浙江省杭州市2020届高三下学期教学质量检测数学试题 Word版含答案
2019学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测
数学试卷
一、选择题
1.设集合A={}
2
|4x y x =-(){|1},B x y ln x ==+则A∩B=( )
()[](][].2,2. 2.2.1,2. 1.2A B C D ----
2.设M 为不等式10
10
x y x y +-<⎧⎨-+>⎩所表示的平面区域,则位于M 内的点是( )
()()()0,22,00,2.(20)A B C D --
3.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A 76
B ．54
C ． 43
D ．53
4,3n n a =是”函数()()R |1|||f x x x a x =-+-∈的最小值等于2”的( )
A 充分不必要条件B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件D.充要条件
5.在我国古代数学著作《详解九章算法》中,记载着如图所示的一张数表,表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和,如:6=3+3则这个表格中第8行第6个数是( ) A.21
B.28
C.35
D.56
6.函数1
(41
x
y e x =
--其中e 为自然对数的底数)的图象可能是( )
7.抛掷一枚质地均匀的硬币,若出现正面朝上则停止抛掷,至多抛掷n i 次,设抛掷次数为随机变量,1,2.i i ξ=若n 1=3n 2=5,则( )
()()()()()()()12122112.(),.,A E E D D B E D E D ξξξξξξξξ<<＜＜＜ ()()()()()()()()()121212212.,).,,C E E D D D E D D E D ξξξξξξξξξ><>> 8.已知函数()sin()(0)
cos(),(0)x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数,则ab 的值可能是( )
.,33A a b π
π
=
=
2.,36B a b ππ=
=
25.,.,3636C b D a b ππππ
====
9.设a,b,c 为非零不共线向量,若|(1)||()a tc t b a c t R -+--∈…则(
()().A a b a c +⊥-()().*B a b b c +⊥ ()().C a c a b -⊥+()().D a c b c -⊥+
()
*113
10.{}.44
n n n a a n a N +=
-∈数列满足若存在实数c.使不等式a 2n <c<a 2n-1 对任意n ∈N *恒成立,当11a =时,c=( ) A ．16B ．14 C ．13
D ．12
二、填空题 11.设复数1,,)1z a i bi b z
a i i
R =-=+∈+且
（为虚数单位则ab= ▲ |z|= ▲ 6
112.x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的的展开式的所有二次项系数和为 ▲ 常数项为 ▲
13.设双曲线()22
22,10,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点为F,2P 为该双曲线上一点
且12|2||3|PF PF =若2160,F F P ︒=∠则该双曲线的离心率为 ▲ 渐近线方程 为 ▲
14.在ABC V 中,若()22,22
A
sin A sin B C cosBsinC =+=. 则_____,
_____AC
A AB
== 15.已知S n 是等差数列{}n a 的前n 项和,若244,16,S S 厔
则a 3的最大值是 ▲ 16.安排ABCDEF 共6名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人,每两位志愿者照顾一位老人,考虑到志愿者与老人住址距离问题,志愿者A 安排照顾老人甲,志愿者B 不安排照顾老人乙,则安排方法共有 ▲ 种
17.已知函数()()3|||3|,.f x x a x R b a b =-+-∈当[]()0,2.,x f x ∈的最大值为
(),,M a b 则(),M a b 的最小值为 ▲
三、解答题 18.已知函数()2133,0222
f x sin x co x s ωωω=
+-> (1)若ω=1.求()f x 的单调递增区间
2)若 1.3f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
求()f x 的最小正周期T 的最大值
19.如图,在四棱锥P=ABCD 中,PC ⊥底面ABCD,底面ABCD 是直角梯形
.AB AB CD AD ⊥P AB=2AD=2CD=2，E 是PB 上的点
(1)求证:平面EAC ⊥PBC;
(2)若E 是PB 的中点,且二面角P AC E ︒--的余弦值为6
3
,求直线PA 与平 面EAC 所成角的正弦值
20.(本题满分15分)已知数列{}n a 的各项均为正数,a 1=14，b n n a ,{}n b 是等差数列,
其前n 项和为26,81.n S S b =⋅ (1)求数列{a n }的通项公式
()()()3
1212123(2)111,,n n n n n
c c c a a a a a a a T c c =--⋅⋅-=
+++L 若对任意的正整数n,都有4aT n <c 恒成立,求实数a 的取值范围
21.(本题满分15分)如图,已知M(1,2)为抛物线()220:C y px p =>上一点，过点
()2,2D -的直线与抛物线C 交于AB 两点(AB 两点异于M),记直线AM,BM 的料率分别为k 1,,,,k 2 (1)求k 1k 2的值
(2)记,BMD AMD V V 的面积分别为S 1,S 2,当[]11,2,k ∈L
求
1
2
S S 的取值范围
22.(本题满分15分)已知函数()()()ln ,0.x a f x e x a x -=-+…其中0,a > (1)若a=l.求证:()0.f x >
(2)若不等式()211ln 2f x x a ++-…对0x ≥恒成立,试求a 的取值范围。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数文档：第三部分 2020高考仿真模拟卷(六) Word版含解析
2020高考仿真模拟卷(六)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足z (1＋i)＝|－1＋3i|，则复数z 的共轭复数为( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i答案 C解析 由z (1＋i)＝|－1＋3i|＝(－1)2＋(3)2＝2，得z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，∴z －＝1＋i.故选C.2．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集的个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7答案 B解析 依题意，在同一平面直角坐标系中分别作出x 2＝4y 与y ＝x 的图象，观察可知，它们有2个交点，即A ∩B 有2个元素，故A ∩B 的真子集的个数为3，故选B.3．已知命题p ：“∀a >b ，|a |>|b |”，命题q ：“∃x 0<0,2x 0 >0”，则下列为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．p ∨qD ．p ∨(綈q ) 答案 C解析 对于命题p ，当a ＝0，b ＝－1时，0>－1， 但是|a |＝0，|b |＝1，|a |<|b |，所以命题p 是假命题． 对于命题q ，∃x 0<0,2x 0 >0，如x 0＝－1,2－1＝12>0. 所以命题q 是真命题，所以p ∨q 为真命题．4．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A－b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 A解析 由题意，得a 2－b 2＝4c 2，则－14＝cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴c 2－4c 22bc ＝－14，∴3c 2b ＝14，∴b c ＝32×4＝6，故选A.5．执行如图所示的程序框图，则输出的T ＝( )A ．8B ．6C ．7D ．9答案 B解析 由题意，得T ＝1×log 24×log 46×…×log 6264＝lg 4lg 2×lg 6lg 4×…×lg 64lg 62＝lg 64lg 2＝6，故选B.6．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝2sin x cos x 的图象( )A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位 答案 C解析 将函数y ＝2sin x cos x ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位可得到y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，故选C.7．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且经过点(2,2)，则双曲线的实轴长为( )A ．12B ．1C ．2 2D ． 2答案 C解析 由题意双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，即ca ＝3⇒c 2＝3a 2.又由c 2＝a 2＋b 2，即b 2＝2a 2，所以双曲线的方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，又因为双曲线过点(2,2)，代入双曲线的方程，得4a 2－42a 2＝1，解得a ＝2，所以双曲线的实轴长为2a ＝2 2.8．若x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋7≥0，2x ＋y ≥3，3x －y ＋1≤0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．5B ．11.6C ．17D ．25答案 C解析 作出不等式组所表示的可行域如下图所示，则x 2＋y 2的最大值在点B (1,4)处取得，故x 2＋y 2的最大值为17.9．设函数f (x )＝|lg x |，若存在实数0<a <b ，满足f (a )＝f (b )，则M ＝log 2a 2＋b 28，N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，Q ＝ln 1e 2的关系为( )A ．M >N >QB ．M >Q >NC ．N >Q >MD ．N >M >Q答案 B解析 ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |， ∴lg a ＋lg b ＝0，即ab ＝1， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝1a ＋b ＋2＝1a ＋1a ＋2<12＋2＝14， ∴N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2<－2， 又a 2＋b 28>ab 4＝14，∴a 2＋b 28>14>⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2， ∴M ＝log 2a 2＋b 28>－2， 又Q ＝ln 1e 2＝－2，∴M >Q >N .10．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1的中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是( )A ．10B ．4＋ 3C ．2＋ 3D ．4＋ 3答案 D解析 ①从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝AM 2＋AN 2＝12＋(2＋1)2＝10.②从底面到N 点，沿棱柱的AC ，BC 剪开、展开，如图2. 则MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos120°＝12＋(3)2＋2×1×3×12＝4＋3，∵4＋3<10，∴MN min ＝4＋ 3.11．(2019·江西景德镇第二次质检)已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，点P 在抛物线上，点A (0，－1)，则|PF ||P A |的最小值是( )A ．22B ．32C ．1D ．12答案 A解析 由题意可得，抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1，过点P 作PM 垂直于准线，垂足为M ，由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |，则|PF ||P A |＝|PM ||P A |＝sin ∠P AM ，因为∠P AM 为锐角，故当∠P AM 最小时，|PF ||P A |最小，即当P A 和抛物线相切时，|PF ||P A |最小，设切点P (2a ，a )，由y ＝14x 2，得y ′＝12x ，则切线P A 的斜率为12×2a ＝a ＝a ＋12a ，解得a ＝1，即P (2,1)，此时|PM |＝2，|P A |＝22，所以sin ∠P AM ＝|PM ||P A |＝22，故选A.12．(2019·天津部分区一模联考)已知函数y ＝f (x )的定义域为(－π，π)，且函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈(0，π)时，f (x )＝πln x －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x (其中f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝f (log π3)，b ＝f (log 139)，c ＝f (π13 )，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．c >b >aD ．b >c >a答案 D解析 ∵f (x )＝πln x －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ，∴f ′(x )＝πx －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2＝2，即f ′(x )＝πx －2cos x ，当π2≤x <π时，2cos x ≤0，f ′(x )>0；当0<x <π2时，πx >2,2cos x <2，∴f ′(x )>0，即f (x )在(0，π)上单调递增，∵y ＝f (x ＋2)的图象关于x ＝－2对称，∴y ＝f (x ＋2)向右平移2个单位得到y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )为偶函数，b ＝f (log 139)＝f (－2)＝f (2)，0＝log π1<log π3<log ππ＝1,1＝π0<π13<π12 <2，即0<log π3<π13 <2<π，∴f (2)>f (π13 )>f (log π3)，即b >c >a .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，－1)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案10解析 由题意，得a ·b ＝|a ||b |cos45°＝2×1×22＝1，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝2＋4×1＋4×1＝10，所以|a ＋2b |＝10.14．已知函数f (x )＝ax －log 2(2x ＋1)(a ∈R )为偶函数，则a ＝________. 答案 12解析 由f (x )＝f (－x )，得ax －log 2(2x ＋1)＝－ax －log 2(2－x ＋1)，2ax ＝log 2(2x＋1)－log 2(2－x＋1)＝log 22x ＋12－x ＋1＝x ，由于x 的任意性，所以a ＝12.15．如图，为测量竖直旗杆CD 的高度，在旗杆底部C 所在水平地面上选取相距421 m 的两点A ，B 且AB 所在直线为东西方向，在A 处测得旗杆底部C 在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D 的仰角为60°；在B 处测得旗杆底部C 在东偏北10°方向上，旗杆顶部D 的仰角为45°，则旗杆CD 的高度为________ m.答案 12解析 设CD ＝x ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝45°，∴BC ＝x ，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，∴AC ＝CD tan60°＝x 3，在△ABC 中，∠CAB ＝20°，∠CBA ＝10°，AB ＝421， ∴∠ACB ＝180°－20°－10°＝150°，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°， 即(421)2＝13x 2＋x 2＋2·x 3·x ·32＝73x 2，解得x ＝12.即旗杆CD 的高度为12 m.16．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中， M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若|PC →|＝2，则(P A →·PB →)·(PC →·PM→) 的最小值是________．答案 32－24 2解析 根据题意，建立平面直角坐标系， 如图所示，则C (0,0)，B (2,0)，A (0,2)，M (1,1)，由|PC→|＝2，知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，设点P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0,2π)； 则P A →＝(－2cos θ，2－2sin θ)， PB→＝(2－2cos θ，－2sin θ)，PC →＝(－2cos θ，－2sin θ)， PM→＝(1－2cos θ，1－2sin θ)， ∴(P A →·PB →)·(PC →·PM →)＝[(－2cos θ)(2－2cos θ)＋(－2sin θ)(2－2sin θ)]·[(－2cos θ)(1－2cos θ)＋(－2sin θ)(1－2sin θ)]＝(4－4cos θ－4sin θ)(4－2cos θ－2sin θ) ＝8(3－3cos θ－3sin θ＋2sin θcos θ)， 设t ＝sin θ＋cos θ，∴t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[－2，2]，∴t 2＝1＋2sin θcos θ， ∴2sin θcos θ＝t 2－1，∴y ＝8(3－3t ＋t 2－1)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－2，当t ＝2时，y 取得最小值为32－24 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1＝164，1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，n ∈N *.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q >0， 因为1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，所以1a 1q n －1－1a 1q n ＝2a 1q n ＋1，因为q >0，解得q ＝2，所以a n ＝164×2n －1＝2n －7，n ∈N *.4分(2)b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2＝(－1)n ·(log 22n －7)2＝(－1)n ·(n －7)2， 设c n ＝n －7，则b n ＝(－1)n ·(c n )2，6分T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝－(c 1)2＋(c 2)2＋[－(c 3)2]＋(c 4)2＋…＋[－(c 2n －1)2]＋(c 2n )2＝(－c 1＋c 2)(c 1＋c 2)＋(－c 3＋c 4)·(c 3＋c 4)＋…＋(－c 2n －1＋c 2n )(c 2n －1＋c 2n )＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝2n [－6＋(2n －7)]2＝n (2n －13)＝2n 2－13n .12分18．(2019·四川百校模拟冲刺)(本小题满分12分)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D 是棱AB 的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)若AA 1⊥平面ABC ，AB ＝2，BB 1＝4，AC ＝BC ，E 是棱BB 1的中点，当二面角E －A 1C －D 的大小为π4时，求线段DC 的长度．解 (1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，连接DF ，而D 是AB 的中点，则BC 1∥DF ，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .4分(2)因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥CD ，又AC ＝BC ，E 是棱BB 1的中点， 所以DC ⊥AB ，所以DC ⊥平面ABB 1A 1，5分以D 为坐标原点，过D 作AB 的垂线为x 轴，DB 为y 轴，DC 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设DC 的长度为t ，则C (0,0，t )，E (2,1,0)，A 1(4，－1,0)，D (0,0,0)，所以EA 1→＝(2，－2,0)，A 1C →＝(－4,1，t )，DA 1→＝(4，－1，0)，DC →＝(0,0，t )， 分别设平面EA 1C 与平面DA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎨⎧2x 1－2y 1＝0，－4x 1＋y 1＋tz 1＝0，令x 1＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，3t ，同理可得n ＝(1,4,0)，9分 由cos 〈m ，n 〉＝1＋417×2＋9t 2＝22，解得t ＝3174， 所以线段DC 的长度为3174.12分19．(2019·湖南长沙统一检测)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于点B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝43.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与l 1，l 2交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .解 (1)连接AF 2，由题意，得|AB |＝|F 2B |＝|F 1B |， 所以BO 为△F 1AF 2的中位线，又因为BO ⊥F 1F 2，所以AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝2|BO |＝b 2a ＝83， 又e ＝c a ＝13，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝9，b 2＝8， 故所求椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.4分 (2)证明：由题意可知，l 1的方程为x ＝－3， l 2的方程为x ＝3.直线l 与直线l 1，l 2联立可得M (－3，－3k ＋m )，N (3,3k ＋m )，又F 1(－1,0)， 所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m )，F 1N →＝(4,3k ＋m )，所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 28＝1，y ＝kx ＋m ，得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0.7分 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(18km )2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0，化简，得m 2＝9k 2＋8. 所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2＝0， 则F 1M →⊥F 1N →，故∠MF 1N 为定值π2.10分 同理F 2M →＝(－4，－3k ＋m )，F 2N →＝(2,3k ＋m )， 因为F 2M →·F 2N →＝0，所以F 2M →⊥F 2N →，∠MF 2N ＝π2. 故∠MF 1N ＝∠MF 2N .12分20．(本小题满分12分)某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1 kg 的包裹收费10元；重量超过1 kg 的包裹，除1 kg 收费10元之外，超过1 kg 的部分，每超出1 kg(不足1 kg ，按1 kg 计算)需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近(1)计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率； (2)①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？解 (1)样本中包裹件数在101～400之间的天数为48，频率f ＝4860＝45，故可估计概率为45.显然未来3天中，包裹件数在101～400之间的天数X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，45， 故所求概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫452×15＝48125.4分(2)①样本中快递费用及包裹件数如下表：10×43＋15×30＋20×15＋25×8＋30×4100＝15(元)，故该公司对每件包裹收取的快递费的平均值可估计为15元.6分②根据题意及①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加15×13＝5(元)，将题目中的天数转化为频率，得；8分 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：10分 因975<1000，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.12分 21．(2019·江西南昌一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x (－x ＋ln x ＋a )(e 为自然对数的底数，a 为常数，且a ≤1)．(1)判断函数f (x )在区间(1，e)内是否存在极值点，并说明理由； (2)若当a ＝ln 2时，f (x )<k (k ∈Z )恒成立，求整数k 的最小值． 解 (1)f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x ＋a －1，令g (x )＝ln x －x ＋1x ＋a －1，x ∈(1，e)， 则f ′(x )＝e x g (x )，2分 g ′(x )＝－x 2－x ＋1x 2<0恒成立， 所以g (x )在(1，e)上单调递减， 所以g (x )＜g (1)＝a －1≤0， 所以f ′(x )＝0在(1，e)内无解．所以函数f (x )在区间(1，e)内无极值点.5分(2)当a ＝ln 2时，f (x )＝e x (－x ＋ln x ＋ln 2)，定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x ＋ln 2－1， 令h (x )＝ln x －x ＋1x ＋ln 2－1， 由(1)知，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12>0，h (1)＝ln 2－1＜0，所以存在x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得h (x 1)＝0，且当x ∈(0，x 1)时，h (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )＜0，即f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (x 1)＝e x 1(－x 1＋ln x 1＋ln 2).8分由h (x 1)＝0，得ln x 1－x 1＋1x 1＋ln 2－1＝0，即ln x 1－x 1＋ln 2＝1－1x 1，所以f (x 1)＝e x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1，x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令r (x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则r ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x ＋1>0恒成立，所以r (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，所以r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<r (x )<r (1)＝0，所以f (x )max ＜0，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－ln 2＋ln 2＝－e 2>－1，所以－1＜f (x )max ＜0，所以若f (x )＜k (k ∈Z )恒成立，则k 的最小值为0.12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝2y 得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x 0，y 0)，求3x 0＋12y 0的取值范围．解 (1)由直线l 的参数方程消去参数可得它的普通方程为3x ＋y －23－1＝0，由ρ＝2两端平方可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.4分(2)曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝2y得到曲线C ′的方程为x ′2＋y ′24＝4，即x ′24＋y ′216＝1，则点M 的参数方程为⎩⎨⎧x 0＝2cos θ，y 0＝4sin θ(θ为参数)，代入3x 0＋12y 0，得3×2cos θ＋12×4sin θ＝2sin θ＋23cos θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，由三角函数的基本性质，知4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－4,4].10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>x －1；(2)若关于x 的不等式f (x )>4有解，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，即解不等式|x －1|－|3x ＋2|>x －1.当x >1时，不等式可化为－2x －3>x －1，即x <－23，与x >1矛盾，无解． 当－23≤x ≤1时，不等式可化为－4x －1>x －1， 即x <0，所以解得－23≤x <0.当x <－23时，不等式可化为2x ＋3>x －1，即x >－4，所以解得－4<x <－23.综上所述，所求不等式的解集为(－4,0).5分(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ＋2，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －a －2，x >a ，7分因为函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞上单调递减，所以当x ＝－23时，f (x )max ＝23＋a ，8分 不等式f (x )>4有解等价于f (x )max ＝23＋a >4， 解得a >103.故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞.10分。
2020届高考数学(文)二轮复习专题过关检测：专题3 不等式 Word版含答案
2020届高考数学（文）二轮复习专题过关检测专题3 不等式1．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－1或x ≥92 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤92 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－92或x ≥1D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－92≤x ≤1 解析：选D 不等式(x ＋5)(3－2x )≥6可化为2x 2＋7x －9≤0，所以(2x ＋9)(x －1)≤0，解得－92≤x ≤1.所以不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－92≤x ≤1.故选D. 2．设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( ) A ．ac 2>bc 2B.ab>1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C 若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；若b <0，则a b<1，故B 错；不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；若a ，b 都小于0，则a 2<b 2，故D 错．于是选C.3．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－3解析：选D 由题意得，不等式x 2－2x －3<0的解集A ＝(－1,3)，不等式x 2＋x －6<0的解集B ＝(－3,2)．所以A ∩B ＝(－1,2)，即不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为(－1,2)，所以a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0表示的可行域为Ω，则( )A ．原点O 在Ω内B ．Ω的面积是1C ．Ω内的点到y 轴的距离有最大值D ．若点P (x 0，y 0)∈Ω，则x 0＋y 0≠0。
2020届高考数学二轮教师用书：第七章第3节 直线、平面平行的判定与性质 Word版含解析
姓名，年级：时间：第3节 直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a ∩α＝∅a ⊂α，b ⊄α，a ∥ba ∥αa ∥α，a ⊂β，α∩β＝b结论a ∥αb ∥αa ∩α＝∅a ∥b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅ a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝bα∥β，a ⊂β结论α∥β α∥β a ∥b a ∥α1.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．4．两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例．5．如果两个平面分别和第三个平面平行,那么这两个平面互相平行．6．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行．[思考辨析］判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”．（1）若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行．（ )（2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( ）(3）若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．（）(4）若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．( )（5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．答案：（1)×(2)×(3）×(4)√(5)√[小题查验］1．下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α，则b∥α解析：D ［根据线面平行的判定与性质定理知，选D.］2．下列命题中，正确的是（ )A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α,b∥α,则a∥bD．若a∥b，b∥α，a⊄α，则a∥α解析：D ［A中还有可能a⊂α，B中还有可能a与b异面，C中还有可能a与b相交或异面,只有选项D正确．]3．（2019·蚌埠模拟）对于空间的两条直线m，n和一个平面α,下列命题中的真命题是（ )A．若m∥α，n∥α,则m∥nB．若m∥α,n⊂α,则m∥nC．若m∥α,n⊥α，则m∥nD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：D [对A,直线m,n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m 与n可能平行，也可能异面，故B错误;对C，m与n垂直而非平行，故C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故选D。
江苏省苏州市三校2020届高三下学期5月联考数学试题 Word版含解析
【答案】17
【解析】
试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17
考点：循环结构流程图
5.如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，则该作品的平均分为___________.
(2)∵ ， 是 的中点，∴ ．又∵在直三棱柱 中，底面 ⊥侧面 ，交线为 ， 平面 ，∴ 平面 ．∵ 平面 ，∴ .∵ ，∴ ．而 ，∴ ，从而 ，∴ ，∴ .又∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
17.植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：
方案① 多边形为直角三角形 （ ），如图1所示，其中 ；
(1)求证：BC1∥平面A1CD;
(2)若点P在线段BB1上，且BP＝ BB1，求证：AP⊥平面A1CD.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
（1）连接 ，与 交于点 ，连结 ，可以证明 ，根据线面平行的判定可以可证明 平面 ．（2）中易证 ，只要证明 就可以证明 平面 ，它可以由 得到．
【详解】(1)连接 ，与 交于点 ，连结 ，∵四边形 是矩形，∴ 是 的中点．在 中， 分别是 的中点，∴ ，又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
【答案】
【解析】
【分析】
由茎叶图知，最高分为94，最低分为86，去掉这两个数后，剩下的5个数利用平均数的计算公式计算即可.
【详解】由茎叶图知，最高分为94，最低分为86，由题意，剩下5个数分别为 ，
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三第三次联考试题+地理+Word版含答案byde
绝密★考试结束前(高三6月联考)浙江省名校新高考研究联盟(Z20 联盟)2020届第三次联考地理试题卷考生注意：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页，满分100分，考试时间90分钟。
2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
3.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。
选择题部分一、选择题I (本大题共20小题，郁小题2分，共40分。
每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。
)右图为我国某村落的景观图，当地由于晾晒空间有限，村民只好利用房前屋后及自家窗台、屋顶架晒或挂晒农作物，形成了极具地域特色的农俗现象，并有了“晒秋”这一称呼。
完成1、2题。
1.当地“晒秋”景观形成的主要原因是A.光照充足B.农产品丰富C.空气湿度大D.山区面积广第1、2题图2.该地道路修建成“之”字形，主要考虑①地形条件②建筑物分布③植被种类④人口密度A.①②B.②③C.③④D.①④在高铁飞速发展的今天，仍有部分地区运营着逄站就停、票价低廉的绿皮车。
右图为成昆铁路攀枝花至昆明段的6162/6161次列车沿线部分站点图，全程栗价仅为39.5元，乘客携带的货物根据重量另外收取少量费用。
完成3、4题。
3.对图示铁路线走向影响最大的自然因素是A.资源B.地形地质C.冻土D.生态环境4.该对列车有一节车厢拆掉了原有的双排座椅，以方便前往城市的菜农放置农产品，其他乘客也可以在该节车厢中购买，形成了一个“流动市场”。
对于菜农而言，这样有利于A.降低产品运输成本B.扩大产品市场范围C.提高产品市场竞争力D.维持稳定的消费客源新疆的水果“吊干杏”，以前成熟后常常不采摘，在树上自然风干后才采摘售卖，其含糖量高达27%，目前只要一成熟即大量采摘。
完成5、6题。
5.以前吊干杏成熟后，农户不采摘的主要原因是①保存期短②运输费高③采摘难度大④劳动力不足A.①②B.①③C.②④D.③④6.造成目前吊干杏一成熟就大量采摘的主要区位变化是A.交通条件改善B.种植技术进步C.消费需求增加D.机械化操作推广新219国道，长10860公里，是目前中国最长的国道，超越原最长318国道（中国人的景观大道），成为又一条世界级景观大道，但行驶在路上的网友却说：我太难了。
浙江省杭州市2025届高三上学期一模试题 语文 PDF版含答案
2024学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测语文试题卷考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间150分钟。
2.所有答案必须写在答题卡上，写在试题卷上无效。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。
材料一：传说是一种常见的民俗学类型，其内容非常广泛，属于散文叙事体，像神话一样。
无论是讲述者还是听众都认为传说是曾经发生过的事实，尽管传说的构架通常是基于传统的母题或观念，因而具有程式化的倾向。
但是，传说产生的年代比神话要晚的多，传说的世俗的成分要多一些，神圣的成分要少一些，传说中的主要人物是人类。
传说的内容从性质上有一部分是具有神圣性的，如关于某一个民族的迁移、战争、胜利以及民族或部族英雄、首领和帝王将相的英雄业绩的传说；有一部分传说是纯粹世俗的，如当代城市传说关注的是城市生活中的凶杀、暴力、恐怖活动和其他与之相关的危险社会现象。
传说有时候又被称为“民间历史”，这主要是由于在人们的印象中，传说一直被认为是曾经发生过的事实，以往的研究又多侧重于历史人物或事件的传说。
由于传说产生的年代比较接近人们的生活年代，传说中的人物又多为有名有姓的历史人物，发生的地点也是人们所熟悉的，因此，人们对传说的真实性的接受程度远远大于人们对神话的真实性的接受程度。
这实际上是一种错误的理解。
传说中虽然具有某些历史的因素，人们也倾向于认为传说是真实的，但是，传说并不是历史，因为无论是从结构方式还是从情节发展上，传说都具有一种程式化的倾向。
与神话和故事相比，传说的地方色彩很浓，也就是说，传说是一种极易被地方化的民俗事项。
神话和故事重在强调事件的发生、发展过程，忽视事件发生的地点，而且最大限度地使事件发生的场所与现实生活之间“陌生化”“距离化”，从而突出了事件的非现实性。
而传说非常强调事件发生地点的“真实性”，尽量使事件发生的场所与人们的生活环境相一致，而且环境越一致，传说的可信度也就越强，也就越能吸引人，使人产生共鸣，从而促进传说的传播。
2020届高三文科数学总复习习题：6.2 等差数列及其前n项和 Word版含答案
§6.2等差数列及其前n项和【考点集训】考点一等差数列的定义及通项公式1.(2018陕西咸阳12月模拟,7)《张丘建算经》卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?()A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺答案C2.(2017安徽淮南一模,15)已知数列{a n}满足递推关系式a n+1=2a n+2n-1(n∈N*),且为等差数列,则λ的值是.答案-13.(2018河南开封定位考试,17)已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=.(1)求证:数列是等差数列;(2)若b n=a n a n+1,求数列{b n}的前n项和S n.解析(1)证明:∵a=,∴=,n+1∴-=.∴数列是以2为首项,为公差的等差数列.(2)由(1)知a n=,∴b n==4-,∴S n=4--…-=4-=.考点二等差数列的性质(2019届湖北宜昌模拟,6)已知数列{a}满足=25·,且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)=()nA.-3B.3C.-D.答案A考点三等差数列的前n项和1.(2018安徽安庆调研,5)等差数列{a n}中,已知S15=90,那么a8=()A.12B.4C.3D.6答案D2.(2017河南部分重点中学二联,6)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当S n最大时,n=()A.6B.7C.10D.9答案B3.(2019届福建龙岩永定区模拟,10)已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n和T n,且=,则=()A.B.C.D.答案 D炼技法 【方法集训】方法1 等差数列的判定与证明的方法(2019届福建三明模拟,17)已知数列{a n }中,a n =2n-1. (1)证明:数列{a n }是等差数列;(2)若数列{a n }的前n 项和S n =25,求n.解析 (1)证明:∵a n+1-a n =2(n+1)-1-(2n-1)=2,a 1=1, ∴数列{a n }是等差数列,首项为1,公差为2. (2)由(1)得数列{a n }的前n 项和S n =n+ -×2=n 2,由S n =25得n 2=25,又n>0,解得n=5.方法2 等差数列前n 项和的最值问题的解决方法1.(2019届江西高安模拟,11)已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,满足a 1+3a 2=S 6,给出下列结论:(1)a 7=0;(2)S 13=0;(3)S 7最小;(4)S 5=S 8.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 C2.(2019届福建龙岩新罗区模拟,12)已知等差数列{a n }的公差为-2,前n 项和为S n ,a 3,a 4,a 5为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120°,若S n ≤S m 对任意的n ∈N *恒成立,则实数m=( ) A.7 B.6 C.5D.4答案 B3.(2019届福建龙岩新罗区模拟,16)等差数列{a n }中,S n 是它的前n 项和,且S 6<S 7,S 6>S 8,给出下列结论: ①数列{a n }的公差d<0;②S 9<S 6;③S 14<0;④S 7一定是S n 中的最大值. 其中正确的是 (填序号). 答案 ①②③④过专题【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 等差数列的定义及通项公式(2016课标全国Ⅱ,17,12分)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 解析 (1)设数列{a n }的公差为d,由题意有2a 1+5d=4,a 1+5d=3. 解得a 1=1,d=.(3分) 所以{a n }的通项公式为a n =.(5分) (2)由(1)知,b n =.(6分) 当n=1,2,3时,1≤<2,b n =1; 当n=4,5时,2<<3,b n =2;当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;当n=9,10时,4<<5,bn=4.(10分)所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)考点二等差数列的性质(2015课标Ⅱ,5,5分)设Sn 是等差数列{an}的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.11答案A考点三等差数列的前n项和1.(2015课标Ⅰ,7,5分)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A. B. C.10 D.12答案B2.(2014课标Ⅱ,5,5分)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=()A.n(n+1)B.n(n-1)C. D.-答案A3.(2018课标全国Ⅱ,17,12分)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并求S n的最小值.解析(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为a n=2n-9.(2)由(1)得S n=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一等差数列的定义及通项公式1.(2016浙江,8,5分)如图,点列{A n},{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+2,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{}是等差数列答案A2.(2014辽宁,9,5分)设等差数列{a n}的公差为d.若数列{}为递减数列,则()A.d>0B.d<0C.a1d>0D.a1d<0答案D3.(2015北京,16,13分)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{a n}的第几项相等?解析(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b6=4×26-1=128.由128=2n+2得n=63.所以b6与数列{an}的第63项相等.4.(2014浙江,19,14分)已知等差数列{a n}的公差d>0.设{a n}的前n项和为S n,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及S n;(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=65.解析(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d>0,所以d=2.从而an=2n-1,S n=n2(n∈N*).(2)由(1)得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故-所以考点二等差数列的性质1.(2014重庆,2,5分)在等差数列{a n}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=()A.5B.8C.10D.14答案B2.(2015陕西,13,5分)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为. 答案5考点三等差数列的前n项和1.(2017浙江,6,4分)已知等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C2.(2015安徽,13,5分)已知数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1+(n≥2),则数列{a n}的前9项和等于.答案27C组教师专用题组考点一等差数列的定义及通项公式1.(2013安徽,7,5分)设S n为等差数列{a n}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=()A.-6B.-4C.-2D.2答案A2.(2014陕西,14,5分)已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n(x)),n∈N+,则f2014(x)的表达式为.答案f2014(x)=3.(2015福建,17,12分)等差数列{a n}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=-+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.解析(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得b n=2n+n.所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+...+210)+(1+2+3+ (10)=--+=(211-2)+55=211+53=2101.4.(2013课标Ⅰ,17,12分)已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0,S5=-5.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列-的前n项和.解析(1)设{an}的公差为d,则S n=na1+- d.由已知可得-解得a1=1,d=-1.故{an}的通项公式为a n=2-n.(2)由(1)知-=--=---,从而数列-的前n项和为--+-+…+---=-.5.(2013江西,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=,求的值.解析(1)证明:由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B,由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.(2)由C=,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以=.考点二 等差数列的性质(2013辽宁,4,5分)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题: p 1:数列{a n }是递增数列; p 2:数列{na n }是递增数列; p 3:数列是递增数列; p 4:数列{a n +3nd}是递增数列.其中的真命题为( ) A.p 1,p 2 B.p 3,p 4 C.p 2,p 3 D.p 1,p 4 答案 D考点三 等差数列的前n 项和1.(2014天津,5,5分)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1=( ) A.2B.-2C.D.-答案 D2.(2014重庆,16,13分)已知{a n }是首项为1,公差为2的等差数列,S n 表示{a n }的前n 项和.(1)求a n 及S n ;(2)设{b n }是首项为2的等比数列,公比q 满足q 2-(a 4+1)q+S 4=0.求{b n }的通项公式及其前n 项和T n . 解析 (1)因为{a n }是首项a 1=1,公差d=2的等差数列,所以a n =a 1+(n-1)d=2n-1. 故S n =1+3+…+(2n-1)== -=n 2. (2)由(1)得a 4=7,S 4=16.因为q 2-(a 4+1)q+S 4=0,即q 2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4. 又因为b 1=2,{b n }是公比q=4的等比数列,所以b n =b 1q n-1=2×4n-1=22n-1. 从而{b n }的前n 项和T n =- -= (4n-1). 3.(2013浙江,19,14分)在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列.(1)求d,a n ;(2)若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |.解析 (1)由题意得5a 3·a 1=(2a 2+2)2,即d 2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以a n =-n+11,n ∈N *或a n =4n+6,n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d<0,由(1)得d=-1,a n =-n+11,所以当n ≤11时, |a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=S n =-n 2+n.当n ≥12时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=-S n +2S 11=n 2-n+110. 综上所述,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n | = --【三年模拟】时间:45分钟 分值:60分一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018河南开封定位考试,5)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 5=10,S 4=16,则数列{a n }的公差为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B2.(2017辽宁六校协作体期中,8)已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若对于任意的正整数n,都有=-,则-+=()A. B. C. D.答案A3.(2018云南玉溪模拟,9)若{a n}是等差数列,公差d<0,a1>0,且a2013(a2012+a2013)<0,则使数列{a n}的前n项和S n>0成立的最大正整数n是()A.4027B.4026C.4025D.4024答案D4.(2017广东惠州二调,7)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=,则=()A.1B.-1C.2D.答案A5.(2019届河北唐山模拟,8)已知数列{a n}的前n项和S n=2+λa n,且a1=1,则S5=()A.27B.C.D.31答案C6.(2019届浙江温州模拟,9)已知{a n},{b n}均为等差数列,且a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由{a n},{b n}的公共项组成新数列{c n},则c10=()A.18B.24C.30D.36答案C7.(2019届河北唐山模拟,6)设{a n}是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.2X+Z=3YB.4X+Z=4YC.2X+3Z=7YD.8X+Z=6Y答案D二、填空题(共5分)8.(2018四川德阳一模,7)我国古代数学名著《张邱建算经》中有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人,第一人给3钱,第二人给4钱,第三人给5钱,以此类推,每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱,问有多少人?则题中的人数是.答案195三、解答题(共20分)9.(2018广东惠州一调,17)已知等差数列{a n}的公差不为0,前n项和为S n(n∈N*),S5=25,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求a n与S n;(2)设b n=,求证:b1+b2+b3+…+b n<1.解析(1)设等差数列{a}的公差为d(d≠0),n则由S=25可得a3=5,即a1+2d=5①,5又S,S2,S4成等比数列,且S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,1所以(2a+d)2=a1(4a1+6d),整理得2a1d=d2,1因为d≠0,所以d=2a②,1联立①②,解得a=1,d=2,1所以a=1+2(n-1)=2n-1,S n=-=n2.n(2)证明:由(1)得b n==-,所以b1+b2+b3+…+b n=-+-+…+-=1-.又∵n∈N*,∴1-<1.∴b1+b2+b3+…+b n<1.10.(2019届河北曲周模拟,17)等差数列{a n}中,公差d<0,a2+a6=-8,a3a5=7.(1)求{a n}的通项公式;(2)记T n为数列{b n}前n项的和,其中b n=|a n|,n∈N*,若T n≥1464,求n的最小值.解析(1)∵等差数列{an}中,公差d<0,a2+a6=-8,∴a2+a6=a3+a5=-8,又∵a3a5=7,∴a3,a5是一元二次方程x2+8x+7=0的两个根,且a3>a5,解方程x2+8x+7=0,得a3=-1,a5=-7,∴--解得a1=5,d=-3.∴a n=5+(n-1)×(-3)=-3n+8.(2)由(1)知{a n}的前n项和S n=5n+-×(-3)=-n2+n.∵b n=|a n|,∴b1=5,b2=2,b3=|-1|=1,b4=|-4|=4,当n≥3时,bn=|a n|=3n-8.当n<3时,T1=5,T2=7;当n≥3时,Tn=-S n+2S2=-+14.∵T n≥1464,∴T n=-+14≥1464,即(3n-100)(n+29)≥0,解得n≥,∴n的最小值为34.。
浙江省金丽衢十二校2020届高三下学期第二次联考数学试题+Word版含答案
金丽衢十二校2019学年高三第二次联考数学试题第Ⅰ卷(共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．已知集合{0,1,2,3,}I =集合{0,1},{0,3},M N ==则()I M C M =I A ．{0}B ．{3} C.{0，2，3} D.2．双曲线2231x y -=的渐进线方程为.A y =.2..3B y xC yD y x =±==±3．若实数x ，y 满足约束条件2360,2|1|,x y y x -+⎧⎨-⎩……则z=3x+y 的最小值为A ．13B ．3C ．2D ．14．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A ．2B ．23C ．1D ．45．设m ∈R ，已知圆1:C 221x y +=和圆2C ：2268300x y x y m +--+-=,则“21m >”是“圆C 1和圆C 2相交”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f(x)的定义域为D ，其导函数为(),f x '且函数'sin ()()y x f x x D =⋅∈的图象如图所示，则f(x)A ． 有极小值f(2)，极大值f(π)B ．有极大值()2,f 极小值f(0)C ．有极大值f(2)，无极小值D ．有极小值f(2)，无极大值7．设01,R a n <<∈,随机变量X 的分布列是则随机变量X 的方差D(X)A ．既与n 有关，也与a 有关B ．与n 有关，但与a 无关C ．既与a 无关，也与n 无关D ．与a 有关，但与n 无关8．设正数数列1221{},1,n n n n n n n a a a a S S S S T S T +++==+=L L 满足，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和属于 A ．(0,500)().500,1000B ().1000,2000C ().2000,3000D9．在三棱锥P-ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠PCB 为钝角，D ，E 分别在线段AB ，AC 上，使得,AE PE AD PD ==,记直线PD ，PE ，PA 与平面ABC 所成角的大小分别为α，β，γ则A ．α<β<2γB ．β<α<2γC ．α<2γ<βD ．β<2γ<α10．设t ∈R ，已知平面向量a ，b 满足：|a |=2|b |=2，且a ⋅b =1，向量(),x t x =+-c a b 若存在两个不同的实数x ∈[0,t]，使得2230,-⋅+=c a c 则实数tA ．有最大值为2，最小值为32 B ．无最大值，最小值为32C ．有最大值为2，无最小值D ．无最大值，最小值为0第Ⅰ卷(共110分)二、填空题(本大题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)11．复数z满足：1z i ⋅=+其中i 为虚数单位，则z 对应的点位于复平面的第 ▲ 象限；|z|= ▲ . 12．若二项式23()nx x-展开式中各项系数之和为64，则n= ▲ ;其展开式的所有二项式系数中最大的是 ▲ (用数字作答)13．设R,0,a b ∈>已知函数f(x)=21,||12,||1x a x b x x x π+-≤⎨⎪+>⎪⎩是奇函数，则a= ▲ ;若函数()f x 是在R 上的增函数，则b 的取值范围是 ▲ .14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b=4，C=2A ，3a=2c ，则cosA= ▲ ;a= ▲ .15．设F 是椭圆22143x y +=上的右焦点，P 是椭圆上的动点，A 是直线34120x y --=的动点，则PA|-|PF|的最小值为 ▲16．两个同样的红球、两个同样的黑球和两个同样的白球放入下列6个格中，要求同种颜色的球不相邻，则可能的放球方法共有 ▲ 种．(用数字作答)17．已知函数()()()()ln ,3f x x x a g x ff x =-+=+有4个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ .三、解答题(本大题共5小题，共74分。
2020届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第三章 导数及其应用 课时跟踪训练15 Word版含解析.doc
课时跟踪训练(十五)[基础巩固]一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )[解析] 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增．[答案] A2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2)C ．(－2，－1)D ．(－2,0) [解析] 设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．[答案] D3.如图所示是函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断中正确的是( )A ．函数f (x )在区间(－3,0)上是减函数B ．函数f (x )在区间(－3,2)上是减函数C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数D ．函数f (x )在区间(－3,2)上是单调函数[解析] 由图可知，当－3<x <0时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－3,0)上是减函数．故选A.[答案] A4．函数f (x )＝2ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a D ．(－∞，a )[解析] 由f ′(x )＝2x －a >0，得0<x <2a .∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2a .故选A. [答案] A5．(2018·江西临川一中期中)若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 由题意知x >0，f ′(x )＝1＋a x .要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋a x ＝0在x >0上有解，所以a <0.[答案] C6．(2017·湖北襄阳模拟)函数f (x )的定义域为R .f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)[解析] 由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2.因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1，选B.[答案] B二、填空题7．函数f (x )＝x 2－ax －3在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝2x －a ，∵f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴2x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a ≤2x ，∴a ≤2.[答案] (－∞，2]8．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] 设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．[答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝ax －x 3，若对区间(0,1)上的任意x 1，x 2，且x 1<x 2，都有f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 问题等价于函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0,1)上为增函数，即g ′(x )＝a －1－3x 2≥0，即a ≥1＋3x 2在(0,1)上恒成立，即a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4，＋∞)．[答案] [4，＋∞)三、解答题10．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．[解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．[能力提升]11．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的大小关系为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1) [解析] 由f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )是偶函数．f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当0<x <π2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，π2)上为增函数．又0<π5<1<π3<π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5.故选A. [答案] A12．(2017·湖北华北师大附中模拟)若f (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，则f (x －1)<e 2＋1e 的解集为( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] 由f (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，得f (x )－f (－x )＝(1－a )(e x －e －x )＝0恒成立，所以a ＝1，即f (x )＝e x ＋e －x ，则f ′(x )＝e x －e －x .当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且图象关于y 轴对称．由f (x－1)<e 2＋1e ＝f (1)得|x －1|<1，解得0<x <2，即f (x －1)<e 2＋1e 的解集为(0,2)，故选B.[答案] B13．(2017·福建福州质检)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝a x ＋2x ＋a －6＝2x 2＋(a －6)x ＋a x(x >0)． 设g (x )＝2x 2＋(a －6)x ＋a (x >0)，因为函数f (x )在(0,3)上不是单调函数，等价于函数g (x )＝2x 2＋(a －6)x ＋a (x >0)在(0,3)上不会恒大于零或恒小于零．又g (0)＝a ，g (3)＝4a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)＝a >0，0<－a －64<3，Δ＝(a －6)2－8a >0，解得0<a <2，所以实数a 的取值范围为(0,2)．[答案] (0,2)14．(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.71828…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________．①f (x )＝2－x ；②f (x )＝3－x ；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 2＋2.[解析] ①因为f (x )＝2－x 的定义域为R ，又e x f (x )＝e x ·2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x 在R 上单调递增，故f (x )＝2－x 具有M 性质．②因为f (x )＝3－x 的定义域为R ，又e x f (x )＝e x ·3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x 在R 上单调递减，故f (x )＝3－x 不具有M 性质．③因为f (x )＝x 3的定义域为R ，又e x f (x )＝e x ·x 3，构造函数g (x )＝e x ·x 3，则g ′(x )＝e x ·x 3＋e x ·3x 2＝x 2e x (x ＋3)，当x >－3时，g ′(x )>0，当x <－3时，g ′(x )<0，所以e x f (x )＝e x ·x 3在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，故f (x )＝x 3不具有M 性质．④因为f (x )＝x 2＋2的定义域为R ，又e x f (x )＝e x (x 2＋2)，构造函数h (x )＝e x (x 2＋2)，则h ′(x )＝e x (x 2＋2)＋e x ·2x ＝e x [(x ＋1)2＋1]>0，所以e x f (x )＝e x (x 2＋2)在R 上单调递增，故f (x )＝x 2＋2具有M 性质．故填①④.[答案] ①④15．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在(2，＋∞)上为单调函数，求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． ∴综上当a ≤0时f (x )在(0，＋∞)单调递增．当a >0时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，符合要求；当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，则2≥1a ，即a ≥12.∴实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 16．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性．[解] f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )．(ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(ⅱ)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2，则f ′(x )＝(x －1)(e x －e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．②若a >－e 2，则ln(－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减．③若a <－e 2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减．[延伸拓展]已知函数f (x )＝3x a －2x 2＋ln x (a >0)．若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x ，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，25∪[1，＋∞)。
吉林省长春市2020届高三质量检测(一)文科数学试题 Word版含解析
长春市2020届高三质量监测（一）文科数学本试卷共4页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数2z i +=-，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】试题分析：复数2z i =-+的共轭复数为2z i =--，在复平面内对应点的坐标为，所以位于第三象限．选C 考点：复数的概念及运算2.已知集合{2A x x =≥或}2x ≤-，{}230B x x x =->，则AB =（ ）A. ∅B. {3x x >或}2x ≤-C. {3x x >或}0x < D. {3x x >或}1x <【答案】B 【解析】 【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：{}230B x x x =->{|0B x x ∴=<或3}x >，{2A x x =≥或}2x ≤-，{|2AB x x ∴=-或3}x >．故选：B ．【点睛】考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算,属于基础题．3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 515S =，45a = ，则9S =( ) A. 45 B. 63C. 54D. 81【答案】B 【解析】 【分析】根据给出条件求出3a ，利用3a ，4a ，5a 成等差数列计算5a ，再根据前n 项和性质计算9S 的值.【详解】由515S =得33a =，45a =,∴57a = ∴95963S a == 故选B.【点睛】等差数列性质：2(2)m n p q c a a a a a m n p q c +=+=+=+=； 等差数列前n 项和性质：12121()(21)(21)2n n n a a n S n a --+-==-.4.已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用集合间的关系推出p q 、之间的关系.【详解】{|1}x x>{|2}x x ≥，则p 是q 的必要不充分条件,故选B.【点睛】p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B ：p 是q 的充分不必要条件则有：A B ；p 是q 的必要不充分条件则有：BA .5.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7yx =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是( )①公共图书馆业机构数与年份正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据ˆb和2R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb 的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确； 由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确. 故选D.【点睛】回归直线方程中的ˆb 的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.6.已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b =( )A. 3-B. 1C. 3-或1D.52【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解.=∴|1|2b +=∴13b b ==-或 故选C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的相切，难度较易；注意相切时，圆心到直线的距离等于半径.7.已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则( )A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系.【详解】因为311()()133a <<=，103331>=，1133log 3log 10<=，所以01,1,0a b c <<><，∴c a b <<，【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多情况下都会和1作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用. 8.已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是( ) ①,a b αα⊥⊥，则//a b ②,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③//,//a b αα，则//a b ④//,//αγβγ，则//αβ A. ①②③ B. ②③④C. ①③D. ①④【答案】D 【解析】 【分析】①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进行判断.【详解】①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取正方体的上下底面为αβ、以及一个侧面为γ，则//αβ，故错误；③选取正方体的上底面的对角线为a b 、，下底面为α，则//a b 不成立，故错误；④选取上下底面为αβ、，任意作一个平面平行上底面为γ，则有 //αβ成立，故正确.所以说法正确的有：①④. 故选D.【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观. 9.函数2sin()y x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图象（部分图象如图所示） ，则其解析式为( )A. ()2sin(2)6f x x π=+ B. ()2sin()6f x x π=+C. ()2sin(4)6f x x π=+D. ()2sin()6f x x π=-【答案】A【分析】（1）通过(0,1)以及ϕ的范围先确定ϕ的取值，再根据()f x 过点11(,0)12π计算ω的取值. 【详解】由2sin(0)1,||2πωϕϕϕ⋅+=<π,∴=6， 由111111242sin()0,,,002121261211k k Z T πωπϕωππωπωω⋅+=⋅+=∈>>∴<<=∴即2sin(2)6y x π=+，即为()f x 解析式.【点睛】根据三角函数的图象求解函数解析式时需要注意：（1）根据周期求解ω的值；（2）根据图象所过的特殊点求解ϕ的值；（3）根据图象的最值，确定A 的值.10.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为51-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A. (35)π-B. 51)πC. 51)πD.(52)π【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角.【详解】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则αβ=，又2αβπ+=，解得(3απ=- 【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：21122S r lr α==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l 是扇形的弧长.11.已知F 是抛物线24y x =的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为( )B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径的倾斜角和焦准距的表示形式将||||AF BF 表示出来，然后代入相应值计算即可.【详解】||1cos60p AF =-︒，||1cos60pBF =+︒∴||10.53||10.5AF BF +==-. 【点睛】焦点在x 轴上的抛物线，过抛物线的焦点倾斜角为θ的直线与抛物线交于,A B 两点，且||||AF BF >，则有||1cos p AF θ=-，||1cos p BF θ=+，22||sin pAB θ=. 12.已知函数1(0)()(0)xe xf x x -⎧-≤⎪=>，若存在0x R ∈ 使得00()(1)1f x m x --≤成立，则实数m 的取值范围为( ) A. (0,)+∞B. [1,0)(0,)-+∞ C. (,1][1,)-∞-+∞D.(,-∞-∞1](0,+)【答案】D 【解析】 【分析】数形结合去分析，先画出()f x 的图象，然后根据直线过(1,1)-将直线旋转，然后求解满足条件的m 取值范围.【详解】如图, 直线0(1)1y m x =--过定点(1,1)P -,m 为其斜率，0m >满足题意，当0m <时，考虑直线与函数1xy e -=-相切，此时000(1)11x x m x e m e --⎧--=-⎨=-⎩，解得010m x =-⎧⎨=⎩，此时直线与1x y e -=-的切点为(0,0)，∴1m ≤-也满足题意.选D【点睛】分段函数中的存在和恒成立问题，利用数形结合的思想去看问题会更加简便，尤其是直线与曲线的位置关系，这里需要注意：（1）直线过定点；（2）临界位置的切线问题. 二、填空题：本题共4小题． 13.已知1sincos225αα-=，则sin α=_____. 【答案】2425【解析】 【分析】将所给式子平方，找到sin α与sin cos22αα-的关系.【详解】1sincos225αα-=平方得242sin cos 2225αα= ∴24sin 25α=.【点睛】sin cos αα±与sin cos αα的关系：2(sin cos )12sin cos αααα±=±；14.设变量x ，y 满足约束条件03420x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于______．【答案】8- 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，3z x y =-得1133y x z =-，利用数形结合即可的得到结论． 【详解】解：画出可行域如图，3z x y =-变形为1133y x z =-，过点(2,2)A --，z 取得最大值4， 过点(2,2)C -取得最小值8-． 故答案为：8-．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 15.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥,10PA =2,2AB AC ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为_____. 【答案】16π 【解析】 【分析】根据题设位置关系，可知以,,AB AC PA 为长、宽、高的长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，根据这一特点进行计算.【详解】设外接球的半径为R ，则2222(2)16R PA AB AC =++= ∴16S π=【点睛】对于求解多条侧棱互相垂直的几何体的外接球，可考虑将该几何体放入正方体或者长方体内，这样更加方便计算出几何体外接球的半径. 16.已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(,)m b c a b =--,(sin ,sin sin )n C A B =+，且m n ⊥，则A =____;若△ABC 的面积为3ABC 的周长的最小值为_____.【答案】 (1). 3π(2). 6 【解析】【分析】先根据向量垂直得出边角关系，然后利用正、余弦定理求解A的值；根据面积以及在余弦定理，利用基本不等式，从而得到周长的最小值（注意取等号条件）.【详解】由m n ⊥得(,)(sin ,sin sin )()sin ()(sin sin )0m n b c a b C A B b c C a b A B ⋅=--⋅+=-+-+=()()()0b c c a b a b -+-+=得222a b c bc =+-,∴2221cos 22b c a A bc +-==∴3A π=；1sin 2S bc A ==4bc =又222224a b c bc b c =+-=+-所以6a b c b c ++=+（当且仅当2b c ==时等号成立） 【点睛】（1）1122(,),(,)a x y bx y ==，若a b ⊥垂直，则有：12120x x y y +=；（2）222(0,0)a b ab a b +≥>>取等号的条件是：a b =.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.已知数列{}n a 中，12a =，1122n n n a a ++=+，设2nn na b =. （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列11{}n n b b +的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）111n S n =-+ 【解析】 【分析】（1）证明1n n b b c --=（c 为常数）即可；（2）将11n n b b +采用裂项的方式先拆开，然后利用裂项相消的求和方法求解n S .【详解】（Ⅰ）证明：当2n ≥时，111121222n n n n n n n n n a a a a b b ------=-== 11b =，所以{}n b 是以为1首项，为1公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，n b n =，所以+11111n n b b n n =-+，所以1111111122311n S n n n =-+-++-=-++. 【点睛】常见的裂项相消形式： （1）111(1)1n n n n =-++；（2=（3）1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+； （4）112311(31)(31)3131n n n n n ++=-----. 18.环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，下表是对100辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果．（1）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；（2）用分层抽样的方法从行车里程在区间[)38,40与[)40,42的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[)40,42内的概率． 【答案】（1）图见解析；中位数在区间[)36,38 （2）35【解析】 【分析】(1)由频率分布表可画出频率分布直方图，由图可求出中位数所在区间．(2)由题意，设从[38，40)中选取的车辆为A ，B ，C ，从[40，42)中选取的车辆为a ，b ，利用列举法从这5辆车中抽取2辆，其中恰有一个新车模型行车里程在[40，42)内的概率． 【详解】（1）由题意可画出频率分布直方图如图所示：由图可知，中位数在区间[)36,38．（2）由题意，设从[)38,40中选取的车辆为A ，B ，C ， 从[)40,42中选取的车辆为a ，b ，则从这5辆车中抽取2辆的所有情况有10种，分别为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，其中符合条件的有6种，Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，所以所求事件的概率为35. 【点睛】本题考查概率与统计的相关知识，考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19.在三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC 、平面1ACC A 、平面11BCC B 两两垂直.（Ⅰ）求证：1,,CA CB CC 两两垂直；（Ⅱ）若1CA CB CC a ===，求三棱锥11B A BC -的体积. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）316a 【解析】 【分析】（1）通过辅助线以及根据面面垂直的性质定理可证1,,CA CB CC 中任意一条直线垂直于另外两条直线构成的平面，即垂直于另外两条直线；（2）采用替换顶点的方式计算体积，计算出高和底面积即可计算体积. 【详解】（Ⅰ）证明：在ABC ∆内取一点P ，作,PD AC PE BC ⊥⊥，因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，其交线为AC ，所以PD ⊥平面11ACC A ，1PD CC ⊥， 同理1PE CC ⊥，所以1CC ⊥平面ABC ，11,CC AC CC BC ⊥⊥， 同理AC BC ⊥，故1,,CC AC BC 两两垂直.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，三棱锥11A BCB -的高为11A C a =，1211122BCB S BC BB a ∆=⋅=，所以三棱锥11B A BC -的体积为316a . 【点睛】（1）面面垂直的性质定理：两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；（2）计算棱锥的体积时，有时候可考虑采用替换顶点的方式去简化计算.a 20.已知点(1,0),(1,0)M N -，若点(,)P x y 满足||||4PM PN +=. （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点(Q 的直线l 与（Ⅰ）中曲线相交于,A B 两点，O 为坐标原点， 求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）AOB ∆面积的最大值为，此时直线l 的方程为3x y =±. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；（2）设出直线方程后，采用1||2AB d ⨯⨯（d 表示原点到直线AB 的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值.【详解】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=.（Ⅱ）设直线l的方程为x ty =-与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x可得22(34)30t y +--=，即12234y y t +=+，122334y y t -=+. AOB ∆面积可表示为1211||||22AOB S OQ y y =⋅-=△2216223434t t ===++u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++≤当且仅当u=t = 因此AOB ∆l的方程为x y =-【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：（1）已知点(,0),(,0)M c N c -，若点(,)P x y 满足||||2PM PN a +=且22a c >，则P 的轨迹是椭圆；（2）已知点(,0),(,0)M c N c -，若点(,)P x y 满足||||||2PM PN a -=且22a c <，则P 的轨迹是双曲线. 21.设函数1()ln x f x x x+=+. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若(0,1)x ∈时，不等式1ln 2(1)xx a x +<--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()2f x =极小值，无极大值；（Ⅱ）01a <≤ 【解析】 【分析】（1）求导后，求解导函数零点，并用列表法分析极值；（2）对所给不等式进行变形，将ln x 分离出来便于求导，同时构造新函数2(1)()ln (01)1a x g x x x x -=-<<+，分析(0,1)x ∈时，()0>g x 恒成立时a 的范围.【详解】解：（Ⅰ）令21()0x f x x-'==，1x =()= (1)2f x f ∴=极小值，无极大值；（II ）由题意可知，0a >，则原不等式等价于2(1)ln 01a x x x -->+，令2(1)()ln (01)1a x g x x x x -=-<<+，22((24)1)()(1)x a x g x x x -+-+'=+，①当01a <≤时，2(24)10x a x +-+≥，()0g x '≤，()g x 在(0,1)上单调递减，()(1)0g x g >=，成立；②当1a >时，2000(0,1),(24)10x x a x ∃∈+-+=，使得当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0(,1)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，故当0(,1)x x ∈时，()(1)0g x g <=，不成立；综上所述，01a <≤.【点睛】根据不等式恒成立求解参数范围的问题常用的方法：（1）分类讨论法（所给不等式进行适当变形，利用参数的临界值进行分析）； （2）参变分离法（构造新的函数，将函数的取值与参数结合在一起）.（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ⋅的值.【答案】（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（Ⅱ）2 【解析】 【分析】（1）求直线l 的普通方程，消去参数t 即可；求圆的直角坐标方程利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩互化即可.（2）根据直线所过定点，利用直线参数方程中t 的几何意义求解||||PA PB ⋅的值. 【详解】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=， 圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=. （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30++---=，化简可得220t +-=. 则12||||||2PA PB t t ⋅==.【点睛】（1）直角坐标和极坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩；（2）直线过定点P ，与圆锥曲线的交点为A B 、，利用直线参数方程中t 的几何意义求解：||||||AB PA PB 、，则有12||||AB t t =-，12||||||PA PB t t =.23.已知函数()|3||1|f x x x =+-- . （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；（Ⅱ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求+a b 的最小值. 【答案】（Ⅰ）(,5][1,3]-∞--；（Ⅱ）最小值为2 【解析】 【分析】（1）采用零点分段的方法解不等式；（2）计算出()f x 的最大值，再利用基本不等式求解+a b 的最小值.【详解】（Ⅰ）由题意(3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ----<--<-⎧⎧⎪⎪=+---≤≤=+-≤≤⎨⎨⎪⎪+-->>⎩⎩当3x <-时，41x -+≥，可得5x ≤-，即5x ≤-.当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x ≥-，即11x -≤≤. 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤. 综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数()f x 的最大值4M =，且14ab a b +++=， 即23()()2a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立， 可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此+a b 的最小值为2.【点睛】（1）解绝对值不等式，最常用的方法就是零点分段：考虑每个绝对值等于零时x 的值，再逐段分析；（2）注意利用||||||x a x b a b -+-≥-，||||||x a x b a b ---≤-求解最值.。