连续系统振动(a)-杆的纵向振动
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机械振动第7章-弹性体振动
a
a
ni
2i 1
2l
E
i 1,2
Xi
(
x)
sin(
2i 2
1
x)
l
低应变测试及其应用
适用条件
判断基桩完整性.-质量检测（Quality Inspection）
基本假定
1.假定桩为细长的、无阻尼的弹性直杆； 2.假定桩产生轴向变形以后横截面仍保持为
平面，横截面上应力分布均匀。
➢ 基本原理
C1 C3 0
C3 C1
Y ' (0) 0 Y ' (l) 0
C2 C4 0 C4 C2
(chl cosl)C1 (shl sin l)C2 0
(shl sin l)C1 (chl cosl)C2 0
特征方程
coslchl 1
1l 4.730
2l 7.853
ni
i
l
E
Xi
(x)
sin
ix
l
2. 两端自由杆
i 1,2
dX (0) dX(l) 0
dx
dx
有C 0 及
n DSin n l 0
a
a
ω
n
0
或
Sin n
a
l
0
ni
i
l
E
Xi (x)
cos
i
l
x
3. 一端固定一端自由杆
X (0) 0
D0
dX(l) 0 dx
cos n l 0
a
n C cos n l 0
自由度，因而具有无限多个固有 频率和无限 多个主振型 。弹性体的任何振动形态也可 表示为各主振型的线 性叠加。因而对于弹性 体的动态响应分析，主振型叠加法仍然适用。
复习-连续系统的振动
i
t
0 F ( ) sin[i (t )]d
u(x,t) Φi (x)Φi (x1)
i 1
i
t
0 F( )sin[i (t )]d
10
二、 梁的弯曲振动
1. 运动微分方程
2 x2
EI (x)
2u(x,t)
x2
A(x)
2u( x, t ) t 2
f
( x, t )
2. 均匀梁自由振动方程
的解耦方程
qi i2qi
l
0 f (x, y)Φidx
1
qi i
l
t
0 Φi 0 f (x, ) sin[i (t )]d dx
u(x,t) Φi
i1 i
l
0 Φi
t
0 f (x, )sin[i (t )]d dx
9
（2）集中荷载 设在x＝x1处受集中力F(t)
q(t) Φi (x1)
dFi
dx
dx
0
l
0Fi AFidx Mi
l
0Fi
d dx
EA
dFi
dx
dx
i2 M i
6
8.初始条件的响应求解步骤 （1）根据边界条件求解固有频率和固有振型。 （2）对振型函数标准化（正则化）
l
0Fi AFidx Mi 1
（3）将初始条件变换到标准坐标
l
q0i 0 AΦiu(x, 0)dx
12
（3）自由端：弯矩和剪力为0，即
2u( x, t ) x2
0,
3u( x, t ) x3
0
（x=0或l）
（4）集中质量
（5）弹簧
利用截面法研究微单元体的平衡。
t
0 F ( ) sin[i (t )]d
u(x,t) Φi (x)Φi (x1)
i 1
i
t
0 F( )sin[i (t )]d
10
二、 梁的弯曲振动
1. 运动微分方程
2 x2
EI (x)
2u(x,t)
x2
A(x)
2u( x, t ) t 2
f
( x, t )
2. 均匀梁自由振动方程
的解耦方程
qi i2qi
l
0 f (x, y)Φidx
1
qi i
l
t
0 Φi 0 f (x, ) sin[i (t )]d dx
u(x,t) Φi
i1 i
l
0 Φi
t
0 f (x, )sin[i (t )]d dx
9
（2）集中荷载 设在x＝x1处受集中力F(t)
q(t) Φi (x1)
dFi
dx
dx
0
l
0Fi AFidx Mi
l
0Fi
d dx
EA
dFi
dx
dx
i2 M i
6
8.初始条件的响应求解步骤 （1）根据边界条件求解固有频率和固有振型。 （2）对振型函数标准化（正则化）
l
0Fi AFidx Mi 1
（3）将初始条件变换到标准坐标
l
q0i 0 AΦiu(x, 0)dx
12
（3）自由端：弯矩和剪力为0，即
2u( x, t ) x2
0,
3u( x, t ) x3
0
（x=0或l）
（4）集中质量
（5）弹簧
利用截面法研究微单元体的平衡。
连续系统振动(a)-杆的纵向振动
令： a0 F / A
2015年1月24 日 并考虑到： 《振动力学》
2 y 达朗贝尔 Adx 2 t 惯性力
y x
2 2 y 1 2 y a p ( x, t ) 弦的横向强迫振动方程 0 2 2 t x
a0 弹性横波的纵向传播速度
9
连续系统的振动 / 一维波动方程
( l ) 0 l cos 0 a0
u (l , t ) 0 x
频率方程
零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移 x x 2015年1月24日 u ( x , t ) ( x ) q (t ) ( x ) c1 sin c2 cos 《振动力学》 a0 a0
2015年1月24日 《振动力学》
( x) (t ) q 2 a0 （常数） q(t ) ( x)
13
连续系统的振动 / 杆的纵向振动 记： 2
(t ) q 2 ( x) a0 q(t ) ( x)
''
q (t ) 2 q (t ) 0 2 ( x) ( a ) ( x) 0 0
i 1
2015年1月24日 《振动力学》 15
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定 特征：两端位移为零 边界条件： u(0, t ) (0)q(t ) 0
0 l
x
u(l , t ) (l )q(t ) 0
q(t )
不能恒为零
u ( x , t ) ( x ) q (t ) 19
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
0 l
x
0 l
x
2015年1月24 日 并考虑到： 《振动力学》
2 y 达朗贝尔 Adx 2 t 惯性力
y x
2 2 y 1 2 y a p ( x, t ) 弦的横向强迫振动方程 0 2 2 t x
a0 弹性横波的纵向传播速度
9
连续系统的振动 / 一维波动方程
( l ) 0 l cos 0 a0
u (l , t ) 0 x
频率方程
零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移 x x 2015年1月24日 u ( x , t ) ( x ) q (t ) ( x ) c1 sin c2 cos 《振动力学》 a0 a0
2015年1月24日 《振动力学》
( x) (t ) q 2 a0 （常数） q(t ) ( x)
13
连续系统的振动 / 杆的纵向振动 记： 2
(t ) q 2 ( x) a0 q(t ) ( x)
''
q (t ) 2 q (t ) 0 2 ( x) ( a ) ( x) 0 0
i 1
2015年1月24日 《振动力学》 15
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定 特征：两端位移为零 边界条件： u(0, t ) (0)q(t ) 0
0 l
x
u(l , t ) (l )q(t ) 0
q(t )
不能恒为零
u ( x , t ) ( x ) q (t ) 19
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
0 l
x
0 l
x
连续系统的振动 振动力学课件
(l )q(t )
C1
sin
l
a
2 q(t )
q(t) A cos(t )
q(t) A2 sin(t ) 2q(t)
2u t 2
(l)q(t)
C1 sin
l
a
2 q(t )
代入
EA u(l,t) W x g
2u(l, t 2
t
)
ku(l
,
t
)
0
2
EA cos l q t W 2 sin l q t k sin l q t 0
u(x, 0) u(x) u(x, 0) u(x) 确定
2.两端自由
特征：两自由端轴向力为零
即 FN (0,t) 0 FN (l,t) 0
EA u(0,t) 0, x
EA u(l,t) 0, x
'(0)qt 0
'(l)qt 0
' (0) 0
' (l) 0
2.两端自由
' (x)
W gkl 2
Eg
EA kl
W
lA
tan
a
l
EA
a
W 2 k
g
EA ( l)
lk a
Wa2 gkl 2
a
l
2
1
l
a
( l)2
a
1
讨论：（1）
W 0 右端只有弹簧k，
频率方程
tan l (l )
a
a
tanu u作图法得出
（2） W 0 k 0 即自由端情形
频率方程 cos l 0
2. 弹性弦横向振动
微段分析
以变形前弦的方向为 x轴，
杆的纵向振动
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。 同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。 由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2 2u 2 u a 2 t x2
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
u( x, t ) U ( x)( A cos pt B sin pt )
即为杆的主振动的一般形式。
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
p12 2 Al l 2 M a
Ml
对于基频情况，有 p EA 1 其中
EA 是不计杆本身质量时杆的抗压刚度，以上结果与不 l
计杆本身质量而将其看成是单自由度系统所得的结果相同。
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1 杆的纵向振动
1.3主振型的正交性
这里只讨论简单边界条件的杆的主振型的正交性。 因为不涉及主振型的具体形式，所以不对杆作任何设定。即杆的 质量密度、横截面积等都可以是x的函数。因此可写出杆的纵向 振动微分方程式为 2u u
U ( x) C cos px px D sin a a
1. 杆两端固定的情况 边界条件为
U (0) 0 , U (l ) 0
sin
C0 , D sin p l0 a
p l0 a
即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为
ia π pi l (i 1,2, )
第4章：连续体的振动
因为
C1 0
( i 1, 2, ) ( i 1, 2, )
2i 1 x 模态函数 i ( x ) Ci sin 2 l
亦可令这个常数为1,有
2i 1 x i ( x ) sin l 2
( i 0,1, 2,
)
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
Dynamics of Structures
• Prof. Lanhe Wu • Shijiazhuang Tiedao Univ.
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
第四章 连续系统的振动
具有连续分布的质量和弹簧系统称作连续系统或分布 质量系统。连续系统具有无限多个自由度，其动力学 方程为偏微分方程，只对一些简单情形才能求得精确 解。对于复杂的连续系统则必须利用各种近似方法简 化为离散系统求解。
EIy Sy 0
仍采用分离变量法，令 代入动力学方程,整理得到
y( x , t ) ( x ) q(t )
EI ( x ) ( x ) q q S ( x ) ( x )
DYNAMICS OF STRUCTURES
a 因为数学模型相同，以上在各种边界条件下导出的固有 频率和模态函数也完全适用于弦的横向振动、杆的扭转 振动和梁的剪切振动。关于这类系统的受迫振动本节不 作讨论，因为与下节梁的弯曲受迫振动的分析和计算方 法基本相同
相应的模态函数为 i ( x ) sin
将边界条件代入 ( x ) C1 sin a C 2 cos a 得到 C2 0 及频率方程
l
a
x
化作
tan
l
杆的纵向振动与轴的扭转振动
振动方向不同：杆的纵向振动方向 与杆的轴线方向平行而轴的扭转振 动方向则与轴的截面垂直。
实际应用场景
机械制造：在机械制造中杆的纵向振动与轴的扭转振动常常同时存在影响机器的正常运转。
交通运输：车辆、船舶等交通工具中的传动系统如发动机、变速箱等都涉及到杆的纵向振动 与轴的扭转振动。
建筑工程：在建筑工程中如桥梁、高层建筑等需要考虑到风、地震等外力作用下杆的纵向振 动与轴的扭转振动的影响。
对系统稳定性的影响
振动可能导致系统失稳产生共振现象 振动会加速系统各部件的疲劳损伤降低使用寿命 振动会影响系统的测量精度和控制稳定性 适当抑制振动可以提高系统的稳定性和可靠性
对系统效率的影响
振动会使系统中的 元件磨损导致效率 降低
振动会产生额外的 热量影响系统的热 效率
振动会干扰信号传 输影响系统的信息 传递效率
杆的纵向振动与轴的扭转振动在工 程实际中常常同时存在需要综合考 虑它们的耦合效应。
振动类型不同：杆的纵向振动是拉 伸或压缩振动轴的扭转振动是旋转 振动。
区别
振动频率不同：杆的纵向振动频率 通常较高而轴的扭转振动频率相对 较低。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
影响因素不同：杆的纵向振动主要受 轴向力、阻尼和支撑的影响而轴的扭 转振动主要受扭矩、阻尼和转动惯量 的影响。
,
汇报人：
目录
定义与原理
添加标题
定义：杆的纵向振动是指杆在轴向方向上的振动是机械振动的一种形式。
添加标题
原理：当外力作用于杆的一端或杆本身的重力引起杆的轴向变形时杆的轴向会产生周期性的振动即杆的纵 向振动。这种振动可以通过弹性理论和动力学方程进行描述和预测。
影响因素
杆的纵向振动分析
０ 号Ｉ
一
吾
体简圈。 若横向挠度是微小的， 则由于挠度引
起 的变化 可以忽 略不 计 。 用 牛 顿第 二 定律 并 应
切具有质量 和弹性 的物体都能产生振 动，
没挠度 ｎ与与转角 ０ 均为微量 ， 运动方程是 ：
础 ＝Ｔ ０＋ （ ）一Ｔ Ｏ （） ２
系统 的振 荡运 动一 般 可能 是 有 害 的 ， 于有 害 的 对
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２９ 第月 ０２ 【 第 ｌ）年３１ 卷 期
Ｊｕ ａ ｏ ｈｎ沈阳航空工业学 院学报 ｌ ｎｉｅｒ ｇ ｏ ｒ ｌ ｆ ｅｙｎ ｓｔｔ ｏ Ａ ＊ｎｕｌ ｇ ｅ ｎ ｎ Ｓ ａｇｌ ｄｕｅ ｆ ｅ ａｔａ Ｅ ｎ ｉ ｎ ｏ ｅ
动的运动方程 。 这是一个二阶齐次偏微分方程 ， 式 中的常数 Ｃ为纵波在杆 内的传播速度 ， 故数学上 称为波动方程。
将式 （１ 、 １） １ ） （２ 代回式 （ ） ： ８ 得
ｕ ｘ， （ ｔ ）＝ Ｕ ）（ ） （ ｔ
３ 运动方程 的解
设 方程 ＝ 的解 为 （） ８
其 中 ｄ ＝ｐ ｄ ｍ Ａ ｘ是微 单元 出 的质量 ， 单 Ｐ为 位体积 的 质量 。 （ ）式 代 入方 程 （ ）化 简后 得 将 ４ ５
有频率。 从方程（ ） ９ 解出 Ｔ ｔ （）为
ｏ Ｏ Ｏ （ Ｔ（） ＝Ｃ『ｉｃ ２ＯＣ Ｃｓｎ（ 。 ６ ｔ ｓｎ ｔ＋ＣｅＳ ｔ＝ ｉ Ｃ ｌ ）
式（ ａ 代人式（ ） ８） ７ 井分离变量得
振动系统的杆纵 向振动是动力学分析中非常 重 要的问题 。 利用 本 文所 提 供 的方 法 在计 算 实 际
振 动问题 时是行之 有效 的。 参考文献 ：
［ ］ 美］ Ｓ谢， ＇ １： 】 ・ 【 Ｅ膝 尔著 ， 沈立 钩 、 张景绐 详
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)2
(
x)
0
通解： q(t) a sin(t )
(
x)
c1
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
c1, c2 , 由杆的边界条件确定 （确定杆纵向振动的形态，称为模态 ）
（杆的边界条件确定固有频率）
与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函 数 ，表示各坐标振幅的相对比值
由频率方程确定的固有频率 i 有无穷多个 （下面讲述）
x
达朗贝尔原理：
2020年3月20日
Sdx
2u t 2
(F
F x
dx) F
p(x,t)dx
7
《振动力学》
p( x, t )
0 x dx l
连续系统的振动 / 一维波动方程
x
u(x,t)
杆上距原点 x 处截面
在时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： F ES ES u
x
达朗贝尔原理：
Sdx
2u t 2
(F
F x
dx)
F
p(x,t)dx
S
2u t 2
x
(ES
u ) x
p(x,t)
杆的纵向强迫振动方程
等直杆ES 为常数
2u t 2
a02
2u x 2
1
S
p(x,t)
2020年3月a200日 E / 弹性纵波沿杆的纵向传播速度
8
《振动力学》
连续系统的振动 / 一维波动方程
（2）弦的横向振动
弦的定义: 很细长 弦两端固定，以张力 F 拉紧
机械振动理论
连续系统的振动
－实际振动系统都是连续体，具有连续分布的质量与弹性， 又称连续系统或分布参数系统
－确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此 连续体是具有无限多自由度的系统
－连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程 组，它是偏微分方程
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性
杆可以是变截面或等截面
质量密度及截面积 S 等都可以是 x 的函数
动力方程 ：
S
2u t 2
x
(ES
u ) x
p( x, t )
自由振动：
S
2u t 2
x
(ES
u ) x
主振动 ： u(x,t) (x)a sin(t )
)
x
p( x, t )
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程
等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数
p( x, t )
x dx
x
微段 dx 受力
pdx
T
T T dx x
I
p
dx
2
t 2
2020年2t23月20a日02
2
x2
1
I p
p( x, t )
G 剪切弹性波的
a0 纵向传播速度
11
《振动力学》
小结：
微段分析
0
x
p( x, t ) dx l
连续系统的振动 / 一维波动方程
dx
u u dx
x
x
u p(x,t)dx
F
F F dx
x
u(x,t) ：杆上距原点 x 处截面 t 时刻的纵向位移
微段应变：
(u
u x
dx) u
u
dx
x
Sdx
2u x 2
达朗贝尔 惯性力
横截面上内力： F ES ES u
(0) 0
c2 0
0
ku(l,t) ES u (l,t) x
k(l) ES (l,t)
x
k sin l ES cos l
a0
a0
a0
kx
l
u(x,t) (x)q(t)
(x)
c1
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
tg(l / a0 ) ES 常数
l / a0
kl
频率方程
振型函数：
2020年3月20日
自由端轴向力为零
x
l
边界条件 ： u(0,t) 0 (0) 0
ES u(l,t) 0 x
(l) 0
c2 0
cos l 0 频率方程
a0
固有频率：i
( 2i 1) 2
a
l
,
i 1,2,...
或：
i
i 2
a
l
,
i 1,3,5,...
模态函数：i (x)
ci sin(
2i 1
2l
x),
q(t)
(0) 0
(l) 0
不能恒为零
c2 0
固有频率：
i
ia0
l
sin l 0 频率方程
a0
(i 0,1,2, ) 无穷多个
模态函数：
i (x)
ci sin
ix
l
(i 0,1,2, )
由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去
2020年3月20日 《振动力学》
(x)
c1
达朗贝尔原理：
Adx 2 y F ( dx) F p(x,t)dx
t 2
x
令： a0 F / A 并考20虑20年到3：月20日 y
《振动力学》 x
2 y t 2
a02
2y x 2
1
p(x,t)
弦的横向强迫振动方程
a0 弹性横波的纵向传播速度
9
连续系统的振动 / 一维波动方程
杆的纵向振动
0
x
0
x
l
l
(0) 0 (l) 0
边界条件
(l) 0 (0) 0
l
cos 0 a0
频率方程
i
i 2
a
l
,
i 1,3,5,...
固有频率
i (x)
ci
sin(
i
2l
x),
i 1,3,5,... 模态函数
2020年3月20日 《振动力学》
cos l 0
i (x)
ci
sin
a0
x
22
《振动力学》
例： 一均质杆，左端固 定，右端与一集中 质量M固结
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
0
M
x
l
推导系统的频率方程
边界条件： u(0,t) 0
2020年3月20日 《振动力学》
M
2u t 2
(l , t )
ES
u x
(l , t )
自己推导！
23
主振型的正交性
q(t) ：运动规律的时间函数 (x) ：杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅
2020年3月20日
q(t) q(t)
a02
( x) (x)
（常数）
13
《振动力学》
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
q(t) q(t)
a02
'' (x) (x)
记： 2
q(t) 2q(t) 0
(
x)
(
a0
l 0
j
(ESi)dx
i2
l
0 Si jdx
分部积分：
l
0 j (ESi)dx
j
(ESi)
l 0
l 0
ESi j dx
任一端上总有 0 或 0 成立
2020年3月20日
l 0
ESi
j dx
i2
l
0 Si jdx
25
《振动力学》
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
(ESi) i2Si
0,1,2, )
ix
(i 0,1,2, l
)
频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同
零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移
2020年3月20(日x)
《振动力学》
c1
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
u(x,t) (x)q(t)
17
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
（3）一端固定，一端自由
0
特征：固定端位移为零
I
p
dx
2
t 2
达朗贝尔 惯性力偶
截面处扭矩 T
2020年3月20日
《振动力学》
I pdx ：微段绕轴线的转动惯量
10
连续系统的振动 / 一维波动方程
达朗贝尔原理：
I
p
dx
2
t 2
(T
T x
dx) T
pdx
0
I p
2
t 2
T x
p( x, t )
材料力学：
T
GI p
x
I p
2
t 2
x (GI p
2020年3月20日 14
《振动力学》
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
2u t 2
a02
2u x 2
q(t) a sin(t )
u(x,t) (x)q(t)
(x)
c1
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
i
一一对应
i (x)
第 i 阶主振动：
u(i) (x, t) aφi i (x) sin(it i ), (i 1,2 )
a0
i
i 2
a
l
,
i 1,3,5,...
i (x)