第三章刚体和流体的运动
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第三章刚体和流体的运动(1)
J = ∫ r dm = 2πρL ∫
0
1 r dr = πρLR 4 2
3
M = ρπR 2 L
MR 2 J= 2
与圆柱的长度L无关！ 与圆柱的长度L无关！ 长度 决定刚体转动惯量的因素： 决定刚体转动惯量的因素： （1）刚体总质量（2）质量分布（3）给定轴的位置 刚体总质量（ 质量分布（
平行轴定理
转轴
转轴固定不动时： 转轴固定不动时：定轴转动 刚体内各个质点在运动中 都绕同一直线做圆周运动
：转动
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自由度：决定系统在空间的位置所需要的独立坐标 数目。 位置所需要的独立坐标的 自由度：决定系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。
1 个 自 由 度 2 个 自 由 度 3 个 自 由 度
r
P
Fi sin ϕi + Fi ' sin θi = ∆mi riα
2
Fi ri sin ϕi + Fi ' ri sin θi = ∆mi ri α
对刚体内所有质点求和， 对刚体内所有质点求和，内力矩为零
dω ∑Fi ri sin ϕi = (∑∆mi ri )α Mz = (∑∆mi ri )α = Jα = J dt i
2
2
刚体在总外力矩的作用下，所获得的角加速度与总外力矩的 刚体在总外力矩的作用下，所获得的角加速度与总外力矩的 角加速度 大小成正比 正比， 转动惯量成反比。 大小成正比，与转动惯量成反比。
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平动（沿固定方向） 平动（沿固定方向） 位置：x 速度：v=dx/dt 加速度：a=dv/dt 质量：m 牛二律：F=ma
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第三章刚体和流体的运动(3)
M
o
m r u
解 分析可知,以棒和小球组成 的系统的角动量守恒。 由于碰撞前棒处于静止状态，所以 碰撞前系统的角动量就是小球的角 动 lmu ;
l
l
由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒获得的角速度为 ，所以碰撞后系统的角 ω 动量为
1 2 lmv + Ml ω 3
由角动量守恒定律得
1 2 lmu = lmv + Ml ω 3
AG环 = 6mgR
Jω 2 AG = 2 AG杆 = 2mgR
mL2 4mR 2 转动惯量： 转动惯量： J 杆 = = 3 3 mR 2 19mR 2 2 平行轴定理： 平行轴定理： J 环 = + m ⋅ (3R) = 2 2
J = J杆 + J环
代入数据，可解得：
ω = 9.82rad / s
要保证小球回跳v
< 0，则必须保证 M > 3m。
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3 流体的运动
在公寓楼里养的猫常喜 欢在窗台上睡觉。 欢在窗台上睡觉。如果一只 猫不慎从七层或八层楼以上 掉到人行道上， 掉到人行道上，那它受伤的 程度是随着高度的增加而减 小的。（甚至有一只猫从32 。（甚至有一只猫从 小的。（甚至有一只猫从32 层高楼上落下只有胸部和一 颗牙受点轻伤的记录） 颗牙受点轻伤的记录） 危险是如何随着高度增 加而减小的呢？ 加而减小的呢？
一个高度为H的圆筒形烟囱由于基部损坏而倒下。烟囱可以当做细杆处理，令烟 囱与竖直方向成角度θ，重力加速度为g。求（1）烟囱的角速率，（2）烟囱顶 端的径向加速度和切向加速度。 定轴转动定律（ 解：定轴转动定律（转动中的牛顿第二定律） 定轴转动定律 转动中的牛顿第二定律）
第三章刚体运动学和流体运动学
v v 0 at
质点匀变速直线运动
刚体绕定轴作匀变速转动
2、相对定轴的力矩
若外力F在转动平面内， 力矩为
M
z
M
M r F
M Fr sin Fd
若F不在转动平面内，
O
r
z
F
d
* P
M z r F
F F F
m F dt
M d W M d
M I
I M dt
F dt P P
0
M dt L L
M d
0
1 1 2 2 F d x m v m v 0 2 2
1 2 1 2 I I 0 2 2
3-4 刚体的平面平行运动
刚体的平面平行运动可以看做基点的平动与相 对于通过基点并垂直于平面的轴的转动的叠加。
解二 用角动量定理
d
r dr
2 M f mgR 3 M f t 0 I0 3 R0 t 4 g
R
e
例3以水平力 f 打击悬挂在P点的 刚体，打击点为 O，若打击 点选择合适，则打击过程中 轴对刚体的切向力 Ft 为 0, 该 点称为打击中心。设刚体的 回转半径为 Rg ，求打击中心 到轴的距离rO 。 解 刚体所受力矩 M frO 设刚体转动惯量为
例2 一半径为R、质量为 m 的匀质圆盘，平放在粗 糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令 圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋 转，问它经过多少时间才停止转动？
R d
r dr e
解一 每个质元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩 是rdmg 。
圆盘所受阻力矩
质点匀变速直线运动
刚体绕定轴作匀变速转动
2、相对定轴的力矩
若外力F在转动平面内， 力矩为
M
z
M
M r F
M Fr sin Fd
若F不在转动平面内，
O
r
z
F
d
* P
M z r F
F F F
m F dt
M d W M d
M I
I M dt
F dt P P
0
M dt L L
M d
0
1 1 2 2 F d x m v m v 0 2 2
1 2 1 2 I I 0 2 2
3-4 刚体的平面平行运动
刚体的平面平行运动可以看做基点的平动与相 对于通过基点并垂直于平面的轴的转动的叠加。
解二 用角动量定理
d
r dr
2 M f mgR 3 M f t 0 I0 3 R0 t 4 g
R
e
例3以水平力 f 打击悬挂在P点的 刚体，打击点为 O，若打击 点选择合适，则打击过程中 轴对刚体的切向力 Ft 为 0, 该 点称为打击中心。设刚体的 回转半径为 Rg ，求打击中心 到轴的距离rO 。 解 刚体所受力矩 M frO 设刚体转动惯量为
例2 一半径为R、质量为 m 的匀质圆盘，平放在粗 糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令 圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋 转，问它经过多少时间才停止转动？
R d
r dr e
解一 每个质元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩 是rdmg 。
圆盘所受阻力矩
流体力学课件 第3章流体运动的基本原理
u u (x, y,z, t )
17
二、流场描述
1、迹线：某一质点在某一时段内的运动轨迹曲线。
例： 烟火、火箭、流星、子弹等轨迹线。。。。。
（1）拉格朗日法迹线方程
x x（a，b，c，t） y y（a，b，c，t）
z z（a，b，c，t）
消去参数t并给定（a，b，c）即得相应质点的迹线方 程。
说明：
*（a,b,c）=const, t为变数，可得某个指定质点在任意时刻
所处的位臵，上式即迹线方程； *（a,b,c）为变数,对应时刻 t可以得出某一瞬间不同质点 在空间的分布情况。
3、拉格朗日法的速度与加速度方程
（ 1） 流速方 程
x ux ； t y uy ； t z uz t 均为（a，b，c，t）的函数。
第三章 流体运动的基本原理
静止只是流体的一种特殊的存在形态，运动 或流动是流体更为普遍的存在形态，也更能反映 流体的本质特征。 本章主要讨论流体的运动特征（速度、加速 度等）和流体运动的描述方法，流体连续性方程、 动量守恒及能量守恒方程是研究流体运动的基础。
1
第一节、流体运动的描述方法
一、拉格朗日法（lj）
18
（2）欧拉法迹线方程 若质点P在时间dt内从A点运
Z
A
B
动到B点，则质点移动速度为：
u dr dt
O
Y
得迹线方程:
dx dy dz dt ux uy uz
2、流线
表示某一瞬时流体各点流动 趋势的曲线，其上任一点的切线 方向与该点流速方向重合。即同 一时刻不同质点的速度方向线。
根据行列式的性质，有：
22
流线微分方程
dx dy dz u x u y uz
刚体和流体
y
角动量的方向: 位矢和动量的矢积方向. 特例: 如果质点绕参考点O作圆周运动
v p
O
L = r p = mv r
注意: 1.角动量与所取的惯性系有关. 2.角动量与参考点O的位置有关.
v r
第三章 刚体力学基础
质点对定轴的角动量
v v v v v L = r × p = r × mv
L = mvr = mr 2ω = Jω
(原点O在棒的左端点)
第三章 刚体力学基础
例题2: 一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中心并与 盘面垂直的轴的转动惯量. 解: dm = σdS = σ 2 π rdr
J = ∫ r dm = 2 πσ ∫ r dr
2
3
J = 2πσ ∫ r dr
3
R
R
r O
dr
πσ R 1 2 = = mR 2 2
v v v 加速度: 合外力矩: M z = ∑ ri × Fi v v v v v M z = ∑ ∆mi ri × aiτ + ∑ ∆mi ri × ain
v第三章v刚体力学基础 v ai = aiτ + ain
v 2 v v v v v 其中: ri × ain = 0 ri × aiτ = ri aiτ sin 90°k = ri β k v v 2 M z = ∑ ∆mi ri β 转动惯量 J v v 转动定律: M z = Jβ
θ ( rad) 角位移: ∆θ , dθ dθ −1 ( rad ⋅ s ) 方向右旋 ω= dt v
第三章 刚体力学基础
线速度与角速度之间的关系
r v v v dv d ω v v dr a= = ×r +ω× dt dt dt v 2 v = β reτ + ω ren
第3章 刚体和流体的运动
特点： ⑴ 刚体上各点在垂直转轴的平面内作圆周运动；
⑵ 刚体上各点的
、、均相同。
可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转动的叠加 。
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◆转动: 可分为定轴转动和定点转动。
▲
定轴转动： 运动中各质元均做圆周运动， 且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。 ▲ 定点转动： 运动中刚体上只有一点固定不动，
i i i
称为刚体对转轴的转动惯量。
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d M z J J dt
刚体定轴转动定律：刚体在作定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动 惯量成反比。 与平动定律比较：
dv F ma m dt
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刚体 × 基点O 瞬时轴
d v d d r a r dt dt dt
r v
旋转加速度 向轴加速度
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角量： 角位移
d 角速度 dt d 角加速度 dt
对于匀角加速转动，则有： 匀加速直线运动：
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例 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。（与环盘同一平面内）
解：
(1) 圆环：
dm
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(2) 圆盘：
o r R
dm
可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
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一. 常用的几种转动惯量表示式
大学物理3-0刚体和流体的运动
一 掌握刚体绕定轴的转动定律，理解转动惯 量的概念. 二 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在 有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒 定律． 三 掌握刚体绕定轴转动的角动量守恒定理及 其适用条件. 四 方程. 理解学基本要求
§3-1 刚体模型及其运动
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 §3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律 §3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 混沌 §3-7 牛顿力学的内在随机性
本章目录 §3-0 教学基本要求
§3-1 刚体模型及其运动
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 §3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律 §3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 混沌 §3-7 牛顿力学的内在随机性
§3-0 教学基本要求
§3-1 刚体模型及其运动
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 §3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律 §3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 混沌 §3-7 牛顿力学的内在随机性
本章目录 §3-0 教学基本要求
§3-1 刚体模型及其运动
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 §3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律 §3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 混沌 §3-7 牛顿力学的内在随机性
§3-0 教学基本要求
刚体和流体
质量为线分布
质量为面分布 质量为体分布
dm dl
dm ds质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
体分布
18
对于质量连续分布的刚体：
J r dm r dV
2 2 V V
J r dm r dS
2 2 S S
（面质量分布） （线质量分布）
J r dm R
2
2
另解 J R 2
2π R
0
m d l R2m 2 πR
m
0
d m m R2
dm
O
R
m1
思考1. 环上加一质量为m1的质点, J1 =? J1 = mR2+m1R2 思考2. 环上有一个x的缺口，J2=?
R
m 2 2 J 2 mR xR 2 πR
例5. 质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。 一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。
求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2） 绳子的张力。 1 1 2 a T Ma mg T ma 解：TR MR 2 2 R
mg 8 10 2 a 5 ms m M 2 88
1 l 2 1 2 2 J J c md ml m( ) ml 12 2 3
2
24
1.求圆绕轴L的 转动惯量 轴L
2.求正方形绕轴L的 转动惯量
轴L
o
25
（3）回转半径
设物体的总质量为m，刚体对给 定轴的转动惯量为J，则定义物 体对该转轴的回转半径rG为：
z
J rG m
rG
J mi ri
2
转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体 的质量、质量分布以及转轴的位置有关。
质量为面分布 质量为体分布
dm dl
dm ds质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
体分布
18
对于质量连续分布的刚体：
J r dm r dV
2 2 V V
J r dm r dS
2 2 S S
（面质量分布） （线质量分布）
J r dm R
2
2
另解 J R 2
2π R
0
m d l R2m 2 πR
m
0
d m m R2
dm
O
R
m1
思考1. 环上加一质量为m1的质点, J1 =? J1 = mR2+m1R2 思考2. 环上有一个x的缺口，J2=?
R
m 2 2 J 2 mR xR 2 πR
例5. 质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。 一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。
求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2） 绳子的张力。 1 1 2 a T Ma mg T ma 解：TR MR 2 2 R
mg 8 10 2 a 5 ms m M 2 88
1 l 2 1 2 2 J J c md ml m( ) ml 12 2 3
2
24
1.求圆绕轴L的 转动惯量 轴L
2.求正方形绕轴L的 转动惯量
轴L
o
25
（3）回转半径
设物体的总质量为m，刚体对给 定轴的转动惯量为J，则定义物 体对该转轴的回转半径rG为：
z
J rG m
rG
J mi ri
2
转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体 的质量、质量分布以及转轴的位置有关。
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问题： 定轴转动刚体的自由度是多少？
答案：1
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定理
一.力矩
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。
F F
力的大小、方向和力的作
F
用点相对于转轴位置，是
决定转动效果的几个重要
因素。
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用 M表示
M F dFsrin
z
M
F
r
P
d
z
F
M
F//
r
F
P
F在转动平面内
F不在转动平面内 只考虑垂直于转轴的作用力
力矩有大小和方向,是矢量
力矩矢量M可用矢径r和力F的矢积表示。
M r F
M方向垂至于r和 F 所构成平面。由右 手螺旋法则确定。
二 定轴转动定律
设有一质点系, 第i个质点的
位矢为 ri , 外力为 Fi , 内力为 fij , j( i j )
意义：物体有几个自由度，它的运 动定律就可归结为几个独立的方程式。
对于自由刚体，它既有平动又有转动，为了确 定刚体的位置，我们可先确定刚体质心的位置，这 需要三个平动自由度；然后取通过刚体质心的某一 轴线作转轴，为了确定该轴的空间取向，需要知道 该转轴与直角坐标系三个坐标轴之间的夹角α、β、 γ，但α、β、γ之间存在关系式cos2α+cos2β+cos2γ=1， 即α、β、γ三者中只有两个是独立的，因而，决定 刚体转轴所需自由度为2；最后，还需知道刚体绕 转轴转过的角度φ，故自由刚体的转动自由度为3， 总自由度为6．
dda 3 b2- t4 c3t 6 b- 1 tc2 2t d t d t 可见飞轮在作变速转动。
三. 自由度
决定这个系统在空间的位置所需要 的独立坐标的数目，叫做这个系统的自 由度数 。
例如： 一个质点在三维空间自由运 动时，决定其空间位置需三个独立坐标， 如直角坐标系的x，y，z，因此，自由 质点的自由度为3，这三个自由度叫平 动自由度．
lit m0 t
d dt
是矢量 .
方向： 与转向成右手螺旋关系。
r
图3-1
•角加速度
lim ω d ω
t0 t
dt
d 2θ
dt 2
角加速度为角速度对时间 t 的一次导数，或为角坐
标对时间 t 的二次导数。
单位：弧度/秒2，rad/s2, s-2 方向：角速度变化的方向。
0
0
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加 速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运 动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平 动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？
二.定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时,由于各质点 到转轴的距离不同,所以各质点的线 速度、加速度一般是不同的。
r
但由于各质点的相对位置保持不变, 所以描述各质点运动的角量,如角位移、 角速度和角加速度都是一样的。
图3-1
1 描述定轴转动刚体的运动的角量
• 角坐标： 角位移： 单位：rad
• 角速度
实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就 将物体视为刚体。
刚体的特征： (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。 无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形 状都始终保持不变。 (b)刚体有确定的形状和大小。 (c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。
二. 刚体的平动和转动
如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空是得
M
dL
dt
(3-2)
式(3-2)的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的 总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量 定理。
显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。
M
dL
dt
(3-3)
上式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴z方 向上的分量式为
Mz
dLz dt
d( J )
dt
(3-4)
按质点角动量定理，有
mi：r iF ir ij(ij)f ijd(r i d m it i)
对各质点求和，并注意到
(ri
fij)0
i
j(ij)
得
i
d riFi dti
(r imii )
i
d riFi dti
(r imii )
ri
Fi =M质点系所受的合外力矩
i
(ri mii )=L质点系的总角动量
如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速 度一定大，则错。
2 M M J J为瞬间作用规律。
一旦 M0，立刻 0，匀角速度转动。
(Lz=J)
上式称为物体定轴转动方程。
对定轴转动的刚体, J为常量, d /dt=, 故式(4-7)
又可写成
M=J
(3-5)
这就是刚体定轴转动定律，它是刚体定轴转动 的动力学方程 。
MJ 2 当 M一定时， 1
J
J是刚体转动惯性大小的量度
注意： 1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是
力矩，而不是力！
在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此
平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来
代表整个刚体的平动。
比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动 还是转动？
如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆 周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动 的,就称为定轴转动。
刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般 运动可看作是平动和转动的结合。
2 线量与角量之间的关系
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
r
ds
d
o
x
dsrd
•速度与角速度之间的关系
将 dsrd式两边同除 dt
ds r d dt dt
r r
•加速度与角加速度之间的关系
将质点的加速度
可分解为切向加速度 和法向加速度.
a
o
ran
at
由
a
d dt
an
本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴 转动。
核心内容： • 刚体的转动惯量 • 定轴转动的转动定理 • 定轴转动的功能原理 • 定轴转动的角动量守恒
这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。
§3-1 刚体模型及其运动
一. 刚体——力学中物体的一种理想模型。
刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。
2 r
a
d dt
r
d
dt
r
an
2 r
(r )2 r2
r
•若角加速度 =c(恒量)，则有
a
o
ran
a
o t
ot
1t2
2
2-o22
例3－1 一飞轮转过角度和时间关系为
a tb3 t-c4 t
式中a、b、c均为常量。求它的角加速度。
解：飞轮角速度表达式
da3b2t-4c3t
dt
角加速度是角速度对时间的导数表达式
答案：1
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定理
一.力矩
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。
F F
力的大小、方向和力的作
F
用点相对于转轴位置，是
决定转动效果的几个重要
因素。
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用 M表示
M F dFsrin
z
M
F
r
P
d
z
F
M
F//
r
F
P
F在转动平面内
F不在转动平面内 只考虑垂直于转轴的作用力
力矩有大小和方向,是矢量
力矩矢量M可用矢径r和力F的矢积表示。
M r F
M方向垂至于r和 F 所构成平面。由右 手螺旋法则确定。
二 定轴转动定律
设有一质点系, 第i个质点的
位矢为 ri , 外力为 Fi , 内力为 fij , j( i j )
意义：物体有几个自由度，它的运 动定律就可归结为几个独立的方程式。
对于自由刚体，它既有平动又有转动，为了确 定刚体的位置，我们可先确定刚体质心的位置，这 需要三个平动自由度；然后取通过刚体质心的某一 轴线作转轴，为了确定该轴的空间取向，需要知道 该转轴与直角坐标系三个坐标轴之间的夹角α、β、 γ，但α、β、γ之间存在关系式cos2α+cos2β+cos2γ=1， 即α、β、γ三者中只有两个是独立的，因而，决定 刚体转轴所需自由度为2；最后，还需知道刚体绕 转轴转过的角度φ，故自由刚体的转动自由度为3， 总自由度为6．
dda 3 b2- t4 c3t 6 b- 1 tc2 2t d t d t 可见飞轮在作变速转动。
三. 自由度
决定这个系统在空间的位置所需要 的独立坐标的数目，叫做这个系统的自 由度数 。
例如： 一个质点在三维空间自由运 动时，决定其空间位置需三个独立坐标， 如直角坐标系的x，y，z，因此，自由 质点的自由度为3，这三个自由度叫平 动自由度．
lit m0 t
d dt
是矢量 .
方向： 与转向成右手螺旋关系。
r
图3-1
•角加速度
lim ω d ω
t0 t
dt
d 2θ
dt 2
角加速度为角速度对时间 t 的一次导数，或为角坐
标对时间 t 的二次导数。
单位：弧度/秒2，rad/s2, s-2 方向：角速度变化的方向。
0
0
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加 速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运 动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平 动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？
二.定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时,由于各质点 到转轴的距离不同,所以各质点的线 速度、加速度一般是不同的。
r
但由于各质点的相对位置保持不变, 所以描述各质点运动的角量,如角位移、 角速度和角加速度都是一样的。
图3-1
1 描述定轴转动刚体的运动的角量
• 角坐标： 角位移： 单位：rad
• 角速度
实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就 将物体视为刚体。
刚体的特征： (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。 无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形 状都始终保持不变。 (b)刚体有确定的形状和大小。 (c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。
二. 刚体的平动和转动
如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空是得
M
dL
dt
(3-2)
式(3-2)的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的 总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量 定理。
显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。
M
dL
dt
(3-3)
上式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴z方 向上的分量式为
Mz
dLz dt
d( J )
dt
(3-4)
按质点角动量定理，有
mi：r iF ir ij(ij)f ijd(r i d m it i)
对各质点求和，并注意到
(ri
fij)0
i
j(ij)
得
i
d riFi dti
(r imii )
i
d riFi dti
(r imii )
ri
Fi =M质点系所受的合外力矩
i
(ri mii )=L质点系的总角动量
如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速 度一定大，则错。
2 M M J J为瞬间作用规律。
一旦 M0，立刻 0，匀角速度转动。
(Lz=J)
上式称为物体定轴转动方程。
对定轴转动的刚体, J为常量, d /dt=, 故式(4-7)
又可写成
M=J
(3-5)
这就是刚体定轴转动定律，它是刚体定轴转动 的动力学方程 。
MJ 2 当 M一定时， 1
J
J是刚体转动惯性大小的量度
注意： 1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是
力矩，而不是力！
在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此
平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来
代表整个刚体的平动。
比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动 还是转动？
如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆 周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动 的,就称为定轴转动。
刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般 运动可看作是平动和转动的结合。
2 线量与角量之间的关系
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
r
ds
d
o
x
dsrd
•速度与角速度之间的关系
将 dsrd式两边同除 dt
ds r d dt dt
r r
•加速度与角加速度之间的关系
将质点的加速度
可分解为切向加速度 和法向加速度.
a
o
ran
at
由
a
d dt
an
本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴 转动。
核心内容： • 刚体的转动惯量 • 定轴转动的转动定理 • 定轴转动的功能原理 • 定轴转动的角动量守恒
这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。
§3-1 刚体模型及其运动
一. 刚体——力学中物体的一种理想模型。
刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。
2 r
a
d dt
r
d
dt
r
an
2 r
(r )2 r2
r
•若角加速度 =c(恒量)，则有
a
o
ran
a
o t
ot
1t2
2
2-o22
例3－1 一飞轮转过角度和时间关系为
a tb3 t-c4 t
式中a、b、c均为常量。求它的角加速度。
解：飞轮角速度表达式
da3b2t-4c3t
dt
角加速度是角速度对时间的导数表达式