北师大版)必修四1.2《角的概念的推广》
北师大版必修4第一章第2节角的概念的推广
提炼的课题
正角、负角、零角、象限角
教学重难点
重点:示法及判断。
2.类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
难点:把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
教学手段运用
教学资源选择
PPT、学案.
教学过程
环节
学生要解决的问题或任务
教师如何教
学生如何学
1.正角、负角、零角、象限角的定义.
2.终边相同的表示方法．
3.特殊位置（或给定区域内）的角的
1.正角、负角、零角的定义.
2.象限角、坐标轴上的角的概念
3．终边相同的表示方法
石泉中学课时教案
科目:数学教师：贾伟授课时间：第1周星期四2016年2月25日
单元（章节）课题
三角函数
本节课题
角的概念的推广
三维目标
1.推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解象限角、坐标轴上的角的概念；理解任意角的概念，掌握所有与 角终边相同的角（包括 角）的表示方法；能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；
课后作业布置
北师大版高中数学必修4教学课件：1.2 角的概念的推广
-2-
§2 角的概念的推广
首页
Z H 自主预习 IZHUYUXI
合作学习
EZUOXUEXI
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
一二三
一、角的概念 1.角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所成的图形. 2.角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类:
类型 定 义
图示
;
(2)将时钟拨慢2 h,分针转过的角为
.
答案:(1)-360° (2)720°
-4-
§2 角的概念的推广 一二三
首页
Z H 自主预习 IZHUYUXI
合作学习
EZUOXUEXI
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
二、象限角 在平面直角坐标系中研究角时,如果角的顶点与原点重合,角的 始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限, 我们就说这个角是第几象限角. 【做一做2】 318°角的终边所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:318°角的终边所在的象限是第四象限. 答案:D
-20-
§2 角的概念的推广
首页
Z H 自主预习 IZHUYUXI
合作学习
EZUOXUEXI
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
区域角 【例4】 如图所示,写出顶点在原点,终边重合于x轴的非负半轴, 终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).
-21-
§2 角的概念的推广
致,故锐角是第一象限角,C正确.对于A,经过2小时,时针转过的角度
为-60°,故说法错误;对于B,390°角是第一象限角,但它不是锐角,
北师大版数学必修四角的概念的推广课件 (共16张PPT)
O
终始边 A
AOB=1200 BOA=-1200
射线OA绕端点O逆时针方向旋转900到射线OB,接 着再顺时针方向旋转300到OC求角AOC.
B
C
-300 900
600
O
A
AOC = AOB + BOC = 900 + (-300) = 600
各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
二.象限角：
角的顶点与坐标原点重合,角的始边
是不是任意一个角都与0０到360０内的某一 角终边相同呢？
三．终边相同角的表示方法： 所有与角 终边相同的角，连同角
在内可构成一个集合
S | k g 3 6 0 0 ,k Z
即任意与角 终边相同的角，都可 以表示成 与整数个周角的和．
【例２】
在 00～3600 间，找出与下列各角终边相同的 角，并判定它们是第几象限角． （1） 1 5 0 o ；（2） 6 5 0 o ；（3） 950o15' ．
初中角的概念:
顶点
O
B
角的边
A
把公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
角还可以看成平面内一条射线
绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形．
一.正角、负角、零角：
正角：一条射线绕着它的端点按逆时 针方向旋转形成的角；
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：射线没有作任何旋转。
B
终始边
-1200
1200
与x轴的正半轴重合，那角的终边在第
几象限，就说这个角是第几象限角．
y
注B ：当角的终边
落在坐标轴上时，
它不属于任何象限.
它叫轴o线角. A
Ｏ
高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广课件北师大必修4
123
【做一做3-1】 在0°~360°内,与-35°角终边相同的角是( )
A.325° B.-125°
C.35°
D.平分线上,则α可
用集合表示为
.
答案:{α|α=135°+k×360°,k∈Z}
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 终边相同的角、象限角
解:第一象限角的集合:{α|k×360°-360°<α<k×360°-
270°,k∈Z};
第二象限角的集合:{α|k×360°-270°<α<k×360°-
180°,k∈Z};
第三象限角的集合:{α|k×360°-180°<α<k×360°-90°,k∈Z}; 第四象限角的集合:{α|k×360°-90°<α<k×360°,k∈Z}.
30°),即与-30°角终边相同的角; (5)终边相同的角不一定相等,但是相等的角,终边一定相同;
123
(6)①终边落在x轴的非负半轴上的角的集 合:{α|α=k×360°,k∈Z};
②终边落在x轴的非正半轴上的角的集 合:{α|α=k×360°+180°,k∈Z};
③终边落在x轴上的角的集合:{α|α=k×180°,k∈Z}; ④终边落在y轴的非负半轴上的角的集 合:{α|α=k×360°+90°,k∈Z}; ⑤终边落在y轴的非正半轴上的角的集 合:{α|α=k×360°+270°,k∈Z}; ⑥终边落在y轴上的角的集合:{α|α=k×180°+90°,k∈Z}; ⑦终边落在坐标轴上的角的集合:{α|α=k×90°,k∈Z}.
123
(2)规定:按逆时针方向旋转形成的角叫作正角;按顺时针方向旋 转形成的角叫作负角;如果一条射线从起始位置没有作任何旋转, 终止位置与起始位置重合,我们称这样的角为零度角,又称零角,记 作α=0°.这样就形成了任意大小的角即任意角. 名师点拨1.规定了正角、负角和零角后,角的大小不再局限于0° 到360°的范围,而是出现了任意大小的角.
最新精品2019北师大版高中数学必修4第一章§2角的概念的推广(共18张PPT)
A．x 轴正半轴上
B．y 轴正半轴上
C．x 轴或 y 轴上 D．x 轴正半轴或 y轴正半轴上
思考与讨论:
1.如果是第一象限角,那么 的取值
范围可以表示为怎样的不等式?
2.如果是第一象限角,那么 是第几
2
象限角?
学习目标
知识与技能：使学生初步理解用“旋转”定义角 的概念；理解“正角”、“负角”、“零角”、 “象限角”、“终边相同的角”的含义。
过程与方法：通过对各种角表示法的训练，提高 分析、抽象、概括的能力。
情感与价值：培养学生感受“动”与“静”的对 立统一，培养学生用运动转化的观点分析问题。
射线OA绕端点O旋转900到射线OB,接 着再旋转-300到OC求角AOC.
B
C
-300 900
600
O
A
AOC = AOB + BOC = 900 + (-300) = 600
各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
例 题 1:
射线OA绕端点O顺时针旋转800到OB位 置,接着逆时针旋转2500到OC位置,然后再顺 时针旋转2700到OD位置,求 AOD的大小.
并把 S 中适合不等式 360 720 的元素
写出来：
（1） 60；（2）21（ 3） 363 1．4
【当堂检测】：
1、一角为 30 ，其终边按逆时针方向旋转三周
后的角度数为______________．
2集合 M k 90，k Z 中，各角的终
二．终边相同角的表示方法：
做出 300 ，3900 ，-3300 思考它们之间 有什么关系？
3900 = 300 +3600 -3300 = 300 -3600
高中数学必修4北师大版1.2角的概念的推广教案
1.2角的概念推广一、新旧知识连接：初中已学过命题的知识，请同学们回顾什么叫角？角的范围？长跑运动员在操场长跑可以用角360、两圈可以是多少？顺时针与逆时针有区别吗？引入角的定义和相关概念；度来恒量吗？一圈0二、我能自学：1.认识角的概念：①如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)。
②象限角、坐标轴上的角的概念．由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，(板书)我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．三、范例分析例1.判断下列各角是第几象限角. （借助多媒体课件展示）(1)—60°； (2)585°； (3)—950°12’．解：(1)∵—60°角终边在第四象限，∴它是第四象限角；(2)∵585°＝360°十225°，∴585°与225°终边相同，又∵225°终边在第三象限，∴585°是第三象限角；(3)∵—950°12’＝－230°12’—2×360°，又∵－230°12’终边在第二象限，∴—950°12’是第二象限角.例2．在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（α用0°～360°的角表示）.解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°与270°角，因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}；所有与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}；所以，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}.例3．写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜270°的元素β写出来.解：S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β＜270°的元素是：60°－1×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.四．归纳小结1、通过范例分析讲解理解概念及公式；2、反思角定义的合理性？同时还有其它方法表示角吗分析特点和缺点。
数北师大必修4案：1.2角的概念的推广
§2角的概念的推广1．角的概念角可以看成平面内________绕着______从一个位置______到另一个位置所形成的图形．2．角的分类(1)(2)按角终边的位置分类预习交流1(1)终边和始边重合的角一定是零角吗？(2)45°是第______象限角；216°是第__________象限角；－70°是第__________象限角．3．终边相同的角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：________________________，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的______倍的和．注意：(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．预习交流2(1)下列各角中与330°角终边相同的角是()．A．510°B．150°C．－150°D．－390°(2)在－360°到360°的范围内，与412°角终边相同的角是______．★答案★：1．一条射线端点旋转2．(1)逆时针顺时针没有作任何旋转(2)原点终边(除端点外)预习交流1：(1)提示：不一定．零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°、360°、720°等角的终边和始边也重合．(2)一三四3．S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}整数预习交流2：(1)D(2)52°，－308°1．角的概念的辨析问题判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)集合P＝{钝角}，集合Q＝{第二象限角}，则有P＝Q；(2)角α和角2α的终边不可能相同；(3)若α是第二象限角，则2α一定是第四象限角；(4)不相等的角其终边位置必不相同．思路分析：解答本题首先要明确角的范围不再局限于0°～360°，角的度数已经扩大到(－∞，＋∞)，其次要紧扣象限角、终边相同的角的概念．已知A＝{锐角}，B＝{α|0°≤α＜90°}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°的角}，求A∩B，A∪C，C∩D，A∪D.对推广后角的概念的理解．(1)紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看角．(2)结合实际意义明确角的概念经过推广后，角的范围不再局限于0°～360°，而是包括正角、负角和零角．(3)正确理解正角、负角和零角的概念，既要注意始边位置和旋转量，又要注意旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．2．终边相同的角及象限角已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.思路分析：利用终边相同的角的关系β＝α＋k×360°，k∈Z来解决．将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)－1 840°；(2)1 690°.终边相同的角相差360°的整数倍．判定一个角在第几象限，只要找与它终边相同的0°～360°范围内的角，这个0°～360°范围内的角所在象限即为所求．3．区域角的表示如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．思路分析：观察图形，找出边界上的角，用不等式形式表示出阴影部分内的角的集合．如图所示，写出终边落在图中阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．区域角及其表示方法区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步： (1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}；(3)根据旋转的观点把起始、终止边界对应角α、β加上k ·360°(k ∈Z )．特别地，如“活动与探究3”中，若是对顶区域，如图②可用一个表达式表示：先在一个阴影中找出区间角[45°，90°]，然后再在两边加上n ×180°(n ∈Z )即可；若区域包括了x 轴非负半轴，则可由负角到正角，如图③，两边再加上k ×360°(k ∈Z )．4．已知α角所在的象限，判断角α2的终边所在的位置已知角α是第二象限角，试判断角α2是第几象限角．已知角α是第三象限角，试判断角α2是第几象限角． (1)各象限角的集合如下象限角集合表示 第一象限角{α|0°＋k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k ∈Z } 第二象限角{α|90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°，k ∈Z } 第三象限角{α|180°＋k ·360°＜α＜270°＋k ·360°，k ∈Z } 第四象限角 {α|270°＋k ·360°＜α＜360°＋k ·360°，k ∈Z }★答案★：活动与探究1：解：(1)不正确．实际上P ＝{α|90°＜α＜180°}，应有P Q .(2)不正确．如α＝0°时，α与2α终边相同．(3)不正确．由90°＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°(k ∈Z )知180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z ，故2α是第三或第四象限的角，也可能终边在y 轴的非正半轴上．(4)不正确．不相等的角其终边位置也可能相同，如30°与390°.迁移与应用：解：A ∩B ＝{α|0°＜α＜90°}，A ∪C ＝{α|k ×360°＜α＜90°＋k ×360°，k ∈Z }，C ∩D ＝{α|k ×360°＜α＜90°＋k ×360°，k ∈Z ，k ≤0}，A ∪D ＝{α|α＜90°}．活动与探究2：解：(1)－1 910°＝－6×360°＋250°，其中β＝250°，k ＝－6，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k ×360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.迁移与应用：解：(1)－1 840°＝－6×360°＋320°，故－1 840°是第四象限角．(2)1 690°＝4×360°＋250°，故1 690°是第三象限角．活动与探究3：解：(1)由图①可知，按逆时针方向旋转，应由l 1旋转至l 2，与l 1终边相同的角有60°角，与l 2终边相同的角有310°角．∴图①阴影部分中角的集合为S ＝{α|60°＋k ×360°≤α≤310°＋k ×360°，k ∈Z }．(2)由图②知，第一象限内阴影部分中角的集合为S 1＝{α|45°＋k ×360°≤α≤90°＋k ×360°，k ∈Z }．第三象限内阴影部分中角的集合为S 2＝{α|225°＋k ×360°≤α≤270°＋k ×360°，k ∈Z }．∴所求阴影部分中角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{α|45°＋2k ×180°≤α≤90°＋2k ×180°，k ∈Z }∪{α|45°＋(2k ＋1)×180°≤α≤90°＋(2k ＋1)×180°，k ∈Z }＝{α|45°＋n ×180°≤α≤90°＋n ×180°，n ∈Z }．(3)由图③知，逆时针方向旋转，应由l 2旋转至l 1，与l 2终边相同的角有－30°角，与l 1终边相同的角有30°角．∴图③阴影部分中角的集合为S ＝{α|－30°＋k ×360°＜α＜30°＋k ×360°，k ∈Z }．迁移与应用：解：终边落在第二象限内阴影部分中的角的集合可表示为{x |k ×360°＋135°＜x ≤k ×360°＋180°，k ∈Z }，终边落在第四象限内阴影部分中的角的集合可表示为{x |k ×360°－15°≤x ≤k ×360°，k ∈Z }，∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为{x |k ×360°＋135°＜x ≤k ×360°＋180°或－15°＋k ×360°≤x ≤k ×360°，k ∈Z }．活动与探究4：解法一：(分类讨论法)∵角α是第二象限角，∴k ×360°＋90°＜α＜k ×360°＋180°，k ∈Z.∵k ×180°＋45°＜α2＜k ×180°＋90°，k ∈Z ， ∴当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ×360°＋45°＜α2＜n ×360°＋90°， 即角α2是第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ×360°＋225°＜α2＜n ×360°＋270°， 即角α2是第三象限角． ∴角α2的终边落在第一或第三象限． 解法二：(几何法)先将各象限二等分，从x 轴非负半轴起，按逆时针方向依次将各区域标上1,2,3,4，标有2的区域即为角2α的终边所在区域，如图所示，故角2α是第一、三象限角．迁移与应用：解法一：(分类讨论法)∵α是第三象限角，∴k ×360°+180°＜α＜k ×360°+270°，k ∈Z ， ∴k ×180°+90°＜2α＜k ×180°+135°，k ∈Z. ∴当k=2n ，n ∈Z 时，n ×360°+90°＜2α＜n ×360°+135°，即角 2α是第二象限角； 当k =2n +1，n ∈Z 时，n ×360°+270°＜2α＜n ×360°+315°，即角2α是第四象限角． ∴角2α是第二或第四象限角． 解法二：(几何法)仿照“活动与探究4”的“解法二”即可知角 是第二或第四象限角．1．下列命题中正确的是( )．A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋k ·360°(k ∈Z )，则α和β终边相同2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－615°是第一象限角．其中正确的命题有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．与405°角终边相同的角是( )．A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·360°－405°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z4．(1)一个30°的角，将其终边按逆时针方向旋转三周，则旋转后的角是________．(2)若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．5．终边在第一、三象限角平分线上的角的集合为________；终边在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．★答案★：1．D 解析：90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角，故A 错；390°的角是第一象限角，但它不是锐角，故B 错；390°角和30°角不相等，但终边相同，故C 不正确；对于D ，由终边相同的角的概念可知正确．2．C 解析：①②③正确，④错误．3．C4．(1)1 110° (2)－960° 解析：(1)终边按逆时针方向旋转三周，转过的角度为360°×3＝1 080°.再加上原来的角度30°，所以旋转后的角是1 110°.(2)∵2小时40分＝223小时，∴－360°×223＝－960°. 5．{α|α＝k ×180°＋45°，k ∈Z }{α|α＝k×180°＋135°，k∈Z}。
北师大版数学必修四角的概念的推广课件 (共16张PPT)
顶点
O
B
角的边
A
把公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
角还可以看成平面内一条射线
绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形．
一.正角、负角、零角：
正角：一条射线绕着它的端点按逆时 针方向旋转形成的角；
负角：按有作任何旋转。
B
终始边
-1200
1200
用 00到 3600的 角 表 示
y
y
y
o
x
o
x
o
x
|kg3600,kZ
y
o
x
练习2：
（1）一角为 30 ，其终边按逆时针方向旋转三周
后的角度数为______________．
（2）集合 M k 9 ， 0 k Z 中，各角的终
边都在（ ） ．
A．x轴正半轴上
B．y 轴正半轴上
C．x轴或 y轴上 D．x轴正半轴或 y轴正半轴上
【例3】写出与下列各角终边相同的角的集合 S ，
并把 S中适合不等式 360720的元素
写出来：
（1） 6 0 o ；（2） 21；（3）363o14．
练习1:
( 1 ) . 把 1 4 8 5 0 化 成 kg 3 6 0 00 0 3 6 0 0 ,k Z
的 形 式 是
A .43600450 B .436003150
O
终始边 A
AOB=1200 BOA=-1200
射线OA绕端点O逆时针方向旋转900到射线OB,接 着再顺时针方向旋转300到OC求角AOC.
B
C
-300 900
600
O
A
AOC = AOB + BOC = 900 + (-300) = 600