第4章：连续体的振动
第四章 连续体的振动
第四章连续体的振动拉格朗日（grange):1762年建立了离散系统振动的一般理论．对连续系统研究最早的是弦线的振动达朗贝尔（J.le R.d’Alembert)1746年用偏微分方程得到弦线振动的波动方程，并求出行波解伯努利（D.Bernoulli)1753年用无穷多个模态叠加的方法得到了弦线振动的驻波解1759年拉格朗日（grange):从驻波解推得行波解1811年傅里叶提出函数的阶数展开理论，给出严格的数学证明‘其它连续系统的振动问题也相继得到研究伯努利（D.Bernoulli)1744-1751年研究了梁的横向振动，导出了自由.简支和固定端的频率方程和振型函数奇拉尼（E.F.F.Chladni):1802年研究了杆的轴向和扭转振动．本章只讨论理想弹性体的振动理想弹塑性体满足以下假设条件①各向同性；②均质分布；③服从虎克定律§4.1 弦的振动T (,)q x t 讨论两端受到张力拉紧的弦，弦上还受到横向干扰力的作用(,)q x t yxdxxdm Adsρ=第四章连续体的振动设弦的密度为ρ（质量/单位体积）假设小变形，弦力不随挠度变化。
则弦上的任意一点的位移y 应为位置x 与时间t 的函数，即(,)y y x t =22()()dm Ads A dx dy Adxρρρ==+≈(,)(,)y x t x t tg xθθ∂=≈∂y [,]x x dx +沿方向作用在微小区间的外力之和为(,)[(,)](,)(,)(,)(,)x t T x t dx T x t q x t dxxx t T dx q x t dxxθθθθ∂+-+∂∂=+∂根据牛顿第二定律，弦的单元微段ds 沿y 方向的运动微分方程为：22(,)(,)(,)y x t x t Adx T dx q x t dx txθρ∂∂=+∂∂(,)(,)y x t x t xθ∂=∂代入得：2222(,)(,)(,)y x t y x t A T q x t t xρ∂∂=+∂∂22222(,)(,)1(,)y x t y x t c q x t t x Aρ∂∂=+∂∂Tc A ρ=设代入得：C 为波沿长度方向的传播速度(,)()()()sin()n y x t Y x H t Y x t ωϕ==+如无干扰力作用时，22222(,)(,)y x t y x t c t x∂∂=∂∂——称为波动方程弹性体系统作某阶主振动时，其各点也应当作同样的频率及相位运动，各点也应当同时通过静平衡位置和到达最大偏离位置，即系统具有一定的与时间无关的振型()Y x 为振型函数2222222(,)()sin()(,)()sin()nn n y x t Y x t t y x t d Y x t xdx ωωϕωϕ⎧∂=-+⎪⎪∂⎨∂⎪=+⎪∂⎩得2222()()sin()sin()n n n d Y x Y x t c t dx ωωϕωϕ-+=+()sincosnnY x A x B xc c ωω=+(,)(sin cos )sin()n nn y x t A x B x t c cωωωϕ=+⋅+2222()()0n d Y x Y x dxcω+=故,,,n A B ωϕ4个待定常数，可由弦的边界条件及振动的两个初始条件来确定。
第十二次课第四章连续体的振动
第四章连续体的振动§4.2 杆的纵向振动例：有一根 x =0 端为自由、x =l 端处为固定的杆，固定端承受支撑运动 td t u g ωsin )(=d 为振动的幅值试求杆的稳态响应。
l x 0)(t u g §4.2 杆的纵向振动解： l x 0t d t u g ωsin )(=方程建立 dx u dx x u u u g ∂-∂+)(22xu Sdx ∂∂ρdx x F F ∂∂+F 微段分析应变： xu u dx u dx x u u u g g ∂-∂=-∂-∂+=)(])([ε内力： xu u ES ES F g ∂-∂==)(ε达朗贝尔原理： F dx F F u Sdx -∂+=∂)(2ρ),(t x u 杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移 22)(u u ES u S g -∂=∂ρl x 0td t u g ωsin )(=令： 代入方程： 2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*g u u u +=*即： **''g Su ESu Su ρρ-=-2sin Sd tρωω=-设解为： ∑∞==1*)()(i i i t q x u φ)(x i φ为归一化的正则模态 ,...5,3,1,2cos 2)(==i x li l x i πφ代入方程，得： tSd ESq q S i i i i i ωωρφφρsin )(2,...5,3,1''=-∑∞=l x0t d t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρgu u u -=*∑∞==1*)()(i i i t q x u φ,...5,3,1,2cos 2)(==i x l i l x i πφtSd ESq q S i i i i i ωωρφφρsin )(2,...5,3,1''=-∑∞= )(x j φ用 乘上式，并沿杆长积分：⎰∑⎰⎰=-∞=lj i l j i i l j i idx t Sd dx ES q dx S q 0210''0sin )(φωωρφφφφρ 利用正交性： t d i l l q q i i i i ωωπωsin )1(2222/)1(2--=+l x 0td t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*∑∞==1*)()(i i i t q x u φ,...5,3,1,2cos 2)(==i x li l x i πφt d i l l q q i i i i ωωπωsin )1(2222/)1(2--=+ 模态稳态解： t d i l l q i i i i ωπηωωsin )1(222/)1(22--=2)/(11i i ωωη-=t lx i d i E l u i i i ωπηπωρsin 2cos )1(16,...5,3,132/)1(322*∑∞=--=l x 0td t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*2)/(11i i ωωη-=t lx i d i E l u i i i ωπηπωρsin 2cos )1(16,...5,3,132/)1(322*∑∞=--=t d l x i i E l u u u i i i gωπηπωρsin 2cos )1(161 ,...5,3,12/)1(3322*⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=∑∞=-小结1. 建立动力学方程2. 根据边界条件求解固有频率和模态3. 变量分离4. 代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程5. 物理空间初始条件转到模态空间6. 模态空间方程求解7. 返回物理空间，得解)()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=)(2t Q q q j j j j =+ω )(,x i i φω)0(),0(j j q q )(t q j )()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=物理空间问题 模态空间问题 )()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=模态叠加法§4.3圆轴的扭转振动取圆轴的轴心线作为x 轴，图示轴任一 x 截面处的转角表示为θ(x ,t ) 。
飞行器结构动力学_第1章_2014版 [兼容模式]
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– 第四章：连续系统
• 杆的振动 轴的振动 • 梁的振动 薄板振动
– 第五章：结构动力学建模
• 有限元模型建立（第6章） • 结构模态分析（第7章）
第1章 概 论
第1章 概 论
现代有限元分析——结果
第1章 概 论
实验手段
地面静力实验
第1章 概 论
地面振动实验（Ground Vibration Test，GVT）
• 确保边界条件 • 激励方式
第1章 概 论
• 传感器布置 • 信号处理
F-16 GVT悬吊
第1章 概 论
风洞实验——颤振
第1章 概 论
NASA兰利
第1章 概 论
结构动力学建模（2）
• 原则 – 保持原有系统的动力学特性（或近似） – 必须和观察到的实际模型尽可能相似
• 初步设计阶段可采用一定简化，详细设计阶段 尽可能细化
• 方法 – 1.集中参数描述的离散系统 – 2.分布参数描述 – 3.两种方法的混合
• 例子： – 导弹在空中飞行；飞机在空中飞行
• 量子场理论（quantum field theory，QFT）：具有很多自由度的量子一级
的问题 第1章 概 论
背景知识（续）
牛顿
• 牛顿三定律
– 奠定了经典力学基础 • 《自然哲学的数学原理》
– 对第2、3定律给出了合理的科学和数学描述 – 阐述了动量守恒和角动量守恒原理 • 万有引力定律 – 最先给出引力的科学、准确的表达式 • 牛顿运动定律和万有引力定律 – 对经典力学进行了最完整和最准确的描述 – 适用于日常物体和天体 • 发明了微积分 – 莱布尼茨发明了现在常用的求导和积分符号
连续系统的振动
p ( x, t )
0
x x
dx
u( x, t )
杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移
l
F ES ES u x
横截面上的内力：
2u F 由达朗贝尔原理： Sdx 2 ( F dx) F p( x, t )dx x t 2u u S 2 ( ES ) p( x, t ) 代入，得： x x t
杆的纵向强迫振动方程 对于等直杆，ES 为常数
a0 E /
2 2u 1 2 u a p( x, t ) 0 2 有： t 2 S x
弹性纵波沿杆的纵向传播速度
连续系统的振动 / 一维波动方程
（2）弦的横向振动
弦两端固定，以张力 F 拉紧 在分布力作用下作横向振动
F
o
y
小结：
（1）杆的纵向振动
2 2u 1 2 u a p( x, t ) 0 2 2 S t x
（2）弦的横向振动 （3）轴的扭转振动
2 2 y 1 2 y a0 p( x, t ) 2 2 t x
2 2 1 2 a p ( x, t ) 0 2 2 t x I p
模态函数
i i ( x) ci sin( x), i 1,3,5,... 2l
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
例： 一均质杆，左端固 定，右端与一弹 簧连接。
k
0
x
l
推导系统的频率方程。
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
解：
边界条件：
0
k
l
x
u (l , t ) u(0, t ) 0 ku (l , t ) ES x (0) 0 k (l ) ES x l l k sin ES cos 得出： c2 0 a0 a0 a0
机械振动6连续系统的振动1弦的横向振动
15
例6.1-1 考虑两端固定的弦，求振动的前三阶固有频率和相
应的固有振型，并作出振型图。
解：弦的固有频率：
i
i
L
T
(i 1,2,)
y(x) ,T
L
x
1
L
T，
2
2
L
T
，
3
3
L
T.
弦的固有振型：
Yi (x)
sin i
a
x
sin i
L
x
(i 1,2)
Y1 ( x)
sin
L
x ， Y2 (x)
sin
x
L L/2
2 L
2hL
i2 2
sin
i
L
x
2hx cos i i L
这就是边界条件。
（6.1 3）
y( x, t )
f (x,t) T (L,t)
x
dx
x
（6.1 3）与（6.1 4）构成了偏微分方程的边界值问题。
若弦的线密度(x) 为常数，设横向位移y(x,t)为小量，
弦的张力T可以视为常数，则方程（6.1 3）简化为：
2 y t 2
T
2 y x2
f
( x, t )
至此，除了离散系统的固有频率和固有振型是有限集， 而连续系统的固有频率和固有振型是无限集以外， 离散系统和连续系统的相似性便完备了。
21
例6.1-3 设张紧弦在初始时刻将中点拨离h (如图) ，然后
无初速地释放，求弦的自由振动。
y(x)
解：弦的初始形状就是 y(x,0):
h
O
2hx / L (0 x L / 2) y(x,0) 2h(1 x / L) (L / 2 x L)
第十三次课第四章连续体的振动
§4.4 梁的弯曲振动
C1 (cos l cosh l ) C2 (sin l sinh l ) 0 C1 (cos l cosh l ) C2 (sin l sinh l ) 0
cos l cosh l C1、C2 非零解条件： sin l sinh l
(3)
分部积分 ： j dx 0 j (EIi)dx j (EIi) 0 j (EIi) 0 0 EIi dx （4） (EI )dx EI dx S dx （5） 代入（3）式，有 ： EI dx S dx 同理， (2)式两边乘 i 并沿梁长积分可得： EI l
y
0
x
解得： 当 i 0 时
2 模态函数： i ( x) cos i x cosh i x i (sin i x sinh i x), (i 1,2,)
其中： i
0l 0 对应刚体模态 当 i=1,2,3时 1l 4.730 2l 7.853 3l 10.996 1 i 3 当 时 i l (i ) , (i 3,4,)
y ( x, t ) ( x)q (t )
固定端： (0) 0
y
(0) 0
0
k1
弹性支撑端： EI (l ) k2 (l ) EI (l ) k1 (l )
k2
l
x
由固定端条件解得：C1 C3 , C2 C4 由弹性支撑固定端条件解得：
4
2
2 a0
EI a S
2 0
§4.4 梁的弯曲振动
y
(0) 0
结构动力学 连续弹性体的振动(与“坐标”有关文档共69张)
aa
aa
U ' 0 0 A' A' 0
a
U ' l B' sin l 0
aa
B
'
不恒为零，所以
sin
a
l
0
第13页，共69页。
sin l 0 l n , n 0,1, 2...
a
a
n
n
l
a
代入振型函数为
Un x
Bn'
cos n
a
x
Bn'
cos
n
l
x
对应的第 n 阶主振动为
(2)固支点
固支点处转角、位移均被锁住，为零
y x,t 0
y x,t 0
x
x 0或
第23页，共69页。
（3）自由端 力与力矩均为零
M
EI
2 y x2
0
x 0,
Q
M x
EI
3 y x3
0
x 0,
（4）梁端有弹性支承
弹性梁端剪力等于弹性恢复力, 弹性恢复力与
位移正向相反，右端截面的剪力也与位移正向相反,
3 y EI x3 0
第25页，共69页。
（5）梁端有集中质量力 梁端弯矩为零
2Y ,t
EI 2x2 0 梁端剪力等于惯性力，右端剪力与惯性力均与位移
正向相反，所以二者同号
EI
3 y x3
,t
M
2 y t 2
,t
对位移或转角施加的约束 称为几何边界条件。
对剪力和弯矩施加的约束 称为力边界条件。
2 y t 2
q( x, t )
第20页，共69页。
连续系统的振动 振动力学课件
(l )q(t )
C1
sin
l
a
2 q(t )
q(t) A cos(t )
q(t) A2 sin(t ) 2q(t)
2u t 2
(l)q(t)
C1 sin
l
a
2 q(t )
代入
EA u(l,t) W x g
2u(l, t 2
t
)
ku(l
,
t
)
0
2
EA cos l q t W 2 sin l q t k sin l q t 0
u(x, 0) u(x) u(x, 0) u(x) 确定
2.两端自由
特征：两自由端轴向力为零
即 FN (0,t) 0 FN (l,t) 0
EA u(0,t) 0, x
EA u(l,t) 0, x
'(0)qt 0
'(l)qt 0
' (0) 0
' (l) 0
2.两端自由
' (x)
W gkl 2
Eg
EA kl
W
lA
tan
a
l
EA
a
W 2 k
g
EA ( l)
lk a
Wa2 gkl 2
a
l
2
1
l
a
( l)2
a
1
讨论：（1）
W 0 右端只有弹簧k，
频率方程
tan l (l )
a
a
tanu u作图法得出
（2） W 0 k 0 即自由端情形
频率方程 cos l 0
2. 弹性弦横向振动
微段分析
以变形前弦的方向为 x轴，
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化为一维波动方程
a 2
a G/
一维波动方程 波速
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
u(l , t ) (l )q(t ) 0
i 1
(0) 0
(l ) 0
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
将 (0) 0 (l ) 0 代入
可得 因为
C2 0 C1 0
( x ) C1 sin
C1 sin
x
a
和
l
a
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
考虑微段的平衡
F Sdxu ( F dx ) F x u F ES ES 而 x
将上式代入动力平衡方程整理得
u a u 一维波动方程
2
a E/
波速
2.弦的横向振动
讨论两端固定，以张力F 拉紧的细弦的横向振动
EIy Sy 0
仍采用分离变量法，令 代入动力学方程,整理得到
y( x , t ) ( x ) q(t )
EI ( x ) ( x ) q q S ( x ) ( x )
DYNAMICS OF STRUCTURES
由频率方程确定的固有频率有无穷多个 i (i 1, 2, ) 一一对应
i
i ( x )
第i阶主振动 u ( x, t ) aii ( x)sin(i t i ) (i 1, 2, ) 系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加
(i )
DYNAMICS OF STRUCTURES
a 因为数学模型相同，以上在各种边界条件下导出的固有 频率和模态函数也完全适用于弦的横向振动、杆的扭转 振动和梁的剪切振动。关于这类系统的受迫振动本节不 作讨论，因为与下节梁的弯曲受迫振动的分析和计算方 法基本相同
相应的模态函数为 i ( x ) sin
C1 0 C2 0
( x ) C1 sin
C 2 sin
x
a
和
l
a
C 2 cos
x
a
0 sin
故须有 i a 无穷多个固有频率 i l i x 模态函数 i ( x ) C i cos l 亦可令这个常数为1,有 i x i ( x ) cos l 3.一端固定另一端自由 因 边界条件为
C 2 cos
x
a
0 sin
0 频率方程 故须有 a i a ( i 0,1, 2, ) 无穷多个固有频率 i l i x ( i 0,1, 2, ) 模态函数 i ( x ) C i sin l 由于模态表示的是各振幅比值,故可令这个常数等于1 i x i ( x ) sin ( i 0,1, 2, ) l 2.两端自由 因 ESq(t ) 0 边界条件为
2 y a y p / l 将 y / x 代入整理得
自由振动时 p 0
上式化为
y a 2 y
a F / l
一维波动方程
波速
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
3.轴的扭转振动 设截面的二次极矩为 I P 材料的密度为 剪切模量 G 建立图示的坐标系 ( x , t ) 扭转角 该截面处的扭矩为 T GI P ( / x) 对右图示的微元体，列出
2 u a u 现来求解一维波动方程 利用分离变量法，令 u( x , t ) ( x ) q( t )
这个假设的实质是:假设杆上各点作同步运动
( x ) 杆上距原点x处的截面纵向振动的振幅
q(t ) 各截面振动随时间的变化规律 q(t ) 2 ( x ) a 代入波动方程得 q( t ) ( x)
f ( x, t ) m( x, t )
密度为
弹性模量为 E
截面二次矩 I ( x )
单位长度梁上的横向外力 单位长度梁上的外力矩
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
取一微段,其受力图如右图 利用达朗伯原理列出微元体沿 y 方向的动力学平衡方程
FS 2 y Sdx 2 FS ( FS dx ) f ( x, t )dx t x FS 2 y f ( x, t ) S 2 即 x t
u(0, t ) (0)q(t ) 0
ESu(l , t ) ES (l )q(t ) 0
l
a
0 频率方程
( i 0,1, 2, ( i 0,1, 2, ( i 0,1, 2,
ESq(t ) 0
) ) )
(0) 0
( l ) 0
STDU
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
设弦单位长度的质量为 l p( x , t ) 单位长度弦上横向 的干扰力 以变形前弦的方向为 x 轴 设横向挠度 y( x , t ) l ydx 振动过程中弦的张力不变 2 y 对图示微元体，列出 l dx t 2 F x dx pdx
因为
C1 0
( i 1, 2, ) ( i 1, 2, )
2i 1 x 模态函数 i ( x ) Ci sin 2 l
亦可令这个常数为1,有
2i 1 x i ( x ) sin l 2
( i 0,1, 2,
)
等式两边是互相无关的函数，因些只能等于常数
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
q(t ) 2 ( x ) a 2 思考:为什么这个常数为非正数? 记 q( t ) ( x)
上式可化为如下两个常微分方程 q(t ) 2q(t ) 0 2 ( x ) ( x ) 0 通解: 常数 C1 C2
再列出微元体力矩方向的平衡方程
M dx 2 y dx (M dx ) M FS dx f ( x , t )dx Sdx 2 m( x , t )dx 0 x 2 t 2 M 略去高阶微量得到 FS x m( x , t )
将该式代入前面的式子得到 M m f ( x, t ) Sy
i x
( i 1, 2, )
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
§ 4.2 Euler-Bernoulli梁的弯曲自由振动 一.动力学方程
考虑细直梁的弯曲振动
忽略梁的剪切变形和 截面绕中性轴转动对 弯曲的影响 Euler-Bernoulli梁 设梁的长度为 l 截面积为 S ( x )
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
例:
设杆的一端固定，另一端自由且有附加质量 m0
如图所示,试求杆纵向振 动的固有频率和模态 解: 边界条件写作 u(0, t ) 0
O
ES l
(0) 0 ES (l ) m0 2 (l )
x
m0
x
ESu xl m0u xl
§ 4.1 一维波动方程
基本假设: 1.所有连续体均为线性弹性体 2.材料均匀连续且各向同性 3.体系的振动变形都是微小变形 一.动力学方程 1.杆的纵向振动
考虑图示均质直杆 设 弹性模量为 E 横截面积为 S 材料密度为 杆件长度为 l 假定振动过程中各截面保持平面，并忽略因纵向振 动引起的横向变形
本章先讨论以杆的纵向振动为代表的一类振动以及 梁的横向振动，以掌握连续系统振动的一般规律， 然后介绍工程中常用的几种近似方法，包括集中质 量法、假设模态法、模态综合法和有限元法。本章 材料均为理想线弹性体，即材料为均匀的和各向同 性的，且在弹性范围内服从胡克定律
STDU
DYNAMICS OFSdx 2 dx 2 t x
整理得
截面形状系数 材料的密度为
y a 2 y
一维波动方程
a G /( ) 波速
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
二.固有频率和模态函数
以上四种物理背景不同的振动都归结为同一数学模型， 即一维波动方程。以杆的纵向振动为代表，讨论此数学 模型，所得结果也完全适用于其它振动问题。
q(t ) a sin( t ) x x ( x ) C1 sin C 2 cos
a
a
a
振动形态(模态)
由杆的边界条件确定
与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连 续函数，即模态函数。由于是表示各坐标振幅的相对 比值，模态函数内可以包含一个任意常数
STDU
u( x, t ) aii ( x )sin(i t i )
其中积分常数 a i 和 i (i 1, 2, ) 由系统的初始条件确定 以下讨论几种常见边界条件下的固有频率和模态函数 1.两端固定 因 q(t ) 0 边界条件为
u(0, t ) (0)q(t ) 0
l
ESu(0, t ) ES (0)q(t ) 0 ESu(l , t ) ES (l )q(t ) 0
(0) 0 ( l ) 0
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
将 (0) 0 ( l ) 0 代入
可得 因为
将边界条件代入 ( x ) C1 sin a C 2 cos a 得到 C2 0 及频率方程
l
a
x
化作
tan
l
a
1
利用数值方法或作图法可解出此方程，得到频率 i