大学物理第三章刚体和流体运动
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第三章刚体和流体的运动(1)
J = ∫ r dm = 2πρL ∫
0
1 r dr = πρLR 4 2
3
M = ρπR 2 L
MR 2 J= 2
与圆柱的长度L无关！ 与圆柱的长度L无关！ 长度 决定刚体转动惯量的因素： 决定刚体转动惯量的因素： （1）刚体总质量（2）质量分布（3）给定轴的位置 刚体总质量（ 质量分布（
平行轴定理
转轴
转轴固定不动时： 转轴固定不动时：定轴转动 刚体内各个质点在运动中 都绕同一直线做圆周运动
：转动
北京师范大学珠海分校 工程技术学院
自由度：决定系统在空间的位置所需要的独立坐标 数目。 位置所需要的独立坐标的 自由度：决定系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。
1 个 自 由 度 2 个 自 由 度 3 个 自 由 度
r
P
Fi sin ϕi + Fi ' sin θi = ∆mi riα
2
Fi ri sin ϕi + Fi ' ri sin θi = ∆mi ri α
对刚体内所有质点求和， 对刚体内所有质点求和，内力矩为零
dω ∑Fi ri sin ϕi = (∑∆mi ri )α Mz = (∑∆mi ri )α = Jα = J dt i
2
2
刚体在总外力矩的作用下，所获得的角加速度与总外力矩的 刚体在总外力矩的作用下，所获得的角加速度与总外力矩的 角加速度 大小成正比 正比， 转动惯量成反比。 大小成正比，与转动惯量成反比。
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平动（沿固定方向） 平动（沿固定方向） 位置：x 速度：v=dx/dt 加速度：a=dv/dt 质量：m 牛二律：F=ma
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大学物理.第三章.刚体的转动
动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
流体力学课件 第3章流体运动的基本原理
u u (x, y,z, t )
17
二、流场描述
1、迹线：某一质点在某一时段内的运动轨迹曲线。
例： 烟火、火箭、流星、子弹等轨迹线。。。。。
（1）拉格朗日法迹线方程
x x（a，b，c，t） y y（a，b，c，t）
z z（a，b，c，t）
消去参数t并给定（a，b，c）即得相应质点的迹线方 程。
说明：
*（a,b,c）=const, t为变数，可得某个指定质点在任意时刻
所处的位臵，上式即迹线方程； *（a,b,c）为变数,对应时刻 t可以得出某一瞬间不同质点 在空间的分布情况。
3、拉格朗日法的速度与加速度方程
（ 1） 流速方 程
x ux ； t y uy ； t z uz t 均为（a，b，c，t）的函数。
第三章 流体运动的基本原理
静止只是流体的一种特殊的存在形态，运动 或流动是流体更为普遍的存在形态，也更能反映 流体的本质特征。 本章主要讨论流体的运动特征（速度、加速 度等）和流体运动的描述方法，流体连续性方程、 动量守恒及能量守恒方程是研究流体运动的基础。
1
第一节、流体运动的描述方法
一、拉格朗日法（lj）
18
（2）欧拉法迹线方程 若质点P在时间dt内从A点运
Z
A
B
动到B点，则质点移动速度为：
u dr dt
O
Y
得迹线方程:
dx dy dz dt ux uy uz
2、流线
表示某一瞬时流体各点流动 趋势的曲线，其上任一点的切线 方向与该点流速方向重合。即同 一时刻不同质点的速度方向线。
根据行列式的性质，有：
22
流线微分方程
dx dy dz u x u y uz
大学物理3-0刚体和流体的运动
一 掌握刚体绕定轴的转动定律，理解转动惯 量的概念. 二 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在 有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒 定律． 三 掌握刚体绕定轴转动的角动量守恒定理及 其适用条件. 四 方程. 理解学基本要求
§3-1 刚体模型及其运动
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 §3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律 §3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 混沌 §3-7 牛顿力学的内在随机性
本章目录 §3-0 教学基本要求
§3-1 刚体模型及其运动
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 §3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律 §3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 混沌 §3-7 牛顿力学的内在随机性
§3-0 教学基本要求
§3-1 刚体模型及其运动
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 §3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律 §3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 混沌 §3-7 牛顿力学的内在随机性
本章目录 §3-0 教学基本要求
§3-1 刚体模型及其运动
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 §3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律 §3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 混沌 §3-7 牛顿力学的内在随机性
§3-0 教学基本要求
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
大学物理第3章-刚体力学习题解答
大学物理第3章-刚体力学习题解答第3章 刚体力学习题解答3.13 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为):,:(43s t rad ct bt at θθ-+=。
求t 时刻的角速度和角加速度。
解：23212643ct bt ct bt a dt d dtd -==-+==ωθβω3.14桑塔纳汽车时速为166km/h ，车轮滚动半径为0.26m ，发动机转速与驱动轮转速比为0.909, 问发动机转速为每分多少转？解：设车轮半径为R=0.26m ，发动机转速为n 1, 驱动轮转速为n 2, 汽车速度为v=166km/h 。
显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘的线速度，909.0/2212Rn Rn v ππ==，所以：min/1054.1/1024.93426.014.3210166909.02909.013rev h rev n R v ⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯π3.15 如题3-15图所示，质量为m 的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为r 1和r 2，求对通过其中心轴的转动惯量。
解：设圆柱体长为h ，则半径为r ，厚为dr 的薄圆筒的质量dm 为：2..dm h r dr ρπ=对其轴线的转动惯量dI z 为232..z dI r dm h r dr ρπ==212222112..()2r z r I h r r dr m r r ρπ==-⎰ 3.17 如题3-17图所示，一半圆形细杆，半径为，质量为，求对过细杆二端轴的转动惯量。
解：如图所示，圆形细杆对过O 轴且垂直于圆形细杆所在平面的轴的转动惯量为mR 2，根据垂直轴定理z x y I I I =+和问题的对称性知：圆形细杆对过轴的转动惯量为12mR 2，由转动惯量的可加性可求得：半圆形细杆对过细杆二端轴的转动惯量为：214AA I mR '=3.18 在质量为M ，半径为R 的匀质圆盘上挖出半径为r 的两个圆孔，圆孔中心在半径R 的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。
大学物理课件第3章 刚体和流体的运动
所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。 所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
刚体内各点都绕同一直线(转轴) 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动 转轴固定不动 — 定轴转动 刚体的平动和绕定轴转动是刚 定轴转动的特点： 定轴转动的特点： 体的两种最简单最基本运动 （1）角位移，角速度和角加速度均相同； ）角位移，角速度和角加速度均相同； （2）质点在垂直转轴的各自平面内运动作 ） I 半径不同的圆周运动。 半径不同的圆周运动。
定轴转动定律在转 动问题中的地位相 当于平动时的牛顿 第二定律 应用转动定律解题 步骤与牛顿第二定 律时完全相同。 律时完全相同。
五、转动定律的应用举例
的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以 的拉力， 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦 不计， 见图 见图) 不计， (见图 r v 求 (1) 飞轮的角加速度
在刚体的定轴转动中， 在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向 (3)力对任意点的力矩， (3)力对任意点的力矩，在通过 力对任意点的力矩 该点的任一轴上的投影， 该点的任一轴上的投影，等 于该力对该轴的力矩 (4)刚体的合力矩 (4)刚体的合力矩
z
r F//
r F
h
r r
θA
r F r τ r F⊥
F n
ˆ ˆ ˆ M = r × F = Mx x + My y + Mz z
r fi -内力
i i
3、刚体的合力矩 、刚体的合力矩
对刚体中任一质量元
r 外力 Fi --外力
第三章_刚体和流体的运动
dF pdA pLdy
h 100m
L 1000m
y
dA
dy
dF pdA pLdy 令大气压为 p0 ，则
p p0 g (h y)
h y
dF [ p0 g (h y)]Ldy
h
x O
1 F [ p0 g (h y )]Ldy p0 Lh gLh2 0 2
(x2,y2,z2)
系统的自由度是多少？
3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
力矩 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F 作用在刚体上点 P , 且在转动 为由点O 到力的 平面内, r 作用点 P 的矢径. 一
M
F
*
M
O
z
Z F 对转轴 的力矩
r
d
P
M r F
0 5π rad s1, t = 30 s 时， 0. 解 （1） 设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动 0 0 5π π 1 2 rad s rad s t 30 6
飞轮 30 s 内转过的角度
2 2 0 (5 π ) 2 75π rad 2 2 (π 6)
dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R 0
2 3
而
m π R
2
所以
2
1 2 J mR 2
例3 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . O
l 2
O
l 2
dr O´
O´
r
dr
l
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元 dm dr dJ r 2dm r 2dr
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2
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对刚体内各个质点的相应式子，相加得：
F r sin f
i i i i i
i i
r sin i ( mi ri )
2 i
对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则：
f
i
i
ri sin i 0
2 i i i
F r sin ( m r
r
问题中包括平动和转动。
T1 m1 g m1a m2 g T2 m2a T2 r T1r M r J
轮不打滑： 联立方程，可解得 T1 ，T2，a， 。
此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度 g
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例3-4 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的 水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最 初以角速度0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它 经过多少时间才停止转动？ 解： 把圆盘分成许多环形 质元，每个质元的质量 dm=rddre ， e 是 盘 的 厚 度，质元所受到的阻力矩 为 rdmg 。 圆盘所受阻力矩为：
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功 等于刚体转动动能的增量。
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四、刚体的重力势能 以地面为势能零点，刚体和地 球系统的重力势能：
z
i
O
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例3-5 一质量为m ，长为 l 的均质细杆，转轴在O点， 距A端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转 动，求(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位 置时的角速度和角加速度。
第三章 刚体和流体的运动
§3-1 刚体模型及其运动 §3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系
§3-4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
§3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 §3-7 牛顿力学的内在随机性 混沌
§3-1 刚体模型及其运动
一、刚体
物体有几个自由度，他的运动定律就归结为几个独 立的方程。
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运动刚体： 随质心的平动 + 绕过质心轴的转动 自由刚体有 6个自由度： 确定质心位置 3个平动自由度 (x, y, z) 确定过质心轴位置 2个转动自 由度 (， ) 确定定轴转动角位置 1个转动 自由度 ( ) 刚性细棒： i = 3个平动自由度 + 2个转动自由度= 5个自由度
1 1
系统对该轴的角动量为： 且系统满足角动量定理
Lz J i i
i
dLZ d MZ J ii dt dt i
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三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 定轴转动角动量定理：
当
即
时， 有
(常量)
定轴转动角动量守恒定律：物体在定轴转动中，当 对转轴的合外力矩为零时，物体对转轴的角动量保 持不变。 适用于刚体，非刚体和物体系。
h A C
dm
dx x
mxC 0
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例3-2 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。
解：
(1) 圆环：
dm
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(2) 圆盘：
o
dm
可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
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例3-3 物体：m1， m2(>m1)， 定滑轮：m， r，受摩擦 阻力矩为Mr。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体的 加速度和绳的张力。 解：由于考虑滑轮的质量和所受 的摩擦阻力矩，
Li mi Ri vi
刚体关于O 的角动量：
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对于定轴转动， L 对沿定轴的分量 Lz 为：
Lz Li cos mi Ri vi cos mi ri vi mi ri
2
称刚体绕定轴转动的角动量。 刚体转动惯量：
J mi ri
2 1
2
1
在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒， 部分机械能将转化为热能。
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例3-7 匀质细棒：l 、m，可绕通过端点O的水平轴转 动。棒从水平位置自由释放后，在竖直位置与放在地 面的物体m相撞。该物体与地面的摩擦系数为 ，撞 后物体沿地面滑行一距离 s 而停止。求撞后棒的质心 C 离地面的最大高度 h ，并说明棒在碰撞后将向左摆 或向右摆的条件。
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§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 一、力矩 F 对O点的力矩：
M
大小： 说明
M r F M rF sin 来自 F r
1、只有垂直转轴的外力分量才产生 沿转轴方向的力矩Mz ，而平行于转 轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则被 轴承上支承力的力矩所抵消。
（ r 为质元dm到转轴的距离）
转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。转动惯量 取决于刚体本身的性质，即刚体的形状、大小、质 量分布以及转轴的位置。
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例3-1 求均质细棒( m ，l ) 的转动惯量： (1) 转轴通过中心C与棒垂直， (2) 转轴通过棒的一端O与棒垂直。 解：(1)
dm
C dx x
解： A O c B
(1)水平位置 方向：
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(2)垂直位置
A
c O
B
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§3-4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
一、刚体的角动量
质元
mi 对O 点的角动量为： Li Ri mi vi 因 vi Ri ，所以 Li 的大小为
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角量： 角位移
d 角速度 dt d 角加速度
dt
对于匀角加速转动，则有： 匀加速直线运动：
线量与角量的关系：
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三、自由度 所谓自由度就是决定系统在空间的位置所需 要的独立坐标的数目。 质点： (x, y, z) i=3 C(x,y,z)
作直线运动的质点： 1个自由度 作平面运动的质点： 2个自由度 作空间运动的质点： 3个自由度
2 R 2
3 2 t 0 2 1 g dt R d 0 3 2 0
dt
3 R t 0 4 g
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§3-3 定轴转动中的功能关系
一、力矩的功
说明 1. 平行于定轴的外力对质元不做功。 2. 由于刚体内两质元的相对距离不变，内力做 功之和为零。
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设作用在质元mi上的外力
(2)
dm O
dx
x
可见，转动惯量因转轴位置而变，故必须指明是 关于某轴的转动惯量。
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平行轴定理（parallel axis theorem）
刚体对任一转轴的转动惯量 J 等于对通过质心 的平行转轴的转动惯量 JC 加上刚体质量 m 乘以两 平行转轴间距离 h 的平方。
通过任一转轴A的转动惯量： （取C为坐标原点）
第三阶段：碰撞后物体的滑行过程与棒的上升过程。 物体作匀减速直线运动。
mg ma
0 v 2as
2
联合求解，即得碰撞后棒的角速度：
3 gl 3 2 gs l
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3 gl 3 2 gs l
3gl 3 2gs 0
3gl 3 2gs 0
2
刚体绕定轴的角动量：
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二、定轴转动刚体的角动量定理
由定轴转动定律，若J 不变，
称为角动量定理的微分形式。 角动量定理的积分形式：
t t0
t
t0
M z d t J ( J ) 0
M z d t为t t t0时间内力矩M 对给定轴的冲量矩。
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角动量定理比转动定律的适用范围更广，适用于 刚体，非刚体和物体系。 对几个物体组成的系统，如果它们对同一给 定轴的角动量分别为 J 、 J 2 2 、…，
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2、转动
如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作 圆周运动，这种运动就叫做转动（rotation），这一 直线就叫做转轴。 如果转轴是固定不动的，就叫做 定轴转动（fixed-axis rotation） 。 如：门、 窗的转动等。 可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转 动的叠加 。 如：车轮的滚动。
解：分三个阶段进行分析。 第一阶段：棒自由摆落的过程， 机械能守恒。
l 1 11 2 2 2 mg J ＝ ml 2 2 23
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第二阶段：碰撞过程。系统的对O轴的角动量守恒。
1 1 2 2 m l m vl m l 3 3
d
r dr R e
M r rdm g g rreddr
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M r rdm g g rreddr
2 3 ge d r dr geR 0 0 3 2 m=eR2 M r mgR 3 2 1 2 d 由定轴转动定律： mgR J mR
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三、定轴转动定律
对刚体中任一质量元
受外力 Fi 和内力 f i
mi
应用牛顿第二定律，可得：
Fi f i mi ai
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
Fi sin i f i sin i mi ait mi ri
Fi ri sin i f i ri sin i mi ri
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2、 M Z
rF2 sin F2 d
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。 3、在转轴方向确定后，力对转 轴的力矩方向可用正负号表示。 刚体所受的关于定轴的合力矩：
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对刚体内各个质点的相应式子，相加得：
F r sin f
i i i i i
i i
r sin i ( mi ri )
2 i
对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则：
f
i
i
ri sin i 0
2 i i i
F r sin ( m r
r
问题中包括平动和转动。
T1 m1 g m1a m2 g T2 m2a T2 r T1r M r J
轮不打滑： 联立方程，可解得 T1 ，T2，a， 。
此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度 g
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例3-4 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的 水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最 初以角速度0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它 经过多少时间才停止转动？ 解： 把圆盘分成许多环形 质元，每个质元的质量 dm=rddre ， e 是 盘 的 厚 度，质元所受到的阻力矩 为 rdmg 。 圆盘所受阻力矩为：
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功 等于刚体转动动能的增量。
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四、刚体的重力势能 以地面为势能零点，刚体和地 球系统的重力势能：
z
i
O
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例3-5 一质量为m ，长为 l 的均质细杆，转轴在O点， 距A端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转 动，求(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位 置时的角速度和角加速度。
第三章 刚体和流体的运动
§3-1 刚体模型及其运动 §3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系
§3-4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
§3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 §3-7 牛顿力学的内在随机性 混沌
§3-1 刚体模型及其运动
一、刚体
物体有几个自由度，他的运动定律就归结为几个独 立的方程。
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运动刚体： 随质心的平动 + 绕过质心轴的转动 自由刚体有 6个自由度： 确定质心位置 3个平动自由度 (x, y, z) 确定过质心轴位置 2个转动自 由度 (， ) 确定定轴转动角位置 1个转动 自由度 ( ) 刚性细棒： i = 3个平动自由度 + 2个转动自由度= 5个自由度
1 1
系统对该轴的角动量为： 且系统满足角动量定理
Lz J i i
i
dLZ d MZ J ii dt dt i
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三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 定轴转动角动量定理：
当
即
时， 有
(常量)
定轴转动角动量守恒定律：物体在定轴转动中，当 对转轴的合外力矩为零时，物体对转轴的角动量保 持不变。 适用于刚体，非刚体和物体系。
h A C
dm
dx x
mxC 0
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例3-2 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。
解：
(1) 圆环：
dm
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(2) 圆盘：
o
dm
可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
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例3-3 物体：m1， m2(>m1)， 定滑轮：m， r，受摩擦 阻力矩为Mr。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体的 加速度和绳的张力。 解：由于考虑滑轮的质量和所受 的摩擦阻力矩，
Li mi Ri vi
刚体关于O 的角动量：
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对于定轴转动， L 对沿定轴的分量 Lz 为：
Lz Li cos mi Ri vi cos mi ri vi mi ri
2
称刚体绕定轴转动的角动量。 刚体转动惯量：
J mi ri
2 1
2
1
在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒， 部分机械能将转化为热能。
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例3-7 匀质细棒：l 、m，可绕通过端点O的水平轴转 动。棒从水平位置自由释放后，在竖直位置与放在地 面的物体m相撞。该物体与地面的摩擦系数为 ，撞 后物体沿地面滑行一距离 s 而停止。求撞后棒的质心 C 离地面的最大高度 h ，并说明棒在碰撞后将向左摆 或向右摆的条件。
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§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 一、力矩 F 对O点的力矩：
M
大小： 说明
M r F M rF sin 来自 F r
1、只有垂直转轴的外力分量才产生 沿转轴方向的力矩Mz ，而平行于转 轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则被 轴承上支承力的力矩所抵消。
（ r 为质元dm到转轴的距离）
转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。转动惯量 取决于刚体本身的性质，即刚体的形状、大小、质 量分布以及转轴的位置。
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例3-1 求均质细棒( m ，l ) 的转动惯量： (1) 转轴通过中心C与棒垂直， (2) 转轴通过棒的一端O与棒垂直。 解：(1)
dm
C dx x
解： A O c B
(1)水平位置 方向：
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(2)垂直位置
A
c O
B
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§3-4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
一、刚体的角动量
质元
mi 对O 点的角动量为： Li Ri mi vi 因 vi Ri ，所以 Li 的大小为
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角量： 角位移
d 角速度 dt d 角加速度
dt
对于匀角加速转动，则有： 匀加速直线运动：
线量与角量的关系：
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三、自由度 所谓自由度就是决定系统在空间的位置所需 要的独立坐标的数目。 质点： (x, y, z) i=3 C(x,y,z)
作直线运动的质点： 1个自由度 作平面运动的质点： 2个自由度 作空间运动的质点： 3个自由度
2 R 2
3 2 t 0 2 1 g dt R d 0 3 2 0
dt
3 R t 0 4 g
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§3-3 定轴转动中的功能关系
一、力矩的功
说明 1. 平行于定轴的外力对质元不做功。 2. 由于刚体内两质元的相对距离不变，内力做 功之和为零。
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设作用在质元mi上的外力
(2)
dm O
dx
x
可见，转动惯量因转轴位置而变，故必须指明是 关于某轴的转动惯量。
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平行轴定理（parallel axis theorem）
刚体对任一转轴的转动惯量 J 等于对通过质心 的平行转轴的转动惯量 JC 加上刚体质量 m 乘以两 平行转轴间距离 h 的平方。
通过任一转轴A的转动惯量： （取C为坐标原点）
第三阶段：碰撞后物体的滑行过程与棒的上升过程。 物体作匀减速直线运动。
mg ma
0 v 2as
2
联合求解，即得碰撞后棒的角速度：
3 gl 3 2 gs l
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3 gl 3 2 gs l
3gl 3 2gs 0
3gl 3 2gs 0
2
刚体绕定轴的角动量：
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二、定轴转动刚体的角动量定理
由定轴转动定律，若J 不变，
称为角动量定理的微分形式。 角动量定理的积分形式：
t t0
t
t0
M z d t J ( J ) 0
M z d t为t t t0时间内力矩M 对给定轴的冲量矩。
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角动量定理比转动定律的适用范围更广，适用于 刚体，非刚体和物体系。 对几个物体组成的系统，如果它们对同一给 定轴的角动量分别为 J 、 J 2 2 、…，
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2、转动
如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作 圆周运动，这种运动就叫做转动（rotation），这一 直线就叫做转轴。 如果转轴是固定不动的，就叫做 定轴转动（fixed-axis rotation） 。 如：门、 窗的转动等。 可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转 动的叠加 。 如：车轮的滚动。
解：分三个阶段进行分析。 第一阶段：棒自由摆落的过程， 机械能守恒。
l 1 11 2 2 2 mg J ＝ ml 2 2 23
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第二阶段：碰撞过程。系统的对O轴的角动量守恒。
1 1 2 2 m l m vl m l 3 3
d
r dr R e
M r rdm g g rreddr
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M r rdm g g rreddr
2 3 ge d r dr geR 0 0 3 2 m=eR2 M r mgR 3 2 1 2 d 由定轴转动定律： mgR J mR
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三、定轴转动定律
对刚体中任一质量元
受外力 Fi 和内力 f i
mi
应用牛顿第二定律，可得：
Fi f i mi ai
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
Fi sin i f i sin i mi ait mi ri
Fi ri sin i f i ri sin i mi ri
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2、 M Z
rF2 sin F2 d
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。 3、在转轴方向确定后，力对转 轴的力矩方向可用正负号表示。 刚体所受的关于定轴的合力矩：