第四章(无限自由度系统的振动)解析
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振动力学第四章
因此，只有两个坐标独立。
L2
2
m2
y
(x2 , y2 )
能完备的描述系统运动的一组独立的坐标叫广义坐标。
本例202中0年1，月1可9日选(x1, x2 ) 作为广义坐标。 3
本例《振中动力，学》也可选(θ1,θ2 ) 作为广义坐标。
多自由度系统振动的基本知识
教学内容
4.1 广义坐标 4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式 4.3 线性变换和坐标耦合 4.4 无阻尼自由振动，特征值问题 4.5 模态向量的正交性和展开定理 4.6 系统对初始激励的响应
k3
0
k3
k3
2020年1月19日 12
《振动力学》
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
例3： 直接写出图示系统的质量矩阵、刚度矩阵及运动方程。
k5
P2(t)
k6
k1
P1(t) k2 m2
m1
k3
P3(t) k4
m3
解： 系统的质量矩阵为：
m1 0 0
[m] 0
5
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
刚度矩阵 [k] 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产 生
单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力
kij
Qi
qj qr
1 0(r
1, 2..., n, r
j)
例如
Q1
k11 Q1 k1 k2
k1 1
m1
k21 Q2 k2
m1 0
0
m2
位移向量为：
2020年1月19日 《振动力学》
{x}
L2
2
m2
y
(x2 , y2 )
能完备的描述系统运动的一组独立的坐标叫广义坐标。
本例202中0年1，月1可9日选(x1, x2 ) 作为广义坐标。 3
本例《振中动力，学》也可选(θ1,θ2 ) 作为广义坐标。
多自由度系统振动的基本知识
教学内容
4.1 广义坐标 4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式 4.3 线性变换和坐标耦合 4.4 无阻尼自由振动，特征值问题 4.5 模态向量的正交性和展开定理 4.6 系统对初始激励的响应
k3
0
k3
k3
2020年1月19日 12
《振动力学》
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
例3： 直接写出图示系统的质量矩阵、刚度矩阵及运动方程。
k5
P2(t)
k6
k1
P1(t) k2 m2
m1
k3
P3(t) k4
m3
解： 系统的质量矩阵为：
m1 0 0
[m] 0
5
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
刚度矩阵 [k] 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产 生
单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力
kij
Qi
qj qr
1 0(r
1, 2..., n, r
j)
例如
Q1
k11 Q1 k1 k2
k1 1
m1
k21 Q2 k2
m1 0
0
m2
位移向量为：
2020年1月19日 《振动力学》
{x}
第4章 振动系统的运动微分方程
(d)
分析杆 AB ，列写 AB 的运动微分方程，如图（c）
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=
−
l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A
−
l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量，由上述 9 个方程消去
解：系统具有两个自由度，选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ，受力图如图（b）所示。列写圆轮 A 的运动微分方程：
结构动力学之多自由度体系的振动问题
3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
第四章多自由度系统
j 1
j 1
js
js
r 1, 2, , n
(4.2 15)
因而有
n (kij
j1
lr
mij
)
u jr usr
lr mis
kis
js
i 1, 2, , n; r 1, 2, , n
(4.2 16)
对于某个确定的r，方程(4.2-16)是一个以 ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)为变量的n个非 齐次方程，取其中的n-1个方程求解，就得 到ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)的值，是使第s 个比值为1得到的，这些值是确定的。从而 得到
对于线性系统，系统的动能可表示为
T
1 2
n i 1
n
mijqi q j
j 1
(4.1 6)
或
T 1 qT M q
2
(4.1 7)
式中mij是广义质量。质量矩阵[M]是实对 称矩阵，通常是正定矩阵，只有当系统中 存在着无惯性自由度时，才会出现半正定
的情况。q为广义速度向量。
n
－ f (t) f (t)
kij u j
j1
n
mij ui
j1
i 1, 2,..., n
(4.2-4) (4.2-5)
方程表明，时间函数和空间函数是可以分离 的，方程左边与下标i无关，方程右边与时间 无关。因此，其比值一定是一个常数。
f(t)是时间的实函数，比值一定是一个实数，
把势能函数在系统平衡位置近旁展为Taylor级 数，有
n U 1 n n 2U
U
汽车振动分析
汽车振动分析编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（汽车振动分析）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为汽车振动分析的全部内容。
研究生试卷2013 年—2014年度第 2 学期评分:______________________课程名称：振动理论专业：车辆工程年级: 2013级任课教师：李伟研究生姓名：王荣学号： 2130940008注意事项1.答题必须写清题号;2.字迹要清楚,保持卷面清洁;3.试题随试卷交回；4.考试课按百分制评分，考查课可按五级分制评分；5.阅完卷后，授课教师一周内将成绩在网上登记并打印签名后，送研究生部备案；6.试题、试卷请授课教师保留三年被查。
《汽车振动分析》总结王荣(重庆交通大学机电与汽车工程学院重庆 400074）摘要：本课程由浅入深、循序渐进,从单自由度系统的简单问题逐渐加深到多自由度的分析，甚至是无限自由度系统，并从简单激励的振系逐渐推广到随机激振振系。
作为汽车理论及汽车设计等课程的基础，其对于分析汽车的行驶平顺性、乘坐舒适性、发动机的减振和隔离等具有良好的参考价值。
关键词:单自由度;多自由度；简单激振；随机激振The Conclusion of “Automotive VibrationAnalysis”Abstract: The course progressively， step by step, gradually discusses from the simple question of a single degree of freedom system to the analysis of a multi—degree of freedom system， even to the analysis of the infinite degree of freedom system. In addition， the course extends from simple energized vibration system to random energized vibration system. As the basis of Vehicle Theory and Vehicle Design, this course has direct reference value for the analysis of vehicle ride, comfort of passenger， engine vibration damping and isolation.Keywords：Single-Degree—of-Freedom; Multi—Degree—of—Freedom; Simple Energized Vibration System ;Random Energized Vibration System0 引言随着科学技术的日新月异和人民生活水平的日益提高，人们对汽车的动态性能,例如：汽车行驶的舒适性，操纵的稳定性，车内噪声水平及音质等等——提出了愈来愈高的要求。
第四章(第2,3节) 两自由度系统的振动
1 cos 3
k t 2 cos m3
5k t 2m
x2
1 3
cos1t
1 3
cos2t
1 cos 3
k t 1cos m3
5k t 2m
▲若初始条件符合第一阶固有振型，则运动是按固有频
率▲若1的初简始谐条振件动符，合不第出二现阶频固率有振2的型振，动则；运动是按固有频
▲率若2的给简出谐的振任动意，初不始出条现件，1的则振运动动；将为两种固有振型的
1) 1)
C2 sin(2t 2 ) C2r2 sin(2t
2
)
x1 x2
C11 cos(1t C1r11 cos(1t
1) 1)
C22 cos(2t 2 ) C2r22 cos(2t
2
)
式中四个常数C1, C2和1, 2，由上面的四个(4方.3程-1)
0 C11 cos1 C22 cos2
0 C11 cos1 0.5C22 cos2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解初始条件的响应（例4.3-1）
求得
C1=1/3，C2=2/3，1=2= 90
代入方程(4.1-17)，得
x1
1 3
cos1t
2 3
cos2t
于是得到两个固有频率为
1
g, l
2
g l
2
k m
a2 l2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
系统的固有振型可以由下面方程求出
i2
ml 2
机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
(4.19)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
无限自由度体系振动(第15讲,11月23日)
=0
频率方程
cos λl cosh λl +1= 0
解得： 解得： 当 i=1,2,3时 λ1l =1.875 时
λ2l = 4.694
λ3l = 7.855
2i −1 当 i ≥ 3时 λil ≈ π , (i = 3,4,⋯ ) 2 EI 2 各阶固有频率： ωi = (λil) 各阶固有频率： , (i =1,2,⋯ ) 4 ρSl
0
y
x
φ(0) = 0 φ′′(0) = 0 φ(l) = 0 φ′′(l) = 0
A =0 4
A = A =0 1 3 A sin λl + A sinh λl = 0 2 4 −A sin λl + A sinh λl = 0 2 4
频率方程： 频率方程： sin λl = 0
iπ 2 EI , (i = 1,2,⋯ ) 固有频率： 固有频率： ωi = ( ) l ρS ω2 2 EI 4 ϕ(x) = A cos λx + A2 sin λx + A3 cosh λx + A4 sinh λx λ = 2 a0 = 1 a0 ρS
再来看空间方程
ϕ '''' ( x ) − λ ϕ ( x ) = 0
4
假定解的形式为： 假定解的形式为：
ϕ ( x ) = De
由此可得： 由此可得：
αx
α = ± λ , ± iλ
无限自由度体系的振动 / 单跨梁的横向弯曲自由振动
于是可得： 于是可得：
ϕ ( x ) = D1eiλ x + D2e −iλ x + D3eλ x + D4 e− λ x
无限自由度体系的振动 / 单跨梁的横向弯曲自由振动
多自由度系统振动理论及应用
多自由度系统的作用力方程
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:
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４.１
多自由度系统的振动微分方程
或更一般地写成
该式可简单地写成
式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与 个 别 人 难 以 相 处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不 良 。 因 此 ,常 会 影 响 情 绪 ,如 鲠 在 喉 。
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返回
任 务 一了解自己与人交往的现状
3. 与 他 人 交 往 平 淡
一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任 务 一 了解自己与人交往的现状
2
任 务 二 调整不良交际心态
任 务 一了解自己与人交往的现状
任 务 提 出 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 。
任 务 目 标 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 ,激 发 学 习 热 情 ,明 确 努
力方向。
喜欢独来独往。
(3) 嫉 妒 心 理 。 部 分 大 学 生 不 能 正 确 对 待 别 人 的 长 处 和 优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽 刺 、 挖 苦 、 打 击 、 嘲 笑 等 不 当 方 式 ,给 别 人 造 成 伤 害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
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对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:
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４.１
多自由度系统的振动微分方程
或更一般地写成
该式可简单地写成
式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与 个 别 人 难 以 相 处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不 良 。 因 此 ,常 会 影 响 情 绪 ,如 鲠 在 喉 。
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任 务 一了解自己与人交往的现状
3. 与 他 人 交 往 平 淡
一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任 务 一 了解自己与人交往的现状
2
任 务 二 调整不良交际心态
任 务 一了解自己与人交往的现状
任 务 提 出 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 。
任 务 目 标 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 ,激 发 学 习 热 情 ,明 确 努
力方向。
喜欢独来独往。
(3) 嫉 妒 心 理 。 部 分 大 学 生 不 能 正 确 对 待 别 人 的 长 处 和 优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽 刺 、 挖 苦 、 打 击 、 嘲 笑 等 不 当 方 式 ,给 别 人 造 成 伤 害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
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振动力学4.1
得很紧，F变化很小，视为常量（仅方向变化），以变形前弦的方向为 x 轴，横向挠度为 y( x, t ) ， y
x
则微段 dx 依据达朗贝尔原理得：
2 y y l 2 F t x x
2 y l dx 2 F sin( dx) F sin 0 t x
- 2 的合理性，否则解 q(t )将趋于无穷；它与单自由度线性振动方
程相同，其通解为
q(t ) A sin(t )
" ( x) ( x) 0 a
2
(简谐振动。 ）
解 (x) 确定杆纵向振动的形态—模态 其一般形式为
( x) C1 sin
2 2 u( x, t ) ( x)q(t ) 代入方程 u ( x, t ) a 2 u ( x, t ) 由分离变量法，令 2 2
t
x
( x)q(t ) a 2 q(t )" ( x)
q(t ) 2 " ( x) a 2 q(t ) ( x)
2u 2u Adx 2 EA 2 dx 0 t x
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) a2 t 2 x 2
称为一维波动方程
a
E
为弹性纵波沿杆的纵向传播速度。
2.
弹性弦横向振动 设弦两端固定且为张力F所拉紧，弦的长度单位质量为 l ，因弦绷
解:
设
x
坐标如图
等截面直杆纵向振动偏微分方程为
A
2u 2u dx 2 EA 2 dx g t x
2u Eg 2u 2 t x 2
( x) C1 sin x
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(一) 直杆的纵向振动微分方程
(
x)
A(
x
)
2 u(
t
x
2
,
t
)
u(x, t)
[E(x) A(x)
]
x
x
f
(x, t )
（直杆纵向受迫振动微分方程）
2u(x,t) c2 2u(x,t) 1 f (x,t)
t2
x2 A
c E
(均匀材料等截面直杆的纵向受迫振动方程)
(二) 杆的纵向固有振动
u fdx
u
N
N N dx x
A
u dx x
C
u
u
AB u u dx x
B
x
dx
(一) 直杆的纵向振动微分方程
dx
u u dx x
u fdx
N
N N dx x
微段的轴向应变： (x,t)
u
u( x, t
x
)
dx
u
u(x,t)
dx
x
横截面轴向力：
N ( x, t )
E(x) (x,t)A(x)
第四章：无限自由度系统的振动
第一讲： 弹性杆的纵向振动
弹性杆的纵向振动
y
u( x, t )
x
图 弹性杆的纵向振动
杆的纵向振动主要研究杆的任一截面沿 x 方向（轴线）的振动规律。
弹性杆的纵向振动
【纵向振动的例子】
火箭的纵向耦合振动 POGO vibration
大型液体火箭的结构与推进系统相互作用而产生的不稳定振动。 其特征频率是由结构纵向振动与推进剂输送管路振动的固有频率彼 此接近或相等时所产生的一个共振频率，它的幅值开始于动力飞行 过程中的某瞬间,随后达到最大,最后减弱。幅值达到最大时会引起 火箭剧烈振动，使整个火箭出现不稳定状态。振动量级超过设计允 许值时会影响火箭上仪器、设备的工作可靠性。对于载人航天器, 还会导致航天员生理失调,如视力模糊等。
u( x, t )
f (x,t)
o
x dx
x
l
长度为 l 材料弹性模量为 E(x)
横截面积为 A(x)
体密度为(x)
u(x, t) 表示坐标为 x 的截面在时刻 t 的纵向位移
f (x, t) 是作用在杆上的纵向分布力
(一) 直杆的纵向振动微分方程
u( x, t )
f (x,t)
o
x
dx
l
x
dx
u u dx x
第四章 无限自由度系统的振动
m
k
c
引言
u1
2k
k
m
c
u2
mk
u3
2k
m
离散系统
引言
连续系统 分布参数系统 无限自由度系统
引言
杆：以拉压为主要变形的构件 F
轴：以扭转为主要变形的杆 T
梁：以弯曲为主要变形的杆
F
T
F
一个方向的尺寸远 大于其他两个方向 的尺寸
板：一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸的构件
各阶固有频率
n
n c
l
n
l
E,
n 1, 2,
(二) 固有振动
U(x) a2 sin c x
n
n c
l
n
l
E,
n 1, 2,
Un (x)
sin n
c
x
sin
n
l
x
x l
(二) 固有振动
【例2】：求一端固定一端自由杆的纵向振动的固有频率和固有振型。
y
固有振型函数：
U
(x)
a1
cos
c
x
a2
sin
c
x
x l
边界条件：
U (0) 0,U(l) 0
a1 0,
a2 c cos c l 0
各阶固有频率
cos l 0
c
n
(n
1) 2
1.固有振动
2u(x, t)
t2
c2
2u(x, t)
x2
（分离变量法）
u(x,t) U(x)q(t)
U (x)q(t) c2q(t)U (x)
q(t) c2 U (x) 2
q(t) U (x)
U (x) ( )2U (x) 0
c
q(t) 2q(t) 0
(二) 固有振动
U (x) ( )2U (x) 0
引言
连续系统与离散系统不同之处：
u
o x
A
u( x, t )
x
A
1. 连续系统的振动是时间和空间坐标的函数 2. 连续系统的运动方程要用偏微分方程来描述 3. 连续弹性体有无限多个固有频率和固有振型
引言
连续系统与离散系统相似之处：
1. 连续系统固有振型关于质量与刚度具有加权正交性 2. 连续系统的自由振动可表示为各阶固有振动的线性叠加 3. 对弹性体的振动，模态叠加法、模态截断等方法同样适用
2.边界条件 y
x
简单边界条件
固定端： u 0
U 0
自由端： N EA u 0 x
U 0
(二) 固有振动
【例1】：求两端固定杆的纵向振动固有频率和固有振型。
固有振型函数：
U
(x)
a1
cos
c
x
a2
sin
c
x
a1 0,
a2 sin c l 0
sin l 0
c
x l
边界条件：
U(0) 0, U(l) 0
基本假设： 微振动假设 研究对象为理想弹性体，即匀质分布，各向同性和服 从胡克定律。
引言
实际工作中，如何分析连续系统的振动？
（1）首先判定是否是简单几何和边界条件的系统，如果是，则可获得 系统固有振动特性和响应的解析解（本章内容）
（2）如是复杂几何和边界条件的系统，则用有限单元法求解
图 利用有限单元法将连续系统（阿波罗飞船） 离散化为离散系统
弹性杆的纵向振动
神六减轻“第120秒痛苦”
“神五” 火箭发射后120秒时，火箭箭 体的纵向振动和液氧输送管路中的液氧水 平振动出现了耦合，形成一种纵向耦合振 动，造成航天员的痛苦。
神六设计时便改动了氧气输送管道的 一个参数。结果虽然还存在耦合振动，但 航天员的痛苦大大减轻。
图 神州五号飞船
(一) 直杆的纵向振动微分方程
E( x) A( x)
u( x, t )
x
( x) A( x)dx
2u( x, t )
t2
[N(x,t)
N ( x, t )
x
dx
]
N ( x, Байду номын сангаас )
f
( x, t )dx
(x) A(x) 2u(x, t)
u(x, t)
[E(x) A(x)
] f (x,t)
t2
x
x
（直杆纵向受迫振动微分方程）
引言
1744年， Euler研究了梁的横向自由振 动，导出了铰支、固定和自由三类边界 条件下的振型函数与频率方程 1759年， Euler解决了矩形膜的自由振 动问题 1814-1850年，Poisson、Kirchhoff、 Navier建立板弯曲振动理论。
瑞士-俄罗斯科学家 Euler（1707-1783）
c
q(t) 2q(t) 0
U
(
x)
a1
cos
c
x
a2
sin
c
x
q(t) b1 cost b2 sint
u(x,t) U (x)q(t)
(a1
cos
c
x
a2
sin
c
x)(b1
cos
t
b2
sin
t)
固有振动的 表达式
a1, a2 ,
固有振型函数
由边界条件确定 b1, b2
由初始条件确定
(二) 固有振动