湖北省武汉市部分学校2018-2019学年高一上学期期末数学试题

绝密★启用前湖北省武汉市部分学校2018-2019学年高一上学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．sin(210)-的值为 A ．12-B ．12C ．D ．22．已知集合{}21,A y y x x Z ==-∈，{}sin ,B y y x x R ==∈，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}1,0-3．已知函数f （x ）2233x x log x x ⎧=⎨≥⎩，＜，，则f [f （2）]＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．要得到函数πsin(23y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位5．已知函数f （x ）＝ax |x |+bsinx +1，若f （3）＝2，则f （﹣3）＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1……订…………○…※※内※※答※※题※※……订…………○…6．下列关于函数f（x）＝tanx的说法正确的是（）A．是偶函数B．最小正周期为2πC．对称中心为（kπ，0），k∈Z D．f（4π）+f（34π）＝07．若sin76°＝m，则cos7°可用含m的式子表示为（）A B C D8．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别为（）A．ω＝1，φ3π=-B．ω＝1，φ6π=-C．ω＝2，φ3π=-D．ω＝2，φ6π=-9．已知函数f（x）220x xx x⎧≤=⎨⎩，，＞，若函数g（x）＝f（x）+x﹣a恰有一个零点，则实数a的取值范围（）A．（﹣∞，0] B．（1，+∞）C．[0，1）D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）10．如表为某港口在某季节中每天水深与时刻的关系：若该港口水深y（单位：m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y＝Asin（ωt+φ）+h来近似描述，则该港口在11：00的水深（单位：m）为（）A．4 B．5C．5D．311．已知函数f （x ）6404214x x x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪-⎩，＜，＞，若三个互不相同的正实数a ，b ，c 满足f （a ）＝f （b ）＝f （c ），则abc 的取值范围是（ ） A ．（0，16）B ．（4，24）C ．（16，24）D ．（0，24）12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（其中ω＞0，﹣π＜φ＜π），若该函数在区间（63ππ-，）上有最大值而无最小值，且满足f （6π-）+f （3π）＝0，则实数φ的取值范围是（ ） A ．（56π-，6π） B ．（23π-，3π） C ．（3π-，23π） D ．（6π-，56π）第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．设扇形的半径长为4cm ，面积为16cm 2，则其圆心角的弧度数是_____．14．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2+x ）＝f （2﹣x ），当0≤x ≤2时，f （x ）＝x 2，则f （10）＝_____．15．若sin （4πα+）13=，则24cos sin απα=-（）_____． 16．若函数f （x ）＝sin 211x x +-是区间[a ，+∞）上的单调函数，则实数a 的最小值为_____．三、解答题17．已tanθ＝3，求值： （1）23sin cos sin cos θθθθ-+；（2）sin 2θ+3sinθcosθ﹣2cos 2θ．18．已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （﹣3，1）． （1）求sinα的值；（2）已知角β为钝角，且满足cos （α+β）35=，求cosβ的值． 19．函数f （x ）＝（cosx ）cosx ．…………装…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※…………装…………○…………（1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）求函数在区间[75126ππ，]上的最小值，以及取得该最小值时x 的值． 20．已知函数f （x ）2222x x -=+．（1）求f （﹣1）+f （3）的值； （2）求证：f （x +1）为奇函数；（3）若锐角α满足f （2﹣sinα）+f （cosα）＞0，求α的取值范围．21．如图，OB 、CD 是两条互相平行的笔直公路，且均与笔直公路OC 垂直（公路宽度忽略不计），半径OC ＝1千米的扇形COA 为该市某一景点区域，当地政府为缓解景点周边的交通压力，欲在圆弧AC 上新增一个入口E （点E 不与A 、C 重合），并在E 点建一段与圆弧相切（E 为切点）的笔直公路与OB 、CD 分别交于M 、N ．当公路建成后，计划将所围成的区域在景点之外的部分建成停车场（图中阴影部分），设∠CON ＝θ，停车场面积为S 平方千米．（1）求函数S ＝f （θ）的解析式，并写出函数的定义域；（2）为对该计划进行可行性研究，需要预知所建停车场至少有多少面积，请计算当θ为何值时，S 有最小值，并求出该最小值．22．定义在R 上的两个函数f 1（x ）＝|sinx ﹣a |和f 2（x ）＝cos 2x ，其中a ∈R ． （1）当a ＝0时，若存在实数x 0使得f 1（x 0）＝f 2（x 0）＝k ，求实数k 的值； （2）设函数f （x ）＝f 1（x ）﹣f 2（x ），求f （x ）最小值g （a ）的表达式．参考答案1．B 【解析】 【详解】试题分析：由诱导公式得()()1sin 210sin 210sin 18030sin 302︒︒︒︒︒-=-=-+==，故选B ．考点：诱导公式． 2．D 【解析】 【分析】根据三角函数的值域与交集的运算求解即可. 【详解】{}{}sin ,|11B y y x x R y y ==∈=-≤≤,又{}{}21,1,0,3,8....A y y x x Z y ==-∈=-.故AB ={}1,0-.故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的值域以及集合的交集运算,属于基础题型. 3．B 【解析】 【分析】根据分段函数的表达式求解即可. 【详解】由题[]22(2)(2)(4)log 42f f f f ====.故选：B 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值,属于基础题型. 4．B 【解析】试题分析：sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此只需将函数y = sin2x 的图象向左平移6π个单位考点：三角函数图像平移 5．C 【解析】 【分析】根据函数的对称性求解即可. 【详解】由()sin 1f x ax x b x =++,()()()sin 1sin 1f x a x x b x ax x b x -=--+-+=--+. 故()()2f x f x +-=.又(3)2f =故(3)2(3)0f f -=-=.故选：C 【点睛】本题主要考查了函数性质的运用,属于基础题型. 6．D 【解析】 【分析】根据正切函数的图像与性质判断即可. 【详解】()tan f x x =为奇函数,最小正周期为π,对称中心为,0,2k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故A,B,C 错误. 又33()()tan tan 1104444f f ππππ+=+=-=.故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了正切函数的性质,属于基础题型. 7．B 【解析】 【分析】分析角度关系利用降幂公式求解即可.【详解】由题,cos14sin 76m ︒=︒=,又21cos14cos 7cos 72+︒︒=⇒=︒=. 故选：B 【点睛】本题主要考查了诱导公式与降幂公式的运用,属于基础题型. 8．D 【解析】 【分析】先利用周期求ω再代入最高点求得ϕ即可. 【详解】由题三角函数半个周期为362πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,故12==222ππωω⨯⇒.易得2A =, 又函数过2,23π⎛⎫⎪⎝⎭,故2sin(2)22,36k k Z ππϕϕπ⨯+=⇒=-+∈,又πϕπ-<<,故6πϕ=-.故选：D 【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解析式的方法,属于基础题型. 9．D 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图像再数形结合求()f x x a =-+ 只有一个交点的情况即可. 【详解】画出函数220()0x x f x x x ⎧≤=⎨⎩，，＞的图像,易得若()()g x f x x a =+-恰有一个零点则()f x x a =-+恰有一个根,即()f x 与y x a =-+恰有一个交点.故(](),01,a ∈-∞⋃+∞.故选：D 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,属于中等题型. 10．A 【解析】 【分析】根据表格可计算出对应的函数关系()sin y A t h ωϕ=++的解析式,再代入11t =计算即可.【详解】由表格知函数最大值为7,最小值为3.故73A h A h +=⎧⎨-+=⎩ ,即2,5A h == .又相邻两个最大值之间的距离为15312T =-=.故2126ππωω=⇒=.此时2sin 56y t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭,又当3t =时32sin 5=76y πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭,故22ππϕ+=, 即0ϕ=.故2sin 56y t π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故当11t=时, 112sin 546y π⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了正弦函数的实际运用,需要根据题意代入对应的点求解函数解析式,属于中等题型. 11．C 【解析】【分析】画出函数()f x 的图像再分析当()()()f a f b f c ==时的情况即可. 【详解】画出函数()f x 的图像,设()()()f a f b f c m ===,()0,3m ∈.则64421ca b m a b --+=-=-=.故1144a b ab a b ⎛⎫+=+⇒= ⎪⎝⎭.故4abc c =.又()4,6c ∈,故()416,24c ∈.故选：C 【点睛】本题主要考查了数形结合以及函数的综合运用,需要根据题意画出对应的函数图像,再分析abc 中的定量关系进行化简从而求得范围.属于中等题型.12．D 【解析】 【分析】根据题意可画图分析确定()f x 的周期,再列出在区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】由题该函数在区间（63ππ-，）上有最大值而无最小值可画出简图,又063f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故周期T 满足()236T T πππ=--⇒=.故22ππωω=⇒=.故()sin(2)f x x ϕ=+.又πϕπ-<<,故322325662262πππϕππϕπππϕ⎧<⨯+<⎪⎪⇒-<<⎨⎛⎫⎪-<⨯-+< ⎪⎪⎝⎭⎩ .故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦型函数图像的综合运用,需要根据题意列出端点处的函数对应的表达式求解.属于中等题型. 13．2． 【解析】 【分析】根据面积公式直接求解即可. 【详解】由题意,设圆心角的弧度数为α则2116422αα=⨯⇒=. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式,属于基础题型. 14．4 【解析】 【分析】根据奇函数以及()()22f x f x +=-,将(10)f 中自变量变换到[]0,2内求解即可. 【详解】因为奇函数()f x 满足()()22f x f x +=-,故(10)(28)(28)(6)(6)(24)(24)f f f f f f f =+=-=-=-=-+=--2(2)(2)24f f =--===.故答案为：4 【点睛】本题主要考查了函数性质求解函数值的问题,需要根据题中所给的性质将自变量转换到已知解析式的定义域中进行计算.属于中等题型. 15．23-【解析】 【分析】利用和差角以及二倍角公式展开求解即可. 【详解】)2222sin cos 2sin 4342cos sin απαααπα⎛⎫==+=-+=- ⎪⎝⎭-（）. 故答案为：23- 【点睛】本题主要考查了和差角公式以及二倍角公式等.属于中等题型. 16．2334ππ+-【解析】 【分析】 讨论211x x +-的单调性,再利用复合函数的单调性分析,利用恒成立问题的求解方法求解即可. 【详解】根据题意,f （x ）＝sin 211x x +-, 设t 211x x +=-,则y ＝sint , t 211x x +==-231x +-,在区间（1,+∞）上为减函数,且t ＞2在（1,+∞）上恒成立,y ＝sint 在区间[2,32π]上为减函数, 若函数f （x ）＝sin 211x x +-是区间[a ,+∞）上的单调函数,必有21312a a π+≤-, 解可得：a 2334ππ+≥-,即a 的最小值为2334ππ+-；故答案为：2334ππ+-【点睛】本题主要考查了三角函数的综合运用,需要根据题意分析自变量的范围以及单调性对正弦函数的影响等.属于中等题型. 17．（1）110（2）85【解析】 【分析】(1)上下同时除以cosθ再代入tanθ＝3求解即可.(2)将原式化简为222232sin sin cos cos sin cos θθθθθθ+-+再上下同时除以2cos θ代入tanθ＝3求解即可. 【详解】 （1）∵tanθ＝3,2232133133110sin cos tan sin cos tan θθθθθθ---===++⨯+,（2）sin 2θ+3sinθcosθ﹣2cos 2θ222232sin sin cos cos sin cos θθθθθθ+-=+, 22321tan tan tan θθθ+-=+, 9928915+-==+．【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及其运用等.属于基础题型.18．（1（2）【解析】【分析】(1)根据正弦值的定义求解即可.(2)根据凑角的方法得cosβ＝cos [（α+β）﹣α]再求解即可. 【详解】（1）由题意可知：sinα==；（2）由（1）可知cosα==,∴2παπ＜＜, ∵β为钝角,∴2πβπ＜＜,∴π＜α+β＜2π, ∵cos （α+β）35=,∴sin （α+β）45=-,∴cosβ＝cos [（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα50=- 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义求解以及余弦函数差角公式等.属于中等题型. 19．（1）函数的最小正周期为T =π，函数f （x ）的单调增区间为[k 36k ππππ-+，]，（k ∈Z ）（2）x 23π=时，f （x ）取得最小值12- 【解析】 【分析】(1)利用降幂公式与和差角公式将函数化简成()()sin f x A x B ωϕ=++ 的结构再求解即可.(2)根据三角函数图像性质求解即可. 【详解】（1）f （x ）＝cos 2x 212cos x +=+2x ＝sin （2x 6π+）12+ ∴函数的最小正周期为T 22π==π, 由2kπ2π-≤2x 6π+≤2kπ2π+（k ∈Z ）,解得k 36x k ππππ-≤≤+,∴函数f （x ）的单调增区间为[k 36k ππππ-+，],（k ∈Z ）；（2）当x ∈[712π,56π]时,可得：4112366x πππ≤+≤,∴当2x 362ππ+=时,即x 23π=时,f （x ）取得最小值12-．【点睛】本题主要考查了降幂公式与和差角公式化简三角函数的方法,同时也考查了根据函数图像与性质求最值的方法等.属于中等题型.20．（1）0（2）证明见解析（3）04πα∈（，）【解析】 【分析】(1)直接求解(1),(3)f f -求和即可.(2)令()(1)g x f x =+证明()()g x g x -=-即可.(3)根据()(1)g x f x =+的奇偶性与单调性化简f （2﹣sinα）+f （cosα）＞0求解即可. 【详解】（1）331355f f -=-=（），（）,故f （﹣1）+f （3）＝0； （2）证明：：令g （x ）＝f （x +1）,则2121x x g x -=+（）,此时21122112x xx xg x g x -----===-++（）（）, ∴函数g （x ）为奇函数,即f （x +1）为奇函数；（3）由（2）可得函数21212121x x xg x -==-++（）, 函数g （x ）的定义域为R ,任取x 1＜x 2∈R ,122112122222*********x x x x x x g x g x --=-=++++（）（）（）（）（）, ∵x 1＜x 2,∴12220x x -＜,则g （x 1）﹣g （x 2）＜0, ∴函数g （x ）在R 上为增函数,且f （2﹣sinα）＝g （1﹣sinα）,f （cosα）＝g （cosα﹣1）, ∴f （2﹣sinα）+f （cosα）＞0即为g （1﹣sinα）+g （cosα﹣1）＞0, 又∵奇函数g （x ）在R 上为增函数,∴1102sin cos πααα--∈＞，（，）,解得4πα∈（0，）．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性判定以及利用奇偶性与单调性求不等式的方法等.属于中等题型.21．（1）f （θ）11224tan sin πθθ=+-（），θ∈（0，4π）（2）6πθ=时，S 【解析】 【分析】(1) 连接OE ,根据平面几何的性质分析边角关系即可.(2)根据(1)中的函数表达式,令tanθ＝t ,再化简利用基本不等式,根据“一正二定三相等”的方法求得最小值以及取最小值时的角度大小即可. 【详解】（1）连接OE ,∵∠CON ＝θ,∴22EOM π∠θ=-,CN ＝NE ＝tanθ,OM 11222sin cos πθθ==-（）, ∴1122OMNC S tan sin θθ=+四边形（）, 则f （θ）11224tan sin πθθ=+-（）,θ∈（0,4π）； （2）由f （θ）11224tan sin πθθ=+-（）,θ∈（0,4π）． 令tanθ＝t ,θ∈（0,4π）,则t ∈（0,1）,则S 21131322443444t t t t t πππ+=+-=+-≥⋅=（）（）当且仅当13t t =,即t =时,S取得最小值为4π,此时tanθ=,6πθ=．【点睛】本题主要考查了三角函数在平面几何中的运用,同时也考查了利用基本不等式求解函数的最值问题等.属于中等题型.22．（1）k =（2）g （a ）＝25142514211122a a a a a a ⎧-⎪⎪⎪---⎨⎪⎪--≤≤⎪⎩，＞，＜，【解析】 【分析】(1)利用题目条件列出|sinx 0|＝cos 2x 0＝k ,再根据关于二次函数的复合函数方法求解即可. (2)分a ≥1, a ≤﹣1与﹣1＜a ＜1三种情况进行分析,同时结合正弦函数的取值范围进行讨论,再分段讨论函数的最值即可. 【详解】（1）当a ＝0时,f 1（x ）＝|sinx |,f 2（x ）＝cos 2x ； 由f 1（x 0）＝f 2（x 0）＝k ,得|sinx 0|＝cos 2x 0＝k , ∴|sinx 0|＝1﹣sin 2x 0＝120sinx -,解得|sinx 0|＝1|sinx 0|=,舍去）,所以k =； （2）由题意知,函数f （x ）＝f 1（x ）﹣f 2（x ）＝|sinx ﹣a |﹣cos 2x , ①当a ≥1时,f （x ）＝a ﹣sinx ﹣cos 2x ,即f （x ）＝sin 2x ﹣sinx +a ﹣1, 此时g （a ）＝f （x ）min 21122=-+（）a ﹣1＝a 54-； ②当a ≤﹣1时,f （x ）＝sinx ﹣a ﹣cos 2x ,即f （x ）＝sin 2x +sinx ﹣a ﹣1, 此时g （a ）＝f （x ）min 21122=---（）a ﹣1＝﹣a 54-； ③当﹣1＜a ＜1时,f （x ）2211sin x sinx a sinx asin x sinx a sinx a ⎧+--≥=⎨-+-⎩，，＜；若12＜a ＜1,则g （a ）＝f （x ）min 21122=-+（）a ﹣1＝a 54-； 若﹣1＜a 12-＜,则g （a ）＝f （x ）min 212=-+（）（12-）﹣a ﹣1＝﹣a 54-； 若1122a -≤≤,则g （a ）＝f （x ）min ＝a 2﹣a +a ﹣1＝a 2﹣1；综上知,f （x ）最小值g （a ）的表达式为g （a ）＝f （x ）min 25142514211122a a a a a a ⎧-⎪⎪⎪=---⎨⎪⎪--≤≤⎪⎩，＞，＜，．【点睛】本题主要考查了关于正弦函数的二次复合函数问题,包括二次函数的求根以及最值范围的问题以及分类讨论的思想等.属于难题.。