高二数学 向量的坐标表示及其运算
空间向量及其运算的坐标表示课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
定理，存在唯一的有序数组(x，y，z)，使 OA xi y j z k .
在单位正交基底 { i ，j ，k } 下与向量对应
z
的有序数组(x，y，z)，叫做点A在空间直
A
角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其
6.平面向量的夹角余弦值如何用坐标表示？
x1 x2 y1 y2
a b
cos
.
2
2
2
2
| a || b |
x1 y1 x2 y2
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(1)＋＝
Ԧ
．
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(2)－＝
Ԧ
(λa1，λa2，λa3)
(3)λ＝
Ԧ
(λ∈R)．
a1b1＋a2b2＋a3b3
(4)·＝
Ԧ
.
∙
＝(a
Ԧ
1，a2，a3)＝a1i＋a2j＋a3k，＝(b1，b2，b3)
＝b1i＋b2j＋b3k，所以 ·＝(a
中x 叫做点A 的横坐标、y 叫做点A 纵坐标、
O
z 叫做点A 竖坐标.
x
y
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量 a ，作 OA a ，由空间向量基
本定理，存在唯一的有序数组(x，y，z)，使 a xi y j z k .
有序实数组(x，y，z)叫做 a 在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可
高二数学空间向量运算的坐标表示
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a (a1 , a2 , a3 ),( R) ;
F A1 B1 E D1 C1
D
C
A
B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC 中， CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值； 3)求证：A1B C1M。
（3）当cos a , b 0 时，a b 。 思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0时， 的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ;
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4
A
x
1 3 BE1 1, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 , 4 4
（1）线段 AB 的中点坐标和长度； 解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则
高二数学平面向量的正交分解及坐标表示
5向量平行的坐标表示：
AB=(x2 - x1 , y2 – y1 )
若向量 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 a // b的充要条件是x1 y2 x2 y1 0
课堂练习:
1、向量a=(n,1),b=(4,n) 共线且方向相同， 则n =（C） 1 1 A. B.± C.2 D.±2 2 2
2 2
a (6,8)或a (6,8)
课堂练习:
1、已知两点A(0,2)，B(2,0)，则与向量AB 同向量的单位向量是（ B）
2 2 A.( , ) 2 2
2 2 B.( , ) 2 2
2 2 C.( , ) 2 2
2 2 D.( , ) 2 2
2、已知a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b 且u∥v,求x,
20 5 5 2 5 20 5 5 2 5 d ( , )或( , ) 5 5 5 5
向量坐标定义
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y 轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量 a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
AB ( x2 x1, y2 y1 )
| AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2 2
练习:
1、下列向量中不是单位向量的有（B ）
① a= (cos , sin ) ② b= (
3.2空间向量运算的坐标表示及应用(模与夹角)课件高二上学期数学北师大版选择性
例 1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°， 棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. （2）求△BMN的面积.
解答：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图.
例 2 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1， BD，BB1的中点. （1）求证：EF⊥CF；
向量夹角的坐标表示
一一对应
向量的运算
a＋b =（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2） a－b =（x1－x2，y1－y2，z1－z2） λa =（λx1，λy1，λz1）
a·b =x1x2＋y1y2＋z1z2
向量的平行与垂直
环节一
空间向量长度和 夹角的坐标表示
1、空间向量长度和夹角的坐标表示
回顾：在平面向量中我们如何求向量的长度？
求模先平方 求模小勾股
求模先平方 求模小勾股
1、空间向量长度和夹角的坐标表示
求向量的模首先要用坐标表示出该向量！
推广：
1、空间向量长度和夹角的坐标表示
求哪两个向量的夹角的余弦值，用哪两个向量的数量积除以 它们的模积
例 1 若向量a＝（1，－1，2），b＝（2，1，－3），则｜a＋b｜＝
（ D）
A.
B.2
C.3
D.例2A.3源自°B.60°C.120°
C D.150°
例 3 已知向量a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，2，2）.求： （1）｜a＋b－2c｜； （2）cos＜a－b，b－c＞.
环节二
空间向量 的综合应用
例 1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°， 棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. （1）求BM，BN的长；
高二数学平面向量的正交分解及坐标表示
B
C
j o iAΒιβλιοθήκη x35 （3）向量 CD 能否由 i, j 表示出来？可以的话，如何表示？ CD 2 i 3 j
平面向量的坐标表示
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j 为基底，则 对于该平面内的任一向量 a ，
y
C
A
a
D
有且只有一对实数x、y，可使 a xi + y j
j o i
x
B
这里，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）坐标，记作
a ( x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标， ①式叫做向量的坐标表示。
y
a
y
A
a xi +y j
§2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
目标导学
1、掌握平面向量的坐标表示，会进行平面 向量的正交分解。
2、会对平面向量进行坐标运算；会求两个 向量的和与差，会对向量与数量的积进行 坐标运算。
把一个向量分解为两个互相垂直的向 量，叫作把向量正交分解
思考：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 OA i, OB j ，填空：
例3.已知 a (2,1), b (3, 4)，求 a b, a b,3a 4b 的坐标。
例4.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是 （-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。 解法１：设点D的坐标为（x,y） AB (1,3) (2,1) (1, 2) DC (3, 4) ( x, y ) (3 x, 4 y ) 且 AB DC
专题03 空间向量及其运算的坐标表示(知识精讲)高二数学新教材知识讲学(人教A版选择性必修第一册)
专题三 空间向量及其运算的坐标表示一 知识结构图二.学法指导1．在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要记住规律：“在谁的轴上，谁属于R ，其它为零；在谁的平面上，谁属于R ，其它为零．”“关于谁对称谁不变，其余变成相反数．” 2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．3．进行空间向量的数量积坐标运算的技巧利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2，(a ＋b )·(a ＋b )＝(a ＋b )2等．(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a )·(－b )，既可以利用运算律把它化成－2(a ·b )，也可以求出2a ，－b 后，再求数量积；计算(a ＋b )·(a －b )，既可以求出a ＋b ，a －b 后，求数量积，也可以把(a ＋b )·(a －b )写成a 2－b 2后计算． 4.判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标；(3)对于a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，根据x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2是否为0判断两向量是否垂直；根据x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2(λ∈R )或x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2(x 2，y 2，z 2都不为0)判断两向量是否平行．5.利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．6．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．三.知识点贯通知识点1 求空间点的坐标例题1.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝4，|AD |＝3，|AA 1|＝5，N 为棱CC 1的中点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．(1)求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1的坐标； (2)求点N 的坐标． 【解析】(1)显然D (0,0,0)，因为点A 在x 轴的正半轴上，且|AD |＝3， 所以A (3,0,0)．同理，可得C (0,4,0)，D 1(0,0,5)．因为点B 在坐标平面xOy 内，BC ⊥CD ，BA ⊥AD ，所以B (3,4,0)．同理，可得A 1(3,0,5)，C 1(0,4,5)，与B 的坐标相比，点B 1的坐标中只有竖坐标不同，|BB 1|＝|AA 1|＝5，则B 1(3,4,5)．(2)由(1)知C (0,4,0)，C 1(0,4,5)， 则C 1C 的中点N 为⎝⎛⎭⎫0＋02，4＋42，0＋52，即N ⎝⎛⎭⎫0，4，52. 知识点二 求对称点的坐标在空间直角坐标系中，任一点P (a ，b ，c )的几种特殊的对称点的坐标如下：(1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标【解析】 (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 1(－2，－1，－4)．(2)由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点．由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3(6，－3，－12)． 知识点三 空间向量的坐标表示若),,(),,(2211y x B y x A 则),(1212y y x x --=。
第03讲 空间向量及其运算的坐标表示(解析版)高二数学讲义(人教A版2019
所以 M 1M 2 ( 2, 0, 6) .
2
2
2
考点五：空间两点中点坐标的运算
x1 x2 y1 y2 z1 z2
,
,
2
2
2
空间中有两点 A x1 , y1 , z1 , B x2 , y2 , z 2 ，则线段 AB 的中点 C 的坐标为
.
考点六：向量加减法、数乘、数量积的坐标运算
若 a x1 , y1 , z1 , b x2 , y 2 , z 2 ，则
x 2 y 2z 2 0
x2 y2 z2
② a b a b 0 x1x 2 y1 y 2 z1z 2 0
规定： 0 与任意空间向量平行或垂直
典型例题
题型一：空间向量的坐标表示
【例 1】
（2022·江苏·高二课时练习）已知 O 0,0,0 ， N 5, 1, 2 ， A 4, 2, 1 ，若 ON AB ，则点 B 的坐标
点 P 关于坐标平面 xOz 的对称点是 P7 x, y , z .
考点四：空间中向量的坐标运算及距离公式
①空间中知道两点求向量：若 A x1 , y1 , z1 , B x2 , y2 , z 2 ，则
AB OB OA x 2 , y 2 , z 2 x1 , y1 , z1 x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1
点 P 关于纵轴(y 轴)的对称点是 P3 x , y , z ；
点 P 关于竖轴(z 轴)的对称点是 P4 x , y , z ；
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(同步课件)-【优选组合】2021-2022学年高二(人教A版20
∴ || =
22 + 12 + (−3)2 = 14, || =
32 + (−2)2 + (−1)2 = 14, ⋅
= 2 × 3 + 1 × (−2) + (−3) × (−1) = 7,
∴ cos = cos＜, ＞ =
=
−4
3×2 5
=
2 5
−
15
.
12 + 22 + (−2)2 = 3, || =
探究点三 空间向量坐标运算的运用
例 [2021山东师大附中高二月考] 已知在空间直角坐标系中
,(0,2,3),(−2,1,6),(1, −1,5).
（1） 若点在直线上,且 ⊥ ,求点的坐标;
= (4,2,0), = (−1,2, −1),所以 ⋅ = −4 + 4 + 0 = 0,所以 ⊥ ,
即 ⊥ ,故B中结论正确;
易知 = − = (2,3,4) ,若 // ,则存在实数 ,使得 =
−1 = 2,
,即 ቐ 2 = 3, 此方程组无解,故 不平行于 ,故C中结论错误;
读 式.
标运算解决立体几何问题.
3.能用空间向量的坐标运算解决
平行、垂直、夹角、长度等问题.
要点一 空间向量运算的坐标表示
设 = (1 , 2 , 3 ), = (1 , 2 , 3 )，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
加法
减法
数乘
数量积
坐标表示
1 1 + 2 2 + 3 3
2. 已知 = (1,1,0), = (0,1,1), = (1,0,1), = − , = + 2 − ,则 ⋅
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(2,1).求
PQ
的单位向量
a0
.
*总结: 求任意向量的单位向量的方法步骤为:
①确定任意向量的坐标 a (x;,y)
②计算模 a
x2 y2; ③计算 a0
1 (x,y). x2 y2
**课本P57:练习8.1(1): 1,2,3;
*提示: 代数法证明三点共线的充要条件是:
AC // BC
a
N (0,y)
A (x,y)
由平行四边形法则可得:
1 j
a OA OM ON;
O
i
1M (x,0)
X
OM x • i;
ON y • j;
a
OA
x
•
i
y
•
j;
(x , y) .
*感悟: 任意向量 a (平移)
位置向量
OA
x
•
i
y
•
j;
(唯一确定)
有序实数对(x,y)
向量 a的坐标.
表示任意一个向量 a呢?
1 j
O
i
1
X
*2.位置向量的定义:
a
Y
A
1 a
j
O
i
1
X
对于平面内的任意向量 a,可将向量的起点置于坐 标原点O,作 OA a,那么OA 就叫做 位置向量.
在平面上，如果选取互相垂直的向量时， 会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
λ 0 0.
*两个非零向量平行的充要条件:a//b
b
λa,( λ
0)
**单位向量的定义及其计算公式:
*把模为1的向量叫做单位向量.
*对于任意的非零向量 a ,与它同方向的单位向
量叫做向量
a
的单位向量.记作:a0 .
*单位向量的计算公式:
a0
a a
.
*提示: *有于向量的基础知识的具体内容可以阅读 课本后(P137)的附录部分.
(二期课改)
**实数与向量的乘积的意义:
*实数λ与非零向量 a的乘积是一个向量,记作: λa.
*对向量 λa 的模和方向规定如下: (1) λa λ a;
a 3a
(2)当λ
0时,λa与
a
的方向相同;
当λ
0时,λa与
a
的方向相反;
(3)当
λ
0时,0
a
0;
(4)任何实数λ与零向量的乘积为
零向量.
*若设:λ是一个实数,
a
(x
1,y
1
)
,b
(x
2
,y
2
)
.
*利用向量的正交分解法与坐标法的相互转换,容
易证明:
a
b
(x1,y1
)
(x
2 ,y
2
)
(x 1
x2
,y 1
y2
).
• a • (x1,y1 ) (x1 ,y1 ).
*感悟: 由上述法则实现了由向量的作图法运算(形) 转化为向量的坐标法运算(数),化繁为简.
C为AC与BC的 公 共 点
请根据你在这节课所学的知识谈谈你的收获与体会.
**向量作为一种常见的数学概念. 它是即有大小又 有方向的.前面已学习了其“形”的相关知识,本
节
开始就要研究其“数”的相关知识---向量的坐
标*1..基本单位向量的意义: 在平面直角坐标系内,方
向与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量就叫
做基本单位向量.分别记作为:
i
和
j
.
Y
*问题? 如何用基本单位向量来
D(x,y)
A(2,1)
*问题? 题(2)改为若A,B,C,D X 四点构成平行四边形的
四个定点,结果又如何?
*例题3:
已知向量
a
(4,1),b
(5,2).求
2a
3b的
坐标.
*感悟: 本例是利用坐标法进行向量运算的,简单方 便.当然也可利用正交分解法进行验证.
*例题4: 已知平面内两点P,Q的坐标分别为(-2,4)和
*5.直角坐标系内任意向量坐标计算公式.
Y
OP PQ OQ
PQ OQ OP
Q (x2,y2) P (x1,y1)
(x 2,y2 ) (x1,y1 ) O
X
PQ (x2 - x1,y2 - y1 )
*注意: *任意向量坐标等于终点坐标减去起点坐标.
*并有: 0 PP (0,0).
*5.向量模的计算公式:
a
x12 y12 .
*(向量坐标的探求问题)*
*例题1: 如图所示,写出向量 a,b,c 的坐标.源自Y2 A a1
*策略: **探求一个任意向量坐标可
-2 -c1-O1
1 2 b
X
-2
B
以通过其对应的位置向量 求得.
*问题? 对于直角坐标平面内的任意两点P,Q,如何利
用点P和点Q的坐标来表示出向量 PQ 坐标?
*例题2: 如图,平面上三个点A,B,C,的坐标分别为: (2,1),(-3,2),(-1,3).
(1)写出向量 AC,BC的坐标;
(2)若四边形ABCD是平行四边形,求D的坐标.
Y
C(-1,3)
B(-3,2)
O
*感悟: *本例是向量坐标计算公式
的应用问题.体会向量坐标表
示法能使解题过程简便易行.
如图，在直角坐标平面内，以原
点O为起点作OA=a，则点A的位
y
置由a唯一确定。
y A（x,y） 设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标；反过来，
ja
点A的坐标（x,y)也就是向量OA
Oix
x 的坐标。因此，在平面直角坐标
系内，每一个平面向量都可以用
一对实数唯一表示。
*3.任意向量的坐标的意义: Y
记作: a (x,y).
*1.向量的正交分解表示法:
a
OA
x
•
i
y
•
j.
*2.向量的坐标表示法的具有唯一性,确定性;
*3.向量的坐标与其终点的坐标是形同而意不同,应 注意加以区分;
*4.由向量的坐标的意义,容易得知:
i (1, 0); j (0, 1); 0 (0, 0).
*4.向量运算的坐标运算法则.