第一章 单纯形法的计算公式
第一章 线性规划及单纯形法3-单纯形法计算步骤
单纯形法的计算步骤如下：
第一步 找出一个基可行解 第四步 第二步 判断其是否最优 是 结束
否 第三步 转换到相邻的基可行解，并使目标函数值增大
第一步：求初始基可行解，列出初始单纯形表。 第二步：最优性检验。 第三步：从一个基可行解转换到相邻的目标函数值更大 的基可行解，列出新的单纯形表。 第四步：重复第二、三步，直到计算结束为止。
进基变量、离基变量、基变换
目标函数
约 束 条 件
基变量
=
右边常数
基矩阵
=
目标函数 约 束 条 件 进基变量
=
右边常数
=
离基变量
目标函数 约 束 条 件
=
右边常数
新的基矩阵
=
目标函数 约 束 条 件 进基变量
=
基矩阵
=
离基变量
目标函数 约 束 条 件
=
右边常数
新的基矩阵
=
例：用单纯形法求解线性规划问题
… …
cn xn
c1 c2 … cm
x1 x2 … xm cj - zj
b1 b2 … bm
1 0 … 0 0
… …
…
0 0 … 1 0
… …
…
a1j a2j … amj
… …
…
a1n a2n … amn
…
… cj - ciaij … cn-ciaij
第二步：最优性检验。 当所有的 j 0 时，且基变量中不含有人工变量，表明 表中基可行解的目标函数值比起相邻基可行解的目标函数值 都大，可以判定现有基可行解为最优解，计算结束。 当表中存在某个 j > 0，如果相应的 Pj 0 ，表明该线 性规划问题有无界解，计算结束。 否则，转下一步。 第三步：从一个基可行解转换到相邻的目标函数值更大 的基可行解，列出新的单纯形表。 1. 确定换入的基变量。 k=max {j | j > 0} 2. 确定换出的基变量。 min { bi | a 0} bl ik i aik alk
单纯形解法
线性规划问题解法：（1）图解法： 优点---只管易掌握，有助于理解结构。
缺点---只能解决低维的问题，对高维无能为力。
（2）单纯形法：单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解（即可行域顶点）中。
单纯形法的一般步骤如下：1、寻找一个初始的基本可行解。
2、检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优，则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。
3、移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解，然后转会到步骤（2）。
步骤1： 约束方程 表示为： 用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得： 若令所有非基变量 ，则基变量 由此可得初始的基本可行解：其过程为：存在问题：1、要判断m 个系数列向量是否恰好构成一个基并不是一件容易的事。
基由系数矩阵Ａ中m 个线性无关的系数列向量构成。
但是要判断m 个系数列向量是否线性无关并非易事。
2、即使系数矩阵Ａ中找到了一个基B ，也不能保证该基恰好是可行基。
因为不能保证基变量ＸB =Ｂ-1b ≥0。
3、为了求得基本可行解，必须求基Ｂ的逆阵Ｂ-1。
但是求逆阵Ｂ-1也是一件麻烦的事。
结论：在线性规划标准化过程中设法得到一个m 阶单位矩阵I 作为初始可行基Ｂ为了设法得到一个m 阶单位矩阵I 作为初始可行基Ｂ，可在规划标准化过程中作如下处理：1、若在化标准形式前，m 个约束方程都是“≤”的形式，那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变量x n+i (i=12…m)。
2、若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式，那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为人工变量．3、若在化标准形式前，约束方程中有等式方程，那么可以直接在等式左端添加人工变量。
【步骤一完成：寻找一个初始的基本可行解】 AX=bB B N N X AX=(BN)=BX +NX =bX ⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1B N X =B b-B NX N X =0-1B X =B b1B b X=0-⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1-1B N B N N B AX=b BX +NX =b X =B b-B NX X =0,X =B b→→→步骤2： 假如已求得一个基本可行解将这一基本可行解代入目标函数，可求得相应的目标函数值其中 分别表示基变量和非基变量所对应的价值系数子向量。
单纯形算法
1.3 单纯形算法
(4) P2,P3线性无关，选择(P2,P3)为基，x2,x3为基变量 可得 3x2-x3=8-2x1+4x4，令非基变量x1=x4=0,得 3x2-x3=8
-2x1+6x3=-3-x1+7x4
-2x2+6x3=-3
解得：x2=45/16,x3=7/16，基解x(2)=(0, 45/16, 7/16 ,0)T为可 行解。Z4=2×0+3×45/16+4×7/16+7×0=163/16
单纯形法是求解线性规划的主要算法，1947年由美 国斯坦福大学教授丹捷格提出。
尽管在其后的几十年中，又有一些算法问世，但单 纯形法以其简单实用的特色始终保持着绝对的“市场” 占有率。
1.3 单纯形算法
单纯形算法的基本思路
• 从某个角顶可行解开始---起步 • 向目标函数值更好的邻近可行顶点移动 • 判断此顶点是否为最优解：检查它是否比它的临
方法前提：模型化为标 准型
1.3 单纯形算法
1、确定初始基可行解
• 由于基可行解是由一个可行基决定的，因此，确定初始
基可行解 X 0 相当于确定一个初始可行基 B0 。
• 方法：若A中含有I，则 B0 =I;
若A中不含I，可用人工变量法构造一个I
问题：若 B0 =I，则 X 0 =?。 例1.1中的 X 0 =?
1.3 单纯形算法
(2) P1,P3线性无关，选择(P1,P3)为基，x1,x3为基变量
可得 2x1-x3=8-3x2+4x4，令非基变量x2=x4=0,得 2x1-x3=8
x1+6x3=-3+2x2+7x4
x1+6x3=-3
第一章 单纯形法的计算公式
X1 +2X2 +X3
=30
3X1 +2X2 +X4 =60
2X2
+X5 =24
Xj 0 ( j=1…5)
P1 P2 P3 P4 P5
1 2 100
A= 3 2 0 1 0
0 2 001
(1)、已知B= (P3 P4 P2)
验证：
1 0 -1
B-1 = 0 1 -1
,求λ1 , λA ,
~ P5
0 0 1/2
0
40 X1
15
1
0
X5
9
0
50 X2 15/2 0
0 -35/2 0 -1/2 0 -3/2 1 3/4
100
-15/2 1/2 1/2 -1/4
0 0
1 B4-1
0
100
B1= (P3 P4 P5)= 0 1 0 001
B1 -1 = 0 1 0 001
102 B2= (P3 P4 P2)= 0 1 2
0 0 1/2
-1 1 -1 3 1/2 0
0 -1 0 = -1 1 1/2
λA= C - CB B-1A=(40, 50, 0, 0, 0)1 0 -1 1 2 1 0 0
(0, 0, 50) 0 1 -1 3 2 0 1 0 0 0 1/2 0 2 0 0 1
12100 =(40, 50, 0, 0, 0) -(0 0 25) 3 2 0 1 0
002
1 0 -1 B2 -1 = 0 1 -1
0 0 1/2
(1)、只须存贮原始数据A、B、C，每步需知B-1 。 (2)、每步必须计算的数据
① 检验数
N = CBB-1N - CN
单纯形法的计算方法
第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。
但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。
这就是迭代,直到目标函数实现最大值或最小值为止。
4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。
（1）第一种情况：若线性规划问题max z =从Pj ( j = 1 , 2 , ⋯ , n)中一般能直接观察到存在一个初始可行基（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。
经过整理, 重新对 及 ( i = 1 , 2 , ⋯ , m; j = 1 , 2 , ⋯ , n)进行编号, 则可得下列方程组显然得到一个m×m单位矩阵以B 作为可行基。
将上面方程组的每个等式移项得令由上式得又因 ≥0, 所以得到一个初始基可行解（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。
即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后, 再加上一个非负的人工变量; 对于等式约束再加上一个非负的人工变量, 总能得到一个单位矩阵。
4.2 最优性检验和解的判别对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况, 为此需要建立对解的判别准则。
一般情况下, 经过迭代后可以得到：将上代入目标函数，整理后得令于是再令则(1) 最优解的判别定理若为对应于基B的一个基可行解，且对于一切 且有则 为最优解。
称为检验数。
(2) 无穷多最优解的判别定理若为一个基可行解， 且对于一切 且有 又存在某个非基变量的检验数，则线性规划问题有无穷多最优解。
(3) 无界解判别定理若为一个基可行解，有一个> 0 ,并且对i = 1 , 2 , ⋯, m,有≤0 , 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。
单纯形法的计算步骤例题
单纯形法的计算步骤例题
单纯形法是一种用于线性规划问题的求解方法，它通过不断地移动解空间中的顶点，逐步逼近最优解。
下面我将通过一个简单的例题来说明单纯形法的计算步骤。
考虑以下线性规划问题：
最大化目标函数Z = 3x1 + 4x2
约束条件：
2x1 + x2 <= 10
x1 + 2x2 <= 8
x1, x2 >= 0
首先，我们将这个线性规划问题转化为标准型，引入松弛变量将不等式约束转化为等式约束。
得到如下形式：
最大化目标函数Z = 3x1 + 4x2
约束条件：
2x1 + x2 + x3 = 10
x1 + 2x2 + x4 = 8
x1, x2, x3, x4 >= 0
然后，我们构建初始的单纯形表格，包括目标函数系数矩阵、系数矩阵、单位矩阵和右端常数向量。
初始单纯形表格如下：
基变量x1 x2 x3 x4 常数
x3 2 1 1 0 10
x4 1 2 0 1 8
Z -3 -4 0 0 0
接下来，我们通过单纯形法进行迭代计算，每次迭代都要找到一个入基变量和一个出基变量，然后更新单纯形表格，直到满足最优解的条件。
在这个例子中，我们不再继续举例，因为单纯形法的计算步骤较为复杂，需要逐步进行迭代计算。
希望这个简单的介绍对你有所帮助。
单纯形法
四、单纯形法的实现——单纯形表
例1：煤电油例 Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2≤360 化为标准型 s.t. 4x1 +5x2 ≤200 3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0 s.t. Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2 +x3 4x1 +5x2 3 x1 +10x2 x1 ,…,x5≥0 +x4 =360 = 200
•
“≥”型约束，减松弛变量；
练习1.3 请将例1.1的约束化为标准型
Maxz = 7 x1 + 12 x 2 ⎧9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 ⎪4 x1 + 5 x 2 ≤ 200 s.t.⎨ 3x1 + 10 x 2 ≤ 300 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2
则约束化为
= 360 ⎧9 x1 + 4 x 2 + x3 ⎪4 x + 5 x 2 + x4 = 200 s.t.⎨ 1 3 x1 + 10 x 2 + x5 = 300 ⎪x , x , x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 4 5
例4 下面为某线性规划的约束
=1 ⎧ x1 + 2 x2 + x3 ⎪ + x4 = 3 ⎨2 x1 − x2 ⎪ x1 , , x4 ≥ 0 ⎩ 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
解：
本例中， A = ⎡1 2 1 0⎤，A中的2阶可逆子阵有 ⎢ 2 − 1 0 1⎥ ⎦ ⎣
问题：本例的A中一共有几个基？—— 6个。
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一般地，记松弛变量的向量为 X s，则
单纯形法的计算步骤及应用
（4-16）
（4-17）
bi' bi
bl ai ,k ( i 1,2, , n; i l ) al ,k
这样经过变换以后就得到了新的增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,k 1 a l ,k 1 0 al ,k a m ,k 0 a l ,k 0 a
单纯形法介绍及相关问题
标准型线性规划问题 max s=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
an1x1+an2x2+…+annxn=bn xj≥0(j=1,2,…,n)
单纯形法介绍及相关问题
例1 已知约束如下
（4-11）
单纯形法介绍及相关问题
2、基本可行解之间的迭代
在讨论中我们假设对方程组（4-10）的系数增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,m1 1 1 al ,m1 1 am ,m1
a1,m1 a1,n al ,m1 al ,n am ,m1 am ,n
' a1 ,m 1 ' 0 a1 ,n
' l ,m 1
0
1 al' ,n
1 a'm ,m 1 0 a'm ,n
' b1 bl' ' bm
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(2)、 λ3 = -40 ,λ4= 0 、 1 -3 0 -1 2 1/2
P3 =
P5 =
40
X1 CB XB X3 X4 X5 XB
50
X2
0
X3
0
X4
0
X5
0 30 60 24 600 6 36 12 840 6 18 12
40 1 3 0 +40 (1) 3 0 0 1 0 0
50 2 2 (2) 0 0 0 1 0 0 0 1
0
-4 3 2 0
-1 0
6-M -2 -4 1
0
4-M -3 -2 0
1
0 0
6 4 CB
0 0 1
0
0 0 0
1 0
180 2 16 14
24
0 0 0 1
0
-4/3 1/3 -2/3 0
1/3
0 0 1 0
0
-M-10/3 -M
0 0
6 4
0 0 0
1
1 0 0
0
-2/3 -8/3 1
-2/3
X B 称为最优解
X B = B 1b ≥ 0
σ N = C N C B B 1 N ≤ 0
单纯形表矩阵形式（P26） 单纯形表矩阵形式（P26）
等式右边b 等式右边 XB 检验数 b 0 基变量X 基变量 B B CB 基变量XB 基变量 E 非基变量X 非基变量 N N
CN
非基变量XN 非基变量 B－1N
T
非基阵
a1m + 2 a2 m + 2 amm + 2
非 基 向 量
x2 xm )
X N = (xm +1
xm + 2 xn )
基变量
非基变量
A = (B N )
AX = b
XB X = X N
BX B + NX N = b
(B
XB N ) X =b N
BX B = b NX N
6
X1 CB XB X3 X4 X6 X7 XB X3 X4 X1 X7
4
X2 M +4
0
X3
0
X4
0
X5
- M
X6
- M
X7
-36 M 100 120 14
22
M +6
0 1 0 0
0
0 0 1 0
0
- M 0 0 0
-1
0 0 0 1
0 6-M
0 0 0 0
1 0
0 0
-M -M CB
2 4 1
-1 0 0
-2
课后练习题1.13－1.17
n! = 个。 m!(n m )!
XB Z = CX = (C B , C N ) X N = CB X B + CN X N = C B ( B 1b B 1 NX N ) + C N X N = C B B 1b + (C N C B B 1 N ) X N
若B满足下列条件，称为最优基 满足下列条件， 满足下列条件
a1n a2n a mn
a1n a2 n amn
T
基阵
a11 a21 B= 基 a 向 m1 量 X B = (x1 a12 a22 am 2 a1m a1m +1 a2 m a2 m +1 N = a amm mm +1
maxZ=CX 规范形式： 规范形式： AX ≤ b X≥0 令A′=(A E) C′=(C O)
maxZ=CX+0X′ AX+EX′= b X, X′≥0
C′- CB B-1 A′=(C O)- CB B-1 (A E) =(C-CB B-1 A B-1 A′= B-1(A E)=(B-1 A B-1 E) O-CB B-1 )
X B = B 1b B 1 NX N
XB X = X N
令 则 XN = 0
B 1b B 1 NX N X = XN
B 1b X = 0
在约束方程组(2) 定义 在约束方程组 中，对于 一个选定的基B，令所有的非基变 一个选定的基 ， 量为零得到的解，称为相应于基B 量为零得到的解，称为相应于基 的基本解。 的基本解。
0 0 0 1
-35/2 -1/2 -3/2 3/4
-15/2 1/2 1/2 -1/4
0 0 1 0
40 0 50
X1 X5 X2
B4-1
1 0 0 B1= (P3 P4 P5)= 0 1 0 0 0 1 1 0 2 B2= (P3 P4 P2)= 0 1 2 0 0 2
1 0 0 B1 -1 = 0 1 0 0 0 1 1 0 -1 B2 -1 = 0 1 -1 0 0 1/2
0
3 2 0
1 M+4
84-22M 72 64 14
220 0Leabharlann 0 100 1 0 0
0
0 0 1 0
0
-M 0 0 0
-1
0 0
6 -M
3 2 0
1
-2 -4 1
0
0 0 0
1
CB
XB X3 X4 X1 X2 XB X5 X4 X1 X2
172 6 20 14
22
0
0
0 1 0 0
0
0 0 1 0
(1)、只须存贮原始数据 、B、C，每步需知 -1 。 只须存贮原始数据A 每步需知B (2)、每步必须计算的数据 ① 检验数
λN = CBB-1N - CN
CBB-1 =π 单纯形乘子
② 当某个λm+k﹥ 0时，需关键列： 时 需关键列：
a1m+k Pm+k = B-1Pm+k = amm+k ③ 基变量 B = B-1b = 基变量X b1 … bm 比值法得主元a 由② 、③，用最小θ 比值法得主元 rm+k 主元已知，新基B确定 返回(1) 确定。 ④ 主元已知，新基 确定。返回 …
0 1 0 0 0 1 0 0 -40 1 -3 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 -25 -1 -1 1/2 15 -1 2 1/2
0 0 0 0 0 50 40 0 50
B1-1
X3 X4 X2
B2-1
X1 X4 X2
B3-1
XB
975 15 9 15/2
0 1 0 0
在基本解中，若该基本解满足非负约束， 定义 在基本解中，若该基本解满足非负约束， 即 X B = B 1b ≥ 0，则称此基本解为基本可行解， 对应的基B称为 简称基可行解；对应的基 称为可行基。 基本解中最多有m个非零分量。 基本解中最多有 个非零分量。 个非零分量 基本解的数目不超过 C
m n
-Ys
-Y
例： maxZ=40X1 +50X2 X1 +2X2 +X3 3X1 +2X2 2X2 P1 1 A= 3 0 P2 2 2 2 +X4 =30 =60
+X5 =24 P3 1 0 0 P4 0 1 0 P5 0 0 1
Xj ≥0 ( j=1…5)
(1)、已知B= (P3 P4 P2) 、已知 验证： 验证： B-1 = 1 0 0 (2)、B= (P1 P4 P2) 、 验证： 验证： B-1 = 1 -3 0 0 1 0 -1 2 1/2 ,求λ3 , λ4, 求 ~ ~ P3 P5 0 1 0 -1 -1 1/2 ,求λ1 , λA , 求 ~ P5
单纯形法的矩阵描述
单纯形法的矩阵表示 标准型 maxZ=CX AX=b X≥0 已知： 已知：A、b、c A=(B N)
a11 a 21 A= a m1
a12 a 22
a1m a2m
a1m+1 a 2 m +1 a mm +1
a1m+ 2 a 2 m+ 2 a mm + 2
a m 2 a mm
XB 检验数
等式右边b 等式右边 B－1b 或者 等式右边b 等式右边
CB B－1b(即Z) 0 即 变量X 变量 B－1A
CN - CBB-1 N
XB 检验数
B－1b CB B－1b(即Z) 即
C - CBB-1 A
C - CBB-1A= (CN CB )- CBB-1 (NB ) = (CN - CBB-1N, CB -CBB-1B) B-1A= B-1(N B )= (B-1N, B-1B) 单个检验数： 单个检验数：λj = Cj - CBB-1 Pj 某列 Pj = B-1 Pj
例: maxZ=6X1 +4X2 2X1 +3X2 ≤ 100 4X1 +2X2 ≤ 120 X1 =14 X2 ≥ 22 X1 X2 ≥0 maxZ=6X1 +4X2 -MX6 -MX7 2X1 +3X2 +X3 = 100 4X1 +2X2 +X4 = 120 X1 +X6 =14 X2 -X5+X7 =22 X1 … X7 ≥0
(1)、 、 λ1 =C1 - CB B-1P1 =40 -(0 0 5 0)
1 0 0
0 1 0
-1 -1 1/2
1 3 0
1 = 40 -(0,0,25) 3 =40 0 1 ~ P5 = B-1P5 = 0 0 0 1 0 -1 -1 1/2 -1 0 0 = -1 1/2 1
λA= C - CB B-1A=(40, 50, 0, 0, 0)1 0 -1 (0, 0, 50) 0 1 -1 0 0 1/2 1 2 1 0 0 3 2 0 1 0 0 2 0 0 1 1 2 1 0 0 =(40, 50, 0, 0, 0) -(0 0 25) 3 2 0 1 0 0 2 0 0 1 = (40, 50, 0, 0, 0) -(0, 50, 0, 0, 25) = (40, 0, 0, 0, -25)