第三章 刚体和流体的运动
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第三章流体运动学
第三章 流体运动学
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第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
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第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
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折点
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强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
第三章刚体和流体的运动(3)
M
o
m r u
解 分析可知,以棒和小球组成 的系统的角动量守恒。 由于碰撞前棒处于静止状态，所以 碰撞前系统的角动量就是小球的角 动 lmu ;
l
l
由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒获得的角速度为 ，所以碰撞后系统的角 ω 动量为
1 2 lmv + Ml ω 3
由角动量守恒定律得
1 2 lmu = lmv + Ml ω 3
AG环 = 6mgR
Jω 2 AG = 2 AG杆 = 2mgR
mL2 4mR 2 转动惯量： 转动惯量： J 杆 = = 3 3 mR 2 19mR 2 2 平行轴定理： 平行轴定理： J 环 = + m ⋅ (3R) = 2 2
J = J杆 + J环
代入数据，可解得：
ω = 9.82rad / s
要保证小球回跳v
< 0，则必须保证 M > 3m。
北京师范大学珠海分校 工程技术学院
3 流体的运动
在公寓楼里养的猫常喜 欢在窗台上睡觉。 欢在窗台上睡觉。如果一只 猫不慎从七层或八层楼以上 掉到人行道上， 掉到人行道上，那它受伤的 程度是随着高度的增加而减 小的。（甚至有一只猫从32 。（甚至有一只猫从 小的。（甚至有一只猫从32 层高楼上落下只有胸部和一 颗牙受点轻伤的记录） 颗牙受点轻伤的记录） 危险是如何随着高度增 加而减小的呢？ 加而减小的呢？
一个高度为H的圆筒形烟囱由于基部损坏而倒下。烟囱可以当做细杆处理，令烟 囱与竖直方向成角度θ，重力加速度为g。求（1）烟囱的角速率，（2）烟囱顶 端的径向加速度和切向加速度。 定轴转动定律（ 解：定轴转动定律（转动中的牛顿第二定律） 定轴转动定律 转动中的牛顿第二定律）
流体力学课件 第3章流体运动的基本原理
u u (x, y,z, t )
17
二、流场描述
1、迹线：某一质点在某一时段内的运动轨迹曲线。
例： 烟火、火箭、流星、子弹等轨迹线。。。。。
（1）拉格朗日法迹线方程
x x（a，b，c，t） y y（a，b，c，t）
z z（a，b，c，t）
消去参数t并给定（a，b，c）即得相应质点的迹线方 程。
说明：
*（a,b,c）=const, t为变数，可得某个指定质点在任意时刻
所处的位臵，上式即迹线方程； *（a,b,c）为变数,对应时刻 t可以得出某一瞬间不同质点 在空间的分布情况。
3、拉格朗日法的速度与加速度方程
（ 1） 流速方 程
x ux ； t y uy ； t z uz t 均为（a，b，c，t）的函数。
第三章 流体运动的基本原理
静止只是流体的一种特殊的存在形态，运动 或流动是流体更为普遍的存在形态，也更能反映 流体的本质特征。 本章主要讨论流体的运动特征（速度、加速 度等）和流体运动的描述方法，流体连续性方程、 动量守恒及能量守恒方程是研究流体运动的基础。
1
第一节、流体运动的描述方法
一、拉格朗日法（lj）
18
（2）欧拉法迹线方程 若质点P在时间dt内从A点运
Z
A
B
动到B点，则质点移动速度为：
u dr dt
O
Y
得迹线方程:
dx dy dz dt ux uy uz
2、流线
表示某一瞬时流体各点流动 趋势的曲线，其上任一点的切线 方向与该点流速方向重合。即同 一时刻不同质点的速度方向线。
根据行列式的性质，有：
22
流线微分方程
dx dy dz u x u y uz
3.1刚体的转动定律
角坐标为标量。但可有正负。
2.角位移 (angular displacement) 描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移 3.角速度 (angular velocity) 描写刚体转动快慢和方向 的物理量。 d lim 角速度 t 0 t dt
M ij 0
j
rj
m j
Fej
M
j
ej
( m r )
2 j j
Fij
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以 M 表 示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚 体转动惯量，以J 表示。于是得到
d M J J dt
刚体定轴 转动定律
定义转动惯量 转动定律
2
2
该点的切向加速度和法向加速度(线量)
π 2 2 at r 0.2 ( )m s 0.105 m s 6 2 2 2 2 an r 0.2 (4 π) m s 31.6 m s
例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕 垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速 度 0 0 ，经300s 后，其转速达到 18000r·min-1 . 已知转子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内， 转子转过多少转？ d ct ，积分 解 由题意，令 ct，即
R
y
v2
p
P
v1
x
方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
刚体上任一质元的速度表示为： v r , v r 3.角加速度 (angular acceleration) d lim t 0 t dt
2.角位移 (angular displacement) 描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移 3.角速度 (angular velocity) 描写刚体转动快慢和方向 的物理量。 d lim 角速度 t 0 t dt
M ij 0
j
rj
m j
Fej
M
j
ej
( m r )
2 j j
Fij
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以 M 表 示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚 体转动惯量，以J 表示。于是得到
d M J J dt
刚体定轴 转动定律
定义转动惯量 转动定律
2
2
该点的切向加速度和法向加速度(线量)
π 2 2 at r 0.2 ( )m s 0.105 m s 6 2 2 2 2 an r 0.2 (4 π) m s 31.6 m s
例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕 垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速 度 0 0 ，经300s 后，其转速达到 18000r·min-1 . 已知转子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内， 转子转过多少转？ d ct ，积分 解 由题意，令 ct，即
R
y
v2
p
P
v1
x
方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
刚体上任一质元的速度表示为： v r , v r 3.角加速度 (angular acceleration) d lim t 0 t dt
刚体与流体
第三章 刚体和流体P.1§3-1刚体及其运动规律刚体：物体上任意两点 之间的距离保持不变 在力的作用下不发生形 变的物体。
P.23-1-1 刚体的运动平动： 刚体在运动过程 中，其上任意两点的 连线始终保持平行。
注：可以用质点动力学的方法来处理刚体的平 动问题。
P.3转动：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。
这种运动称为刚体的转动。
这条直线称为转轴。
定轴转动： 转轴固定不动的转动。
定点转动： 转轴上一点相对于参考系 静止，转轴方向随时间不 断变化。
例如陀螺和雷达天线。
P.4P.53-1-2刚体对定轴的角动量zv viv质元：组成物体的微颗粒元质元对O点的角动量为ωv v v Li = Ri × (mi vi )Li = mi Ri v iv Li 沿转轴Oz的投影为Liz = Li cos(v Lixv riγOmiv Riyπ2− γ ) = mi Ri vi sin γ = mi ri vi = mi ri 2ωP.6刚体对Oz轴的角动量为Lz = ∑ Liz = ∑ mi ri 2ω = (∑ mi ri 2 )ωi i i令J z = ∑mi rii2kg⋅ m2J z 为刚体对 Oz 轴的转动惯量比较：Lz = J z ωp = mvP.7转动惯量的定义式：J = ∑ mi rii2连续体的转动惯量：J = ∫ r dm2 V转动惯量的物理意义：反映刚体转动惯性的量度 转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体 的质量、质量分布以及转轴的位置有关。
P.8转动惯量的计算J ＝ ∑ m i ri 2i若质量连续分布 J = r 2 dm∫在（SI）中，J 的单位：kgm2dm为质量元，简称质元。
其计算方法如下：质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布dm = λ dlλ为质量的线密度。
σ为质量的面密度。
ρ为质量的体密度。
dm = σ dsdm = ρ dV面分布线分布体分布P.9对于质量连续分布的刚体：J = ∫ r dm = ∫ r ρdV2 2 V V（体质量分布） （面质量分布） （线质量分布）J = ∫ r dm = ∫ r σdS2 2 S SJ = ∫ r dm = ∫ r λdl2 2 L LP.10例的细棒绕一端的转动惯量。
3-1 刚体及其运动规律
第三章 刚体的运动
转过的圈数 N 75 π 37.5 r
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度
0
t
(5π
π 6
6)rad
s1
4π
rad
s1
（3）t 6s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
v r 0.2 4π m s2 2.5 m s2
该点的切向加速度和法向加速度
at
r
0.2 (
π)m s2 6
0.105
m s2
an r 2 0.2 (4π)m s2 31.6 m s2
3 – 1 刚体及其运动规律
二 刚体的定轴转动定律
1）单个质点 m与转轴
刚性连接
Ft mat mr
M Z rF sin rFt mr 2
M Z mr 2
质量2元）受刚外体力Fi e
x，内力
Fi in
M
物体 B上。滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间 的摩擦力可略去不计。问：
A mA
C
mC
（1） 两物体的线加 速度为多少？水平和 竖直两段绳索的张力 各为多少？
mB B
（2） 物体 B 从静止
落下距离 y 时，其
速率是多少？
刚体平动 质点运动
3 – 1 刚体及其运动规律
第三章 刚体的运动
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
刚体的平面运动 .
3 – 1 刚体及其运动规律
第三章 刚体的运动
+ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
3 – 1 刚体及其运动规律
第三章 刚体的运动
2 刚体定轴转动的描述——四个角量
第三章 流体的运动(幻)
二、 稳定流动
研究流体运动通常有两种方法： 拉格朗日法——以流体的各个质元为 研究对象，根据牛顿定律研究每个质 元的运动状态随时间的变化。
5
欧拉法——研究各个时刻在流体流经过 的空间每一个点上流体质元的运动速度 的分布。
1、 稳定流动
流体在流动过程中的任一时刻，流体所占 据的空间中的每一个点都具有一定的流速， 其函数表达式为υ（x，y，z，t）。
Sυ是单位时间内通过任一截面S的
流体体积，常称为体积流量。
所以上式又称体积流量守恒定律。
13
对于不可压缩的流体来说，不仅质 量流量守恒，体积流量也是守恒的。 体积流量又可简称为流量，用Q来表示 Q=Sυ Q —— 指单位时间内通过流管中任一截 面的流体体积，其单位为（m3·-1）。 s
四、血流速度分布
1 1 2 2 p1 1 gh P2 2 2 2
则液体从小孔处流出的速度 为：
2 2 gh
与其从高度为h处自由下落时的速度 相等。上式就称为“托里折利公式”。
33
第三节 粘性流体的流动 一、 层流和湍流
粘性——实际流体在流动过程中总 是具有内摩擦力，表现出粘滞性， 简称粘性。因而它在流动过程中需 要克服内摩擦力作功而消耗能量。 粘性流体在运动时主要具有层流、湍 流和过渡流动三种运动形态。
2 gh
30
3、体位对血压的影响
若流体在等截面管中流动，若 其流速不变，由 伯努利方程得
P gh1 P2 gh2 1
P +ρgh = 常量
结论：高处的压强较小，而低处的 压强则较大。
31
压强与高度间的关系，可用来解释体 位因素对血压的影响。
32
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飞轮转过的角度：
飞轮转过的转数： （2）由转动定律：
. ，可得拉力：
拉力矩的功为：
.
（3）当 t 10s 时，飞轮的角速度：
点的速度：
，则有：
t 10s 时，飞轮边缘的法向加速度：
t 10s 时，飞轮边缘的切向加速度：
总加速度大小：
uur 由于 an at ，因此总加速度方向几乎与 an 相同.
，飞轮边缘一
3-2 飞轮的质量为 60 kg，直径为 0.50 m，转速为 1 000 r/min，现要求在 5 s 内 使其制动，求制动力 F.假定闸瓦与飞轮之间的摩擦因数 μ=0.4，飞轮的质量全部分布在轮 的外周上，尺寸如图 3.1 所示.
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2．刚体的自由度 决定一个系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目称为该系统的自由度。对于刚体 来说，最多有 6 个自由度，其中 3 个是平动自由度，3 个是转动自由度（其中 2 个是表示 转动轴的方向的坐标，剩余一个则表示绕转动轴转过的角度）。
二、力矩，转动惯量，定轴转动定律 在讨论质点的运动时，我们首先引入位移、速度、加速度等运动学量，然后引入力这
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台
个动力学量，最后通过运动定律将二者联系起来。同样在研究刚体的转动时，也需要相应
的运动学量、动力学量以及运动方程。
1．运动学量
定轴转动中，有三个运动学量，即转过的角位移 θ ，角速度矢量 ω ，角加速度 α 。
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第 3 章 刚体和流体的运动
3.1 复习笔记
一、刚体、刚体的运动 1．刚体模型及其运动 由牛顿运动定律和守恒定律可以方便地得到质点的运动，但对于质点系的研究，特别 是分布连续的质点系，分别对每个质点求解很不方便。可以利用一些物理模型将问题简化， 刚体和理想流体就属于此类模型。 刚体是一种特殊的质点系，无论它在多大外力的作用下，其大小和形状都保持不变， 亦即系统内两质点间的距离不变。刚体两种简单的运动形式是平动和转动，在平动中，各 个质点在同一段时间通过相同的位移，且具有相同的速度和加速度；在转动中，各个质点 都绕同一直线运动。如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动。
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对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则
F i ri sin i 0
i
2 F r sin ( m r i i i i i ) i i
总外力矩Mz 称为刚体对转轴的转动惯量。
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d M z J J dt
刚体定轴转动定律：刚体在做定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动 惯量成反比。
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说明
ml mh 2 12
dx
例题3-2、试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘对垂 直于平面且过中心轴的转动惯量.
解： 取质量元为圆环
J r 2dm
m
dr
R
o r
l
r 2rdr l
R 2 0
2l r dr
3 0
R
1 4 1 R l mR 2 2 2
1 1
2 2
系统对该轴的角动量为
Lz J ii
i
且系统满足角动量定理: M dLz d z
dt
J ii dt i
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三、定轴转动刚体的角动量守恒定律
定轴转动角动量定理：
当 即
时， 有 (常量)
定轴转动角动量守恒定律：物体在定轴转动中，当 对转轴的合外力矩为零时，物体对转轴的角动量保 持不变。 适用于刚体、非刚体和物体系。
Fi sin i Fisin i mi ait mi ri 2 Fr i i sin i Fr i i sin i mi ri
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对刚体内各个质点的相应式子，相加得
2 Fi ri sin i Fi ri sin i ( mi ri ) i i i
x dx l/2
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(2)
A
m 2 (3) J B x l / 2 h l dx 2
l / 2 h
1 2 ml 3
x
l
h A
dx
B O
l
x
（1）转动惯量因转轴位置不同而变，必须指 明是关于某轴的转动惯量。 （ 2） 平行轴定理: 刚体对任一转轴的转动惯量 J 等 于对通过质心的平行转轴的转动惯量 JC 加上刚体质 量 m 乘以两平行转轴间距离 h 的平方。
刚性细棒： 3平动自由度 + 2个转动自由度 物体有几个自由度，它的运动定律就归结为几个独立 的方程。
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§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
一、力矩
F 对O点的力矩： M 0 r F
M 0 r F1 r F2
对转动无贡献 对转动有贡献
说明 1、只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力 矩Mz ，而平行于转轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则 被轴承上支承力的力矩所抵消。
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角量： 角位移
线量与角量的关系：
d 角速度 dt d 角加速度
dt
匀角加速转动： 匀加速直线运动：
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三、自由度
自由度就是决定系统在空间的位置所需要的独立坐 标的数目。 质点： (x, y, z) i=3 C(x,y,z)
做直线运动的质点： 1个自由度 做平面运动的质点： 2个自由度
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例题3-3 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质 圆盘对通过直径的转轴的转动惯量。
解：(1) 圆环： r dm
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(2) 圆盘：
O r dr d m
可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
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例题3-4 物体：m1、m2(>m1)， 定滑轮：m、r，受摩 擦阻力矩为Mr。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体 的加速度和绳的张力。 解：由于考虑滑轮的质量和所受 的摩擦阻力矩，
做空间运动的质点： 3个自由度
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自由运动刚体： 随质心的平动 + 绕过质心轴的转动 自由刚体有 6个自由度： 确定质心位置 3个平动自由度 (x, y, z) 确定过质心轴位置 2个转动自由度 ( ， ) 确定定轴转动角位置 1个转动自由度 ( ) 平动刚体： 3个平动自由度 定轴转动刚体：1个转动自由度
比较
平动： 线动量 转动：
mv
角动量
dv 平动定律 F ma m 转动定律 M z J J d dt dt 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。
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J
四、转动惯量
定义： 刚体为质量连续体时： （ r 为质元dm到转轴的距离） 转动惯量取决于刚体本身的性质，即刚体的形状、 大小、质量分布以及转轴的位置。 单位( SI )：
第三章 刚体和流体的运动
本章教学目的及要求
1、了解刚体模型。 2、了解刚体的转动惯量。 3、掌握刚体定轴转动定律及其应用。 4、了解刚体定轴转动的功能关系、角动量定理 及角动量守恒定律。
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§3-1 刚体模型及其运动 一、刚体
刚体：既考虑物体的质量， 又考虑形状和大小，但 忽略其形变的物体模型。 刚体是一个特殊的质点系，在外力作用下，系统内任 意两点间的距离始终保持不变。
2
1
在啮合过程中，摩擦力矩做功，所以机械能不守恒， 部分机械能将转化为热能。损失的机械能为：
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例题3-9 一质量为M 、半径为R 的匀质圆盘形滑轮， 可绕一无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有轻绳，绳子 一端固定在滑轮上，另一端悬挂一质量为m 的物体， 问物体由静止落下h 高度时,物体的速率为多少？ 解法一:用牛顿第二运动定律及转动 定律求解。 对物体m用牛顿第二运动定律得
2 、转动 如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运 动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。 如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动。 如：门、 窗的转动等。 可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转动的 叠加 。 如：车轮的滚动。
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定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴做 不同半径的圆周运动。 在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但 在相同时间内转过的角度相同，称为角位移，它可 以用来描述整个刚体的转动。 做定轴转动时，刚体内各点具 有相同的角量，包括角位移、角速 度和角加速度。但不同位置的质点 具有不同的线量，包括位移、速度 和加速度。
r
问题中包括平动和转动。
FT1 m1 g m1a m2 g FT2 m2 a FT2 r FT1r M r J
轮不打滑： 联立方程，可解得 FT1 ，FT2，a， 。 此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度 g
返回
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例题3-5 一半径为R，质量为m均质圆盘，平放在粗糙 的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦因数为 ，令圆盘 最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问 它经过多少时间才停止转动？ 解： 把圆盘分成许多环形 质元，每个质元的质量 dm=reddr ， e 是 盘 的 厚 度，质元所受到的阻力矩 为 rdmg 。 圆盘所受阻力矩为
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1. 刚体( J 不变)的角动量守恒 若 M=0，则 J =常量，而刚体的 J 不变，故 的大小，方向保持不变。 如：直立旋转陀螺不倒。
o
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2. 非刚体( J 可变)的角动量守恒
当 J 增大， 就减小，当 J 减小， 就增大。 如：芭蕾舞、花样滑冰、跳水中的转动等。
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2π R 2
3 2 t 0 2 1 μg dt R dω 0 3 2 ω0
dt
3 R t 0 4 g
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§3-3 定轴转动中的功能关系 一、力矩的功
说明 1. 平行于定轴的外力对质元不做功。 2. 由于刚体内两质元的相对距离不变，内力做 功之和为零。
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设作用在质元mi上的外力
位于转动平面内。
合外力对刚体做的元功：
刚体受到的总外力矩 刚体从 0 转到 ，所有外力做的总功为： 力对刚体所做的功用力矩与角位移乘积的积分表示， 叫做力矩的功。
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二、刚体的转动动能
刚体转动时的动能，是组成刚体的各个质点动能之和。
刚体对转轴的转动惯量J
刚体的转动动能：刚体因转动而具有的动能。
3. 物体系的角动量守恒
若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对 轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：
如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。
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例题3-8 摩擦离合器 飞轮1：J1、 1 摩擦轮2： J2、 静止，两轮沿轴向结合，求结合后两轮达到的共同角 速度。
2 1
解：两轮对共同转轴的角动量守恒
解： A O C B
(1)水平位置
方向： 垂直于 转动面向里
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(2)垂直位置
A
C O
B
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§3-4 定轴转动刚体的角动量定理和 角动量守恒定律 一、刚体的角动量
质元
mi
对O 点的角动量为
Li Ri mi vi 因 vi Ri ，所以 Li 的大小为
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三、定轴转动的动能 时，外力矩所做 元功为 ：
d M J J dt
d dA Md J dt Jd dt
则总外力矩对刚体所做功为
刚体定轴转动的动能定理 ： 总外力矩对刚体所做的功 等于刚体转动动能的增量。
线速度和角速度之间的矢量关系 ：
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三、定轴转动定律
对刚体中任一质量元 mi
受外力
Fi
和内力
Fi
应用牛顿第二定律，可得