2020年1月学考选考浙江省绍兴市诸暨市2019～2020学年度第一学期期末考试试题高三数学试题参考答案

诸暨市2019--2020学年第一学期期末考试
高三数学参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．D 7．A 8．A 9．A 10．D
二、填空题(本题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分．)
11． 4,01或 12． 6, 135 13． 5,14
14. 1,22 15．36 16 17．1,2⎛-- ⎝⎭
三、解答题(本大题共5小题,共74分．)
18. 解：(1)()sin 2f x x x =+ ……2′ 2sin(2)3x π
=+ ……2′
当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时,42333x πππ≤+≤ ……1′
所以,此时()f x 的值域为⎡⎤⎣⎦ ……2′
(2)因为10()2sin()2313f απ
α=+=,所以5sin()313
πα+= ……1′ 54633πππα<+<,所以12cos()313
πα+=- ……2′ sin sin ()sin()cos cos()sin 333333π
πππππ
αααα⎡
⎤=+-=+-+⎢⎥⎣⎦ ……1+2′
= ……1′ 19. 解：(1)证明：取PC 中点G ,连,EG FG ,
则1////,2
EG DC AF EG DC AF =
= ……3′ 所以AEGF 是平行四边形,//AE FG 从而//AE 平面AFC ……3′
(2)法一：因为//AF 平面PDC ,所以点,A F 到平面PDC 的距离相等,……1′ 由,CD AD PAD ABCD ⊥⊥知CD AE ⊥
由E 是PD 中点,AE PD ⊥得AE ⊥平面PDC ……4′ 设2AB a =,
则所求线面角的正弦值24AE a CF ====, 4AB = ……4′ 法二：取AD 中点H ,以H 为原点建立空间坐标系,设2AB a =,则
(1,0,0),(1,2,0),(1,0,0),(1,,0)A C a D P F a -- ……2′
求得平面PDC
的法向量为3
,0,22EA ⎛- ⎝⎭
……4′
所求线面角的正弦值为cos ,2EA CF a ===u u u r u u u r 所以4AB = ……3′
20.(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则21112,2,2n n a q a q q a +=== ……3′
131,5b b == ……2′
法一：猜想21()n b n n N *=-∈,用数学归纳法证明 ……1′
当1n =时成立,假设当n k =时结论成立,则由 ……1′ (1),2k k k S b =+211111(1)2
k k k k k k S b S b k b +++++=+=+=+ 211(1)21,212(1)1k k k b k k b k k ++-=--=+=+-
即1n k =+时结论也成立,综上21n b n =- ……2′ 法二：(1),2n n n S b =+111(1)2
n n n S b +++=+得 1(1)1n n n b nb +-=- ……2′ 同理1(2)(1)1n n n b n b --=--
两式相减整理得112n n n b b b +-+=
所以数列{}n b 是公差为2的等差数列,21n b n =- ……2′
（2）设211223321232(21)n n n n T a b a b a b a b n =++++=⋅+⋅++⋅-L L
231221232(23)2(21)n n n T n n +=⋅+⋅++⋅-+⋅-L ……1′
1232(21)2(222)2n n n T n +=--+++-L ……3′
12(23)6n n +=-+ ……2′
21. 解：(1) (0,1)F , (2,1),(2,1)
A B - ……2′
切线方程为221(2),1(2)22y x y x --=--=+
即10x y --=与10x y ++= ……2′
所以(0,1)P - ……1′
（2）设l 的方程为1y kx =+,1122(,),(,)A x y B x y ……1′
则21212440,4,4x kx x x x x k --==-+= ……1′
直线PA 方程为111()2
x y y x x -=-,即 21124x x y x =- 直线PB 方程为22224
x x y x =- ……2′ 联立解得12(,1)2
x x P +- ……2′ 法一：2221212212212222212121
2221
()()()(1)444()()()(1)44x x x x x x y x x x x x x x y x ---+++==---+++ ……2′ 221212412,4,1x x x x =+==- 或 124,1x x =-=
直线l 的方程为314
y x =±+ ……2′ 法二：设直线PA 的斜率为1k ,
则
121PA x x =-=-
类似可得PB = ……2′ 所以1122,4,1k x x =±=±=m
……1′ 直线l 的方程为314y x =±
+ ……1′ 22.解：(1)111()()(1)2x x g x f x e
e ax ++'==-- ……2′ 11()(1)x x g x e e ax a ++'=--- ……1′
由题意1()10x G x e ax a +=---≥恒成立 ……1′
由于(1)0G -=,所以(1)0G '-=,解得1a =(不验证不扣分) ……2′
(2)1111171173()()((1))488484
x x x x f x e e x e e x ++++=--=-++ 令121,0,x t t t +=+=,不妨设210t x =+>,1
73()()484t t h t e e t =-
+ 令 1
73173()()()()()484484
t t t t H t h t h t e e t e e t --=+-=-++++ , 原题即证明当0t >时,()2H t > ……2′
171171()()()2
88288
t t t t H t e e t e e t --'=---+- ……1′ 171()()()()288t t t t t t t t e e e e t e e e e ----=+--+-- 711()()()()208216t t t t t t t t e e e e t e e e e ----⎡⎤⎡⎤=+--+-+-≥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
……5′ 其中11()()1022t t t t e e t e e --'⎡⎤--=+-≥⎢⎥⎣⎦
因为(0)2H =,所以当0t >时,()2H t > ,得证 ……1′。