面BOD内作Oz⊥OB，则Oz⊥平面ABC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得OB＝4，在△BOD中由余弦定理得OD＝4√3，∴A（0，﹣4，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（﹣6，0，2√3），∴M（﹣3，2，√3），→=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量??→=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ＝|??→→||??→|?|→|=√3√56=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）nd n ＝nc n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q+2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）??=?????=2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝nc n +n ＝n?2n+1，则d n ＝2n?（﹣2）n ，前项和为T n ＝2?（﹣2）+4?4+6?（﹣8）+…+2n?（﹣2）n ，﹣2T n ＝2?4+4?（﹣8）+6?16+…+2n?（﹣2）n+1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n?（﹣2）n+1＝﹣4+2?4(1-(-2)-1)1-(-2)-2n?（﹣2）n+1，化简可得T n =-49-6??+29（﹣2）n+1．21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A y B ＝1且y P ?y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2，∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p=12，∴M 与焦点的距离为MF =??+2=2+14=94．（2）证明：设M （??02，??0），直线PM ：y ﹣1=0-102-1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，??=0-10+1，直线QM ：y+1=??0+102-1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =-??0-1??0-1，∴y A y B ＝﹣1，∴y A y B 为常数﹣1．（3）解：设M （??02，??0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=0-????02-??（x ﹣y 02），联立y 2＝x ，得??2-02-??0-??????+??02-????0-??????0-??02=0，∴y 0+y p =??02-????0-????，即y P =??0????-????0-????，同理得y Q =0????-10-????，∵y A ?y B ＝1，∴y P y Q =??02-0(????+????)+??202-??0(????+????)+1，要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A ?y B ＝1且y P ?y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cosx ，g （x ）＝e 2x﹣2ax ．（1）当??∈[0，3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??恒成立（f'（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cosx ﹣e x sinx ＝e x （cosx ﹣sinx ）．令f'（x ）＝e x （cosx ﹣sin x ）＝0，得??=4∈[0，??3]．当??∈(0，4)时，f'（x ）＞0，当??∈(??4，??3)时，f'（x ）＜0，所以??(??)=??(4)=√22??4，??(??)={??(0)，??(??3)}．因为??(3)=??32＞??332=??2＞1=??(0)，所以f （x ）min ＝1，所以f （x ）的值域为[1，√224]．（2）由??(??)≥′(??)2??得??2??-2≥-，即-+??2??-2≥0．设(??)=-+??2??-2，则?′(??)=2????+2??2??-2??．设φ（x ）＝h'（x ），则??′(??)=4??3??-2√2(??+4)．当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2(??+4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0．所以φ（x ）即h'（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h'（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h'（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。