(含答案)2020-2021学年全国初中数学竞赛历年竞赛试题：二
2020-2021初中数学实数知识点总复习含答案解析(2)
2020-2021初中数学实数知识点总复习含答案解析(2)一、选择题1．在实数范围内，下列判断正确的是（ ）A ．若2t ，则m=nB ．若22a b >，则a ＞bC 2=，则a=bD =a=b 【答案】D【解析】【分析】根据实数的基本性质，逐个分析即可.【详解】A 、根据绝对值的性质可知：两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故选项错误；B 、平方大的，即这个数的绝对值大，不一定这个数大，如两个负数，故说法错误；C 、两个数可能互为相反数，如a=-3，b=3，故选项错误；D 、根据立方根的定义，显然这两个数相等，故选项正确．故选:D ．【点睛】考核知识点：实数的性质.理解算术平方根和立方根性质是关键.2．在整数范围内，有被除数=除数⨯商+余数，即a bq r a b =+≥（且)00b r b ≠≤<，，若被除数a 和除数b 确定，则商q 和余数r 也唯一确定，如：11,2a b ==，则11251=⨯+此时51q r ==,．在实数范围中，也有 (a bq r a b =+≥且0b ≠，商q 为整数，余数r 满足：0)r b ≤<，若被除数是，除数是2，则q 与r 的和（ ）A ．4B ．6C ．4D ．4 【答案】A【解析】【分析】根据2=q 即可先求出q 的值，再将a 、q 、b 的值代入a =bq +r 中即可求出r 的值，从而作答．【详解】∵2=7=45，的整数部分是4， ∴商q =4，∴余数r=a﹣bq=2×4=8，∴q+r=4+8=4．故选：A．【点睛】本题考查了整式的除法、估算无理数的大小，解答本题的关键理解q即2的整数部分．3．把-( )A B．C．D【答案】A【解析】【分析】由二次根式-a是负数，根据平方根的定义将a移到根号内是2a，再化简根号内的因式即可.【详解】∵1a-≥，且0a≠，∴a<0，∴-，∴-=故选：A.【点睛】此题考查平方根的定义，二次根式的化简，正确理解二次根式的被开方数大于等于0得到a的取值范围是解题的关键.4．若a、b分别是2a-b的值是（）A．B．C D．【答案】C【解析】根据无理数的估算，可知34，因此可知-4＜-3，即2＜3，所以可得a为2，b为2a-b=4-（故选C.5．已知一个正方体的表面积为218dm ，则这个正方体的棱长为( )A ．1dmB C D ．3dm【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为xdm ，然后依据表面积为218dm 列方程求解即可．【详解】设正方体的棱长为xdm ．根据题意得：2618(0)x x =>，解得：x．故选：B ．【点睛】此题考查算术平方根的定义，依据题意列出方程是解题的关键．6．在3.14，237，π这几个数中，无理数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】3.14，237，π中无理数有:, π,共计2个. 故选：B.【点睛】 考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．7．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是±4；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D【解析】【详解】①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；②无理数是开方开不尽的数，错误；③负数没有立方根，错误；④16的平方根是±4，用式子表示是±16=±4，错误； ⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，正确． 错误的一共有3个，故选D ．8．下列各数中比3大比4小的无理数是（ ）A ．10B ．17C ．3.1D ．103【答案】A【解析】【分析】由于带根号的且开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解．【详解】∵四个选项中是无理数的只有10和17，而17＞4，3＜10＜4 ∴选项中比3大比4小的无理数只有10．故选A ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．9．已知直角三角形两边长x 、y 满足224(2)10x y -+--=，则第三边长为 （ ） A ． B ．13 C ．5或13 D ．513【答案】D【解析】【分析】【详解】解：∵|x 2-4|≥02(2)1y --，∴x 2-4=0，2(2)1y --=0，∴x=2或-2（舍去），y=2或3，分3种情况解答：①当两直角边是2时，三角形是直角三角形，22222+=②当2，3222313+=③当2为一直角边，3为斜边时，则第三边是直角，=．故选D ．考点：1．非负数的性质；2．勾股定理．10．+1的值应在（ ）A ．3和4之间B ．4和5之间C ．5和6之间D ．6和7之间 【答案】B【解析】解：∵34<<，∴415<<．故选B ．的取值范围是解题关键．11．设2a =．则a 在两个相邻整数之间，那么这两个整数是（ ） A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和5 【答案】C【解析】【分析】<<56<<，进而可得出a 的范围，即可求得答案．【详解】<<∴56<<∴52262-<<-，即324<<，∴a 在3和4之间，故选：C ．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键．12．若30,a -=则+a b 的值是（ ）A ．2B 、1C 、0D 、1-【解析】试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B．考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值．13．下列运算正确的是（）A =-2 B．|﹣3|=3 C=± 2 D【答案】B【解析】【分析】A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据绝对值的定义即可判定；C、根据算术平方根的定义即可判定；D、根据立方根的定义即可判定．【详解】解：A、C2=，故选项错误；B、|﹣3|=3，故选项正确；D、9开三次方不等于3，故选项错误．故选B．【点睛】此题主要考查了实数的运算，注意，正数的算术平方根是正数．14．已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，3），且|a﹣，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为20，那么a+b+c的值为（）A．12 B．15 C．17 D．20【答案】C【解析】【分析】由非负数的性质得到a=c，b=7，P（a，7），故有PQ∥y轴，PQ=7-3=4，由于其扫过的图形是矩形可求得a，代入即可求得结论．【详解】∵且|a-c=0，∴a=c，b=7，∴P（a，7），PQ∥y轴，∴PQ=7-3=4，∴将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的图形是边长为a和4的矩形，∴4a=20，∴c=5，∴a+b+c=5+7+5=17，故选C.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标的平移，矩形的性质，能根据点的坐标判断出PQ∥y 轴，进而求得PQ是解题的关键．15．已知下列结论：①在数轴上的点只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的结论是() A．①②B．②③C．③④D．②③④【答案】B【解析】【分析】根据实数与数轴的关系，有理数是无限循环小数或有限小数，无理数是无限不循环小数，可得答案．【详解】解：①数轴上的点表示实数，故①错误；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②正确；③实数与数轴上的点一一对应，故③正确；④有理数有无限个，无理数有无限个，故④错误；故选：B．【点睛】本题考查了实数与数轴，实数与数轴上的点一一对应,掌握实数与数轴的关系是解题的关键．16．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是()A．|a|＞|b| B．a＞﹣3 C．a＞﹣d D．11 c【答案】A【解析】【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义，可得答案．【详解】由数轴可知，﹣4＜a＜﹣3，b＝﹣1，0＜c＜1，d＝3，∴|a|＞|b|，A正确；a＜﹣3，B错误；a＜﹣d，C错误；11，D错误，c故选A．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义等，熟练掌握是解题的关键．17．1是0.01的算术平方根，③错误；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直，④错误故选：A【点睛】本题考查概念的理解，解题关键是注意概念的限定性，如④中，必须有限定条件：在同一平面内，过定点，才有且只有一条直线与已知直线垂直.18．下列命题中，真命题的个数有（）①带根号的数都是无理数；②立方根等于它本身的数有两个，是0和1；③0.01是0.1的算术平方根；④有且只有一条直线与已知直线垂直A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】【分析】开方开不尽的数为无理数；立方根等于本身的有±1和0；算术平方根指的是正数；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直.【详解】仅当开方开不尽时，这个数才是无理数，①错误；立方根等于本身的有：±1和0，②错误；19．如图，表示8的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（）A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C【答案】A【解析】【分析】确定出88的范围，即可得到结果．【详解】解：∵6.25＜8＜9，<<∴2.53的点在数轴上表示时，所在C和D两个字母之间．故选：A．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，以及实数与数轴，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.20．给出下列说法：①﹣0.064的立方根是±0.4；②﹣9的平方根是±3；＝﹣；④0.01的立方根是0.00001，其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】利用平方根和立方根的定义解答即可．【详解】①﹣0.064的立方根是﹣0.4，故原说法错误；②﹣9没有平方根，故原说法错误；④0.000001的立方根是0.01，故原说法错误，其中正确的个数是1个，故选：A．【点睛】此题考查平方根和立方根的定义，熟记定义是解题的关键.。
2020-2021学年全国初中数学竞赛试题(多份)及答案
保证原创精品 已受版权保护2020年全国初中数学竞赛试题（多份）及答案一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则b a ba 的值为【 】A 、3B 、6C 、2D 、32．已知a ＝2020x ＋2020，b ＝2020x ＋2020，c ＝2020x ＋2020，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCDS S 矩形四边形等于【 】A 、65B 、54C 、43D 、32ABC DEF G保证原创精品 已受版权保护4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3，y ＝b 2－2c ＋3，z ＝c 2－2a ＋3，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于05．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】A 、72＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72 D 、112＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】A 、22b a B 、22b ab a C 、b a 21D 、a ＋b二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。
8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则bc c a 的值为 。
9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
【全国校级联考】湖北省鄂州市五校2020-2021学年八年级数学第二学期期末达标检测试题含解析
【全国校级联考】湖北省鄂州市五校2020-2021学年八年级数学第二学期期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，若12AD DB =，DE ＝3，则BC 的长度是( )A ．6B ．8C ．9D ．102．8名学生的平均成绩是x ，如果另外2名学生每人得84分，那么整个组的平均成绩是（ ）A ．842x +B ．816810+C ．88410x +D ．816810x + 3．如图，ABC ∆为等边三角形，AE CD =，AD 、BE 相交于点P ，BQ AD ⊥于点Q ，且4PQ =，1PE =，则AD 的长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．104．如果35a +有意义，那么（ ）A ．a≥53B ．a≤53C ．a≥﹣53D ．a 53≤-5．下列命题中不正确的是（ ）A ．平行四边形是中心对称图形B ．斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等C ．两个锐角分别相等的两直角三角形全等D ．一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等6．在矩形ABCD 中，4AB m BC H ==，，是BC 的中点，DE AH ⊥，垂足为E ，则用m 的代数式表示DE 的长为（）A ．255mB ．244m m +C ．5mD ．522m 7．如图，平行四边形ABCD 中，AB=8cm ，AD=12cm ，点P 在AD 边上以每秒1cm 的速度从点A 向点D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4cm 的速度从点C 出发，在CB 间往返运动，两个点同时出发，当点P 到达点D 时停止(同时点Q 也停止)，在运动以后，以P 、D 、Q 、B 四点组成平行四边形的次数有( )A ．4次B ．3次C ．2次D ．1次8．已知y =（k -3）x |k |-2+2是一次函数，那么k 的值为（ ）A ．3±B ．3C ．3-D ．无法确定9．在直角坐标系中，线段A B ''是由线段AB 平移得到的，已知()()()2,3,3,1,3,4,A B A '--则B '的坐标为（ ）A ．()1,1B ．()2,2C ．()3,3D ．()4,41023a +a 的取值范围是( )A ．a≥32-B ．a≤32-C ．a>32-D ．a<32- 11．如图，已知在平行四边形ABCD 中，,E F 是对角线BD 上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF 是平行四边形的是（ ）A ．AF CE =B ．BAE DCF ∠=∠C ．,AF CF CE AE ⊥⊥D ．BE DF =12．下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题4分，共24分）13．在平面直角坐标系xOy 中，有一个等腰直角三角形AOB ，∠OAB=90°，直角边AO 在x 轴上，且AO=1．将Rt△AOB 绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A 1OB 1，且A 1O=2AO ，再将Rt△A 1OB 1绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰三角形A 2OB 2，且A 2O=2A 1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A 2OB 2．则点B 2的坐标_______14．若实数a 、b 满足a 2—7a+2=0和b 2—7b+2=0,则式子b a a b+的值是____. 15．在△ABC 中，∠C=90°，BC=60cm ，CA=80cm ，一只蜗牛从C 点出发，以每分20cm 的速度沿CA ﹣AB ﹣BC 的路径再回到C 点，需要____分的时间．16．如图，在矩形ABCD 中，点E 为CD 的中点，点P 为AD 上一点，沿BP 折叠ABP ∆，点A 恰好与点E 重合，则AB AD的值为______.17．如图，在矩形ABCD 内放入四个小正方形和两个小长方形后成中心对称图形，其中顶点E ，F 分别在边AD ，BC 上，小长方形的长与宽的比值为4，则AD AB的值为_____．18．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4BC cm =，3AB cm =，D 为AC 的中点，则BD =______cm .三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在▱ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，BD ⊥AD 于点D ，将△ABD 沿BD 翻折得到△EBD ，连接EC 、EB ．（1）求证：四边形DBCE 是矩形；（2）若BD=4，AD=3，求点O 到AB 的距离．20．（8分）一个三角形三边的长分别为a ，b ，c ，设p=12（a+b+c ），根据海伦公式S=()()()p p a p b p c ---可以求出这个三角形的面积．若a=4，b=5，c=6，求：（1）三角形的面积S ；（2）长为c 的边上的高h ． 21．（8分）先化简，再求值：221111x x x ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中x 是5的整数部分． 22．（10分）关于x 的方程()220a b x cx a b ++-+=,其中, , a b c 分别是ABC △的三边长. (1)若方程有两个相等的实数根，试判断ABC △的形状，并说明理由；(2)若ABC △为等边三角形，试求出这个方程的解.23．（10分）在矩形ABCD 中，4=AD ，3AB =，将Rt ABC ∆沿着对角线AC 对折得到AMC ∆.（1）如图，CM 交AD 于点E ，EF AC ⊥于点F ，求EF 的长.（2）如图，再将Rt ADC ∆沿着对角线AC 对折得到ANC ∆，顺次连接B 、M 、D 、N ，求：四边形BMDN 的面积.24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的表达式为26y x =-，点A ，B 的坐标分别为（1，0），（0，2），直线AB 与直线l 相交于点P ．（1）求直线AB 的表达式；（2）求点P 的坐标；（3）若直线l 上存在一点C ，使得△APC 的面积是△APO 的面积的2倍，直接写出点C 的坐标．25．（12分）（1）已知31x =+，求21x x -+的值； （2）解方程：()2235x x -+=.26．请用无刻度尺的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）.（1）图1中，点F G 、是ABC ∆的所在边上的中点，作出ABC ∆的AB 边上中线.（2）如图，ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，BD 是它的对角线，在图2中找出AB 的中点E ； （3）图3是在图2的基础上已找出AB 的中点E ，请作出ABD ∆的AD 边上的中线.参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、C【解析】根据平行线分线段成比例的性质，由12AD DB =，可得1=3AD AB ，根据相似三角形的判定与性质，由DE ∥BC 可知△ADE ∽△ABC ，可得DE AD BC AB=，由DE=3，求得BC=9. 故选：C.2、D【解析】先求这10个人的总成绩8x+2×84=8x+168，再除以10可求得平均值为：816810x +. 故选D.3、C【解析】【分析】 分析：由已知条件，先证明△ABE≌△CAD 得∠BPQ＝60°，可得BP ＝2PQ ＝8，AD ＝BE ．则易求．【详解】解：∵△ABC 为等边三角形，∴AB＝CA ，∠BAE＝∠ACD＝60°；又∵AE＝CD ，在△ABE 和△CAD 中，AB CA BAE ACD AE CD ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△ABE≌△CAD（SAS ）；∴BE＝AD ，∠CAD＝∠ABE；∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAE＝60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB＝10°，则∠PBQ＝10°−60°＝30°∵PQ＝3，∴在Rt△BPQ 中，BP ＝2PQ ＝8；又∵PE＝1，∴AD＝BE ＝BP ＋PE ＝1．故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含有30°的直角三角形的性质，解题的关键是证明△BAE ≌△ACD ．4、C【解析】【分析】被开方数为非负数，列不等式求解即可.根据题意得：350a +≥，解得53a ≥-.故选：C .【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数.5、C【解析】解：A ．平行四边形是中心对称图形，说法正确；B ．斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等，说法正确；C ．两个锐角分别相等的两直角三角形全等，说法错误；D ．一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等，说法正确．故选C ．6、B【解析】【分析】 如图连接DH ，根据面积和相等列方程求解.【详解】解：如图所示连接DH ，AB=m,BC=4,BH=2，则矩形面积24m +则矩形ABCD=三角形ABH+三角形AHD+三角形DHC ，则4m=m+12DE 24m ++m, 解得244m m +【点睛】本题考查勾股定理和矩形性质，能够做出辅助线是解题关键.7、B【解析】【详解】试题解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=12，AD∥BC，∵四边形PDQB是平行四边形，∴PD=BQ，∵P的速度是1cm/秒，∴两点运动的时间为12÷1=12s，∴Q运动的路程为12×4=48cm，∴在BC上运动的次数为48÷12=4次，第一次PD=QB时，12-t=12-4t，解得t=0，不合题意，舍去；第二次PD=QB时，Q从B到C的过程中，12-t=4t-12，解得t=4.8；第三次PD=QB时，Q运动一个来回后从C到B，12-t=31-4t，解得t=8；第四次PD=QB时，Q在BC上运动3次后从B到C，12-t=4t-31，解得t=9.1．∴在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有3次，故选：B．考点：平行四边形的判定与性质8、C【解析】【分析】根据一次函数的定义可得k-2≠0，|k|-2=1，解答即可．【详解】一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．所以|k|-2=1，解得：k=±2，因为k-2≠0，所以k≠2，即k=-2．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．9、B【分析】根据点A和点A′的坐标判断出平移方式，根据平移方式可得点B'的坐标．【详解】解：∵点A的坐标为（−2，3），A′的坐标为（3，4），∴线段AB向上平移1个单位，向右平移5个单位得到线段A′B′，∵点B的坐标为（−3，1），∴点B′的坐标为（2，2），故选：B．【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化—平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．10、A【解析】【分析】直接利用二次根式有意义则2a+3≥0，进而得出答案．【详解】在实数范围内有意义，则2a+3≥0，解得：3a2≥-．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．11、A【解析】【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．【详解】解：如图，连接AC与BD相交于O，在▱ABCD 中，OA=OC ，OB=OD ，要使四边形AECF 为平行四边形，只需证明得到OE=OF 即可；A 、AF=EF 无法证明得到OE=OF ，故本选项正确．B 、∠BAE=∠DCF 能够利用“角角边”证明△ABE 和△CDF 全等，从而得到DF=BE ，则OB-BE=OD-DF ，即OE=OF ，故本选项错误；C 、若AF ⊥CF ，CE ⊥AE ，由直角三角形的性质可得OE=12AC=OF ，故本选项错误； D 、若BE=DF ，则OB-BE=OD-DF ，即OE=OF ，故本选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．12、B【解析】【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐一判断即可．【详解】A 选项是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；C 选项是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 选项是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选B ．【点睛】此题考查的是轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义和中心对称图形的定义是解决此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、（2017201722 ，）【解析】【分析】根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点B2018的坐标位置，进而得出答案.【详解】解:∵△AOB是等腰直角三角形，OA=1，∴AB=OA=1，∴B（1，1），将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，∴每4次循环一周，B1（2，-2），B2（-4，-4），B3（-8，8），B4（16，16），∵2÷4=503…1，∴点B2与B1同在一个象限内，∵-4=-22，8=23，16=24，∴点B2（22，-22）．故答案为：（22，-22）.【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键.14、45 2.【解析】【分析】由实数a，b满足条件a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，可把a，b看成是方程x2-7x+2=0的两个根，再利用根与系数的关系求解即可.【详解】解：由实数a，b满足条件a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，∴可把a，b看成是方程x2-7x+2=0的两个根，∴a+b=7，ab=2，∴b aa b+=22b aab+=2()2a b abab+-=4944522-=.故答案为：452．【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，根据题意把a，b看成是方程的两个根后根据根与系数的关系求出a+b，ab 是解题的关键.15、1【解析】【分析】运用勾股定理可求出斜边AB的长，然后可求出直角三角形的周长即蜗牛所走的总路程，再除以蜗牛的行走速度即可求出所需的时间．【详解】100cm，∴AB=100cm；∴CA+AB+BC=60+80+100=240cm，∴240÷20=1（分）．故答案为1．【点睛】本题考查了速度、时间、路程之间的关系式及勾股定理的应用，考查了利用勾股定理解直角三角形的能力．16【解析】【分析】由矩形性质可得AB=CD,BC=AD;由对折得AB=BE，设AB=x,根据勾股定理求出BC关于x的表达式，便可得到AB BExAD BC===.【详解】设AB=x,在矩形ABCD中, AB=CD=x,BC=AD;因为，E为CD的中点，所以，CE=12x，由对折可知BE=AB=x.在直角三角形BCE中2x==，所以，AB BExAD BC===.故答案为图（略），23x 【点睛】本题考核知识点：矩形性质，轴对称. 解题关键点：利用轴对称性质得到相等线段，利用勾股定理得到BE 和BC 的关系.17、94【解析】 【分析】连结EF ，作MN HN ⊥于N ，根据中心对称图形的定义和相似三角形的性质可得两直角边的比是2:1，进一步得到长AD 与宽AB 的比即可．【详解】解：连结EF ，作MN HN ⊥于N ，在矩形ABCD 内放入四个小正方形和两个小长方形后成中心对称图形，MNH FME ∴∆∆∽，MNH HKE ESP ∆≅∆≅∆，12MN FM NH EM ∴==， ∴长AD 与宽AB 的比为()()4212:2119:4+++++=，即94AD AB =， 故答案为：94． 【点睛】此题考查了中心对称图形、相似三角形的性质、全等三角形的性质、矩形的性质、正方形的性质等知识，关键是理解直角三角形两直角边的比是2:1．18、52【解析】【分析】根据勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案．【详解】∵∠ABC=90°，BC=4cm，AB=3cm，∴由勾股定理可知：AC=5cm，∵点D为AC的中点，∴BD=12AC=52cm，故答案为：5 2【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及直角三角形斜边上的中线的性质，本题属于基础题型．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）点O到AB的距离为65．【解析】【分析】（1）先利用折叠的性质和平行四边形的性质得出DE∥BC，DE=BC，则四边形DBCE是平行四边形，再利用BE=CD 即可证明四边形DBCE是矩形；（2）过点O作OF⊥AB，垂足为F，先利用勾股定理求出AB的长度，然后利用AOB面积即可求出OF的长度，则答案可求．【详解】（1）由折叠性质可得：AD=DE，BA=BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，BA=CD，∴DE∥BC，DE=BC，∴四边形DBCE是平行四边形，又∵BE=CD，∴四边形DBCE是矩形．（2）过点O作OF⊥AB，垂足为F，∵BD ⊥AD ，∴∠ADB=90°，在Rt △ADB 中，BD=4，AD=3，由勾股定理得：22435，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB=OD=122BD =， 1122ABO S AB OF OB AD ∴=⋅=⋅ ∴23655OB AD OF AB ⋅⨯=== 答：点O 到AB 的距离为65． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，掌握平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理并能够利用三角形面积进行转化是解题的关键．20、（1157；（257 【解析】【分析】（1）先根据a 、b 、c 的值求出p ，再代入公式计算可得；（2）由题意得出12ch=1574，解之可得． 【详解】解：（1）p=12（4+5+6）=152．p-a=152-4=72，p-b=152-5=52，p-c=152-6=32．4； （2）∵S=12ch ，∴h=2s c =2×4÷6=4． 【点睛】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．21、1x x +，23【解析】【分析】 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝222111(1)(1)1x x x x x x x x x x x -÷==--+-+∵x x ＝2.当x ＝2时，221213x x ==++ . 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．22、（1）ABC △是直角三角形；理由见解析；（2）1201x x ==，－，.【解析】【分析】（1）根据根的判别式为0，计算出, , a b c 的关系，即可判定；（2）根据题意，将方程进行转化形式，即可得解.【详解】（1）直角三角形根据题意，得()()2440c a b a b =++-=△即222a c b +=所以ABC △是直角三角形（2）根据题意，可得2220ax ax +=20x x +=解出1201x x ==，－【点睛】此题主要考查一元二次方程和三角形的综合应用，熟练运用，即可解题.23、（1）158EF =；（2）BMDN 的面积是16825. 【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得AB ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝4，∠B ＝∠D ＝90°，AD ∥BC ，由勾股定理可求AC ＝5，由折叠的性质和平行线的性质可得AE ＝CE ，由勾股定理可求AE 的长，由三角形面积公式可求EF 的长；（2）由折叠的性质可得AB ＝AM ＝3，CD ＝CN ＝3，∠BAC ＝∠CAM ，∠ACD ＝∠ACN ，AC ⊥DN ，DF ＝FN ，由“SAS”可证△BAM ≌△DCN ，△AMD ≌△CNB 可得MD ＝BN ，BM ＝DN ，可得四边形MDNB 是平行四边形，通过证明四边形MDNB 是矩形，可得∠BND ＝90°，由三角形面积公式可求DF 的长，由勾股定理可求BN 的长，即可求四边形BMDN 的面积．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝4，∠B ＝∠D ＝90°，AD ∥BC∴AC 5，∵将Rt △ABC 沿着对角线AC 对折得到△AMC ．∴∠BCA ＝∠ACE ，∵AD ∥BC∴∠DAC ＝∠BCA∴∠EAC ＝∠ECA∴AE ＝EC∵EC 2＝ED 2＋CD 2，∴AE 2＝（4−AE ）2＋9，∴AE＝258，∵S△AEC＝12×AE×DC＝12×AC×EF，∴258×3＝5×EF，∴EF＝158；（2）如图所示：∵将Rt△ABC沿着对角线AC对折得到△AMC，将Rt△ADC沿着对角线AC对折得到△ANC，∴AB＝AM＝3，CD＝CN＝3，∠BAC＝∠CAM，∠ACD＝∠ACN，AC⊥DN，DF＝FN，∵AB∥CD∴∠BAC＝∠ACD∴∠BAC＝∠ACD＝∠CAM＝∠ACN∴∠BAM＝∠DCN，且BA＝AM＝CD＝CN∴△BAM≌△DCN（SAS）∴BM＝DN∵∠BAM＝∠DCN∴∠BAM−90°＝∠DCN−90°∴∠MAD＝∠BCN，且AD＝BC，AM＝CN∴△AMD≌△CNB（SAS）∴MD＝BN，且BM＝DN∴四边形MDNB是平行四边形连接BD，由（1）可知：∠EAC＝∠ECA，∵∠AMC＝∠ADC＝90°∴点A，点C，点D，点M四点共圆，∴∠ADM＝∠ACM，∴∠ADM＝∠CAD∴AC∥MD，且AC⊥DN∴MD⊥DN，∴四边形BNDM是矩形∴∠BND＝90°∵S△ADC＝12×AD×CD＝12×AC×DF∴DF＝12 5∴DN＝24 5∵四边形ABCD是矩形∴AC＝BD＝5，∴BN＝227 5BD BN∴四边形BMDN的面积＝BN×DN＝75×245＝16825.【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明四边形BNDM 是矩形是本题的关键．24、 (1)y=-1x+1 ;(1) P的坐标为（1，-1）;(3)（3，0），（1，-4）．【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式；（1）由两个解析式构成方程组，解方程组可得交点的坐标；（3）点P 可能在P的上方或下方，结合图形进行分析计算.【详解】解：（1）设直线AB的表达式为y=kx+b．由点A，B的坐标分别为（1，0），（0，1），可知0,2. k bb+=⎧⎨=⎩解得2,2. kb=-⎧⎨=⎩所以直线AB 的表达式为y =-1x +1．（1）由题意，得22,2 6.y x y x =-+⎧⎨=-⎩ 解得2,2.x y =⎧⎨=-⎩所以点P 的坐标为（1，-1）．（3）（3，0），（1，-4）．【点睛】本题考核知识点：一次函数的解析式，交点. 解题关键点：理解一次函数的性质.25、（1）4；（2）11x =，22x =.【解析】【分析】（1）1x =代入21x x -+即可进行求解；（2）根据因式分解法即可求解一元二次方程.【详解】（1）1x =代入21x x -+得：))221111x x -+=-+411=++4=+（2）解：22965x x x -++=，()()120x x --=，11x =，22x =.【点睛】此题主要考查代数式求值与解一元二次方程，解题的关键是熟知整式的运算及方程的解法.26、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据三角形的三条中线交于一点即可解决问题．（2）延长AD，BC交于点K，连接AC交BD于点O，作直线OK交AB于点E，点E即为所求．（3）连接EC交BD于K，连接AK，DE交于点O，作直线OB交AD于F，线段BF即为所求【详解】（1）图1中，中线CE即为所求．（2）如图2中，AB的中点E即为所求（3）图3中，AD边上中线BF即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的中线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.。
2020年第十二届全国大学生数学竞赛--初赛《数学类A卷》试题(含参考答案)
(2) 求点 A1, B1,C1 三点的坐标； (3) 给定点A(1, 1, 0), B(1, 1, 0),C(1, 1, 0) ，求四面体 NA1B1C1 的体积. 【参考解答】：(1) 由直线的两点式方程，直接可得过 N, A 两点的直线方程为
(2) 直线 NA 的参数方程为
x y z 1
.
a1 a2 1
1 k
趋于
0，故
lim
n
yn
1
yn
0.
所以
bn an yn yn1 0, n
从而可知 an , bn 的极限相等，从而 yn 收敛. 最后，由 的连续性可得 xn 收
敛.
六、（20
分）对于有界区间
a,
b
的划分
P : a x0 x1 xn1 b
其范数定义为||
P
||
max xk1
1
0
2021
1
代入极限式得I
.
2021
【思路二】 由 Stolz 公式，得
lim 1 12020 22020 n2020
n n 2021
lim
n 2020
1
n n2021 (n 1)2021 2021
12020 22020 n 2020
1
故 ln
有界. 故I .
n 2021
x a1t, y a2t, z 1 t
将其代入球面方程，得
2
a1t
2
a2t
(1 t)2
1
2
解得参数值为t
a12
a22
或t 1
0.
从容可得 A1 的坐标为
A1
a12
2a1 a22
第十五届江苏省初中数学初一年级竞赛试题含答案(第二试)
第十五届江苏省初中数学竞赛试卷初一年级 第二试一、选择题1．已知x=2是关于x 的方程3x-2m=4的根，则m 的值是( )(A)5 (B)-5 (C)1 (D)-12．已知a+2=b-2=2c =2001，且a+b+c=2001k ，那么k 的值为( )。
(A)41 (B)4 (C)41- (D)-4 3．某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售每件冬装的利润是出厂价的25%(每件冬装的利润=出厂价-成本)，10月份将每件冬装的出厂价调低10%(每件冬装的成本不变)，销售件数比9月份增长80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润比9月份的利润总额增长( )。
(A)2% (B)8% (C)40.5% (D)62%4．已知0<x<1，则x x 1,x ,2的大小关系是( )。
(A)2x x x 1<< (B)x x x12<< (C)x x 1x 2<< (D)x x1x 2<< 5．已知a ≠0，下面给出4个结论： (1);01a 2>+ (2)1-a ;02< (3)1+;1a 12> (4)1-.1a 12< 其中，一定正确的有( )。
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个6．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )。
(A)1 (B)2 (C)3 (D)67．a 、b 是有理数，如果,b a b a +=-那么对于结论：(1)a 一定不是负数；(2)b 可能是负数，其中( )。
(A)只有(1)正确 (B)只有(2)正确(C)(1)，(2)都正确 (D)(1)，(2)都不正确8．在甲组图形的四个图中，每个图是由四种图形A ，B ，C ，D(不同的线段或圆)中的某两个图形组成的，例如由A ，B 组成的图形记为A*B ，在乙组图形的(a)，(b)，(c)，(d)四个图形中，表示“A*D”和“A*C”的是( )。
2020-2021学年度第二学期语数英竞赛数学试卷(含参考答案)
2020-2021学年度第二学期语数英竞赛数学试卷一、填空题。
(每空2分,共20分)1.某公司账册上1月份经营记录为+35万元,2月份经营记录为-25万元,3月份经营记录为+27万元，该公司第一季度的经营记录可记作( )万元。
2.右图是一张长方形纸折叠起来后的图形,已知∠1 =40° ,则∠2=( )。
3.右图是甲、乙、丙三个人单独完成某项工程所需天数统计图。
请看图填空。
(1)甲、乙合做这项工程( )天可以完成。
(2)先由甲做3天,剩下的工程由丙做,还需要( )天完成。
4.一个由小立方体搭成的立体图形,从上面看到的图形是图1,从左面看到的图形是图2,摆这样的立体图形,最少需要( )个小立方体。
5.某书店对外出租图书的收费方法:每本书在出租后的前三天共收1元，以后每天收0.2元,那么一本图书出租到第n天(n是大于3的自然数) ,应收租金( )元。
6.甲、乙、丙三个数的平均数是70,甲:乙=2 :3,乙:丙=4 :5,乙数是( )。
7.把-根长2米、底面直径是2分米的圆柱形木料沿截面平均锯成4段后,表面积增加了（）平方分米,每段木料的表面积是( )平方分米。
8.一次数学测验只有两道题,结果全班有10人全对,第一道有25人做对,第二道有18人做错,那么两道题都做错的有( ) 人。
二、选择题。
(把正确答案的序号填在括号里) 1.一种商品先提价30%后,再打七折出售,现价与原价相比,( ) 。
A.现价高B.现价低C.相同D.无法比较2.一个修路队铺- -段铁路,原计划每天铺3.2千米,15天铺完。
实际每天比原计划多铺0.8千米,实际多少天就铺完了这段铁路?正确列式为( )。
A.3.2 x15 +0.8B.3.2x15 +(3.2 -0.8)C.3.2x15 +(3.2 +0.8)D.3.2 x15 +3.23.如图所示,小明将--张正方形纸对折两次,并在中心处打孔再将它展开,展开后的图形是( )。
2021-2022学年浙江八年级数学上册第2章《特殊的三角形》竞赛题(附答案解析)
2021-2022学年浙江八年级数学上册第2章《特殊的三角形》竞赛题一．填空题（共6小题）1．（2018•武昌区校级自主招生）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足+（2a+3b ﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为．2．（2013•天心区校级自主招生）如图，已知△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，且AD＝DB，DC＝CA，则∠BAC＝°．3．（2020•西安自主招生）如图：已知∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，且AB+AC＝BE．则∠B＝．4．（2020•浙江自主招生）在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝．5．（2017春•武昌区期末）如图，四边形ABCD中，已知AB＝，BC＝5﹣，CD＝6，∠ABC＝135°和∠BCD＝120°，那么AD的长为．5．（2001•安徽自主招生）已知：如图，在直角△ABC中，AD＝DE＝EB，且CD2+CE2＝1，则斜边AB的长为．二．选择题（共8小题）1．（2012•郫县校级自主招生）如图，在等腰直角△ABC中，CA＝CB＝3，D是BC上一点，且＝，点M 是斜边AB上一动点，则△CMD的周长的最小值是（）A．1+B．1+C．1+2D．1+2．（2011•瓯海区校级自主招生）代数式最小值为（）A．4 B．5 C．D．3．（2017•涪城区校级自主招生）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是（）A．54°B．63°C．27°D．27°或63°4．（2020•浙江自主招生）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条D．8条5．（2012•桃源县校级自主招生）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用X、Y表示直角三角形的两直角边（X＞Y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）A．X2+Y2＝49 B．X﹣Y＝2 C．2XY+4＝49 D．X+Y＝136．（2019•顺庆区校级自主招生）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，直线将△ABC分成两个三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，这样的直线有（）条．A．5 B．7 C．9 D．107．（2014•涪城区校级自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC＝m，P为BC上任意一点，则PA2+PB•PC的值为（）A．m2B．m2+1 C．2m2D．（m+1）28．（2007•温州校级自主招生）已知直角三角形有一条直角边的长是质数n，另外两条边长是两个连续自然数，那么它的周长是（）A．n2+1 B．n2﹣1 C．n2+n D．n2﹣n三．解答题（共4小题）1．如果，已知：D为△ABC边AB上一点，且AC＝，AD＝2，DB＝1，∠ADC＝60°，求∠BCD的度数．2.（2020•浙江自主招生）若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的三边长．3．（2014•市南区校级自主招生）发现问题：如图（1），在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．我们可以进行以下计算：由题意可知：∠B＝30°，∠C＝90°，可得到：c＝2b，a＝b，所以a2﹣b2＝（b）2﹣b2＝2b2＝b•c．即a2﹣b2＝bc．提出猜想：对于任意的△ABC，当∠A＝2∠B时，关系式a2﹣b2＝bc都成立．验证猜想：（1）（验证特殊三角形）如图（2），请你参照上述研究方法，对等腰直角三角形进行验证，判断猜想是否正确，并写出验证过程；已知：△ABC中，∠A＝2∠B，∠A＝90°求证：a2﹣b2＝bc．（2）（验证一般三角形）如图（3），已知：△ABC中，∠A＝2∠B，求证：a2﹣b2＝bc．结论应用：若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A＝2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由．4．（2004•鼓楼区校级自主招生）记三角形三边长为a、b、c，对应边上的高为h a、h b、h c，请解答：（1）已知h a：h b：h c＝2：3：4，且这三角形周长为26cm，求a、b、c．（2）若三角形的三条高分别为2、x、6，求x的取值范围．（3）若三条高分别为2、x、6的三角形是直角三角形，求x．（4）若三条高分别为2、x、6的三角形是等腰三角形，求x．参考答案与试题解析一．填空题（共6小题）1．【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，∴，解得：，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7．故答案为7或8．2．【解答】解：设∠B＝x，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x，∵AD＝DB，∴∠B＝∠DAB＝x，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝2x，∵DC＝CA，∴∠ADC＝∠CAD＝2x，在△ABC中，x+x+2x+x＝180°，解得x＝36°．∴∠BAC＝108°．故答案为：108．3．【解答】解：延长BA到F，使AF＝AC，连接EF，如图所示：∵AB+AC＝BE，∴AB+AF＝BE，即BF＝BE，∴∠F＝∠BEF＝，∵∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，即∠DAE＝90°，∴∠FAE＝180°﹣（∠BAD+∠DAE）＝180°﹣（9°+90°）＝81°，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣9°＝81°，∴∠FAE＝∠CAE，在△AFE和△ACE中，∵，∴△AFE≌△ACE（SAS），∴∠F＝∠ACE，又∵∠ACE为△ABC的外角，∴∠ACE＝∠B+∠BAC＝∠B+18°，∴∠F＝∠B+18°，∴∠B+18°＝，则∠B＝48°．故答案为：48°4．【解答】解：如图所示，过点B作BE⊥AC，过点P作PD，PF分别垂直AC，BE 在△APD中，PA2＝PD2+AD2＝5，在△PCD中，PC2＝PD2+CD2，且AD+CD＝5，解得AD＝，CD＝，PD＝，在Rt△ABC中，BE＝AE＝，所以在Rt△BPF中，PB2＝PF2+BF2＝＝10，所以PB＝．5．【解答】解：作AE⊥BC，DF⊥BC，AG⊥DF，则四边形AEFG四个内角均为直角，∴四边形AEFG为矩形，AE＝FG．EF＝AG∠ABE＝180°﹣135°＝45°，∠DCF＝180°﹣120°＝60°，∴AE＝EB＝×＝，CF＝×CD＝3，FD＝CF＝3 ，∴AG＝EF＝8，DG＝DF﹣AE＝2 ，∴AD＝＝．故答案为．6．【解答】解：作EM⊥BC，DN⊥BC．∵∠C＝90°，∴∠BME＝∠BND＝90°，设AB＝3x，则BE＝DE＝AD＝x设BC＝3y，则BM＝MN＝NC＝y，2ME＝ND，在Rt△CME中，ME2+MC2＝EC2．（1）在Rt△CND中，ND2+NC2＝CD2．（2）（1）+（2）得：5ME2+5y2＝1，ME2+y2＝，在Rt△BME中：BE2＝BM2+ME2，即：x2＝y2+ME2＝，∴AB＝3BE＝．故答案为：．二．选择题（共8小题）1．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB＝3，D是BC上一点，且＝，∴AD＝2，CD＝1，作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′，∵点D于点D′关于直线AB对称，∴AD＝AD′＝2，∠DAD′＝2∠BAC＝90°，在Rt△ACD′中，CD′＝＝＝，∴△CMD的周长的最小值＝CD′+CD＝+1．故选：D．2．【解答】解：如图：原式可化为+，则代数式的最小值是AC的长，AC＝＝5，故选B．3．【解答】解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故选：D．4．【解答】解：如图所示：当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．5．【解答】解：A中，根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到，正确；B中，根据小正方形的边长是2即可得到，正确；C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确；D中，根据A，C联立结合完全平方公式可以求得x+y＝，错误．故选：D．6．【解答】解：如图：∴最多画9条，故选：C．7．【解答】解：作AD⊥BC交BC于D，AB2＝BD2+AD2①AP2＝PD2+AD2②①﹣②得：AB2﹣AP2＝BD2﹣PD2，∴AB2﹣AP2＝（BD+PD）（BD﹣PD），∵AB＝AC，∴D是BC中点，∴BD+PD＝PC，BD﹣PD＝PB，∴AB2﹣AP2＝PB•PC．∴PA2+PB•PC＝AB2＝m2．故选：A．8．【解答】解：设另外两个数是x、y（x＞y）则x2﹣y2＝n2，即（x+y）（x﹣y）＝n2，∵x﹣y＝1，∴x+y＝n2，∴三角形的周长是x+y+n＝n2+n．故选：C．三．解答题（共4小题）1．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设DE＝x，则AE＝2﹣x，在Rt△DCE中，∠ADC＝60°，∴CE＝x，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AE2+CE2＝AC2，∴（2﹣x）2+（x）2＝（）2，解得：，∴BE＝CE＝，又∵∠BEC＝90°，∴∠BCE＝45°，又∵∠DCE＝90°﹣∠ADC＝90°﹣60°＝30°，∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝15°．2．【解答】解：设三边长为a，b，c，其中c是斜边，则有（2）代入（1）得即因为ab≠0所以ab﹣4a﹣4b+8＝0所以（a，b为正整数）所以b﹣4＝1，2，4，8，所以b＝5，6，8，12；a＝12，8，6，5；c＝13，10，10，13，所以，三边长为6，8，10或5，12，13．3．【解答】解：（1）由题意，得∠A＝90°，c＝b，a＝b，∴a2﹣b2＝（b）2﹣b2＝b2＝bc；（2）小明的猜想是正确的．理由如下：如图，延长BA至点D，使AD＝AC＝b，连接CD，则△ACD为等腰三角形，∴∠BAC＝2∠ACD，又∠BAC＝2∠B，∴∠B＝∠ACD＝∠D，∴△CBD为等腰三角形，即CD＝CB＝a，又∠D＝∠D，∴△ACD∽△CBD，∴，即，∴a2＝b2+bc，∴a2﹣b2＝bc；结论应用：由于三边长为三个连续整数，设三个连续的偶数是2n﹣2，2n，2n+2，则（2n+2）2﹣（2n﹣2）2＝2n（2n﹣2），解得：n＝5，则三个数分别是：8，10，12．可知：a＝12，b＝8，c＝10．4．【解答】解：（1）设h a＝2k，h b＝3k，h c＝4k，则ah a＝bh b＝ch c，即a×2k＝b×3k＝c•4k，∴2a＝3b＝4c，∴a：b：c＝6：4：3，又∵a+b+c＝26cm，∴a＝12cm，b＝8cm，c＝6cm；（2）设三角形的面积为s，则s＝ah a＝a，s＝bh b＝bx，s＝ch c＝3c，∴a＝s，b＝，c＝，又a﹣c＜b＜a+c，即s﹣＜＜s+，∴＜＜，∴＜x＜3；（3）设三角形的面积为s，由（2）知a＝s，b＝，c＝．显然a＞c，分两种情况：①如果a为斜边，那么a2＝b2+c2，即s2＝+，解得x＝；②如果b为斜边，那么b2＝a2+c2，即＝s2+，解得x＝．故所求x的值为＝或；（4）设三角形的面积为s，由（2）知a＝s，b＝，c＝．显然a＞c，分两种情况：①如果a＝b，那么s＝，解得x＝2；②如果b＝c，那么b+c＜a，不满足三角形三边关系定理，故舍去．故所求x＝2．。
2020-2021学年八年级数学北师大版下册第五章《分式与分式方程》竞赛题(解析版)
2020-2021学年八年级数学北师大版下册第五章《分式与分式方程》竞赛题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一，单项选择题（本大题共8小题）1．当x 分别取2020、2018、2016、…、2、0、12、14、…、12016、12018、12020时，计算分式11x x -+的值，再将所得结果相加，其和等于（ ） A ．1-B ．1C ．0D ．2020【答案】A【分析】 先把互为倒数的两个数代入并求和，得0，再把没有倒数的0代入即可．【详解】解：把2020代入11x x -+，得20192021， 把12020代入11x x -+，得20192021-，相加得零， 设x=a （a≠0）代入11x x -+，得11a a -+， 把x=1a 代入11x x -+，得11a a --+， 故互为倒数的两个数代入分式后，和为0，把0代入11x x -+，得-1， 故选：A ．【点睛】本题考查了分式求值运算和数字规律，解题关键是通过计算发现互为倒数的两个数代入分式后，和为0．2．若关于x 的不等式组()3222x x a x x ⎧-->-⎪⎨+<⎪⎩有解，关于y 的分式方程13244ay y y -+=---有整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．5【答案】B【分析】先解不等式组，由不等式组有解，可得a ＜4，再解分式方程，当2a ≠且1a ≠时，分式方程的解为：4,2y a =--再由,y a 为整数，分类讨论可得答案． 【详解】 解：()3222x x a x x ⎧-->-⎪⎨+<⎪⎩①② 由①得：36x x -+＞2,-2x ∴-＞8,-x \＜4,由②得：a x +＜2,xx \＞,a关于x 的不等式组()3222x x a x x ⎧-->-⎪⎨+<⎪⎩有解， a ∴＜4，13244ay y y -+=---Q ， ()1324,ay y ∴--=--24,ay y ∴-=-()24,a y ∴-=-当2a =时，方程无解，则2,a ≠44,22y a a -∴==--- 检验：40,y -≠440,2a ∴--≠- 44,2a ∴≠-- 21,a ∴-≠-1,a ∴≠,y a 为整数，21a ∴-=± 或22a -=±或24,a -=±3a ∴=或1a =或4a =或0a =或6a =或2,a =-a ∴＜4， 2,a ≠1,a ≠∴ 3a =或0a =或 2.a =-经检验：3a =或0a =或2a =-符合题意，()302 1.∴++-=故选：.B【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，分类讨论数学思想，掌握以上知识是解题的关键．3．一支部队排成a 米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t 1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t 2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（ ）A ．1212t t t t +分钟B ．12122t t t t +分钟 C ．12122t t t t +分钟 D ．12122t t t t +分钟 【答案】C【分析】 根据题意得到队伍的速度为2a t ，队尾战士的速度为12a a t t +，可以得到他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是122aa a a t t t ++，化简即可求解 【详解】 解：由题意得：12212122t a a a a t t t t t t =+++分钟． 故选：C【点睛】本题考查了根据题意列分式计算，理解题意正确列出分式是解题关键．4．已知113x y -=，则分式5xy 5xy y x y x+---的值为（ ） A ．8B ．72C ．53-D ．4【答案】A【分析】 由113x y-=，得3y x xy -=，3x y xy -=-．代入所求的式子化简即可． 【详解】 解：由113x y-=，得3y x xy -=， ∴555()15168()32y xy x y x xy xy xy xy y xy x y x xy xy xy xy+--++====-----． 故选：A ．【点睛】本题解题关键是用到了整体代入的思想．5．对于任意的x 值都有227221x M N x x x x +=++-+-，则M ，N 值为（ ） A ．M ＝1，N ＝3B ．M ＝﹣1，N ＝3C ．M ＝2，N ＝4D ．M ＝1，N ＝4 【答案】B【分析】 先计算21M N x x ++-=()()222M N x M N x x ++-++- ,根据已知可得关于M 、N 的二元一次方程组227M N M N +⎧⎨-+⎩＝＝ ，解之可得． 【详解】 解：21M N x x ++- =()()()()1221M x N x x x -+++-=()()222M N x M N x x ++-++- ∴2272x x x ++-=()()222M N x M N x x ++-++- ∴227M N M N +⎧⎨-+⎩＝＝， 解得：13M N -⎧⎨=⎩＝， 故选B ．【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于M 、N 的方程组．6．如果2220x x +-=，那么代数式214422x x x x x x -+⋅--+的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】 由2220x x +-=可得222x x +=，再化简214422x x x x x x -+⋅--+，最后将222x x +=代入求值即可．【详解】解：由2220x x +-=可得222x x +=214422x x x x x x -+⋅--+ =()22122x x x x x -⋅--+ =22x x x x --+ =()()22422x x x x x x --++ =242x x-+=42- =-2故答案为A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确化简分式以及根据2220x x +-=得到222x x +=都是解答本题的关键．7．当4x =-的值为（ ） A ．1BC ．2D ．3【答案】A【分析】 根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式= 将4x =代入得，原式===1=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．8．已知13x x +=，则2421x x x ++的值是（ ） A ．9B ．8C ．19D ．18【答案】D【分析】 根据13x x += 可知21()9x x += 即2217x x += ，把2421x x x ++ 分子、分母同时除以2x 得2217x x += ，把2217x x +=代入即可. 【详解】 由13x x +=得21()9x x+=，即2217x x += 2421x x x ++=22111x x++， 把2217x x +=代入得22111x x ++=11178=+ ， 故选D【点睛】本题考查利用恒等变形求分式的值，利用分式的性质，找到可以等量代换的代数式是解题关键.二、填空题（本大题共6小题）9．关于x 的分式方程11211a x x-+=--的解为正数，则a 的取值范围是________ ． 【答案】4a <且2a ≠.【分析】去分母，化成整式，计算分母为零时，a 的值，计算方程的解，根据解是正数，转化为不等式，确定a 的范围，最后将分母为零时的a 值除去即可.【详解】 ∵11211a x x-+=--， 去分母，得-1+a-1=2（1-x ）,当x=1时，解得a=2；当x≠1时，解得x=42a -， ∵方程的解为正数， ∴42a -＞0， ∴a ＜4，∴a ＜4且a≠2，故答案为a ＜4且a≠2.【点睛】本题考查了分式方程的解，探解时，熟练把解转化为相应的不等式，同时，把分母为零对应的值扣除是解题的关键.10．若240x y z -+=，4320x y z +-=．则222xy yz zx x y z ++++的值为______ 【答案】16-【分析】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x 的式子分别表示y ，z ，然后带入要求的式中，化简便可求出.【详解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③． ①+③得: 10x+ 5y= 0，∴y= -2x ，将y= - 2x 代入①中得:2x- (-2x)+4z=0∴z=-x将y= -2x ，z=-x ，代入上式 222xy yz zx x y z ++++ =()()()()()()222·22?·2x x x x x x x x x -+--+-+-+-=222222 224x x x x x x -+-++=22 6 x x -=1 6 -故答案为：1 6 -【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简.11．已知三个数，x，y，z满足443,,33xy yz zxx y y z z x=-==-+++，则y的值是______【答案】12 7【分析】将443,,33xy yz zxx y y z z x=-==-+++变形为133,,344x y y z z xxy yz zx+++=-==-，得到111113113,,344y x z y x z+=-+=+=-，利用11113()()2z y x z+-+=，求出1132x y=-，代入1113y x+=-即可求出答案．【详解】∵443,,33 xy yz zxx y y z z x=-==-+++，∴133,,344x y y z z xxy yz zx+++=-==-，∴111113113,,344y x z y x z+=-+=+=-，∴11113 ()()2z y x z+-+=，得1132y x -=， ∴1132x y =-， 将1132x y =-代入1113y x +=-，得276y =， ∴y=127， 故答案为：127． 【点睛】 此题考查分式的性质，分式的变形计算，根据分式的性质得到111113113,,344y x z y x z +=-+=+=-是解题的关键． 12．已知方程11x c x c +=+（c 是常数，0c ≠）的解是c 或1c ，那么方程2131462a a x x a+++=-（a 是常数，且0a ≠）的解是________． 【答案】32a +或312a a + 【分析】 观察方程：11x c x c+=+（c 是常数，c≠0）的特点，发现此方程的左边是未知数与其倒数的和，方程右边的形式与左边的形式完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接求解．本题需要将方程x +2131462a a x a++=- 变形，使等号左边未知数的系数变得相同，等号右边的代数式可变为31222a a ++．为此，方程的两边同乘2，整理后，即可写成方程11x c x c+=+的形式，从而求出原方程的解． 【详解】 将2131462a a x x a+++=- 整理得 112323x a x a+=++-， 即112323x a x a -+=+-，所以23x a -=或1a , 故答案为：32a x +=或312a a +． 【点睛】 本题考查了阅读理解能力与知识的迁移能力．关键在于将所求方程变形为已知方程的形式．难点是方程左边含未知数的项的系数不相同．13．对于两个不相等的实数,a b ，我们规定符号max{,}a b 表示,a b 中的较大值，如：{}max 2,44=，故{}max 3,5=__________；按照这个规定，方程{}21max ,x x x x--=的解为__________．【答案】5 1-1【分析】 按照规定符号可求得{}max 3,5=5；根据x 与x -的大小关系化简所求方程，求出解即可．【详解】{}max 35=，5；故答案为：5；当x x >-，即0x >时，方程化简得：21x x x -=， 去分母得：221x x =-，整理得：2210x x -+=，即()210x -=解得：1x =，经检验：1x =是分式方程的解；当x x <-，即0x <时，方程化简得：21x x x--=， 去分母得：221x x -=-，整理得：2210x x +-=，解得：1x =-+不合题意，舍去)或1-经检验：1x =-故答案为：1-1．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．弄清题中的新定义是解本题的关键． 14．设有三个互不相等的有理数，既可表示为-1，a +b ，a 的形式，又可表示为0，-b a，b 的形式，则20192020-a b 的值为____． 【答案】-1【分析】由题意三个互不相等的有理数，既可表示为-1、+a b 、a 的形式，又可表示为0、b a-、b 的形式，可知这两个三数组分别对应相等．从而判断出a 、b 的值．代入计算出结果． 【详解】 解：三个互不相等的有理数，既可表示为-1、+a b 、a 的形式，又可表示为0、b a -、b 的形式，∴这两个三数组分别对应相等．a b ∴+、a 中有一个是0，由于b a有意义，所以0a ≠， 则0a b +=，所以a 、b 互为相反数． ∴1b a=-， ∴1b a -= ∴1b =-，1a =．∴()2019202011111-=-=--． 故答案是：-1．【点睛】本题考查了有理数的概念，分式有意义的条件，有理数的运算等相关知识，理解题意是关键．三、解答题（本大题共4小题）15．解方程组：113311x x y x x y⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=⎪+⎩．【答案】10.5x y =⎧⎨=-⎩．【分析】 设1a x=，1b x y =+，把原方程组转化为二元一次方程组，求解后，再解分式方程即可．【详解】 解：设1a x=，1b x y =+， 则原方程组化为：331a b a b +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②得：44a =，解得：1a =，把1a =代入①得：13+=b ，解得：2b =， 即1112x x y⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：10.5x y =⎧⎨=-⎩， 经检验10.5x y =⎧⎨=-⎩是原方程组的解， 所以原方程组的解是10.5x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了换元法解方程组，解题关键是抓住方程组的特征，巧妙换元，熟练的解二元一次方程组和分式方程，注意：分式方程要检验．16．（1）先化简：23111x x x x x x ⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭，再从1-，0，1，2中取一个你喜欢的数代入求值．（2）已知12x x-=，求221x x +，1x x +． 【答案】（1）8；（2）6；±【分析】（1）原式括号中两项通分并利用异分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=0代入计算即可求出值．（2）将已知等式两边平方，利用完全平方式展开，即可求出所求式子的值．【详解】解：（1）23111x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭ =（3(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x +---+-+）÷2x 1x - =2224-1x x x +21x x- =24x +∵ 21x - ≠0，0x ≠∴x ≠1或x ≠-1，0x ≠当x=2时，原式=4+4=8．（2）12x x -= 21x 4x ⎛⎫= ⎪⎝⎭-41222=+-x x 2216x x +=； 21x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+ =221x 2x ++=8 1xx+=±【点睛】本题考查了分式的化简求值和完全平方式，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 17．阅读下面材料：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：11x x -+，21x x -这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：31x +，221x x +这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，例如：86222223333+==+=，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题：()1将分式11x x -+，422311x x x +-+化为带分式． ()2当x 取什么整数值时，分式212x x -+的值也为整数？ 【答案】（1）112x +-，22321x x +-+；（2）1x =-，3，3-，7-时，分式的值也为整数．【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果；（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x 的值．【详解】解：（1）12111222x x x x x --+==+---， 42222222231(1)2(1)332111x x x x x x x x x +-+++-==+-+++； （2）212(2)552222x x x x x -+-==-+++， 当21x +=，即1x =-；当25x +=，即3x =；当21x +=-，即3x =-；当25x +=-，即7x =-，综上，1x =-，3，3-，7-时，分式的值也为整数．【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．对于平面直角坐标系xOy 中的点(), P a b ，若点P'的坐标为 ,b a ka b k 骣çè+ç+÷÷ø(其中k 为常数，且0k ≠)，则称点P'为点P 的“k 之雅礼点”．例如：()1, 4P 的“2之雅礼点”为4'12142()P +?，，即()'3, 6P ． （1）①点()1,3P --的 “3之雅礼点”P'的坐标为___________； ②若点P 的“k 之雅礼点” P'的坐标为()2, 2，请写出一个符合条件的点P 的坐标_________；（2）若点P 在x 轴的正半轴上，点P 的“k 之雅礼点”为P'点，且'OPP D 为等腰直角三角形，则k 的值为____________；（3）在（2）的条件下，若关于x 的分式方程32233x mx k x x-++=--无解，求m 的值． 【答案】（1）①()2,6--； ②()1, 1；（2）±1；（3）3m =-或53m =-或1m =-． 【分析】（1）①只需把133a b k =-=-=，，代入 ,b a ka b k 骣çè+ç+÷÷ø即可求出P′的坐标；②由P′（2，2）可求出k=1，从而有a+b=2．任取一个a 就可求出对应的b ，从而得到符合条件的点P 的一个坐标．（2）设点P 坐标为（a ，0），从而有P′（a ，ka ），显然PP′⊥OP ，由条件可得OP=PP′，从而求出k ．（3）分1k =和1k =-两种情况，根据方程无解求出m 的值即可.【详解】（1）①∵把133a b k =-=-=，，代入 ,b a ka b k 骣çè+ç+÷÷ø， 得()2,6--，∴P′的坐标为()2,6--；②令k=1，把k=1代入 ,b a ka b k 骣çè+ç+÷÷ø得到a+b=2，当a=1时，b=1，所以点P 的一个坐标()1, 1；（2）∵点P 在x 轴的正半轴上，∴b=0，a ＞0∴点P 的坐标为（a ，0），P′（a ，ka ），∴PP′⊥OP ，∵'OPP D 为等腰直角三角形，∴OP=PP′，∴a=ka ，±∵a ＞0，∴k=1±；（3）当1k =时，去分母整理得：()34m x += ∴原方程无解∴①3m =-②3x =，则53m =- 当1k =-时，去分母整理得: ()12m x +=-原方程无解∴①1m =-②3x =，则53m =- 综上，3m =-或53m =-或1m =-． 【点睛】本题考查了坐标系的新定义问题，读懂题目信息，理解“k 之雅礼点”的定义是解题的关键.。
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2020-2021学年全国初中数学竞赛试题
二
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）
1．若4x －3y －6z =0，x +2y －7z =0(xyz ≠0)，则222222103225z y x z y x 的值等于 ( ).
(A) 21
(B) 219
(C) 15 (D) 13
2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g 时付邮费0.80元，超过20g 而不超过40g 时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g 需增加邮费0.80元（信的质量在100g 以内）。
如果所寄一封信的质量为72.5g ，那么应付邮费 ( ).
(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元
3．如下图所示，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =（ ）.
(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°
4．四条线段的长分别为9，5，x ，1（其中x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段（如上图），则x 可取值的个数为（ ）.
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个
5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ).
(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
O
C
D
A
B
A
B
C
D
E
F
G
（第3题图）
（第4题图）
6．已知31 x ，那么
21
41212x x x .
7．若实数x ，y ，z 满足41
y x ，11 z y ，
371 x z ，则xyz 的值为 .
8．观察下列图形：
① ② ③ ④根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为 .
9．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成45º，∠A =60º CD =4m ，BC =
2264 m ，则电线杆AB 的长为_______m.
10．已知二次函数
c bx ax y 2
（其中a 是正整数）的图象经 过点A （－
1，4）与点B （2，1），并且与x 轴有两个不同的交点，则b +c 的最大值为 .三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P . 问EP 与PD 是否相等？证明你的结论.
解：
A
D
B
C
P
D
O
C
A
E （第9题图）
12．某人租用一辆汽车由A城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度
为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多
少元？
解：918
12 17
6 14
15
7
11
10
13
5
O
B C D
E
A
F
G
H
(第11题图)
(第12题图)。