刚体转动和流体运动
第三章刚体和流体的运动(3)
M
o
m r u
解 分析可知,以棒和小球组成 的系统的角动量守恒。 由于碰撞前棒处于静止状态，所以 碰撞前系统的角动量就是小球的角 动 lmu ;
l
l
由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒获得的角速度为 ，所以碰撞后系统的角 ω 动量为
1 2 lmv + Ml ω 3
由角动量守恒定律得
1 2 lmu = lmv + Ml ω 3
AG环 = 6mgR
Jω 2 AG = 2 AG杆 = 2mgR
mL2 4mR 2 转动惯量： 转动惯量： J 杆 = = 3 3 mR 2 19mR 2 2 平行轴定理： 平行轴定理： J 环 = + m ⋅ (3R) = 2 2
J = J杆 + J环
代入数据，可解得：
ω = 9.82rad / s
要保证小球回跳v
< 0，则必须保证 M > 3m。
北京师范大学珠海分校 工程技术学院
3 流体的运动
在公寓楼里养的猫常喜 欢在窗台上睡觉。 欢在窗台上睡觉。如果一只 猫不慎从七层或八层楼以上 掉到人行道上， 掉到人行道上，那它受伤的 程度是随着高度的增加而减 小的。（甚至有一只猫从32 。（甚至有一只猫从 小的。（甚至有一只猫从32 层高楼上落下只有胸部和一 颗牙受点轻伤的记录） 颗牙受点轻伤的记录） 危险是如何随着高度增 加而减小的呢？ 加而减小的呢？
一个高度为H的圆筒形烟囱由于基部损坏而倒下。烟囱可以当做细杆处理，令烟 囱与竖直方向成角度θ，重力加速度为g。求（1）烟囱的角速率，（2）烟囱顶 端的径向加速度和切向加速度。 定轴转动定律（ 解：定轴转动定律（转动中的牛顿第二定律） 定轴转动定律 转动中的牛顿第二定律）
第五章连续体力学
m(
L)2 2
可见，与转动惯量有关的因素：
J mi ri2
转轴的位置 刚体的质量
刚体的形状(质量分布)
2、平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转
动惯量为J，则有：
z
Jo＝Jc＋md2
o
C
两轴平行；
x
d
d
说明
JC 为刚体绕质心轴的转动惯量 d 为两平行轴间距离。
3、正交轴定理
a r 2 4
线速度与角速度之间的矢量关系为:
v r
定轴转动的特征12））：各各点点的的角线位位移移、、角线速速度度、、角线加加速速度度相不同同。。
例1 一半径为R=0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t的变 化关系为=(2+4t3)rad,式中t以s计。试求： （1）在t=2s时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速 度的大小。 （2）当角为多大时,该质点的加速度与半径成45o角。
所以
1 Mlv J
12 v
4
7l
[例5]一棒长l，质量m,其质量密度分布与到O点的距离成正比，
将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的初始
角速度为ω0 ，棒与桌面的摩擦系数为μ。 求: (1)细棒对O点的转动惯量。
(2)细棒绕O点的摩擦力矩。 (3)细棒从以ω0 开始转动到停止所经历的时间。
dm
0
J 是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。
[例2] 求质量为m、半径为R的均匀薄圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。
解：设面密度为σ 取半径为r 宽为dr 的薄圆环,
R O r dr
dm ds 2rdr
流体力学课件 第3章流体运动的基本原理
u u (x, y,z, t )
17
二、流场描述
1、迹线：某一质点在某一时段内的运动轨迹曲线。
例： 烟火、火箭、流星、子弹等轨迹线。。。。。
（1）拉格朗日法迹线方程
x x（a，b，c，t） y y（a，b，c，t）
z z（a，b，c，t）
消去参数t并给定（a，b，c）即得相应质点的迹线方 程。
说明：
*（a,b,c）=const, t为变数，可得某个指定质点在任意时刻
所处的位臵，上式即迹线方程； *（a,b,c）为变数,对应时刻 t可以得出某一瞬间不同质点 在空间的分布情况。
3、拉格朗日法的速度与加速度方程
（ 1） 流速方 程
x ux ； t y uy ； t z uz t 均为（a，b，c，t）的函数。
第三章 流体运动的基本原理
静止只是流体的一种特殊的存在形态，运动 或流动是流体更为普遍的存在形态，也更能反映 流体的本质特征。 本章主要讨论流体的运动特征（速度、加速 度等）和流体运动的描述方法，流体连续性方程、 动量守恒及能量守恒方程是研究流体运动的基础。
1
第一节、流体运动的描述方法
一、拉格朗日法（lj）
18
（2）欧拉法迹线方程 若质点P在时间dt内从A点运
Z
A
B
动到B点，则质点移动速度为：
u dr dt
O
Y
得迹线方程:
dx dy dz dt ux uy uz
2、流线
表示某一瞬时流体各点流动 趋势的曲线，其上任一点的切线 方向与该点流速方向重合。即同 一时刻不同质点的速度方向线。
根据行列式的性质，有：
22
流线微分方程
dx dy dz u x u y uz
刚体与流体
第三章 刚体和流体P.1§3-1刚体及其运动规律刚体：物体上任意两点 之间的距离保持不变 在力的作用下不发生形 变的物体。
P.23-1-1 刚体的运动平动： 刚体在运动过程 中，其上任意两点的 连线始终保持平行。
注：可以用质点动力学的方法来处理刚体的平 动问题。
P.3转动：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。
这种运动称为刚体的转动。
这条直线称为转轴。
定轴转动： 转轴固定不动的转动。
定点转动： 转轴上一点相对于参考系 静止，转轴方向随时间不 断变化。
例如陀螺和雷达天线。
P.4P.53-1-2刚体对定轴的角动量zv viv质元：组成物体的微颗粒元质元对O点的角动量为ωv v v Li = Ri × (mi vi )Li = mi Ri v iv Li 沿转轴Oz的投影为Liz = Li cos(v Lixv riγOmiv Riyπ2− γ ) = mi Ri vi sin γ = mi ri vi = mi ri 2ωP.6刚体对Oz轴的角动量为Lz = ∑ Liz = ∑ mi ri 2ω = (∑ mi ri 2 )ωi i i令J z = ∑mi rii2kg⋅ m2J z 为刚体对 Oz 轴的转动惯量比较：Lz = J z ωp = mvP.7转动惯量的定义式：J = ∑ mi rii2连续体的转动惯量：J = ∫ r dm2 V转动惯量的物理意义：反映刚体转动惯性的量度 转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体 的质量、质量分布以及转轴的位置有关。
P.8转动惯量的计算J ＝ ∑ m i ri 2i若质量连续分布 J = r 2 dm∫在（SI）中，J 的单位：kgm2dm为质量元，简称质元。
其计算方法如下：质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布dm = λ dlλ为质量的线密度。
σ为质量的面密度。
ρ为质量的体密度。
dm = σ dsdm = ρ dV面分布线分布体分布P.9对于质量连续分布的刚体：J = ∫ r dm = ∫ r ρdV2 2 V V（体质量分布） （面质量分布） （线质量分布）J = ∫ r dm = ∫ r σdS2 2 S SJ = ∫ r dm = ∫ r λdl2 2 L LP.10例的细棒绕一端的转动惯量。
刚体和流体
y
角动量的方向: 位矢和动量的矢积方向. 特例: 如果质点绕参考点O作圆周运动
v p
O
L = r p = mv r
注意: 1.角动量与所取的惯性系有关. 2.角动量与参考点O的位置有关.
v r
第三章 刚体力学基础
质点对定轴的角动量
v v v v v L = r × p = r × mv
L = mvr = mr 2ω = Jω
(原点O在棒的左端点)
第三章 刚体力学基础
例题2: 一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中心并与 盘面垂直的轴的转动惯量. 解: dm = σdS = σ 2 π rdr
J = ∫ r dm = 2 πσ ∫ r dr
2
3
J = 2πσ ∫ r dr
3
R
R
r O
dr
πσ R 1 2 = = mR 2 2
v v v 加速度: 合外力矩: M z = ∑ ri × Fi v v v v v M z = ∑ ∆mi ri × aiτ + ∑ ∆mi ri × ain
v第三章v刚体力学基础 v ai = aiτ + ain
v 2 v v v v v 其中: ri × ain = 0 ri × aiτ = ri aiτ sin 90°k = ri β k v v 2 M z = ∑ ∆mi ri β 转动惯量 J v v 转动定律: M z = Jβ
θ ( rad) 角位移: ∆θ , dθ dθ −1 ( rad ⋅ s ) 方向右旋 ω= dt v
第三章 刚体力学基础
线速度与角速度之间的关系
r v v v dv d ω v v dr a= = ×r +ω× dt dt dt v 2 v = β reτ + ω ren
第五章刚体与流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
在§1-3 中我们曾经把角速度的大小定义为
ω=dq /dt
（5-1）
刚体和流体
第五章刚体和流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
的 标亦运实像
坐 来会动并转
标 标非称不动
。 示常为固中
例 天缓岁定的
如 体慢差。陀
公 的地。而螺
元 位移所是一
26000 2000 0
平动和转动是刚体运动的最基本的形式。
刚体和流体
第五章刚体和流体
一般的运动可以分解为平动和转动的叠加。
刚体和流体
第五章刚体和流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
在刚体运动过程中，如果刚体上的任意一条直线始终保持 平行，这种运动就称为平动（translation）。根据这个定义 可以得出，既然刚体上的任意一条直线在刚体平动过程中 始终保持平行，那么直线上所有的点应有完全相同的位移、 速度和加速度。又因为这条直线是任意的，故可断定，在 平动过程中， 刚体上所有的点的运动是完全相同的，它们 具有相同的位移、速度和加速度。既然如此， 我们就可以
我们可以约定，以下所提及的外力都认为是处于转动平 面内的。
刚体和流体
第五章刚体和流体
假设作用于以z轴为转轴的刚体上的多个外力分别是F1、 F2、…、Fn，让我们先考虑其中的Fi 对刚体的作用。如 图5-6所示。 外力Fi作用于刚体上的点P。 过点P作垂直 于z轴的平面，交z轴于点O。 显然这个平面就是刚体的 一个转动平面。在此平面内， 点P相对于点O的位置矢 量为ri ， ri 与Fi的夹角为fi。在dt时间内，刚体转过了 dq角。与此相对应，点P的位移为dri 。在此过程中。 外力Fi所作的元功为
第章流体运动的基本概念
v(a,b,c,t)a(a,b,c,t) t
(2-17)
但在欧拉法中，由于流体物理量被表示成空间坐标和
时间的函数，质点导数的概念因此稍稍有些复杂。下面以
速度为例来分析欧拉法的质点导数。
如图2-3所示，假定在直角坐标 系中存在速度场v(x,y,z,t)。设在时 刻 t 和空间点P(x,y,z)处，流体质
vxv tvyv tvzv tv t x y z t
(vxvvyvvzvv)t x y z t
注意矢量运算公式
vvvxvvyvvzv，其中，
x y z
矢量算子 i jk 。于是质点的速度增量可以
x y z
表示为 v(vvv)t
(2-23)
t
于是，从式(2-16)得到速度的质点导数——加速度
ali m v v v v vx v vy v vz v v t 0 t t x y z t
其中，c1,c2,c3是积分常数，由 t t0时的 (a,b,c)决
定。于是得到
x x ( a , b , c , t ) y , y ( a , b , c , t ) z , z ( a , b , c , t )
并代入欧拉法表达式 (x,y,z,t)后就得到该物理量 的拉格郎日法表达式 (a,b,c,t) 。
r x y i z j k r (a ,b ,c ,t) (2-6)
式(2-5)和式(2-6)就是流体质点的运动轨迹方程，既 迹线方程。
除了空间位置以外，流体的其他运动参数和物理量 也应该表示成拉格郎日变量的函数，例如：流体速度
v r t x ti y tj z tk v x i v yj v zk
2.3 迹线和流线
2.3.1 迹线 流体质点的运动轨迹称为迹线。 前面已经提到，拉格郎日法表示的式（2-3）就是迹 线的参数方程，即
刚体和流体
质量为面分布 质量为体分布
dm dl
dm ds质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
体分布
18
对于质量连续分布的刚体：
J r dm r dV
2 2 V V
J r dm r dS
2 2 S S
（面质量分布） （线质量分布）
J r dm R
2
2
另解 J R 2
2π R
0
m d l R2m 2 πR
m
0
d m m R2
dm
O
R
m1
思考1. 环上加一质量为m1的质点, J1 =? J1 = mR2+m1R2 思考2. 环上有一个x的缺口，J2=?
R
m 2 2 J 2 mR xR 2 πR
例5. 质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。 一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。
求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2） 绳子的张力。 1 1 2 a T Ma mg T ma 解：TR MR 2 2 R
mg 8 10 2 a 5 ms m M 2 88
1 l 2 1 2 2 J J c md ml m( ) ml 12 2 3
2
24
1.求圆绕轴L的 转动惯量 轴L
2.求正方形绕轴L的 转动惯量
轴L
o
25
（3）回转半径
设物体的总质量为m，刚体对给 定轴的转动惯量为J，则定义物 体对该转轴的回转半径rG为：
z
J rG m
rG
J mi ri
2
转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体 的质量、质量分布以及转轴的位置有关。
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刚体转动和流体运动
平动 刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同.
转动 刚体中所有点都绕某一直线作圆周运动.
力F 对转轴的力矩M =r ×F
刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零 M =∑M ij =0
由质点i 的切向运动方程F it +F it ′=Δm i ɑit 知F it r i +F it ′r i =Δm i r i 2α
所以∑F it r i +∑F it ′r i =∑(Δm i r i 2)α 又∑F it ′r i =0
所以∑F it r i =∑(Δm i r i 2)α
转动惯量J=∑Δm i r i 2
对于质量连续分布的物体J=∫r 2dm
转动定律 刚体绕定轴转动时,刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比.
M =J α
细棒(转动轴通过中心与棒垂直)J=ml 212 圆柱体(转动轴沿几何轴) J=
mR 22 薄圆环(转动轴沿几何轴)J=mR 2 圆筒(转动轴沿几何轴) J=m 2(R 12−R 22)
球体(转动轴沿几何轴) J=
2mR 25 细棒(转动轴通过棒的一端与棒垂直)J=ml 23 平行轴定理 J=J c +md 2
角动量L =r ×p =m r ×v
由F =
d(mv)dt 知r ×F =r ×d dt (mv) 又d dt (r ×m v )= r ×d dt (m v )+ dr dt ×m v dr dt ×v =v ×v =0
所以r ×F =d dt (r ×m v )
作用于质点的合力对参考点O 的力矩,等于质点对该点O 的角动量随时间的变化率 M=dL dt
冲量矩M dt
质点的角动量定理 对同一参考系O,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量. ∫Mdt t
2t 1=L 2-L 1 质点的角动量守恒定律 当质点所受对参考系O 的合力矩为零时,质点对参考点O 的角动量为一常矢量.
L= r ×m v 为常矢量(M =0)
由d L=M dt= J αdt 知∫dL=∫Jαdt=J ∫αdt
所以L =J ω
角动量定理 当转轴给定时,作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量. ∫Mdt t
2t 1=J 2ω2-J 1ω1
角动量守恒定律 如果物体所受的合外力矩等于零,或者不受外力矩的作用,物体的角动量保持不变.
J ω为常矢量
力矩做功 刚体在外力矩的作用下绕定轴转动而发生角位移.
dW=Mdθ
W=∫Mdθ
力矩的功率 P=dW dt =M dθdt =Mω
由12Δm i v i 2=12Δm i r i 2ω2知∑i 12Δm i r i 2ω2=12(∑i Δm i r i 2)ω2
转动动能E k =12
Jω2 由dW=Jαdθ=J dωdt dθ= J dθdt dω=Jωdω知W=∫dW=J ∫ωdωω2ω1=12Jω22-12Jω12 刚体绕定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所做的功等于刚体转动动能的增量.
W=E k2-E k1
刚体的平面平行运动动能等于质心的平动动能与刚体绕质心的转动动能之和.
E k =12mv c 2+12J c ω2 流体连续性方程 ΔS 1v 1=ΔS 2v 2
伯努利方程 ρv 1
22+ρgh 1+p 1=ρv 2
22+ρgh 2+p 2
洛伦兹速度变换式 u x =
u x ′+v x 1+u x ′′v ′c 2 高速运动时
质量m=m 0(1−v 2c 2)12⁄ 动量p=m 0v (1−v 2c 2)12⁄ 动能E k =m 0c 2[1(1−v 2c 2)12⁄−1]
质量与能量的关系 E=mc 2。