北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试数学理答案
1 ). m
当 x 变化时， f ( x ), f ( x ) 的变化如下表：
x f ( x )
(, 0)
0
(0,
1 ) m
1 m 0
极小值
(
1 , ) m
↗
0
极大值
↘
↗
f ( x)
1 1 1 1 1 1 f ( ) 2m 3 3 2 1 2 1 ，因为 m 1, 所以 0 2 1 .即 f ( ) 0 . m m m m m m
, 从而 b i
设 a j i , 则 a1
j. 故
从而 设 cj k , 即 C j
, 故 cj i , 而 i
a j , 故有 c j a j .
{1, 2,, k} , 根据集合 C j 的定义, 有
j 知， 由b k
, 由 Bk 的定义可得
而由 k c j , 故 a j c j . 因此，对
…………………….8 分 （Ⅱ）因为 x [0, ] ，
5 [ , ] ， 6 6 6 1 则 sin(2 x ) [ ,1] ， 6 2
所以 2 x 所以 f ( x ) [ 1, 2] ， 当 2x
2
，即 x 时， f ( x ) max 2 . 3 6 2
a 2
a 2
a a2 a 3 2 此时，函数 f ( x) 的极小值为 g (a ) f ( ) ln a . 2 4 2 8
所以 g (a )
1 a a (ln 1) . 2 2
令 g (a )
1 a a (ln 1) 0 得 a 2e . 2 2
由已知得 a1 , a2 , , a n 一共有 n 项 , 每一项都大于等于 1 , 故 b 1 1. 故b m
由于
n; 由于 a1 m m,
，故当 i 1, 2, , m 1 时， bi bi 1 .即
接下来证明对
j 1, 2,, n , a j c j . a2 a j i, 即
所以 sin C
3 1 1 4 3 3 3 . 2 7 2 7 14
…………………….13 分
所以 S ABC
1 1 3 3 ab sin C 7 8 6 3 . 2 2 14
2
（18） （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ） f ( x ) 6mx 6 x 6 x (mx 1) ， 当 m 1 时， f ( x ) 6 x ( x 1) , 当 x 在 [ 1, 2] 内变化时， f ( x ), f ( x ) 的变化如下表：
dm1 个 m 1,
,
d2 个 2 , d1 个 1 , 显然 di 0 .
b3 d m d3 , , bk d m d k , ,bm d m .
所以
n
b
j 1
m
j
md m (m 1)d m 1 2d 2 d 1 .
m
由
a b 8 a ，所以 ，解得 a 7 . sin A sin B 3 4 3 2 7 1 . 7
（Ⅱ）在△ ABC 中，由 tan B 0 知 B 为钝角，所以 cos B 又因为 sin C sin( A B) sin A cos B cos A sin B ，
j 1, 2,, n , a j c j .
……………….14 分
故
ai bj .
i 1 j 1
1 m 2m (1 ) （ ） m m 1 2 即 a1 a2 a n 2 2 2 2m 1 2. 1 1 2
…………….8 分
(Ⅲ)对 i 1, 2,..., m, bi 表示数列 a1 , a2 , , a n 中大于等于 i 的个数.
所以 {an } 的通项公式为 an 3
n 1
， n N* .
……………………. 7 分
（Ⅱ）因为 bn an log 3 an 3
n 1
(n 1) ，
2 n 1
所以 b1 b2 b3 bn (1 3 3 3
) [0 1 2 ( n 1)]
(或 y x 等 )
3
答案
3
1 2
y 3sin t 8 6
3
1,3,3,9 ； 2, 4, 4,8 ； 4, 6, 6,9 .
三、解答题： （15） （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ）设 {an } 的首项为 a1 ，公比为 q (q 0) ，则依题意
a1q 3， 解得 a1 1, q 3 . 3 2 a1q a1q 18，
f ( x) f ( x)
+ ↗
↘
0 极小值
+ ↗
所以函数 f ( x) 在 (0, ) 和 (1, ) 上单调递增，在 ( ,1) 上单调递减. ②当 a 2 时， f ( x) 2( x 1) ln x 0 恒成立. 所以函数 f ( x) 在 (0, ) 上单调递增. ③当 a 2 时，
a 2
a 2
a 1. 2
当 x 变化时， f ( x), f ( x) 变化情况如下表：
x
(0,1)
1
a (1, ) 2
a 2
0 极小值
a ( , ) 2
f ( x) f ( x)
+ ↗
0 极大值
↘
+ ↗
所以函数 f ( x) 在 (0,1) 和 ( , ) 上单调递增，在 (1, ) 上单调递减.…….9 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当 a 变化时， g(a), g (a) 变化情况如下表：
a
(2, 2e)
+ ↗
2e
0 极大值
e2 . 2
(2e, )
↘ ……………….14 分
g(a) g (a)
所以函数 g (a ) 的最大值为 g (2e) （20） （本小题满分 14 分） (Ⅰ)解：数列 b1 , b2 , , bm 是 6,4,3,1,1.
↘
1 2 0
极小值
1 ( , 0) 2
0
(0, )
↗
0
极大值
↘
f ( x) 1 2
又 f ( )
1 3 1 0 ， f (0) 0 ， f (3) 0 . 2 4
所以此时 f ( x ) 也有唯一零点. 从而“ m 1 ”是“ f ( x ) 有唯一零点”的充分不必要条件. （19） （本小题满分 14 分） 解：函数 f ( x) 的定义域为 (0, ) ， 且 f ( x) (2 x a) ln x ( x ax)
1 3n n( n 1) 1 3 2
（16） （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ）由已知可得 f ( x ) 3 sin 2 x cos 2 x
3n 1 n( n 1) . 2 2
……………….13 分
2(
3 1 sin 2 x cos 2 x) 2 2
…………….13 分
因为 f ( x ) m 恒成立，所以 m 2 ，所以 m 的最小值为 2 . （17） （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ）因为 tan B 4 3 ，即
2 2
sin B 4 3 ， cos B 4 3 . 7
……………….7 分
又 sin B cos B 1 ， B 为钝角，所以 sin B
北京市朝阳区 2018-2019 学年度第一学期高三年级期中统一检测
数学试卷（理工类）答案
一、选择题： 题号 答案 （1） B （2） C （3） A （4） D （5） A （6） B （7） C （8） A 2018.11
二、填空题： 题号 （9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
1, 2, 2, 4 ； 4 5 3 4 y x2
2
…………………….13 分
1 x a (2 x a) ln x . x
（Ⅰ）易知 f (1) a
1 ， f (1) 0 ， 2 1 2
所以曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y (a ) 0( x 1) .
即 y a
2sin(2 x ) . 6 2 所以最小正周期为 T . 2 令 2k 2 x 2k ， k Z . 2 6 2 2 所以 2k 2 x 2k ， 3 3 所以 k x k ，即单调递增区间为 [ k , k ], k Z . 6 3 6 3
x f ( x )
1
(1, 0)
0
(0,1)
1
(1, 2)
2
4
↗
0
极大值 1
↘
0
极小值 0
↗
当
f ( x)
5
x [1, 2] 时， f ( x) max 5 ； f ( x) min 4 .
（Ⅱ）若 m 1 ， f ( x ) 6mx ( x
…………………….5 分
1 . 2 a 2
……………….3 分
（Ⅱ）令 f ( x) (2 x a) ln x 0 得 x 1, x
①当 0 a 2 时，
a 1. 2
当 x 变化时， f ( x), f ( x) 变化情况如下表：
2019-2020学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)
对于 C ， y log2 | x | ，有 f (x) f (x) ，是偶函数不是奇函数，不符合题意；
-5-
对于 D ， y 2x 2x ，既是奇函数又在区间 (0,1) 上单调递增，符合题意；
故选： D ． 4．关于函数 f (x) sin x cos x 有下述三个结论：
年到 5730
年之间．（参考数据： log2 3 1.6 ， log2 5 2.3)
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（13 分）在 ABC 中， AB 2 7 ，点 P 在 BC 边上，且 APC 60 ， BP 2 ．
（Ⅰ）求 AP 的值； （Ⅱ）若 PC 1 ，求 sin ACP 的值．
D． 4 3
)
A． y x3
B． y sin(x)
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
C． y log2 | x |
D． y 2x 2x
对于 A ， y x3 ，是奇函数在区间 (0,1) 上单调递减，不符合题意；
对于 B ， y sin(x) sin x ，是奇函数在区间 (0,1) 上单调递减，不符合题意；
C．{1 ，0，1， 2}
D．{2 ， 1 ，0，1， 2}
2．已知
(
,
)
，且
sin
3
，则
tan
(
2
5
A． 3 4
B． 4 3
) C． 3
4
D． 4 3
3．下列函数中，既是奇函数又在区间 (0,1) 上单调递增的是 ( )
A． y x3
2019-2020学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷试题及答案
2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{|4}A x Z x =∈<，{1B =-，2}，则(A B = )A ．{1}-B ．{1-，2}C ．{1-，0，1，2}D ．{2-，1-，0，1，2}2．已知(,)2παπ∈，且3sin 5α=，则tan (α= )A ．34B ．43 C ．34-D ．43-3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A ．3y x =-B ．sin()y x =-C ．2log ||y x =D ．22x x y -=-4．关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论： ①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间(,)2ππ上单调递减．其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5．已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥，则//m β B ．若αβ⊥，则m β⊥ C ．若//m β，则//αβD ．若m β⊥，则αβ⊥6．已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)2B ．1(2，1)C ．(1,2)D ．(2,)+∞7．已知*{}()n a n N ∈为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设1F ，2F 为椭圆22:195x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限．若△12MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为( )A ．32B C ． D ．32-9．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC +=，则||AP 的取值范围是( )A ．1(,1]2B ．1[,1]2C ．,1]D ．[] 10．已知集合A ，B 满足： （ⅰ）AB Q =，AB =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x Q ∈且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y Q ∈且21y y >，则2y B ∈． 给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数． 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．已知向量(1,1)a =-，(3,)b m =，且//a b ，则m = ．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ，最长棱的长度为 ．13．已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为 ．14．已知a ，b 是实数，给出下列四个论断：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >． 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题： ．15．已知函数21,,()(,x a x x a f x a x x a e -⎧<⎪=⎨⎪⎩…为常数）．若1(1)2f -=，则a = ；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是 ．16．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730002(t N N N -=表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 ；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 年到5730年之间．（参考数据：2log 3 1.6≈，2log 5 2.3)≈三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．（13分）在ABC ∆中，AB =P 在BC 边上，且60APC ∠=︒，2BP =． （Ⅰ）求AP 的值；（Ⅱ）若1PC =，求sin ACP ∠的值．18．（13分）已知*{}()n a n N ∈是各项均为正数的等比数列，116a =，322332a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，//AD BC ，CD AD ⊥，2BC CD ==，4AD =． （Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）直线AB 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ？若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理由．20．（13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点(1,)P ，(Q ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点)F ，求||||AB FE 的最大值．21．已知函数()(0)lnxf x a x a=>+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时，证明：1()2x f x -…； （Ⅲ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．22．（13分）已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：*n N ∀∈，1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记{||n n d max a =，||n b ，||}({n c max x ，y ，}z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（Ⅰ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （Ⅱ）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（Ⅲ）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{|4}A x Z x =∈<，{1B =-，2}，则(A B = )A ．{1}-B ．{1-，2}C ．{1-，0，1，2}D ．{2-，1-，0，1，2} 【解答】解：集合2{|4}{1A x Z x =∈<=-，0，1}，{1B =-，2}， {1AB ∴=-，0，1，2}．故选：C ．2．已知(,)2παπ∈，且3sin 5α=，则tan (α= )A ．34B ．43 C ．34-D ．43-【解答】解：已知3sin 5α=， 根据22sin cos 1αα+= 解得：4cos 5α=±由于：(,)2παπ∈所以：4cos 5α=-则sin 3tan cos 4ααα==- 故选：C ．3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A ．3y x =-B ．sin()y x =-C ．2log ||y x =D ．22x x y -=-【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，3y x =-，是奇函数在区间(0,1)上单调递减，不符合题意；对于B ，sin()sin y x x =-=-，是奇函数在区间(0,1)上单调递减，不符合题意； 对于C ，2log ||y x =，有()()f x f x -=，是偶函数不是奇函数，不符合题意；对于D ，22x x y -=-，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增，符合题意； 故选：D ．4．关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论： ①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间(,)2ππ上单调递减．其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解答】解：函数()sin cos )4f x x x x π=+=+，所以函数的周期为：2π，所以①正确；②不正确； 函数的单调减区间为：[24k ππ+，2]k ππ+，k Z ∈，所以函数()f x 在区间(,)2ππ上单调递减．正确； 故选：B ．5．已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥，则//m β B ．若αβ⊥，则m β⊥ C ．若//m β，则//αβD ．若m β⊥，则αβ⊥【解答】解：对于选项A ：若αβ⊥，则//m β也可能m β⊥，故错误． 对于选项B ：若αβ⊥，则m β⊥也可能//m β，故错误． 对于选项C ：若//m β，则//αβ也可能α与β相交，故错误．对于选项D ，直线m α⊂，m β⊥，则αβ⊥是面面垂直的判定，故正确． 故选：D ．6．已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)2B ．1(2，1)C ．(1,2)D ．(2,)+∞【解答】解：令()0f x =得，1|2|kx x -=-， 设11y kx =-，2|2|y x =-，画出这两个函数的图象， 如右图，黑色曲线为1y 的图象，红线为2y 的图象，且12y 的图象恒过(0,1)-，要使()f x 有两个零点，则1y 和2y 的图象有两个交点， 当1k =时，1y x =（红线）与2y 图象的右侧(1)x >平行， 此时，两图象只有一个交点，12PA k =， 因此，要使1y 和2y 的图象有两个交点，则112k <<， 故选：B ．7．已知*{}()n a n N ∈为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：{}n a 为等比数列，由12a a >，不能说明{}n a 为递减数列，如数列：1，12-，14；反之，由{}n a 为递减数列，得12a a >．∴ “12a a >”是“{}n a 为递减数列”的必要而不充分条件．故选：B ．8．设1F ，2F 为椭圆22:195x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限．若△12MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为( )A ．32B C ． D ．32-【解答】解：设(,)M m n ，0m <，0n >，椭圆22:195x y C +=中3a =，b =，2c =， 椭圆的左准线方程为：292a x c =-=-，23c e a ==， 由于M 为C 上一点且在第二象限，可得12||||MF MF <， △12MF F 为等腰三角形，可得2||24MF c ==，1||2MF =， 由椭圆的第二定义，可得292()32m =⨯+，解得32m =-， 故选：D ．9．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC +=，则||AP 的取值范围是( )A ．1(,1]2B ．1[,1]2C ．,1]D ．[] 【解答】解：以BC 的中点O 为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图直角坐标系则(1,0)B -，(1,0)C ，设(,0)P x ，(,)A a b ，||1x …，由1OA =，221a b +=， 则由()1AP AB AC +=，得(x a -，)(b a --，1)2b -=，化简12ax =， 所以2222222||()2AP x a b x ax a b x =-+=-++=， 由221a b +=，因为1a ≠±，所以||1a <，所以11|||2|2x a =>，所以||||AP x =的取值范围为1(2，1]，故选：A ．10．已知集合A ，B 满足：（ⅰ）AB Q =，AB =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x Q ∈且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y Q ∈且21y y >，则2y B ∈． 给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数． 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④【解答】解：：由（ⅰ）AB Q =，AB =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x Q ∈且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y Q ∈且21y y >，则2y B ∈． 可判断集合A 中的元素都小于集合B 中的元素，若集合A 的元素没有最大数，则必然存在一个数x ，使得1x A ∀∈，1x x <； 如果x 是有理数，则x B ∈，且1y B ∀∈，1y x …，则B 有最小数为x ； 如果x 是无理数，则x B ∉，且1y B ∀∈，1y x >，则B 没有最小数； 故②正确；若集合A 的元素有最大数，则必然存在一个有理数x ，使得1x A ∀∈，1x x …； 1y B ∀∈，1y x >，则B 没有最小数；故③正确； 故选：B ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．已知向量(1,1)a =-，(3,)b m =，且//a b ，则m = 3- ． 【解答】解：//a b ，30m ∴+=， 3m ∴=-．故答案为：3-．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为6，最长棱的长度为 ．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P ABC -，底面三角形ABC 为等腰直角三角形， 1AB BC ==，90ABC ∠=︒，高1PO =，则111111326P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=；最长棱长为PB ==故答案为：16． 13．已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为【解答】解：||||OA OB =；又AOB ∆为等腰直角三角形；所以2AB =，则三角形AOB 斜边上的高为1； 即圆心O 到直线的距离为1；∴1d ==，即||a =故答案为：a =；14．已知a ，b 是实数，给出下列四个论断：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >． 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题： 若a b >，0b >，则a b<．（答案不唯一） ． 【解答】解：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >． 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：若a ，b 满足a b >，0b >，则11a b<，即由①④⇒②． （答案不唯一）．故答案为：由a ，b 满足：a b >，0b >，则11a b<． 15．已知函数21,,()(,x a x x a f x a x x a e -⎧<⎪=⎨⎪⎩…为常数）．若1(1)2f -=，则a = 2 ；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是 ． 【解答】解：（1）①1a >-时，1(1)2f a -==，12a ∴=， ②1a -…时，2211(1)2f e e ---==-≠， 12a ∴=． （2）111()x x xxe e ---'=， 1x x y e-∴=在(,1)-∞递增，在(1,)+∞递减；又0a >时2y ax =在(,0)-∞递减，()f x ∴不会存在最大值． 0a =时，()f x 的最大值即1x x y e -=的最大值； 0a <时，()f x 的最大值即1x x y e-=的最大值；故答案为：(-∞，0]．16．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730002(tN N N -=表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 2；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 年到5730年之间．（参考数据：2log 3 1.6≈，2log 5 2.3)≈【解答】解：生物体内碳14的量N 与死亡年数t 之间的函数关系式为：573002tN N -=；5730t =时，10022N N N -==； 所以每经过5730年衰减为原来的12； 由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35， ∴573013225t-剟； 两边同时取以2为底的对数，得： 221(log 3log 5)0.75730t---=-剟 40115730t ∴剟；故推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间． 故答案为：12，4011． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（13分）在ABC ∆中，AB =P 在BC 边上，且60APC ∠=︒，2BP =． （Ⅰ）求AP 的值；（Ⅱ）若1PC =，求sin ACP ∠的值．【解答】解：（Ⅰ）因为60APC ∠=︒，所以120APB ∠=︒．在ABP ∆中，AB =，120APB ∠=︒，2BP =，由余弦定理2222cos AB AP BP AP BP APB =+-∠，得22240AP AP +-=．所以4AP =．（Ⅱ）在APC ∆中，4AP =，1PC =，60APC ∠=︒，由余弦定理2222cos AC AP PC AP PC APC =+-∠，得AC =由正弦定理sin sin AP ACACP APC=∠∠，得4sin ACP =∠所以sin ACP ∠=． 18．（13分）已知*{}()n a n N ∈是各项均为正数的等比数列，116a =，322332a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为116a =，322332a a +=， 所以22320q q +-=． 解得2q =-（舍去）或12q =． 因此{}n a 的通项公式为15116()22n n n a --=⨯=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得23(5)log 2153n b n n =-=-，当2n …时，13n n b b --=-， 故{}n b 是首项为112b =，公差为3-的单调递减等差数列． 则21312(1)(3)(9)22n S n n n n n =+--=--．又50b =，所以数列{}n b 的前4项为正数，所以当4n =或5时，n S 取得最大值，且最大值为4530S S ==．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，//AD BC ，CD AD ⊥，2BC CD ==，4AD =． （Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）直线AB 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ？若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连结EF，BF．因为E为PD中点，4AD=，所以//EF AD，122EF AD==．又因为//BC AD，2BC=，所以//EF BC，EF BC=，所以四边形EFBC为平行四边形．所以//CE BF．又因为CE⊂/平面PAB，BF⊂平面PAB，所以//CE平面PAB．（Ⅱ）取AD中点O，连结OP，OB．因为PAD∆为等边三角形，所以PO OD⊥．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⋂平面ABCD AD=，所以PO⊥平面ABCD．因为//OD BC，2OD BC==，所以四边形BCDO为平行四边形．因为CD AD⊥，所以OB OD⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz-，则(0,2,0),(2,0,0),(2,2,0),A B C E P -．所以(2,4,0),AC AE ==．设平面ACE 的一个法向量为1(n x =，y ，)z ， 则110,0,n AC n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即240,30.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令2x =-，则1(2,1,n =-．显然，平面ACD 的一个法向量为2(0n =，0，1)，所以1212123cos ,||||2n n n n n n -<>===． 由题知，二面角E AC D --为锐角， 所以二面角E AC D --（Ⅲ）直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ．理由如下： 设AQ AB λ=．因为(2,2,0)AB =，(0,2,PA =--，所以(2,2,0)AQ AB λλλ==，(2,22,PQ PA AQ λλ=+=--． 因为PQ ⊂/平面ACE ，所以//PQ 平面ACE 当且仅当10PQ n =． 即(2,22,(2,1,3)0λλ----=，解得2λ=． 所以直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ，此时2AQAB=．20．（13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点(1,)P，(Q ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点)F ，求||||AB FE 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,)P，(Q ，所以22111,2a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=，（Ⅱ）由题易知直线l 的斜率不为0，设:1l x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然△0>． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则12122221,22t y y y y t t --+==++．又12|||AB y y =-． 以FP为直径的圆的圆心坐标为，半径为r =， 故圆心到直线l的距离为d ==．所以2||81FEt ===+所以122|||||AB FE y y =-=因为211t +…，所以221(1)21t t +++…，即221114(1)21t t ++++…． 所以||||21AB FE =…．当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且||||1AB FE =， 所以||||AB FE 的最大值为1． 21．已知函数()(0)lnxf x a x a=>+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时，证明：1()2x f x -…； （Ⅲ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．【解答】解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()()a lnx x f x x a -++'=+． （Ⅰ）因为f （1）0=，1(1)1f a '=+， 所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为10(1)1y x a -=-+， 即(1)10x a y -+-=；（Ⅱ）证明：当1a =时，()1lnxf x x =+． 欲证1()2x f x -…， 即证112lnx x x -+…， 即证2210lnx x -+…． 令2()21h x lnx x =-+， 则22(1)(1)()2x x h x x x x--+'=-=． 当x 变化时，()h x '，()h x 变化情况如下表：所以函数()h x 的最大值为h （1）0=，故()0h x …． 所以1()2x f x -…； （Ⅲ）函数()f x 在定义域内不是单调函数．理由如下： 令()1ag x lnx x=-++，因为221()0a x ag x x x x+'=--=-<，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减． 注意到g （1）10a =+>． 且11111()1(1)0a a a a a g e lne a e e ++++=-++=-<．所以存在1(1,)a m e +∈，使得()0g m =．当(0,)x m ∈时，()0g x >，从而()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)m 上单调递增； 当(,)x m ∈+∞时，()0g x <，从而()0f x '<，所以函数()f x 在(,)m +∞上单调递减． 故函数()f x 在定义域内不是单调函数．22．（13分）已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：*n N ∀∈，1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记{||n n d max a =，||n b ，||}({n c max x ，y ，}z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（Ⅰ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （Ⅱ）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（Ⅲ）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0． 【解答】解：（Ⅰ）由211||||b c a =-，得1||12c -=，所以13c =±； 由322||||c a b =-，得2||23a -=，所以25a =±，又2111||||||33a b c b =-=--…，故25a =，1||8b =，18b =±．所以1b ，1c 的所有可能值为18b =，13c =；18b =，13c =-；18b =-，13c =；18b =-，13c =-． （Ⅱ）若11a =，12b =，记1c x =，则22||a x =-，2||1b x =-，21c =-，232||,0||1,1,1||2,|||1|1||1,||2,x x d x a x x x -<⎧⎪=<=--⎨⎪-⎩………，31|2|||b x =--，3|2||||||1|c x x =---，当0||1x <…时，3||a x =-，3||1b x =-，31c =，31d =，由32d d =，得||1x =，不符合；当1||2x <…时，3||2a x =-，3||1b x =-，332||c x =-，32||,1|| 1.5,||1,1.5||2,x x d x x -<⎧=⎨-<⎩……由32d d =，得||1x =，符合；当||2x …时，3||2a x =-，33||b x =-，31c =-，31,2||3,||2,||3,x d x x <⎧=⎨-⎩…… 由32d d =，得||2x =，符合；综上，1c 的所有取值是2-，1-，1，2．（Ⅲ）先证明“存在正整数3k …，使k a ，k b ，k c 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数3k …，k a ，k b ，k c 都不为0， 由1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，得*1d N ∈，*2d N ∈．若对任意3k …，k a ，k b ，k c 都不为0，则*k d N ∈， 即对任意1k …，*k d N ∈． 当1k …时，1||||||||{||k k k k a b c max b +=-<，||}k k c d …，1||||||||k k k k b c a d +=-<，1||||||||k k k k c a b d +=-<，所以，11{||k k d max a ++=，1||k b +，1||}k k c d +<． 所以，{}k d 严格单调递减， 由2d 为有限正整数，所以，必存在正整数3m …，使得0m d …，矛盾． 所以，存在正整数3k …，使k a ，k b ，k c 中至少有一个为0． 不妨设0k a =，且10a ≠，20a ≠，⋯，10k a -≠， 则11||||k k b c --=，且111||||||k k k b c a ---=≠， 否则，若111||||||k k k b c a ---==，因为1110k k k a b c ---++=，则必有1110k k k a b c ---===，矛盾．于是，11||||0k k k b c a --=-≠，11||||0k k k c a b --=-≠，且k k b c =-， 所以，10k a +=，1||k k b c +=，1||||k k k c b c +=-=-，依次递推，即有：对n k ∀…，0n a =，1||n k b c +=，1||n k c c +=-，且||0k c ≠， 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0． 综上，结论成立．。
2018-2019学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷(理科)
2018-2019学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x（x-2）≤0}，B={x|0＜x≤1}，则A∩B=（）A. {x|0≤x≤1}B. {x|0＜x≤1}C. {x|0＜x≤2}D. ?2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. -10B. -2C. 2D. 103.设平面向量=（1，1），=（1，2），=+k．若⊥，则实数k的值等于（）A. B. C. 0 D.4.已知x＞y＞0，则下列不等关系中正确的是（）A. cosx＞cosyB. log3x＜log3yC.D.5.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数f（x）=|2x-2|．若f（a）=f（b）（a≠b），则a+b的取值范围是（）A. （-∞，1）B. （-∞，2）C. （1，+∞）D. （2，+∞）7.已知函数当时，方程的根的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19），…，称（1，3）为第1组，（5，7，9）为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中（）A. 第404组B. 第405组C. 第808组D. 第809组二、填空题（本大题共6小题，共30.0分））=______．9.已知，，则cosα=______；tan（π+α10.已知x，y满足，则z=x+2y的最大值为______．11.已知函数y=f（x）满足下列条件：①定义域为R；②函数y=f（x）在（0，1）上单调递增；③函数y=f（x）的导函数y=f'（x）有且只有一个零点，写出函数f（x）的一个表达式______．12.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE、DF，交于点G，若=+（λ，μ∈R），则=______．13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮．港口的水深会随潮的变化而变化．某港口水的深度y（单位：米）是时刻t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y=f（t）．下面是该港口某日水深的数据：t03691215182124y8.011.07.95.08.011.08.05.08.0经长期观察，曲线y=f（t）可以近似地看成函数y=Asinωt+b（A＞0，ω＞0）的图象．根据以上数据，函数y=f（t）的近似表达式为______．14.从标有数字a，b，c，d（a≤b≤c≤d，且a，b，c，d∈{1，2，3，…，9}）的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果．那么这4个小球上的不同的数字恰好有______个；试写出满足条件的所有组a，b，c，d______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设{a n}（n∈N*）是各项均为正数的等比数列，且a2=3，a4-a3=18．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log3a n，求b1+b2+…+b n．16.已知函数f（x）=2sinxcosx+sin2x-cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若对任意，f（x）≤m（m为实数）恒成立，求m的最小值．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=，tanB=-4，b=8．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求点A到边BC的距离．18.已知函数f（x）=2mx3-3x2+1（m∈R）．（Ⅰ）当m=1时，求f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）求证：“m＞1”是“函数f（x）有唯一零点”的充分而不必要条件．19.已知函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）试判断函数f（x）的单调性并证明；（Ⅲ）若函数f（x）在x=1处取得极大值，记函数f（x）的极小值为g（a），试求g（a）的最大值．20.设m，n为正整数，一个正整数数列a1，a2，…，a n满足m=a1≥a2≥…≥a n≥１．对i=1，2，…，m，定义集合B i={j∈{1，2，…，n}|a j≥i}．数列b1，b2，…，b m中的b i（i=1，2，…，m）是集合B i中元素的个数．（Ⅰ）若数列a1，a2，…，a n为5，3，3，2，1，1，写出数列b1，b2，…，b m；（Ⅱ）若n=2m，m≥３，b1，b2，…，b m为公比为的等比数列，求a1+a2+…+a n；（Ⅲ）对j=1，2，…，n，定义集合C j={i∈{1，2，…，m}|b i≥j}，令c j是集合C j中元素的个数．求证：对j=1，2，…，n，均有a j=c j．答案和解析1.【答案】 B【解析】解：A={x|0≤x≤2}，B={x|0＜x≤1}；∴A∩B={x|0＜x≤1}．故选：B．可以求A，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算．2.【答案】 C【解析】解：根据程序框图的循环结构：在执行循环前：s=0，k=1，由于：k＜4，执行下一次循环，则：k=2，s=-1+2=1，由于k＜4，执行下一次循环，则：k=3，s=1-3=2，由于k＜4，执行下一次循环，则：k=4，s=-2+4=2，由于k=5＞4，则：输出s=2．故选：C．直接利用程序框图的循环结构，进一步利用k的范围，进一步求出结果．本题考查的知识要点：程序框图的循环结构的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．3.【答案】 A【解析】解：；∵；∴；。
【数学】北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试试卷(理)(精解版)
北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】先把集合A解出来，然后求A∪B即可．因为集合合，所以，故选：B．2.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. -10B. -2C. 2D. 10【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．模拟程序的运行过程，第一次运行：，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出.故选 C.3.设平面向量，，，，则实数的值等于（）A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值．向量，，，∴故选 A.4.已知，则下列不等关系中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】利用指函数的单调性得出结论．A. ，显然不成立；B. 错误，因为函数在上为增函数，由，可得；同理 C. ，因为函数在上为增函数，由，可得；D. ，正确，因为函数在上为减函数，由，可得；故选 D.5.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】观察两条件的互推性即可求解．由“”可得到“”，但“”不一定得到“”，。
【精品高三数学试卷】2019-2020北京高三(上)期中+答案
2019-2020学年北京高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A ={x|x 2−2x ＞0}，B ={x|−√5＜x ＜√5}，则（ ） A ．A ∪B ＝RB ．A ∩B ＝∅C ．B ⊆AD ．A ⊆B2．（5分）化简AB →+BC →−AD →等于（ ） A ．CD →B ．DC →C ．AD →D ．CB →3．（5分）函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f （x ）＝（ ） A ．e x +1B ．e x ﹣1C ．e﹣x +1D ．e﹣x ﹣14．（5分）“向量a →与向量b →共线”是“存在λ∈R ，使得a →=λb →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）函数f （x ）＝（x −1x）cos x （﹣π≤x ≤π且x ≠0）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1＝﹣2，S m ＝0，S m +1＝3，则m ＝（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．（5分）函数y ＝f （x ）的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n （n ≥2）个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=⋯=f(x n )x n，则n 的取值范围是（ ）A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3}8．（5分）已知函数f （x ）=sinxx，下列四个命题正确的序号是（ ） ①y ＝f （x ）是偶函数；②f （x ）＜1；③当x =3π2时，y ＝f （x ）取得极小值 ④满足f （nπ6）＜f （n+16π）的正整数n 的最小值为9A ．①②③B ．①③④C ．①②D ．①②④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）函数f （x ）＝sin (π2x −π4)，在区间[0，1]上的最小值是 ． 10．（5分）若等比数列{a n }，满足a 2+a 4＝20，a 4+a 6＝60，则公比q ＝ ．11．（5分）在平面直角坐标系中，点0（0，0），P （1，√3），将向量OP →绕点O 顺时针方向旋转弯π2后，得到向量OQ →，则点Q 的坐标是 ．12．（5分）已知e 1→、e 2→是夹角为60°的两个单位向量，则向量2e 1→+e 2→与向量2e 2→−3e 1→的夹角为 ．13．（5分）已知函数f （x ）={x 2−2x(x ≤0)e x −1(x ＞0)，若对∀x ∈R ，不等式f （x ）≥ax 成立，则a的取值范围是 ．14．（5分）设Q 为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Q 中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为x （Q ），点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为y （Q ）．若Q 是边长为1的正方形，给出下列三个结论： ①x （Q ）的最大值为√2②x （Q ）+y （Q ）的取值范围是[2，√2] ③x （Q ）﹣y （Q ）恒等于0． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程成演其步骤）15．（13分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且cos A =13． （1）求sin 2B+C 2+cos2A 的值；（2）若a =√3，求△ABC 面积的最大值．16．（13分）已知等比数列{a n }满足：a 3﹣a 2＝10，a 1a 2a 3＝125． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得1a 1+1a 2+⋯+1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由．17．（13分）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以原点O 为起点，再丛A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8，（如图）这8个点中任取（两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ．若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．（Ⅰ）求小波参加学校合唱团的概率； （Ⅱ）求X 的分布列和数学期望．18．（14分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AB 为正三角形，四边形ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，AB ＝2AD ，M ，N 分别为PB ，PC 中点． （Ⅰ）求证：MN ∥平面P AD ； （Ⅱ）求二面角B ﹣AM ﹣C 的大小；（Ⅲ）在BC 上是否存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ？若存在，求BE BC的值；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知函数f （x ）＝a （x −1x ）﹣2lnx ，其中a ≥0． （Ⅰ）若a ＝2，求曲线f （x ）在x ＝1处的切线方程；（Ⅱ）设函数g （x ）=−ax若至少存在一个x 0∈[1，e ]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，求实数a 的取值范围．20．（13分）将所有平面向量组成的集合记作R 2，f 是从R 2到R 2的映射，记作y →=f （x →）或（y 1，y 2）＝f （x 1，x 2），其中x 1，x 2，y 1，y 2都是实数．定义映射f 的模为：在|x |＝1的条件下|y →|的最大值记做∥f ∥．若存在非零向量x →∈R ，及实数λ使得f （x →）＝λx →，则称λ为f 的一个特征值．（Ⅰ）若f （x 1，x 2）＝（12x 1，x 2）求∥f ∥；（Ⅱ）如果f （x 1，x 2）＝（x 1+x 2，x 1﹣x 2），计算f 的特征值，并求相应的x →；（Ⅲ）试找出一个映射f ，满足以下两个条件：①有唯一特征值λ，②||f ∥＝|λ|．（不需证明）2019-2020学年北京高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：由A 中不等式变形得：x （x ﹣2）＞0， 解得：x ＜0或x ＞2，即A ＝{x |x ＜0或x ＞2}， ∵B ＝{x |−√5＜x ＜√5}，∴A ∩B ＝{x |−√5＜x ＜0或2＜x ＜√5}，A ∪B ＝R ， 故选：A ．2．【解答】解：AB →+BC →−AD →=AC →−AD →=DC →． 故选：B ．3．【解答】解：函数y ＝e x 的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y ＝e ﹣x ，而函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 的图象关于y 轴对称， 所以函数f （x ）的解析式为y ＝e ﹣（x +1）＝e﹣x ﹣1．即f （x ）＝e﹣x ﹣1．故选：D ．4．【解答】解：若存在λ∈R ，使得a →=λb →”，则向量a →与向量b →共线，即必要性成立， 当b →为零向量时，a →为非零向量时，满足向量a →与向量b →共线”但不存在λ∈R ，使得a →=λb →”成立，即充分性不成立，故“向量a →与向量b →共线”是“存在λ∈R ，使得a →=λb →”的必要不充分条件， 故选：B ．5．【解答】解：对于函数f （x ）＝（1x −x ）cos x （﹣π≤x ≤π且x ≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f （﹣x ）＝（−1x +x ）cos x ＝﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，故它的图象关于原点对称． 故排除A 、B ．当x ＝π，f （x ）＜0，故排除C ， 但是当x 趋向于0时，f （x ）＜0，故选：D ．6．【解答】解：a m ＝S m ﹣S m ﹣1＝2，a m +1＝S m +1﹣S m ＝3， 所以公差d ＝a m +1﹣a m ＝1， S m =m(a 1+a m )2=0， m ﹣1＞0，m ＞1，因此m 不能为0， 得a 1＝﹣2，所以a m ＝﹣2+（m ﹣1）•1＝2，解得m ＝5， 另解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，即有数列{S n n}成等差数列，则S m−1m−1，S m m，S m+1m+1成等差数列，可得2•S m m=S m−1m−1+S m+1m+1，即有0=−2m−1+3m+1， 解得m ＝5．又一解：由等差数列的求和公式可得12（m ﹣1）（a 1+a m ﹣1）＝﹣2，12m （a 1+a m ）＝0，12（m +1）（a 1+a m +1）＝3，可得a 1＝﹣a m ，﹣2a m +a m +1+a m +1=6m+1+−4m−1=0， 解得m ＝5． 故选：C ．7．【解答】解：令y ＝f （x ），y ＝kx ， 作直线y ＝kx ，可以得出2，3，4个交点， 故k =f(x)x （x ＞0）可分别有2，3，4个解． 故n 的取值范围为2，3，4． 故选：B ．8．【解答】解：由定义域关于原点对称，且f （﹣x ）＝f （x ），f （x ）是偶函数，①对， 当x ＞0时，sin x ＜x ，所以f （x ）＜1，因为偶函数，所以当x 不等于0时，f （x ）＜1故②成立， f '（x ）=xcosx−sinx x 2，f '（3π2）不等于0，故③错，函数y ＝sin π6x ，上的横坐标为正数的整点分别为x ＝1，2，3，4，…对应的点为（1，12），（2，√32），（3，1），（4，√32），（5，12），（6，0），（7，−12），（8，−√32），（9，﹣1）…f （x ）=sinxx =sinx−0x−0，即表示点（x ，sin x ）与原点（0，0）的斜率， f （nπ6）＜f （n+16π）正整数n 的最小值，表示斜率变小时最小的n ，观察图象，红色的直线表示（10，−√32），（0，0）连线，斜率开始变大，而前面n ＝1到9，斜率由大变小，故满足条件的最小的n ＝9，④成立．故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．【解答】解：∵x ∈[0，1]，∴π2x ∈[0，π2]，∴π2x −π4∈[−π4，π4]，∴sin (π2x −π4)∈[−√22，√22]，∴函数f （x ）＝sin (π2x −π4)在区间[0，1]上的最小值是−√22， 故答案为：−√22．10．【解答】解：由a 2+a 4＝20，a 4+a 6＝60， ∴20q 2＝60，解得q =±√3．故答案为：±√3．11．【解答】解：∵平面直角坐标系中，点0（0，0），P （1，√3），则|OP |＝2． 将向量OP →绕点O 顺时针方向旋转弯π2后，得到向量OQ →，设OP →=（1，√3）＝（2cos θ，2sin θ），故 cos θ=12，sin θ=√32．设点Q 的坐标为（ x ，y ），则x ＝2cos （θ+π2）＝2sin θ=√3，y ＝2sin （θ+π2）＝2cos θ＝1，故点Q 的坐标为（ √3，1）， 故答案为：（ √3，1）．12．【解答】解：∵已知e 1→、e 2→是夹角为60°的两个单位向量，∴e 1→•e 2→=1×1×cos60°=12． 设向量2e 1→+e 2→与向量2e 2→−3e 1→的夹角为θ，θ∈[0，π]．∵（2e 1→+e 2→）•（2e 2→−3e 1→）=e 1→⋅e 2→−6e 1→2+2e 2→2=12−6+2=−72， |2e 1→+e 2→|=√(2e 1→+e 2→)2=√4+4×12+1=√7，|2e 2→−3e 1→|=√(2e 2→−3e 1→)2=√4−12×12+9=√7，故cos θ=(2e 1→+e 2→)⋅(2e 2→−3e 1→)|2e 1→+e 2→|⋅|2e 2→−3e 1→|=−727⋅7=−12，∴θ=2π3， 故答案为：2π3．13．【解答】解：当x ≤0，f （x ）＝x 2﹣2x ≥ax ，得x 2﹣x （a +2）＝x [x ﹣（a +2）]≥0， x ≤a +2，即a ≥x ﹣2，a ≥﹣2，当x ＞0时，f （x ）＝e x ﹣1，f '（x ）＝e x ，f '（0）＝1，所以过（0，0）的切线为y ＝x ，f （x ）≥ax ，则a ≤1， 故a ∈[﹣2，1]， 故答案为：[﹣2，1]．14．【解答】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的对角线√2，故x （Ω）的最大值√2，故①正确； 如图：当正方形的对角线在x 轴上时， 此时x （Ω）=√2，y （Ω）=√2，此时x （Ω）+y （Ω）＝2√2最大，当正方形的边长有一边位于坐标轴上时，如图， 此时x （Ω）＝1，y （Ω）＝1， 此时x （Ω）+y （Ω）＝2为最小值．故x （Ω）+y （Ω）的取值范围是[2，2√2]，故②错误；由于x （Ω）＝y （Ω）恒成立，故x （Ω）﹣y （Ω）恒等于0，故③正确； 故所有正确结论的序号是①③ 故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程成演其步骤） 15．【解答】解：（1）sin 2B+C 2+cos2A ＝sin 2π−A 2+2cos 2A ﹣1＝cos 2A2+2cos 2A ﹣1=1+cosA2+2cos 2A ﹣1 =1+132+2×19−1=−19；（2）cos A =13，可得sin A =√1−19=2√23， 由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2−23bc ≥2bc −−23bc =43bc ，即有bc ≤34a 2=94，当且仅当b ＝c =32，取得等号． 则△ABC 面积为12bc sin A ≤12×94×2√23=3√24．即有b＝c=32时，△ABC的面积取得最大值3√24．16．【解答】解：（I）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3−a2=a1q2−a1q=10⋯⋯①，则a1a2a3=a1⋅a1q⋅a1q2=(a1q)3=125⋯⋯②，解①②得：q＝3，从而a1=5 3．∴数列{a n}的通项公式a n=a1q n−1=53×3n−1=5×3n−2．（II）假设存在正整数m，使得1a1+1a2+⋯+1a m≥1．∵a n=5×3n−2，∴1a n =15×(13)n−2，从而数列{1a n}是首项为35，公比为13的等比数列，从而得1a1+1a2+⋯+1a m=35[1−(13)m]1−13=910(1−13m)≥1，从而解得32﹣m≤﹣1，显然不成立，因此不存在这样的整数m使得使得1a1+1a2+⋯+1a m≥1成立．17．【解答】解：（Ⅰ）从8个点中任意取两点为向量的终点的不同取法共有C82=28种，X＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P（X＝0）=828=27；（Ⅱ）两向量数量积X的所有可能取值为﹣2，﹣1，0，1．X＝﹣2时有两种情形，X＝1时有8种情形，X＝﹣1时有10种情形，X＝0时有8种情形，所以X的分布列为X﹣2﹣101P 1145142727∴E（X）＝（﹣2）×114+（﹣1）×514+0×27+1×27=−314．18．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）∵M，N分别是PB，PC中点∴MN是△ABC的中位线∴MN ∥BC ∥AD又∵AD ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD所以MN ∥平面P AD ．…．（4分）解：（Ⅱ）过点P 作PO 垂直于AB ，交AB 于点O ，因为平面P AB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，如图建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则A （﹣1，0，0），C （1，1，0），M （12，0，√32）， B （1，0，0），N （12，12，√32）， 则AC →=(2，1，0)，AM →=(32，0，√32)设平面CAM 法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，由{n 1→⋅AC →=0n 1→⋅AM →=0，得{2x 1+y 1=032x 1+√32z 1=0， 令x 1＝1，则y 1=−2，z 1=−√3，即n 1→=(1，−2，−√3)平面ABM 法向量n 2→=(0，1，0)所以，二面角B ﹣AM ﹣C 的余弦值|cosθ|=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√22 因为二面角B ﹣AM ﹣C 是锐二面角，所以二面角B ﹣AM ﹣C 等于45°…．（10分）（Ⅲ）存在点E ，使得EN ⊥平面AMN …．（11分）设E （1，λ，0），则EN →=(−12，12−λ，√32)，由{EN →⋅AM →=0EN →⋅MN →=0可得λ=12， 所以在BC 存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ，此时BE BC =12．…．（14分）19．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，f(x)=2(x−1x−lnx)，f(1)=0，f′(x)=2(1+1x2−1x)，∴f′（1）＝2，即切线斜率为2，故由点斜式方程可得切线方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0；（Ⅱ）原问题等价于至少存在一个x∈[1，e]，使得f（x）﹣g（x）＜0成立，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ax﹣2lnx，x∈[1，e]，则ℎ′(x)=a−2x=ax−2x，①当a＝0时，ℎ′(x)=−2x＜0，则函数h（x）在[1，e]上单调递减，故h（x）min＝h （e）＝﹣2＜0，符合题意；②当a＞0时，令h′（x）＜0，解得0＜x＜2a，则函数h（x）在(0，2a)上单调递减，令h′（x）＞0，解得x＞2a，则函数h（x）在(2a，+∞)单调递增，（i）当2a≤1，即a≥2时，h（x）min＝h（1）＝a＜0，此时无解；（ii）当1＜2a＜e，即2e＜a＜2时，ℎ(x)min=ℎ(2a)=2−2ln2a＜0，解得0＜a＜2e，此时无解；（iii）当2a≥e，即0＜a≤2e时，h（x）min＝h（e）＝ae﹣2＜0，解得0＜a＜2e，此时0＜a＜2 e．综上，实数a的取值范围为[0，2e )．20．【解答】解：（Ⅰ）由于此时y12+y22=14x12+x22，又因为是在x12+x22=1的条件下y12+y22=14x12+x22═14+34x22≤1（x2＝±1时取最大值），所以此时有||f ||＝1；（Ⅱ）由f （x 1，x 2）＝（x 1+x 2，x 1﹣x 2）＝λ（x 1，x 2），可得{x 1+x 2=λx 1x 1−x 2=λx 2：， 解此方程组可得：（λ﹣1）（λ+1）＝1，从而λ＝±√2． 当λ=√2时，解方程组{x 1+x 2=√2x 1x 1−x 2=√2x 2，此时这两个方程是同一个方程， 所以此时方程有无穷多个解，为x →=m(√2+1，1)，其中m ∈R 且m ≠0．当λ=−√2时，同理可得相应的x →=m(1−√2，1)，其中m ∈R 且m ≠0．（Ⅲ）由方程组{a 1x 1+a 2x 2=λx 1b 1x 1+b 2x 2=λx 2，可得x 1（a 1﹣λ，b 1）+x 2（a 2，﹣b 1﹣λ）＝0 从而向量（a 1﹣λ，b 1）与（a 2，﹣b 1﹣λ）平行， 从而有a 1，a 2，b 1，b 2应满足：(a 1−b 1)2+4a 2b 1=0； 当f （λ→ ）＝λx → 时，f 有唯一的特征值，且||f ||＝|λ|， 故f(λ→)=λx →．。
北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高2020届高三年级期中质量检测数学试题(word版,含答案)
高三数学试卷 第1页（共13页）北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高三年级期中质量检测 数学试卷 2019．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则AB =（A ）{1}-（B ）{1,2}-（C ）{1,0,1,2}- （D ）{2,1,0,1,2}--（2）已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ）34-（D ）43-（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）sin()y x =-（C ）2log y x =（D ）22x xy -=-（4）关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论：①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②（B ）①③ （C ）②③（D ）①②③（5）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（A ）若αβ⊥，则//m β （B ）若αβ⊥，则m β⊥ （C ）若//m β，则//αβ （D ）若m β⊥，则αβ⊥高三数学试卷 第2页（共13页）（6）已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2（C ）(1,2) （D ）(2,)+∞ （7）已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12△MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为 （A ）32 （B（C） （D ）32-（9）在△ABC 中，90BAC ∠=，2BC =， 点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP 的取值范围是 （A ）1(,1]2（B ）1[,1]2（C）2 （D）[2（10）已知集合A ，B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：① 若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ② 若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③ 若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④ 若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数. 其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④高三数学试卷 第3页（共13页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试数学试卷(理)(答案+解析)
北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】先把集合A解出来，然后求A∪B即可．因为集合合，所以，故选：B．2.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. -10B. -2C. 2D. 10【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．模拟程序的运行过程，第一次运行：，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出.故选C.3.设平面向量，，，，则实数的值等于（）A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值．向量，，，∴故选A.4.已知，则下列不等关系中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】利用指函数的单调性得出结论．A. ，显然不成立；B. 错误，因为函数在上为增函数，由，可得；同理C. ，因为函数在上为增函数，由，可得；D. ，正确，因为函数在上为减函数，由，可得；故选D.5.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】观察两条件的互推性即可求解．由“”可得到“”，但“”不一定得到“”，故“”是“”的充分而不必要条件.故応A.6.已知函数，若（），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可知由可得根据基本不等式可求的取值范围.若由，则与矛盾；同理也可导出矛盾，故而即故选B7.已知函数当时，方程的根的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】画出函数的图像，由图像可得结论.画出函数的图像，有图可知方程的根的个数为3个.故选C.8.将正奇数数列1,3,4,5,7,9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：，，，，…，称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中（）A. 第404组B. 第405组C. 第808组D. 第809组【答案】A【解析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.正奇数数列1,3,4,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组选A.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分）9.已知，，则_________，__________．【答案】(1). (2). --【解析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可解.由题，，则即答案为(1). (2).10.已知，满足则的最大值为__________．【答案】【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y 对应的直线进行平移，可得当x=3，y=1时，z=x+2y取得最大值为5．作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（-2，-2），C（4，-2）设z= x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值= 3故答案为：311.已知函数满足下列条件：①定义域为；②函数在上单调递增；③函数的导函数有且只有一个零点，写出函数的一个表达式__________．【答案】【解析】利用已知条件，直接推出结果即可．①定义域为；②函数在上单调递增；③函数的导函数有且只有一个零点，满足条件一个函数可以为：．或+2等等．故答案为：．（答案不唯一）12.如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，连接，，交于点，若（，），则__________．【答案】【解析】根据平行线分线段成比例解答即可.根据平行线分线段成比例可得而故即答案为.13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度（单位：米）是时刻（，单位：小时）的函数，记作.下面是该港口某日水深的数据：0 3 6 9 12 15 18 21 248.0 11.0 7.9 5.0 8.0 11.0 8.0 5.0 8.0经长期观察，曲线可近似地看成函数（，）的图象，根据以上数据，函数的近似表达式为__________．【答案】【解析】设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．根据已知数据数据可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，由，得ω=，所以函数的近似表达式即答案为14.从标有数字，，，（，且，，，）的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，那么这4个小球上的不同的数字恰好有__________个；试写出满足条件的所有组，，，__________．【答案】(1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【解析】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得4个小球上的不同的数字恰好有3个，在逐一分析可得满足条件的所有组，，，.由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得4个小球上的不同的数字恰好有3个，若两个相等的数为1，如1，1,2，4，则四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得3种不同的结果，不符合题意，若若两个相等的数为2，则符合题意的为1,2,2,4;推理可得1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9符合题意.即答案(1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设（）是各项均为正数的等比数列，且，.（I）求的通项公式；（II）若，求.解：（I）设为首项为，公比为（），则依题意，，解得，，所以的通项公式为，.（II）因为，所以16.已知函数.（I）求的最小正周期及单调递增区间；（II）若对任意，（为实数）恒成立，求的最小值.解：（I）由已知可得.所以最小正周期为.令，.所以，所以，即单调递增区间为，.（II）因为.所以，则，所以，当，即时，.因为恒成立，所以，所以的最小值为217.在中，角，，的对边分别为，，，，，.（I）求a；（II）求的面积.解：（I）因为，即，又，为钝角，所以.由，即，解得.（II）在中，由知为钝角，所以.，所以所以18.已知函数（）（I）当时，求在区间上的最大值和最小值；（II）求证：“”的“函数有唯一零点”的充分而不必要条件.（I）解：，当时，，当在内变化时，，的变化如下表：-1 0 1 2+ 0 - 0 +-4 ↗极大值1 ↘极小值0 ↗ 5当时，；.（II）证明：若，.当变化时，，的变化如下表：+ 0 - 0 +↗极大值↘极小值↗，因为，所以.即.且，所以有唯一零点.所以“”是“有唯一零点”的充分条件.又时，当变化时，，的变化如下表：- 0 + 0 -↘极小值↗极大值↘又，，.所以此时也有唯一零点.从而“”是“有唯一零点”的充分不必要条件19.已知函数（）.（I）求曲线在点处的切线方程；（II）试判断函数的单调性并证明；（III）若函数在处取得极大值，记函数的极小值为，试求的最大值.解：函数的定义域为，且.（I）易知，所以曲线在点处的切线方程为.即.（II）令，得，①当时，.当变化时，，变化情况如下表：1+ 0 - 0 +↗极大值↘极小值↗所以函数在和上单调递增，在上单调递减.②当时，恒成立.所以函数在上单调递增.③当时，.当变化时，，变化情况如下表：1+ 0 - 0 +↗极大值↘极小值↗所以函数在和上单调递增，在上单调递减.（III）由（II）可知，要使是函数的极大值点，需满足.此时，函数的极小值为.所以.令得.当变化时，，变化情况如下表：+ 0 -↗极大值↘所以函数的最大值为.20.设，为正整数，一个正整数数列，，…，满足，对，定义集合，数列，，…，中的（）是集合中元素的个数.（I）若数列，，…，为5,3,3,2,1,1，写出数列，，…，；（II）若，，，，…，为公比为的等比数列，求；（III）对，定义集合，令是集合中元素的个数.求证：对，均有.解：（I）数列，，…，是6,4,3,1,1.（II）由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，因此数列，，…，为，，…，2下面证明假设数列中有个，个，…，个2，个1，显然所以.由题意可得，，，…，，…，.所以故即（III）对，表示，，…，中大于等于的个数由已知得，，…，一共有项，每一项都大于等于1，故，由于故由于，故当时，即.接下来证明对，，则，即1,2，…，，从而故，从而1,2，…，，故，从而，故有设，即，根据集合的定义，有.由知，1,2，…，，由的定义可得，而由，故因此，对，。
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北京朝阳区2019届高三数学上学期期中试卷（理科含解析）北京市朝阳区XX～2019学年度学期高三年级期中统一检测数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知集合，，则A.B.c.D.【答案】B【解析】【分析】先把集合A解出来，然后求A∪B即可．【详解】因为集合合，所以，故选：B．【点睛】本题主要考查集合的交集，属于基础题．执行如图所示的程序框图，输出的值为A.-10B.-2c.2D.10【答案】【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】模拟程序的运行过程，次运行：，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出.故选c.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．设平面向量，，，，则实数的值等于A.B.c.0D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出的值．【详解】向量，，，∴故选A.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．已知，则下列不等关系中正确的是A.B.c.D.【答案】D【解析】【分析】利用指函数的单调性得出结论．【详解】A.，显然不成立；B.错误，因为函数在上为增函数，由，可得；同理c.，因为函数在上为增函数，由，可得；D.，正确，因为函数在上为减函数，由，可得；故选D.【点睛】本题考查函数单调性的应用，属基础题.“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条c.充分必要条件D.既不充分也不必要条【答案】A【解析】观察两条件的互推性即可求解．【详解】由“”可得到“”，但“”不一定得到“”，故“”是“”的充分而不必要条件.故応A.已知函数，若，则的取值范围是A.B.c.D.【答案】B【解析】【分析】由，可知由可得根据基本不等式可求的取值范围.【详解】若由，则与矛盾；同理也可导出矛盾，故而即故选B【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题.已知函数当时，方程的根的个数为A.1B.2c.3D.4【答案】c【解析】画出函数的图像，由图像可得结论.【详解】画出函数的图像，有图可知方程的根的个数为3个.故选c.【点睛】本题考查分段函数的性质、方程的根等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，是中档题．将正奇数数列1,3,4,5,7,9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：，，，，…，称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中A.第404组B.第405组c.第808组D.第809组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,4,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组选A.【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.第Ⅱ卷二、填空题已知，，则_________，__________．【答案】..--【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可解.【详解】由题，，则即答案为..【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式，属基础题.0.已知，满足则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABc及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=1时，z=x+2y取得最大值为5．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABc及其内部，其中A，B，c设z=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=3故答案为：3【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．1.已知函数满足下列条件：①定义域为；②函数在上单调递增；③函数的导函数有且只有一个零点，写出函数的一个表达式__________．【答案】【解析】【分析】利用已知条件，直接推出结果即可．【详解】①定义域为；②函数在上单调递增；③函数的导函数有且只有一个零点，满足条件一个函数可以为：．或+2等等．故答案为：．【点睛】本题考查函数的简单性质的应用，函数的解析式的求法，考查判断能力．如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，连接，，交于点，若，则__________．【答案】【解析】【分析】根据平行线分线段成比例解答即可.【详解】根据平行线分线段成比例可得而故即答案为.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题.3.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度是时刻的函数，记作.下面是该港口某日水深的数据：03691215182124011.07.95.08.011.08.05.08.0经长期观察，曲线可近似地看成函数的图象，根据以上数据，函数的近似表达式为__________．【答案】【解析】【分析】设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．【详解】根据已知数据数据可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，由，得ω=，所以函数的近似表达式即答案为【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、属基础题.从标有数字，，，的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，那么这4个小球上的不同的数字恰好有__________个；试写出满足条件的所有组，，，__________．【答案】.3.1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【解析】【分析】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得个小球上的不同的数字恰好有3个，在逐一分析可得满足条件的所有组，，，.【详解】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得个小球上的不同的数字恰好有3个，若两个相等的数为1，如1，1,2，4，则四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得3种不同的结果，不符合题意，若若两个相等的数为2，则符合题意的为1,2,2,4;推理可得1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9符合题意.即答案.3.1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【点睛】本题考查归纳推理，属难题.三、解答题设是各项均为正数的等比数列，且，.求的通项公式；若，求.【答案】，.【解析】【分析】设为首项为，公比为，则依题意，解得，，即可得到的通项公式；因为，利用分组求和法即可得到.【详解】设为首项为，公比为，则依题意，解得，，所以的通项公式为，.因为，所以【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，以及分组求和法属基础题.已知函数.求的最小正周期及单调递增区间；.若对任意，恒成立，求的最小值【答案】最小正周期为,单调递增区间为，.的最小值为2【解析】【分析】根据二倍角公式及辅助角公式求得f的解析式，根据正弦函数的性质即可求得f的最小正周期及其单调递增区间； II）由.可得.由此可求的最小值.【详解】由已知可得所以最小正周期为.令，.所以，所以，即单调递增区间为，.因为.所以，则，所以，当，即时，.因为恒成立，所以，所以的最小值为2【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的单调性及最值，考查转化思想，属于中档题．在中，角，，的对边分别为，，，，，.求；求的面积.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式求得.，利用正弦定理可求；；在中，由知为钝角，所以.利用，可求求的面积.【详解】证明：因为，即，又，为钝角，所以.由，即，解得.在中，由知为钝角，所以.所以所以【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．已知函数当时，求在区间上的最大值和最小值；求证：“”的“函数有唯一零点”的充分而不必要条件.【答案】；.“”是“有唯一零点”的充分不必要条【解析】【分析】先求导，再由导函数为0，求出极值，列表解得即可；根据分类讨论，分别利用导数和函数的零点的关系以及充分不必要条件的定义即可证明．【详解】，当时，，当在内变化时，，的变化如下表：-1012+0-0+-4↗极大值1↘极小值0↗5当时，；.若，.当变化时，，的变化如下表：+0-0+↗极大值↘极小值↗因为，所以.即.且，所以有唯一零点.所以“”是“有唯一零点”的充分条件.又时，当变化时，，的变化如下表：-0+0-↘极小值↗极大值↘又，，.所以此时也有唯一零点.从而“”是“有唯一零点”的充分不必要条【点睛】本题考查了导数和函数的极值和零点的关系，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题．已知函数.求曲线在点处的切线方程；试判断函数的单调性并证明；若函数在处取得极大值，记函数的极小值为，试求的最大值.【答案】.函数在和上单调递增，在上单调递减.函数的最大值为.【解析】【分析】函数的定义域为，且.易知，，代入点斜式即可得到曲线在点处的切线方程；令，得，，分类讨论可得函数的单调性，由可知，要使是函数的极大值点，需满足.此时，函数的极小值为.，利用导数可求的最大值.【详解】函数的定义域为，.且易知，所以曲线在点处的切线方程为.即.令，得，①当时，.当变化时，，变化情况如下表：+0-0+↗极大值↘极小值↗所以函数在和上单调递增，在上单调递减.②当时，恒成立.所以函数在上单调递增.③当时，.当变化时，，变化情况如下表：+0-0+↗极大值↘极小值↗所以函数在和上单调递增，在上单调递减.由可知，要使是函数的极大值点，需满足.此时，函数的极小值为.所以.令得.当变化时，，变化情况如下表：+0-↗极大值↘所以函数的最大值为.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．0.设，为正整数，一个正整数数列，，…，满足，对，定义集合，数列，，…，中的是集合中元素的个数.若数列，，…，为5,3,3,2,1,1，写出数列，，…，；若，，，，…，为公比为的等比数列，求；对，定义集合，令是集合中元素的个数.求证：对，均有.【答案】数列，，…，是6,4,3,1,1.【解析】【分析】根据数列，，…，数列，，…，是6,4,3,1,1.由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，因此数列，，…，为，，…，2，利用反证法证明；对，表示，，…，中大于等于的个数，首先证明.再证对，即可.【详解】解：数列，，…，是6,4,3,1,1.由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，因此数列，，…，为，，…，2下面证明假设数列中有个，个，…，个2，个1，显然.所以由题意可得，，…，，…，.所以故即对，表示，，…，中大于等于的个数由已知得，，…，一共有项，每一项都大于等于1，故，由于故由于，故当时，即.接下来证明对，则，即1,2，…，，从而故，从而1,2，…，，故，从而，故有设，即，根据集合的定义，有.由知，1,2，…，，由的定义可得，而由，故因此，对，【点睛】本题考查新定义数列的理解与求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．属难题.。
2019北京朝阳高三(上)期中数学 (1)
2019北京朝阳高三（上）期中数学2019.11(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择越(共40分)和非选择题(共110分)两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合A={x∈Z|x2<2}，B={−1,2}，则A∪B=A. {-1}B. {-1,2}C. {-1,0,1,2}D. {-2，-1,0,1,2}2.已知α∈(π2,π)，且sinα=35则tanα=A. 34B. 43C. −34D. −433.下列函数中，既是奇函数又在区间（0,1）上单调递增的是A. y=−x3B. y=sin(−x)C. y=log2|x|D. y=2x−2−x(4)关于函数f(x)=sinx+cos有下述三个结论:①函数f(x)的最小正周期为2π;②函数f(x)的最大值为2;③函数f(x)在区间(π2,π)上单调递减.其中，所有正确结论的序号是A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③5.已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是A. 若α⊥β，则m∥βB. 若α⊥β，则m⊥βC. 若m∥β，则α∥βD. 若m⊥β，则α⊥β6.已知函数f(x)=|x−2|−kx+1恰有两个零点，则实数k的取值范围是A. (0,12) B. (12,1) C. （1,2） D. （2，+∞）7.已知{a n}（n∈N∗）为等比数列，则“a1>a2”是“{a n}为递减数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.设F1，F2为椭圆C：x29+y25=1的两个焦点，M为C上一点且在第二现象.若△MF1F2位等腰三角形，则点M的横坐标为A. 32B. √152C. −√152D.−329. 在∆ABC 中，∠BAC=90°，BC=2，点P 在BC 边上，且AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1，则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是 A. (12,1] B. [12,1] C. (√22，1] D.[√22，1] 10.已知集合A ，B 满足：（i ）A ∪B=Q ，A ∩B=φ；（ii ）∀x 1∈A ，若x 2∈Q 且x 2<x 1,则x 2∈A ； （iii ）∀y 1∈A ，若y 2∈Q 且y 2>y 1,则y 2∈B给出以下命题:①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数;②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数;③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数;④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是A. ①③B. ②③C. ③④D. ①④第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为 1 的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是 ___________.
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三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证 明过程．
15.在△ ABC 中，已知 A = （1）求 AB 的长； （2）求 BC 边上的中线 AD 的长.
且 E,F 分别是 BC,A1 B1 的中点. （1）求证：EF//平面A1 C1 CA； （2）当侧面A1 C1 CA 是正方形，且 BC1 = C1 C 时， （ⅰ）求二面角 F − BC1 − E 的大小； （ⅱ）在线段 EF 上是否存在点 P，使得 AP ⊥ EF？若存在，指出点 P 的位置；若不存在，请说明理 由.
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2 2
B.
3 3
C.
1 3
D.
1 4
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上．
9.已知数列an 为等差数列，Sn 为其前 n 项的和.若a1 + a3 = 6，a4 = 7，则S5 =_______. 10.已知四边形的顶点 A，B，C，D 在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，则
3π 4
,cosC =
12 13
，BC = 13.
16.某日 A,B,C 三个城市 18 个销售点的小麦价格如下表： 销售点序号 所属城市 小麦价格（元/吨） 销售点序号 所属城市 小麦价格（元/吨）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A C C C A C A B A
2420 2580 2470 2540 2430 2400 2440 2500 2440