经济数学基础图文 (3)

第3章 微分中值定理及其应用
3.2 洛 必 达 法
3.2.1 “(0/0)”和“(∞/∞)”
定理3.4(洛必达法则一) 如果函数f(x)与g(x)
(1) lim f (x) 0 ，lim g(x) 0
xx0
xx0
(2) f(x)与g(x)在点x0的某个邻域内(点x0可除外)可导，且
g′(x)≠0 (3)
(3) 有的函数在整个定义域上并不具有单调性，但在其各 个子区间上却具有单调性. 如：y=x2+1，在区间(－∞，0)内单 调递减，在区间(0，+∞)内单调递增，并且分界点 x=0 处有 f′(0)=0(通常把导数为零的点称为驻点).
(1) 求一阶导数f′(x). (2) 求分界点：使一阶导数f′(x)=0的驻点和一阶导数不存 在的点. (3) 讨论各子区间上的单调性.
f(x2)－f(x1)=f′(ξ)·(x2－x1) 又因为在(a，b)内恒有f′(x)=0，故f′(ξ)=0，从而
f(x2)－f(x1)=0 即
f(x2)=f(x1) 由于x1、x2是(a，b)内的任意两点，故证得在(a，b)内f(x)是常 函数.
第3章 微分中值定理及其应用
推论2 如果函数f(x)和g(x)在区间(a，b)内的导数处处相 等，即f′(x)=g′(x)，则f(x)和g(x)在区间(a，b)内只相差一个常 数，即
f(x)>0
即
x>ln(1+x)
第3章 微分中值定理及其应用
3.1.3 定理3.3(柯西(Cauchy)定理) 如果函数f(x)与g(x)都在闭区 间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且g′(x)≠0，则在开 区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g ( )
单调性的定义，但是利用定义来判断函数的单调性往往是比 较复杂的. 本节将讨论函数的单调性与导数间的关系，继而 给出利用导数判断函数单调性的新的方法.
在图3-3中，曲线沿x轴正向是上升的，其上每一点的切 线与x轴正向的夹角都是锐角，因而切线的斜率都大于零，即 曲线上各点的导数都大于零；相反地，在图3-4中，曲线沿x 轴正向是下降的，其上每一点的切线与x轴正向的夹角都是钝 角, 因而切线的斜率都小于零, 即曲线上各点的导数都小于零.
(2) 在开区间(a，b)
则在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得
或
f ( ) f (b) f (a)
ba
f(b)－f(a)=f′(ξ)(b－a)
显然，拉格朗日中值定理的几何意义如下：图3-2中，函
数y=f(x)表示了(a，b)内一条光滑连续的曲线，则在曲线上至
少存在一点ξ，使得曲线在该点处的切线与弦AB平行.
第3章 微分中值定理及其应用
例1 求函数f(x)=x3－6x2+9x－4的单调区间. 解 函数f(x)=x3－6x2+9x－4的定义域为(－∞，+∞)，由于 f′(x)=3x2－12x+9=3(x－1)(x－3)所以令f′(x)=0，得
x1=1，x2=3 显然，这些点将区间(－∞，+∞)划分为三个子区间，具体情 况见表3-1.
(3) 一个区间内可能有多个极值，并且极大值不一定大于 极小值，如图3-5中极小值f(x4)就大于极大值f(x1)；最值如果 存在，则有且只有一个.
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与 极小值点统称为极值点.
第3章 微分中值定理及其应用
注 (1) 极值是一个局部概念，是相对于极值点附近的某 一邻域而言的; 最值是一个整体概念，是针对整个区间而言 的.
(2) 极值只能在区间内部取得；最值不仅可以在区间内部 取得，还可以在区间的端点处取得.
f (x) 1 1 1 x
由此可知f(x)在(0，+∞)内可导，于是f(x)在区间[0，x](x>0)上满足
拉格朗日中值定理条件，所以至少存在一点ξ∈(0，x)，使得
f(x)－f(0)=f′(ξ)(x－0)
而
f ( ) 1 1
1 1
已知x>0，所以ξ>0,ξ/(1+ξ)>0，从而f′(ξ)>0，且f(0)=0，于是
第3章 微分中值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理及其应用
例1 求 lim x 2 4 x2 x2 5x 6
解 这是“0/0”型未定式，因此
lim
x2
x2 4 x2 5x
6
lim
x2
2x 2x
5
4
例2 求 lim ex 1 x0 x
解 这是“(0/0)”型未定式，因此
lim ex 1 lim ex =1
x0 x
取x=1，可得
arctan1+arccot1=π/2 故证得在(－∞，+∞)内，
恒成立.
arctanx+arccotx=π/2
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例3 求证：当x>0时，不等式x>ln(1+x)成立.
证明 设f(x)=x－ln(1+x)，因为f(x)为初等函数，故其在
[0，+∞)上连续. 又
f(x)=g(x)+C 例2 求证：在(－∞，+∞)内，arctanx+arccotx=(π/2)恒 成立. 证明 令f(x)=arctanx+arccotx，则有
f (x) 1 ( 1 ) 0 1 x2 1 x2
第3章 微分中值定理及其应用
故由推论1知f(x)在(－∞，+∞)内是一个常函数，即 arctanx+arccotx=C (C为常数)
解 这是“∞ 0” 型未定式，因此
1
1 ln x
1 lim ln x
lim x x lim e x e x x
x
x
第3章 微分中值定理及其应用
又 所以
lim 1 ln x lim ln x lim 1 0
x x
x x
x x
1
lim x x e0 1
x
x sin x
例9 求
lim
x
第3章 微分中值定理及其应用
第3章 微分中值定理及其应用
例2 求函数f(x)=2x+(8/x)的单调区间. 解 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，由于
f′(x)=2－(8/x2) 所以当x=±2时，f′(x)=0；当x=0时，f′(x)不存在. 显然，这些点将区间(－∞，+∞)划分为四个子区间，具体情 况见表3-2.
x x
x x
x x
第3章 微分中值定理及其应用
例5 求
lim
ln
x
2
.
x 2
tan x
解 这是“(∞/∞)”型未定式，因此
lim
x 2
ln
x
2
tan x
lim
x 2
cos2 x
x
2
lim
x 2
2 cos
x sin
x
0
第3章 微分中值定理及其应用
3.2.2
洛必达法则除了求“0/0”型和“∞/∞”型基本未定式的极
x0
x x0 2
2 x0 1
2 x0
x3
第3章 微分中值定理及其应用
例7
求
lim
x0
1 x
1 ex
1
解 这是“∞－∞”型未定式，因此
lim
x0
1 x
1 ex 1
lim
x0
ex x(ex
x 1 1)
lim
x0
ex 1 xex ex 1
lim ex 1 x0 xex 2ex 2
1
例8 求 求 lim x x x
x
解 这是“∞/∞”型未定式，因此
lim x sin x lim 1 cosx
x
x
x 1
这时，不满足洛必达法则条件(3)，所以不能使用该法则. 但是，
原极限用如下方法可解：
sin x
lim x sin x lim 1 x 1
x
x
x 1
第3章 微分中值定理及其应用
3.3
3.3.1 单调性是函数的一个重要性质，第1章中我们给出了函数
第3章 微分中值定理及其应用
3.3.2 1. 定义3.1 设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果对
于该邻域内任一点(x≠x0)，恒有f(x)<f(x0)， 则称f(x0)为函数f(x) 的一个极大值，并称x0为极大值点；
若f(x)>f(x0)， 则称f(x0)为函数f(x)的一个极小值，并称x0 为极小值点.
第3章 微分中值定理及其应用
图 3-2
第3章 微分中值定理及其应用
注 当f(a)=f(b)时，拉格朗日中值定理就变成了罗尔定理， 即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理，它建立了函 数在一个区间上的改变量和函数在该区间内某点的导数之间 的联系，从而使我们有可能利用导数去研究函数在区间上的 性态.
限外，还可以用来求“0·∞”、“∞－∞”、“0 0”、“∞ 0”、
“1 ∞”型等其他未定式的极限，但需先将它们化为基本未
定式“0/0”或“∞/∞”型，再使用洛必达法则计算.
例6 lim x2 ln x x0
解 这是“0·∞”型未定式，因此
1
lim x2 ln x lim ln x 1 lim x 1 lim x2 0
x x0
x x0
(2) f(x)与g(x)在点x0的某个邻域内(点x0可除外)可导，且
g′(x)≠0
(3) lim f ( x ) A ( 或 ) x x0 g ( x )