例谈数学思想在解题中的应用
、
用 分类 讨 论 思 想 巧 妙 解 题
当被 研 究 的 问题 包 含 多 种 可 能 情 况 ， 能 一 概 而 论 时 ， 不
行 四边 形 ， 以 ＡＤ＝ Ｃ， 所 Ｅ ＡＥ＝ Ｂ Ｃ Ｄ． 因 为 ＡＢ＝ Ｄ＝ ＡＤ＝ 。 Ｃ ７． ５
握 一 定 的 数 学 思 想 与方 法 ， 解 、 握 基 本 的数 学 知 识 及 技 理 掌 能提 到并 重 的 位 置 。那 么 初 中数 学 教 学 中 常 用 到 哪 些 数 学
思想 方 法 呢？ 现 举 例 说 明 ：
一
数。
Ａ
Ｄ
析解 ：过 Ａ点作 Ａ ∥ Ｅ Ｄ 交 Ｂ Ｃ， Ｃ于 Ｅ， 因为 Ａ Ｄ∥
析解 ： 由两 实 数 ａ ｂ在 数 轴 上 的位 置 可 知 、
所 以 ａ ｂ Ｏ．— ＞ ＋ ＜ ｂ ａ０
例 ２ 某 商 场 销 售 一 批 名 牌 衬 衫 ，平 均 每 天 可售 出 ２ ０
ＷＥ Ｉ Ａ Ａ Ｇ Ｎ Ｌ ０ Ｈ Ｎ Ｄ
实 践 平 台
例谈数掌思想 在解题 中的 应 用
文 ／ 庆 思 吴
评 注 ： 审题 时 不 仅要 找 到 隐 含 的 相 等 关 系 ， 出方 程 ， 在 列 还 要 抓 住 “ 快 减 少 库 存 ” 样 的 要 求 ， 能 对 所 得 的 方 程 尽 这 才 的解 进 行 合 理 的取 舍 。
Ｅ
Ｃ
必 须 按 可 能 出现 的所 有 情 况 来 分 别 讨 论 ， 得 出 各 种 相 应 的
结 论 ． 种处 理 问 题 的 思 想 方 法 称 为分 类 思 想 。 这
Ｂ Ｃ＝１ 所 以 Ｂ Ｂ Ｃ ２， Ｅ＝ Ｃ— Ｅ＝１ — ＝ ＡＥ＝ Ｄ： ２ ５ ７， Ｃ ＡＢ＝ ７． 所 以
（） ２ 当此 函 数 为二 次 函数 时 ， ≠０ Ａ＝ — ａ ａ ， １４，
△ ＝ ， ａ ０２ ０即 ＝ ．５时 ， 一 个 交 点 （２０ ， 有 一 ，）
综 合 以上 分 类 ， 出 ａ ０或 ａ ０ ５ 得 ＝ ， ＝． ． ２
评 注 ： 做 题 时 ， 注 意 审 题 ， 虑 全 面 ， 免 产 生 漏 解 在 应 考 以
例 １ 已知 关 于 Ｘ的 函数 ｙ ａ ｘ １ ＝ｘ＋ ＋ ｆ 常 数 ）若 函数 ａ为 ，
的 图像 与 ｘ 恰 好 有 一 个 交 点 ， ａ的值 。 轴 求 析 解 ： 题 的 条 件 是 不 唯 一 的 ， 函数 是 什 么 函 数 ． 本 该 问 题 中没 有 说 明 ． 几 种 可 能 情 况 呢 ？两 种 ： 次 函 数 或 二 次 有 一 函数 ． 以要 分 为 两类 。 所 （） １ 当此 函 数 为 一 次 函 数 时 ，＝ ， 得 与 ｘ轴 交 点 为 （ ａ ０求 一
建立起方程或方程组 ， 过解方程或方程 组 ， 出未知量 的 通 求
数 值 ， 而 使 问 题 得 以 解 决 ， 种 通 过 列 方 程 使 已 知 量 和 未 从 这
知 量 产 生 联 系 的 数学 思 想 ， 常称 为方 程 思 想 。 通
化 ： 凸而 简 ｌ ＋
ａ Ｏ ｂ Ｏ 且 ＞ ａ＞ｂ ＜ ．＞ ． ｔｌ ｌｌ
三 、 转 化 思 想 探 究解 题 用
【 要 】 中数 学 解 题 主 要 运 用 了 分 类 讨 论 思 想 、 程 摘 初 方
思 想 、 化 思 想 、 形 结 合 思 想 、 体 思想 。数 学 中渗 透 着 基 转 数 整 本 数 学 思 想 。如 何 能 使 它 落 实到 学 生 学 习和 应 用数 学 的 思 维 活 动 上 ． 以 充分 发 展 学 生 的 数 学能 力 ， 者 通 过 一 些 实 借 笔 例做 了一 些有 益 的 探 索 。
ｌ０） ， ；
Ａ Ｅ为 等 边 三 角 形 ， 以 Ｂ ６ 。 Ｂ 所 ＝０。
评 注 ： 梯形有关 问题 中， 已知 中有关 于腰的条 件 ， 在 若
一
般 是 平 移 一 腰 ．把 梯 形 问 题 转 化 为 三 角形 和 平 行 四边 形 四 、 数 形 结 合 思 想 形 象直 观 的解 题 用
学 问题 的基 本 思 想
含着 一定 的数 学思 想 ， 活 运 用 数 学 思 想 与 方 法 ， 以使 问 灵 可
例 ３ 如 图 ， 在 等 腰 梯 形 Ａ Ｃ 中 ， Ｄ∥ Ｂ Ａ ５ ＢＤ Ａ Ｃ， Ｄ＝ ，
ＡＢ ＝ ＢＣ＝１ 求 Ｂ 的 度 ７， ２，
题化 难 为 易 ， 繁 为简 。《 学 课 程 标 准 》 特 别 把 理解 与 掌 变 数 里
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
将 所 要 研 究 和 解 决 的 问题 ，变 为 已经 学 过 的 问 题 来 处
【 键词】 学思想 ； 用 关 数 应
在 数 学 解 题 过 程 中 ， 运 用 的 数 学 方 法 与 技 能 ， 往 包 所 往
理 ． 种 数 学 思 想 ， 为 转 化 思 想 ， 是 一 种 研 究 和 解 决 数 这 称 它
的 灵 活 转 换 、相 互 作
用 ， 而 探 求 问题 的 解 进
的情 况 。
二 、 方 程思 想 灵 活 解 题 用 在 进 行 数 学 计 算 时 ， 往 通 过 已 知 量 和 未 知 量 的联 系 。 往
答 就 是 数 形 结 合 的 思 想方法。
ａ
Ｏ
ｂ
例 ４： 数 在 数 轴 上 的 位 置 如 图所 示 实
问 题 ， 分 散 的 条 件 得 以 集 中 ， 解 决 问题 创 造 条 件 。 使 为
把 刻 划 数 量 关 系 的 数 和具 体 直 观 的 图 形 有 机 结 合 ． 将 抽 象 思 维 与 形 象 思 维 有 机 结 合 ， 据 研 讨 问 题 的 需 要 ， 数 根 把 量 关 系 的 比较 转 化 为 图 形 性 质 或 其 位 置 关 系 的讨 论 ．或 把 图形 间 的 待 定 关 系 转 化 为 相 关 元 素 的 数 量 计 算 ，即 数 与 形
例谈分类讨论数学思想在解题中的应用
例谈分类讨论数学思想在解题中的应用近年来，在各地中考试题中涉及到“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查学生的数学基本知识与方法，而且考查了学生思维品质的深刻性。
然而从近几年的中考阅卷中发现学生在解此类问题时，考虑不周全导致失分较多，究其原因主要是平时的教与学中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够。
本文将主要从2003年中考试题中举例说明“分类讨论”的数学思想在解题中的应用，这对提高同学们全面分析问题的能力以及养成严谨的思维品质都是有较大益处的。
一、直线型中的分类讨论：例1、（1）如图1，在△ABC 中，∠B 、∠C 均为锐角，其对边分别为b 、c ，求证：B b sin =Cc sin ； （2）在△ABC 中，AB=3，AC=2，∠B =450，问满足这样的△ABC 有几个？在图2中画出来（不写作法，不述理由）并利用(1)的结论求出∠ACB 的大小。
(2003年荆门市)简评：本题第一小题是课本上的原题，第二小题则要分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况，而初中学生很容易忽视钝角三角形的情况，因为课本上只讲锐角三角函数，导致解题不完整。
第二小题解答如下：例2、操作：如图，在正方形ABCD 中，P 是CD 上一动点（与C 、D 不重合），使三角尺的直角顶点与点P 重合，并且一条直角边始终经过点B ，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E ．探究：（1）观察操作结果，哪一个三角形与△BPC 相似？并证明你的结论；（2）当点P 位于CD 的中点时，你找到的三角形与△BPC 的周长比是多少？(2003年昆明市)略解：第一问：如图（1），另一条直角边与AD 交于点E ，则△PDE ∽△BCP ，证明：在△PDE 和△BCP 中，∵∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1=∠2，又∠PDE=∠BCP=90°，∴△PDE ∽△BCP ；或如图（2）若另一条直角边与BC 的延长线交于点E ，同理可证△PCE ∽△BCP 或△BPE ∽△BCP ；第二问和第一问也要分两种情况，如图（3）、（4）例3、如图，正方形ABCD 的边长为2，AE ＝EB ，MN ＝1，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM ＝＿＿＿＿时，△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似。
例谈数学思想在解题中的应用
Ａ． ８ １
一
分析 ： 本题 主要 考查 整 体 化 思 想 的 应 用 ． 镶 嵌 而 成 的 正方 形 图案 ． 已知 该 图 案 的 面 积 为 ４ ． ９ 小正 方 形 比较 题 目中 的 两个 代 数 式 不 难 发 现 ，其 二 次项 系 数 和 的 面积 为 ４若 用 ， 示 小 长 方 形 的边 长 （＞ ）请 观 察 图 ． Ｙ表 ｘｙ ， 次 项 系数 都 是 ３倍 的 关 系 ．所 以可 利 用 整体 代换 的 方 法 案 。 出 以下 关 系 中不 正确 的是 ： 指
想 的应 用 ．
ｘ ６ ７ 故 应 选 Ｄ ＋＝ ， ．
ｊ
通 过 观察 图 形 不 难 看 出 ．大 正 方
二 、 化 思 想 转
形 的 面 积 为 （＋ ） ４ ， 正 方 形 面 积 ｙ： ９ 小 －
所 谓转 化 ， 即设 法把 需 要 解决 的 问题 ， 过 某 种 转 化 过 为 （－ ） ４ 通 ｘ ｙ ￣ ，四个 小长 方 形 的 面 积 为 － － 程 ， 归 到一 类 已经 解 决或 易 于 解 决 的 问题 中 ， 而 使 原 来 ４ ｙ 化 从 ｘ ．由 此 可 进 一 步 得 出 ｘ ｙ ７ ＿ ＝ ＋＝。 ｙ 的 问题 得 到 解 决 ．
２ｘ４， 等． 不 确 是 ２故 选 ，＋９ ４ ＝坼 ｙ 所 正 的 坼 ５应 Ｄ 以 ，
五 、 类 讨 论 思想 分
当题 目中 的条 件 或结 论 不 确 定 或 不 唯一 时 ，会 产 生 几 种可 能 的情 况 ， 要 对 每一 种 情 况 都 进 需
行 分 析 解 决 。 后 综 合 得 出 结 论 ． 就 最 这 要 求 此 人 共 走 了 多 少 米 ， 直 接 计 算 比较 复 杂 ． “ 若 由 道 是分 类 讨 论 ， 分类 时 要 做 到 不 重 不漏 ． 路 宽 为 １米 ” 个 条件 易想 到 ， １ 长 的 道 路 ， 面 积 为 这 每 米 其 例 ５等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 中 线 将 ． ｌ 方米． 可将“ 平 故 求共 走 了 多 少 米 远 ” 问 题 转 化 为 “ 所 周 长 分 为 １ 的 求 ２和 ９两 部 分 ， 这 个 三 角 求 走 的道 路对 应 的 面积 为多 少平 方 米 ” 问题 ． ７ ８ ５ （ 的 由 ｘ ＝ ６ 平 形 的 各 边 长． Ｂ
例谈“数形结合”思想在高考数学中的应用
２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀例谈 数形结合 思想在高考数学中的应用∗◉湖北江汉大学数学与大数据系㊀周㊀岭㊀许㊀璐㊀㊀著名数学家华罗庚曾说过: 数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休 ．所谓 数形结合 就是把抽象的数学语言㊁数量关系与直观的几何图形㊁位置关系结合起来,通过 以形助数或 以数解形 ,即通过抽象思维与形象思维的结合,将复杂问题简单化,抽象问题具体化,达到实现优化解题路径的目的,起到事半功倍的效果．下面将结合高考数学试题实例,分析说明 数形结合 思想在解决问题中的作用和简捷．１数形结合思想在解析几何中的应用例１㊀(２０２３年全国新高考Ⅰ卷)过点(０,－２)与圆x ２＋y ２－４x －１＝０相切的两条直线的夹角为α,则s i n α＝(㊀㊀)．A．１㊀㊀㊀B ．１５４㊀㊀C ．１０４㊀㊀D．６４分析:此题可以先将圆的方程化为标准形式,设出切线方程,利用点到直线的距离公式求出两条切线的斜率,最后利用夹角公式求得s i n α的值,但是计算相对复杂．解析:依题意,圆的方程可化为(x －２)２＋y ２＝５．图１如图１,得到圆心C (２,０),r ＝５,P (０,－２)．所以|P C |＝２２．设过点P 的两条切线为P A 和P B ,则øA P B ＝α,可得s i nα２＝r |P C |＝５２２＝１０４,c o sα２＝１－(s i n α２)２＝６４．所以s i n α＝２s i nα２c o s α２＝１５４．故选:B ．例２㊀(２０２３年新高考I 卷)已知双曲线C :x ２a ２－y ２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的左㊁右焦点分别为F １,F ２．点A 在C 上,点B 在y 轴上,F １A ңʅF １B ң,F ２A ң＝－２３F ２B ң,则C 的离心率为．分析:此题常见解法是设出点A ,B 的坐标,利用已知条件列出三个方程,再解出方程求得点A ,B 的坐标,进而得出双曲线C 的离心率．这样计算量会很大,如果利用数形结合的思想结合双曲线的定义求其离心率将会大大简化计算．解析:由F ２A ң＝－２３F ２B ң,得|F ２A ||F ２B |＝２３．设|F ２A |＝２x ,则|F ２B |＝３x ,|A B |＝５x ,|F １B |＝|F ２B |＝３x ．由双曲线的定义,得|A F １|＝|A F ２|＋２a ＝２x ＋２a ．设øF １A F ２＝θ,则s i n θ＝３x ５x ＝３５,所以c o s θ＝４５＝２x ＋２a５x,解得＝a ,则|A F １|＝４a ,|A F ２|＝２a ．图２如图２,在әF １A F ２中,由余弦定理,可得c o s θ＝１６a ２＋４a ２－４c ２１６a２＝４５．整理,得５c ２＝９a ２．故e ＝c a ＝３５５．点评:这类题目考查了学生 数学抽象 的核心素养．解决此类题的关键在于将数学符号语言和图形语言相互转化,利用图形的直观性,结合相关定义㊁公式即可快速解题．２数形结合思想在立体几何中的应用例３㊀(２０２２年新高考I 卷)已知正方体A B C D ＧA １B １C １D １,则(㊀㊀)．A．直线B C １与D A １所成的角为９０ʎB ．直线B C １与C A １所成的角为９０ʎC ．直线B C １与平面B B １D １D 所成的角为４５ʎD．直线B C １与平面A B C D 所成的角为４５ʎ分析:此题可以通过建立空间直角坐标系来判断各选项是否正确,但计算较繁琐．解析:选项A ,B 的判断略．９３∗基金项目:江汉大学研究生科研创新基金项目 基于新课标新课改背景下提升中学生数学学科核心素养的探究 ,项目编号为K Y C X J J ２０２３５０;教育部产学合作协调育人２０２２年第一批立项项目 基于P y t h o n 的大数据分析与应用课程混合教学模式探索 ,项目编号为２２０５０６６２７２４２０５７．学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀图３如图３所示,连接A１C１,设A１C１ɘB１D１＝O,连接B O．由B B１ʅ平面A１B１C１D１,C１O⊂平面A１B１C１D１,得C１OʅB１B．因为C１OʅB１D１,B１D１ɘB１B＝B１,所以C１Oʅ平面B B１D１D,所以øC１B O为直线B C１与平面B B１D１D的夹角．设正方体棱长为１,则C１O＝２２,B C１＝２,于是s i nøC１B O＝C１O B C１＝１２．所以直线B C１与平面B B１D１D所成的角为３０ʎ,故选项C错误．因为C１Cʅ平面A B C D,所以øC１B C为直线B C１与平面A BC D的夹角,易得øC１B C＝４５ʎ,故选项D正确．综上所述,此题选:A B D．点评:本题主要考查立体几何中直线与直线的夹角㊁直线与平面的夹角,是对学生 逻辑推理 直观想象核心素养的考查．此题如果通过建系来计算,将比较复杂,耗时较长;若采取 传统 方法,结合图形并运用立体几何㊁三角函数相关知识,即可快速㊁直观作出判断．３数形结合思想在函数中的应用例４㊀(２０２１年全国乙卷)设aʂ０,若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)２(x－b)的极大值点,则有(㊀㊀)．A．a＜b B．a＞b C．a b＜a２D．a b＞a２分析:此题如果利用导数知识来求该函数的极大值点,再通过a与b的大小来判断选项将非常复杂．如果通过数形结合先考虑函数的零点情况,注意零点附近左右两侧函数值是否变号,结合极大值点的性质,对a进行分类画出该函数的图象再来判断选项将大大简化了问题,既直观又方便快捷[１]．解析:若a＝b,则f(x)＝a(x－a)３为单调函数,无极值点,不符合题意,故aʂb．所以f(x)有x＝a和x＝b两个不同零点,且在x＝a附近左右两侧不变号,在x＝b附近左右两侧变号．因为x＝a为函数f(x)＝a(x－a)２(x－b)的极大值点,所以f(x)在x＝a附近左右都小于０．①当a＜０时,由x＞b,f(x)ɤ０,画出f(x)的图象如图４所示．由b＜a＜０,得a b＞a２．图４㊀㊀㊀图５②当a＞０时,由x＞b,f(x)＞０,画出f(x)的图象如图５所示．由b＞a＞０,得a b＞a２．综上a b＞a２成立．故选:D．例５㊀(２０２１年新高考I卷)已知O为坐标原点,点A(１,０),P１(c o sα,s i nα),P２(c o sβ,－s i nβ),P３(c o s(α＋β),s i n(α＋β)),则(㊀㊀)．A．|O P１ң|＝|O P２ң|B．|A P１ң|＝|A P２ң|C．O Aң O P３ң＝O P１ң O P２ңD．O Aң O P１ң＝O P２ң O P３ң分析:此题如果画出图形,利用数形结合思想解题,既直观又简捷．图６解析:如图６,可得|O P１ң|＝|O P２ң|＝１,故选项A正确．仅当α＝－β时,|A P１ң|＝|A P２ң|成立．故选项B错误．由O Aң O P３ң＝|O Aң| |O P３ң|c o s(α＋β),O P１ң O P２ң＝|O P１ң| |O P２ң| c o s(α＋β),|O Aң|＝|O P３ң|＝|O P１ң|＝|O P２ң|＝１,可知O Aң O P３ң＝O P１ң O P２ң．故选项C正确．观察图象,易得‹O Aң,O P１ң›＝α,‹O P２ң,O P３ң›＝α＋２β．故选项D错误．此题应选:A C．例６㊀(２０２１年新高考I卷)若过点(a,b)可以作曲线y＝e x的两条切线,则(㊀㊀)．A．e b＜a B．e a＜bC．０＜a＜e b D．０＜b＜e a分析:此题要求作出曲线y＝e x的两条切线,通过几何图形进行直观想象,很容易判断各选项是否正确．解析:作出y＝e x的图象．易得,若想作出切线,点(a,b)需在曲线y＝e x的下方和x轴上方,如图７,即b＜e a．图７㊀㊀图８但点(a,b)在x轴及其下方时,仅能作出一条切线,如图８．所以点(a,b)需在y轴上方,即b＞０．综上,可得０＜b＜e a．故选:D．综上所述,在高考数学中利用数形结合思想解题往往可以起到简化计算㊁提高解题效率的作用．因此,平时教学中教师应通过数形结合思想丰富的展现形式不断对其进行渗透,促进学生数与形相互转换的能力,刺激学生学习数学的欲望,引导学生投入到数形结合分析的专题探究中[２],从而达到数学抽象思维具象化㊁发散化的教学目的,最终达到提升学生核心素养和全面发展的教育目的．参考文献:[１]常国良．数学教学中渗透直观想象素养的三重境界[J]．教学与管理,２０２０(３１):６２Ｇ６４．[２]李兆芹．探究数形结合思想如何有效运用于高中数学教学[J]．数学学习与研究,２０１８(５):４３．Z０４。
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用化归思想是数学解题中一种重要的思维方法，通过将原问题转化为更简单的问题来解决复杂的数学问题。
在中学数学解题中，应用化归思想可以帮助学生提高问题解决能力，并加深对数学概念的理解。
1. 确定问题的等价变形：在解决数学问题时，往往可以通过将原问题转化为更简单的等价问题来解决。
在解决一元二次方程的时候，可以通过将方程化为标准形、配方法等等来简化求解过程。
这样做不仅可以减少计算量，还可以帮助学生更好地理解数学概念。
2. 利用对称性进行化简：对称性是数学中常见的一种性质，利用对称性可以简化问题的求解过程。
在解决平面几何问题时，可以利用图形的对称性质来简化分析，找出相应的对称点或线，从而有助于解题。
3. 利用递推关系进行化简：递推关系是数学中经常遇到的一种数学关系，利用递推关系可以通过找出问题中的规律，将问题化简为递推公式，从而简化求解过程。
在解决数列问题时，可以通过找出数列中的递推关系，写出递推公式，从而求解问题。
4. 利用特殊性质进行化简：某些数学问题具有特殊的性质，利用这些特殊性质可以简化问题的求解过程。
在解决组合数学问题时，可以利用排列组合的性质，例如乘法原理、加法原理等，进行合理的化简，以便更好地解决问题。
化归思想在中学数学解题中的应用可以帮助学生理解、把握问题的本质，减少解题过程中的复杂性，提高解题效率。
化归思想也能培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和创造思维能力，提升他们解决问题的能力。
在中学数学教学中，应该注重培养学生的化归思维，引导他们灵活运用化归思想，更好地解决数学问题。
例谈整体思想在数学解题中应用[论文]
![例谈整体思想在数学解题中应用[论文]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/9f051d0deff9aef8941e063b.webp)
例谈整体思想在数学解题中的应用摘要：整体思想是一种重要的数学思想方法，它是从整体上把握全局，注重问题的整体结构和特征，分析条件和结论的联系，从而使问题得以解决，常能化繁为简，变难为易，使解题过程显得简洁明快。
关键词：数学思想整体思想数学是一门具有严密逻辑性的基础学科，随着人类的进步和科学的发展，人们对数学的严密性和逻辑性有了更高的要求，因此，数学教师从教学的一开始就要有意识地培养学生的数学思维品质，有意识地贯穿数学思想方法，激发学生的创新思维和寻求新知识新方法的欲望，使学生把握一些解题的规律和方法，这样把学生从各种纷繁复杂的题型中解脱出来，使他们从中得到一些乐趣，在乐中求新，在新中获得更大的收益，其中整体思想是一种经常用到的数学解题的思想方法。
整体思想作为一种重要的思想方法，它在中学数学的各个方面都有广泛的应用。
学生若能灵活运用整体思想，常常能化繁为简，变难为易，提高解题的准确性和灵活性。
整体思想，就是在处理与解决问题时，胸怀整体的全局，暂时忽略或模糊问题的某些局部，注重问题的整体结构和整体特征，从整体上把握解决问题的方向，从整体上分析条件和结论的联系，并作出决策。
对于有一些数学问题，我们如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则能化零为整，化分散为集中，使解题过程显得简洁明快，体现和谐美和数学美。
下面我们通过具体实例来探究整体思想在解题中的应用。
一、在求函数值中的应用例：已知函数f（x）=x3+x+sinx+2，且f（-2）=8则：f（2）=（）a.10b.6c.-4d.8解析：由于y=x3，y=x，y=sinx都是奇函数，所以将x3+x+sinx 看作一个整体，故设g（x）=x3+x+sinx，（此函数为奇函数）所以f（x）=g（x）+2∵f（-2）=8 ∴f（-2）=g（-2）+2∴g（2）=-6∴f（2）=g（2）+2=-4，故选c。
二、在函数单调性中的应用例：求函数y=（x2+5）/（x2+4）1/2的最值。
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用分类讨论是数学中常见的解题思想之一，它在解决初中数学题中发挥着重要的作用。
分类讨论思想通过将问题划分成若干类别，然后分别讨论每个类别，最终得出整体的解决方案。
在初中数学中，分类讨论思想既可以帮助学生更好地理解问题，也可以帮助他们更快速、准确地解决问题。
下面将从几个典型的初中数学题目出发，通过具体的例子来探讨分类讨论思想在解题中的应用。
我们来看一个简单的应用题：甲乙两人合作剪彩带，已知甲每分钟剪3米，乙每分钟剪4米。
为了提高效率，甲、乙两人分别采取了不同的工作方式合作，甲每隔4分钟休息1分钟，乙每隔5分钟休息1分钟。
请问：他们共同完成20米的彩带需要多长时间？在这个问题中，需要考虑到甲、乙两人的工作方式不同，所以可以采用分类讨论思想。
我们可以考虑甲、乙两人一起工作的情况。
假设他们一起工作了x分钟后，甲休息了y分钟，那么乙休息了x/4分钟。
根据题目条件，可以列出方程：3x + 4x = 20然后，根据甲、乙两人的休息时间，可以列出方程：y = x/45|y –x解方程组，得出x=4，y=1。
根据x和y的值，可以得出甲、乙两人共同完成20米的彩带需要的时间为x+y=5分钟。
接下来，再来看一个关于方程的问题：某数是17的整数倍，加上19是这个数的平方，求这个数。
在这个问题中，可以使用分类讨论思想来解决。
设这个数为x，根据题目条件，可以列出方程：x = 17k，k为自然数得出x^2 – x – 19 = 0。
然后，解方程得x = (1 ± √(1 + 76))/2。
由于要求x为整数，所以需要1 + 76是完全平方数，即1 + 76 = 77 = 7^2。
所以x = (1 + √77)/2。
符合条件的x只有一个整数解，即x = (1 + √77)/2。
在平面直角坐标系xoy中，点A ∈ {(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}),(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}),(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}),(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})}，则点A的可能取值为这是一个考察点的排列组合的问题，同样可以采用分类讨论思想来解决。
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
分类讨论思想是解决数学问题的一种重要方法之一，它通过将问题按照不同的情况进
行分类讨论，从而得到最终的解答。
在初中数学题中，分类讨论思想特别适用于解决一些
复杂的实际问题，可以帮助学生更好地理解和掌握相关的数学概念和方法。
1. 方程的分类讨论：在解决一元一次方程和一元二次方程等问题时，常常需要通过
分类讨论的方式来解决。
在解决关于年龄、长度、面积等实际问题时，往往需要设定不同
的条件和方程式，然后通过分类讨论的方式求解。
2. 整式的分类讨论：在计算多项式的值、展开多项式等问题时，常常需要将多项式
按照不同的情况进行分类讨论，并采用相应的方法来计算。
求多项式的值时，可以通过将
多项式按照不同的变量取值情况进行分类，然后分别计算得到最终的结果。
1. 几何图形的分类讨论：在解决诸如三角形、四边形、多边形等几何图形的性质和
计算问题时，常常需要将图形按照不同的情况进行分类讨论。
在解决三角形的面积问题时，可以将三角形按照是否为直角三角形、是否为等边三角形等进行分类讨论，然后采用相应
的公式和方法求解。
例谈数学思想方法在小学数学解题中的运用
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数学 思 想 方法 是 对 数学 内 容及 其 所使 用 的方 法的 本 质认 识 。小 学 数 学 解 题 中 涉及 许 多 数 学思想 方法, 重视这些 数学思想 方 法的 运用 , 能启 迪学 生 的思 维, 培 养学 生 的数 学素 养 , 使学 生学会 数学地思考 问题, 提高学 生分析 问题和解决 问题的能 力。 现 举 几 例 加 以 说明 。
5 倍, 儿子年龄是父亲年龄的 2 。这样, 经转化后, 原本
2
5
复 杂 的 问 题 就 变 得 十分 简 单 了 。
父亲 的年 龄为 : 63× 5 = 45(岁) 或63÷(1+ 2 )= 45
7
5
(岁)。
儿子 的年 龄为 : 63× 2 = 18(岁) 或63÷(1+ 5 )= 18
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用1. 引言1.1 化归思想在数学解题中的重要性化归思想在数学解题中的重要性体现在其能够帮助学生有效地理清解题思路，简化解题步骤，提高解题效率。
通过化归思想，学生可以将复杂的问题转化为简单的形式，从而更好地理解问题的本质和规律。
在解代数方程时，化归思想可以让学生找到问题的共同因子，简化计算过程，快速求解方程；在几何证明中，化归思想可以帮助学生将复杂的证明问题简化为易于理解和推导的步骤，提高证明的准确性和严谨性；在数列求和过程中，化归思想可以帮助学生找到规律，快速求解数列的和。
在数学竞赛中，灵活运用化归思想更是能够让学生在短时间内解决复杂的问题，赢得比赛的机会。
化归思想在中学数学解题中起着至关重要的作用，能够帮助学生提高解题能力和思维能力，培养他们的逻辑思维和分析问题的能力。
2. 正文2.1 化归思想的概念及特点化归思想是指将一个复杂的问题通过逐步归纳、简化等方法，转化为相对简单的问题来解决的一种思维方式。
化归思想的核心理念在于将问题分解，找到其中的规律和共性，通过对问题的归纳和简化，最终达到解决复杂问题的目的。
化归思想具有以下几个特点：化归思想注重整体性和系统性，通过对问题的整体把握和系统分析，找出问题的本质和规律。
化归思想强调逻辑性和严密性，要求在问题分解和简化的过程中，逻辑严谨，不漏掉任何细节。
化归思想强调灵活性和创新性，在解题过程中可以灵活运用各种方法和技巧，创造性地寻找解题路径。
2.2 化归思想在代数方程解题中的应用化归思想在代数方程解题中的应用十分重要。
在解决代数方程时，我们经常会遇到复杂的方程形式，需要通过化归思想将其简化，从而更容易求解。
化归思想可以帮助我们将复杂的问题转化为简单的形式，从而更好地理解和解决问题。
在解决代数方程时，化归思想也可以帮助我们从一个更宏观的角度来看待问题。
通过将问题分解为更小的部分，我们可以更好地理解每个部分的作用和相互关系，从而更好地解决整个方程。
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用分类讨论思想是解决问题的一种常用方法，特别适用于初中数学题目的解答过程。
其核心思想是将问题进行分类，分别讨论不同情况，并根据不同情况给出相应的解法。
假设有一个初中数学问题：某辆汽车从A地出发，以每小时60公里的速度向B地驶去，途中停了2次，每次停车时间都为1小时，求该车从A地到B地经历的时间。
首先我们可以将该问题进行分类，分为2个不同的情况：汽车在停车点的时间是否计入行驶时间。
对于每个情况我们给出相应的解法。
情况一：汽车在停车点的时间不计入行驶时间。
根据题目中给出的信息，从A地到B地的总行驶时间为：行驶时间 = 总路程 / 速度 = AB / 60由于每次停车时间为1小时，总停车时间为2小时，所以总用时为：总用时 = 行驶时间 + 总停车时间 = AB / 60 + 2由于两种情况的计算方式相同，所以该问题的答案为：总用时 = AB / 60 + 2。
上述例子中，我们通过分类讨论思想将问题划分为两个不同的情况，并针对不同情况给出相应的解法。
这样一来，我们可以更加全面地考虑问题，并得出正确的结论。
另一个例子是解关于平方根的问题：某个数的平方根是-3，求这个数情况一：平方根的正负为正数。
由于平方根的正负为正数，所以这个数必须是正数，即这个数的平方大于0。
又因为平方根是-3，所以这个数的平方等于9。
这个数是9。
通过以上两个例子可以看出，分类讨论思想在解初中数学题中的应用十分灵活和有效。
通过将问题进行分类，我们可以更加全面地考虑各种情况，从而找出正确的解法。
在实际解题中，我们还可以根据具体情况进行更复杂的分类讨论，以得到更准确的解答。
分类讨论思想是解决初中数学问题的重要方法之一。