湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题含答案
雅礼中学2018年上学期期末考试试卷高二文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列集合中，是集合{}25A x x x =<的真子集的是（ ） A ．{}2,5 B ．()6,+∞ C ．()0,5 D ．()1,5 2.复数11iz i+=-（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -3.在正项等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程2320x x -+=的两根，则6a 的值是（ ）A．．． 2±4.若3sin 5α=-，且α为第三象限角，则()tan 45α+等于（ ）A ．7B ．17C.1 D ．0 5.已知37log 2a =，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C.c b a >> D ．c a b >>6.已知圆2220x y x my +-+=上任意一点M 关于直线0x y +=的对称点N 也在圆上，则m 的值为（ ）A ．1-B ．2 C.2- D ．17.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m a ⊂，则“//m β”是“//αβ”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 8.已知()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴的方程为（ ）A ．12x π=B ．3x π=C.4x π=D ．2x π=9.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．410.函数2cos 2sin y x x =-的最大值与最小值分别为（ ）A ．3，1-B ．3，2- C.2，1- D ．2，2-11.某市国庆节7天假期的楼房认购量(单位：套)与成交量(单位：套)的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这7天的认购量与成交量作出如下判断：①日成交量的中位数是16;②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增量大于10月7日成交量的增量．上述判断中错误的个数为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．412.已知1F ，2F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左，右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线1PF 与圆222x y a +=相切，且212PF F F =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．43 C.53 D ．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量(),2a m = ，()1,2b =，若a b ⊥ ，则m = ．14.在集合{}2,3A =中随机取一个元素m ，在集合{}1,2,3B =中随机取一个元素n ，得到点(),P m n ，则事件“点P 在直线y x =上”的概率为 ．15.若椭圆()222124x y a a +=>的离心率与等轴双曲线的离心率之积为1，则a = ．16.已知a R ∈，函数()2222,0,22,0.x x a x f x x x a x ⎧++-≤⎪=⎨-+->⎪⎩若对任意[)3,x ∈-+∞，()f x x ≤恒成立，则a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 的前n 项和n T .18. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c2sin c A =且c b <. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若4b =，延长AB 至D ，使BC BD =，且5AD =，求ABC △的面积.19. A 市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士－12369”的绿色环保活动小组对2017年1月－2017年12月(一月)内空气质量指数API 进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：（Ⅰ）若A 市某企业每天由空气污染造成的经济损失P (单位：元)与空气质量指数API (记为t )的关系为：0,01004400,1003001500,300t t P t t ≤≤-⎧=⎨<≤>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(]200,600P ∈元的概率；（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为A 市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=，PDC ∆和BDC ∆均为等边三角形，且平面PDC ⊥平面BDC ，点E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：//AE 平面PDC ；（Ⅱ）若PBC ∆的面积为2,求三棱锥A EBD -的体积. 21. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭到抛物线()2:20C y px p =>的准线的距离为54.点(),1M t 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点(),Q m n 在直线OM 上.（Ⅰ）求曲线C 的方程及t 的值；（Ⅱ）记d =，求d 的最大值.22. 已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈.（Ⅰ）若曲线()()g x f x x =+上点()()1,1g 处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；（Ⅱ）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值．试卷答案一、选择题1-5:DACAD 6-10:BABCD 11、12：CC 二、填空题13.4- 14.13P =15.1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17. 【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得122a d +=，1329322a d ⨯+=， 化简得122a d +=，132a d +=，解得11a =，12d =， 故{}n a 的通项公式112n n a -=+，即12n n a +=.（Ⅱ）由（1）得11b =，41515182b a +===.设{}n b 的公比为q ，则3418b q b ==，从而2q =， 故{}n b 的前n 项和()()1111221112n n n n b q T q-⨯-===---.18.【解析】2sin sin A C A =，∵sin 0A ≠，∴sin C =，又c b <，∴3C π=.（Ⅱ）设BC x =，则5AB x =-，在ABC △中，由余弦定理得()2225424cos3x x x π-=+-⋅⋅，求得32x =，即32BC =， 在ABC △中，ABC △的面积113sin 422222S AC BC C =⋅⋅=⨯⨯⨯=19.【解析】（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失(]200,600P ∈元”为事件A . 由2004400600t <-≤，得150250t <≤，频数为39， ∴()39100P A =. （Ⅱ）根据以上数据得到如表：2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有95%的把握认为A 市本年度空气重度污染与供暖有关．20.【解析】（1）取PC 的中点F ，连接EF ，DF ；取BC 的中点G ,连接DG ， 因为BCD ∆是正三角形，所以90DGB ∠=.因为90ABC BAD ∠=∠=，所以四边形ABGD 为矩形， 从而12AD BG BC ==，//AD BC . 因为EF 为BCP ∆的中位线, 所以12EF BC =，//EF BC ，即AD EF =，//AD EF ， 所以四边形ADFE 是平行四边形，从而//AE DF ， 又DF ⊆面PDC ，所以//AE 面PDC .（2）取CD 的中点M ，连接PM ，则PM DC ⊥. 过点P 作PN BC ⊥交BC 于N .因为PM DC ⊥，面PDC ⊥面BDC ，面PDC ⋂面BDC DC = 所以PM ⊥面BCD .又因为BC ⊆面BCD ，所以PM BC ⊥. 又因为PN BC ⊥，PN PM P ⋂=，PN PM ⊆、面PMN ，. 所以BC ⊥面PMN ，又因为MN ⊆面PMN ，所以MN BC ⊥. 由于M 为DC 中点,易知14NC BC =.设BC x =，则PBC ∆的面积为2x =解得2BC =，从而1AD =，PB PG =111324ABD V S PM =⋅⋅=.21.【解析】（1）()220y px p =>的准线为2p x =-，∴5124p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴12p =， ∴抛物线C 的方程为2y x =.又点(),1M t 在曲线C 上，∴1t =. （2）由（1）知，点()1,1M ，从而n m =，即点(),Q m m ， 依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为()0k k ≠.且()11,A x y ，()22,B x y ，由211222,,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得()()121212y y y y x x -+=-，故21k m ⋅=， 所以直线AB 的方程为()12y m x m m-=-，即2220x my m m -+-=. 由22220,,x my m m y x ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩消去x ，整理得22220y my m m -+-=， 所以2=440m m ∆->，122y y m +=，2122y y m m =-.从而12AB y y =-==∴()11d m m ==≤+-=，当且仅当1m m =-，即12m =时，上式等号成立， 又12m =满足2440m m ∆=->.∴d 的最大值为1. 22.【解析】（Ⅰ）∵()()()322ln g x a x a x =----，∴()23g x a x'=--，∴()11g a '=-， 又()11g =，∴121110a --==--，解得：2a =，由()22320x g x x x-'=--=<，解得：02x <<，∴函数()g x 在()0,2递减； （Ⅱ）∵()0f x <在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立不可能，故要使()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭无零点，只需任意10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x >恒成立，即对10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2ln 21xa x >--恒成立， 令()2ln 21x l x x =--，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()222ln 21x x l x x +-'=-， 再令()22ln 2m x x x =+-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()2210x m x x --'=<， 故()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，从而()0l x '>，于是()l x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，∴()124ln 22l x l ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭， 故要使2ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞， 综上，若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值是24ln 2-.。
湖南省长沙市数学高二下学期文数期末考试试卷
湖南省长沙市数学高二下学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知复数：，则z的共轭复数为（）A .B .C .D .2. （2分）命题“若是奇函数，则是奇函数”的否命题是（）A . 若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数B . 若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数C . 若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数D . 若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数3. （2分） (2017高一下·庐江期末) 实验测得四组数对（x，y）的值为（1，2），（2，5），（4，7），（5，10），则y与x之间的回归直线方程可能是（）A .B .C .D .4. （2分） (2015高二下·克拉玛依期中) 若y=ex+sinx，则y′=（）A . xex﹣1+sinxB . ex﹣sinxC . ex+cosxD . y=ex﹣cosx5. （2分）从一个正方体的8个顶点中任取3个，则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则实数t等于（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）已知程序：INPUT “请输入一个两位正数”；xIF x>9 AND x<100 THENa=x MOD 10b=(x-a)/10x=10*a+bPRINT xELSEPRINT “输入有误”END IFEND若输入的两位数是83，则输出的结果为（）A . 83B . 38C . 3D . 88. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 现有甲，乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率是，向乙靶射击两次，每次命中的概率是，若该射手每次射击的结果相互独立，则该射手完成以上三次射击恰好命中一次的概率是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·平罗期末) 已知函数（、、为常数），当时取极大值，当时取极小值，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）若a是从区间[0，2]中任取的一个实数，b是从区间[0，3]中任取的一个实数，则a＜b的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则（）A . a2=B . a2=3C . b2=D . b2=212. （2分）美不胜收的“双勾函数” 是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是y 轴和直线y=x，其离心率e=（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为________ ，数据落在（2，10）内的概率约为________ ．14. （1分） (2018高二下·邗江期中) 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不能割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程.比如在表达式中“ ”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则 ________.15. （1分） (2015高二下·盐城期中) 数列1，4，7，10，…，的第8项等于________．16. （1分）关于x的方程x3﹣3x2﹣a=0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________三、解答题 (共7题；共65分)17. （15分）(2017·浦东模拟) 数列{an}的前n项a1 ， a2 ，…，an（n∈N*）组成集合An={a1 ， a2 ，…，an}，从集合An中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{2n﹣1}，当n=1时，A1={1}，T1=1；n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1•3；（1）若集合An={1，3，5，…，2n﹣1}，求当n=3时，T1，T2，T3的值；（2）若集合An={1，3，7，…，2n﹣1}，证明：n=k时集合Ak的Tm与n=k+1时集合Ak+1的Tm（为了以示区别，用Tm′表示）有关系式Tm′=（2k+1﹣1）Tm﹣1+Tm，其中m，k∈N*，2≤m≤k；（3）对于（2）中集合An．定义Sn=T1+T2+…+Tn，求Sn（用n表示）．18. （5分）在某学校进行的一次语文与历史成绩中，随机抽取了25位考生的成绩进行分析，25位考生的语文成绩已经统计在茎叶图中，历史成绩如下：（Ⅰ）请根据数据在茎叶图中完成历史成绩统计；（Ⅱ）请根据数据完成语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；语文成绩的频数分布表：语文成绩分组[50，60）[60，70）[70，80）[90，100）[100，110）[110，120]频数19. （10分） (2016高二上·张家界期中) 4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？非读书迷读书迷合计男15女45合计（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X）附：K2= n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.82820. （10分） (2019高二上·余姚期中) 过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，线段的长度为1.（1）求椭圆的方程；（2）直线经过定点，且与椭圆交于两点，为原点，求三角形面积的最大值.21. （10分）(2017·河北模拟) 已知函数f（x）= （a，b∈R，且a≠0，e为自然对数的底数）．（1）若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为0，且f（x）有极小值，求实数a的取值范围．（2）①当 a=b=l 时，证明：xf（x）+2＜0；②当 a=1，b=﹣1 时，若不等式：xf（x）＞e+m（x﹣1）在区间（1，+∞）内恒成立，求实数m的最大值．22. （10分）(2017·新课标Ⅰ卷理) [选修4-4 ，坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（10分）（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．23. （5分） (2018高三上·贵阳月考) 选修4-5：不等式选讲设函数 .（Ⅰ）作出函数的图象并求其值域；（Ⅱ）若，且，求的最大值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
2017-2018学年湖南省五市十校高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年湖南省五市十校高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|y＝}，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝（）A．∅B．{0，1，2}C．{0，1，2，3}D．（﹣∞，3]∪{4} 2．（5分）设复数，则z＝（）A．1+2i B．C．2﹣i D．1﹣i3．（5分）将甲乙丙丁四人分成两组，每组两人，则甲乙两人在同一组的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）过点P（2，﹣1）且与有相同渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．5．（5分）已知，则tanα＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量与的夹角为60°，且，，则＝（）A．0B．2C．4D．87．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π8．（5分）函数f（x）＝x•ln|x|的图象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AC1与BB1所成的角为30°，则AA1＝（）A．B．3C．D．10．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．4B．﹣4C．8D．﹣811．（5分）直线ax+y+1＝0与O：x2+y2＝1相交于A，B两点，∠AOB＝120°，则a的值为（）A．±1B．±2C．D．12．（5分）关于x的方程的实数根个数为（）A．6B．8C．10D．12二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数，则f（f（2））＝．14．（5分）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为．15．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值为．16．（5分）在△ABC中，若，则△ABC的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝8，且a1，a5，a7成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和．18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin B＝3sin C，a＝b．（1）求cos A；（2）若a＝3，求△ABC的面积．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，AD∥BC，∠BCD＝45°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD．（1）证明：CD⊥平面ABD；（2）求三棱锥B﹣ADC的高．20．（12分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，也侵害木棉、锦葵等植物．为了防治虫害，从根源上抑制害虫数量．现研究红铃虫的产卵数和温度的关系，收集到7组温度x和产卵数y的观测数据于表I中．根据绘制的散点图决定从回归模型①与回归模型②中选择一个来进行拟合．表I（1）请借助表II中的数据，求出回归模型①的方程：表II（注：表中t i＝lny i）（2）类似的，可以得到回归模型②的方程为y ＝0.36x 2﹣202.54．试求两种模型下温度为200C 时的残差；（3）若求得回归模型①的相关指数R 2＝0.95，回归模型②的相关指数R 2＝0.81，请结合②说明哪个模型的拟合效果更好． 参考数据：e﹣3.41≈0.03，e0.26≈1.30，e1.79≈5.46，e5.20≈181.88附：回归方程y ＝βx +α中相关指数21．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，曲线与抛物线C 交于点P ，PF ⊥x 轴． （1）求p 的值；（2）抛物线的准线交x 轴交于点Q ，过点Q 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，求AB 的中点M 的轨迹方程． 22．（12分）已知函数．（1）当a ＝3时，求函数y ＝f （x ）的单调区间； （2）若函数存在单调增区间，求实数a 的取值范围．2017-2018学年湖南省五市十校高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：因为y＝，要使函数有意义，则需：3﹣x≥0，即x≤3，即A＝（﹣∞，3]，又B＝，所以A∩B＝，故选：C．2．【解答】解：＝．故选：A．3．【解答】解：将甲乙丙丁四人分成两组，每组两人，基本事件总数n＝＝3，甲乙两人在同一组包含的基本事件个数m＝＝1，∴甲乙两人在同一组的概率为p＝＝．故选：B．4．【解答】解：设与有相同渐近线的双曲线的方程为﹣＝m（m≠0且m ≠1），代入点（2，﹣1），可得﹣＝m，即m＝，可得所求双曲线的方程为﹣y2＝1．故选：B．5．【解答】解：由，得﹣cos，则cosα＝．则sinα＝，∴tanα＝．故选：C．6．【解答】解法一：＝4，∴；解法二：建立平面直角坐标系，设，∴∴．故选：B．7．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把底面半径为1，高为12的圆柱斜截去掉体积相等的上半部分．∴该几何体的体积为．故选：D．8．【解答】解：函数f（x）＝x•ln|x|是奇函数，排除选项A，C；当x＝时，y＝，对应点在x轴下方，排除B；故选：D．9．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，得，又∵C1C∥B1B，AC1与BB1所成角为30°，得∠AC1C＝30°，∴CC1＝＝AA1，故选：D．10．【解答】解：模拟运行相应的程序，如下；S＝4，n＝1，S≥4，S＝4﹣6＝﹣2，n＝2≤3，S＜4，S＝2×（﹣2）＝﹣4，n＝3≤3，S＜4，S＝2×（﹣4）＝﹣8，n＝4＞3，输出S＝﹣8．故选：D．11．【解答】解：由ax+y+1＝0与O：x2+y2＝1相交于A，B两点，∠AOB＝120°，得圆心（0，0）到直线ax+y+1＝0的距离d＝，解得：a＝±．故选：D．12．【解答】解：由，得cos x＝lg|x|，显然f（x）＝cos x和g（x）＝lg|x|都是偶函数，故只需讨论x＞0时的情况，x＞0时，画出函数f（x）和g（x）的图象，如图示：，结合图象x＞0时5个交点，故x＜0时也有5个交点，故关于x的方程的实数根个数为10个，故选：C．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：∵函数，∴f（2）＝log2（2﹣1）＝0，f（f（2））＝f（0）＝20+1＝2．故答案为：2．14．【解答】解：设椭圆的方程为（a＞b＞0），设点P（c，h），则＝1，h2＝b2﹣＝，∴|h|＝，由题意得∠PF1F2＝90°，∠PF1F2＝45°，Rt△PF1F2 中，tan45°＝1＝＝＝＝＝，∴a2﹣c2＝2ac，+2•﹣1＝0，∴＝﹣1，故答案为：．15．【解答】解：画出x，y满足约束条件的平面区域，如图：由，解得A（，）而z＝x+3y可化为y＝﹣x+，由图象得直线过A（，）时z最大，z的最大值是，故答案为：．16．【解答】解：∵，∴sin B＝＝，sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝，∵由正弦定理可得：AC＝＝＝8，∴S△ABC＝AC•BC•sin C＝＝6+8．故答案为：6+8．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d．由a1，a5，a7成等比数列，可得a52＝a1a7，即（a1+4d）2＝a1（a1+6d），于是d（a1+8d）＝0，又a1＝8，所以d＝0（舍去），d＝﹣1，故a n＝﹣n+9；（2）由（1）知＝＝（﹣），从而数列的前n项和为（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣﹣）＝．18．【解答】解：（1）由正弦定理得，2b＝3c，即c＝．又a＝b，可得：cos A＝＝＝．（2）因为a＝3，a＝b，c＝，所以b＝3，c＝2．由（1）知cos A＝，又因为A∈（0，π），所以sin A＝．所以△ABC的面积为S△ABC＝＝2．19．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，AB⊥AD，∴∠ADB＝45°，又∵AD∥BC，∠DBC＝45°，又∵∠BCD＝45°，∴BD⊥CD；又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面ABD．（2）方法一：由（1）知CD⊥平面ABD，所以CD⊥AD，S△ADC＝×AD×DC＝×1×＝，设棱锥B﹣ADC的高为h，∵V B﹣ADC＝V C﹣ABD，∴××h＝××∴h＝1，所以棱锥B﹣ADC的高为1．方法二：由（1）知CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB．又因为AB⊥AD，ADCD＝D，所以AB⊥平面ACD，所以棱锥B﹣ADC的高为AB＝1．20．【解答】解：（1）由y＝C1，得lny＝lnC1+C2x；令t＝lny，b＝C2，a＝lnC1，得t＝bx+a；由表Ⅱ数据可得：＝＝≈0.26，＝﹣＝﹣0.26×≈﹣3.41；∴＝0.26x﹣3.41，所以回归方程为：＝e0.26x﹣3.41（或＝0.03e0.26x）；（2）模型①在x＝20时的残差：y1﹣＝7﹣e0.26×20﹣3.41≈1.54；模型②在x＝20时的残差：y1﹣＝7﹣0.36×202+202.54≈65.54；（3）∵0.95＞0.81，即模型①的相关指数大于模型②的相关指数，于是模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和；因此用模型①得到的数据更接近真实数据，所以模型①的拟合效果更好．21．【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），设曲线与抛物线C交于点P（x0，y0），则，解得x0＝；又PF⊥x轴，∴x0＝，∴＝，解得p＝2；（2）由（1）知，抛物线C的方程为y2＝4x，所以点Q（﹣1，0）；设直线AB的方程为x＝ny﹣1，A（，y1），B（，y2），M（x，y）；由，消去x，得方程y2﹣4ny+4＝0；∴，△＝16n2﹣16＞0，n2＞1；因为M为AB的中点，所以，消去n得，y2＝2x+2（x＞1）；所以点M的轨迹方程为y2＝2x+2（x＞1）．22．【解答】解：（1）当a＝3时，f（x）＝x2+2x﹣lnx．其定义域为（0，+∞）．∴f′（x）＝3x+2﹣＝当x∈（0，）时，∴f′（x）＜0，y＝f（x）单调递减；当x∈（，+∞）时，∴f′（x）＞0，y＝f（x）单调递增；所以，y＝f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）．（2）f（x）＝ax2+2x﹣lnx．其定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝ax+2﹣＝若函数存在单调增区间，则f′（x）在区间（0，+∞）上有解，即ax2+2x﹣1＞0在区间（0，+∞）上有解．分离参数得a＞，令g（x）＝，则依题意，只需a＞g（x）min即可．∵g（x）＝＝（﹣1）2﹣1，∴g（x）min＝﹣1即所求实数a的取值范围为（﹣1，+∞）．。
2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）是z的共轭复数，若z+＝2，（z﹣）i＝2（i为虚数单位），则z＝（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i2．（5分）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2} 3．（5分）设x∈R，则“|x﹣1|＜1”是x3＜8的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞05．（5分）下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x）C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）6．（5分）已知x，y为正实数，则（）A．2lnx+lny＝2lnx+2lny B．2ln（x+y）＝2lnx•2lnyC．2lnx•lny＝2lnx+2lny D．2ln（xy）＝2lnx•2lny7．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+5y的最大值为（）A．6B．19C．21D．459．（5分）函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ），k∈ZC．（2k﹣，2k），k∈Z D．（k﹣，k），k∈Z10．（5分）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于（）A．B．C．﹣D．﹣11．（5分）设a＝ln，b＝，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 12．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，|a n﹣a n﹣1|＝（n∈N，n≥2），且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则12a10＝（）A．6﹣B．6﹣C．11﹣D．11﹣二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|+2|＝．14．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为15．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f （2a2）≤0．则实数a的取值范围是．16．（5分）△ABC中，AB＝1，＝2，则tan∠ACB的最大值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜a，a＞0}，集合B＝{x|＜1}（1）若a＝1，求A∩B；（2）若A⊊B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且．（1）求角A的大小；（2）若b+c＝5，，求a的值．20．（12分）某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身不低于1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．（I）求该市高一学生身高高于1.70米的概率，并求图1中a、b、c的值．（II）若从该市高一学生中随机选取3名学生，记ξ为身高在（1.50，1.70]的学生人数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）若变量S满足P（μ﹣σ＜S≤μ+σ）＞0.6826且P（μ﹣2σ＜S≤μ+2σ）＞0.9544，则称变量S满足近似于正态分布N（μ，σ2）的概率分布．如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布N（1.6，0.01）的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常，并说明理由．21．（12分）已知f（x）＝（x﹣1）e x﹣a（x2+1），x∈[1，+∞）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥﹣2a+lnx，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数），M 为曲线C1上的动点，动点P满足＝a（a＞0且a≠1），P点的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程，并说明C2是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A点的极坐标为（2，），射线θ＝α与C2的异于极点的交点为B，已知△AOB面积的最大值为4，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x|+a（Ⅰ）若a＝0，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）＝x有三个不同的解，求a的取值范围．2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：由于，（z﹣）i＝2，可得z﹣＝﹣2i①又z+＝2 ②由①②解得z＝1﹣i故选：D．2．【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：B．3．【解答】解：由“|x﹣1|＜1”得﹣1＜x﹣1＜1，即0＜x＜2，由x3＜8，得x＜2，则“|x﹣1|＜1”是x3＜8的充分不必要条件，故选：A．4．【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A 不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2＝2a1+d＜0，a2+a3＝2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2＝a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝﹣d2≤0，即D不正确．故选：C．5．【解答】解：首先根据函数y＝lnx的图象，则：函数y＝lnx的图象与y＝ln（﹣x）的图象关于y轴对称．由于函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称．则：把函数y＝ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y＝ln（2﹣x）．即所求得解析式为：y＝ln（2﹣x）．故选：B．6．【解答】解：根据指数与对数的运算性质可得：2ln（xy）＝2lnx+lny＝2lnx•2lny．可知：只有D正确，而A，B，C都不正确．故选：D．7．【解答】解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞＝•＝＝＝，故选：A．8．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z＝3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故选：C．9．【解答】解：由图可知，，则T＝2，∴y轴左侧第一个最高点的横坐标为，y轴右侧第一个最底点的横坐标为．∴f（x）的单调递减区间为（2k﹣，2k），k∈Z．故选：C．10．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC＝θ，∵在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝h＝BC＝a，∴BD＝AD＝a，CD＝a，在Rt△ADC中，cosθ＝＝＝，故sinθ＝，∴cos A＝cos（+θ）＝cos cosθ﹣sin sinθ＝×﹣×＝﹣．故选：C．11．【解答】解：∵a＝ln＜＝﹣1，0＜b＝＜＝1，∴ab＜a+b＜0．故选：B．12．【解答】解：由|a n﹣a n﹣1|＝，则|a2n﹣a2n﹣1|＝，|a2n+2﹣a2n+1|＝，∵数列{a2n﹣1}是递减数列，且{a2n}是递增数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＜0，且a2n+2﹣a2n＞0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＜0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＜0，即a2n﹣a2n﹣1＜a2n+2﹣a2n+1，又∵|a2n﹣a2n﹣1|＝＞|a2n+2﹣a2n+1|＝，∴a2n﹣a2n﹣1＜0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＜a2n+1﹣a2n，又|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n＝，当数列{a n}的项数为偶数时，令n＝2m（m∈N*），，…，，，这2m﹣1个等式相加可得，a2m﹣a1＝﹣（）+（），∴＝．∴12a10＝．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴＝+4•+4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|+2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形＝+＝+2；在△OAC中，由余弦定理得||＝＝2，即|+2|＝2．故答案为：2．14．【解答】解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，∴S7＝＝381，解得a1＝3．故答案为：3．15．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）＝3x2﹣2+e x+≥﹣2+2＝0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣＝0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．16．【解答】解：以A为圆心，建立坐标系，如图所示：，∵AB＝1，∴B（1，0），设C（x，y），则＝（1，0），＝（x，y），由＝2，得x＝2，故C（2，y），于是BC＝，AC＝，sin A＝，∴sin C＝＝≤，故tan∠ACB的最大值是，故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．【解答】解：（1）将a＝1代入A中不等式得：|x﹣2|＜1，变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3）；由B中不等式变形得：＜0，即（x﹣5）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜5，即B＝（﹣3，5），则A∩B＝（1，3）；（2）∵A⊊B，且A＝（2﹣a，a+2），B＝（﹣3，5），∴，解得：a＜3．18．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，．∴2a1＝22+m，2（a1+a1q）＝23+m，2（a1+a1q+a1q2）＝24+m，联立解得：m＝﹣2，a1＝1，q＝2．∴a n＝2n﹣1．（Ⅱ）数列{b n}满足＝＝，∴数列{b n}的前n项和T n＝++……+＝＝．19．【解答】解：（1）由正弦定理得：由于sin C≠0，∴，∴，即，∵0°＜A＜180°，∴﹣30°＜A﹣30°＜150°，∴A﹣30°＝30°，∴A＝60°．（2）∵S△ABC＝bc sin A＝bc＝，∴bc＝4，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc＝13，∴．20．【解答】解：（I）由图2 可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15 名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70 的概率为0.15．记X为学生的身高，给合图1可得：f（1.30＜X≤1.40）＝f（1.80＜X≤1.90）＝＝0.02，f（1.40＜X≤1.50）＝f（1.70＜X≤1.80）＝＝0.13，f（1.50＜X≤1.60）＝f（1.60＜X≤1.70）＝（1﹣2×0.02﹣2×0.13）＝0.35，又由于组距为0.1，所以a＝0.2，b＝1.3，c＝3.5．（II）以样本的频率估计总体的概率可得：从这批学生中随机选取1名，身高在（1.50，1.70]的概率为0.35+0.35＝0.7．所以随机变量ξ服从二项分布B（3，0.7），故P（ξ＝k）＝•0.7k•0.33﹣k（k＝0，1，2，3）．故ξ的分布列为：∴E（ξ）＝3×0.7＝2.1．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，P（1.50＜X≤1.70）＝0.7＞0.6826，又结合（I），可得：P（1.40＜X≤1.80）＝1﹣0.02×2＝0.96＞0.9544，所以这批学生的身高满足近似于正态分布N（1.50，0.01）的概率分布，所有应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．21．【解答】解：（1）f′（x）＝xe x﹣2ax＝x（e x﹣2a），当a≤时，x∈[1，+∞），f′（x）≥0．∴f（x）在[1，+∞）上单调递增；当a＞时，由f′（x）＝0，得x＝ln2a．当x∈（1，ln2a）时，f′（x）＜0；当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）在（1，ln2a）单调递减；在（ln2a，+∞）单调递增．（2）令g（x）＝（x﹣1）e x﹣a（x2﹣1）﹣lnx，问题转化为g（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，则g′（x）＝xe x﹣2ax﹣，注意到g（1）＝0．当a＞时，g′（1）＝e﹣2a﹣1＜0，g′（ln（2a+1））＝ln（2a+1）﹣，因为2a+1＞e，所以ln（2a+1）＞1，g′（ln（2a+1））＞0，所以存在x0∈（1，ln（2a+1）），使g′（x0）＝0，当x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）递减，所以g（x）＜g（1）＝0，不满足题意．当a≤时，g′（x）≥xe x﹣（e﹣1）x﹣＝x[e x﹣（e﹣1）]﹣，因为x＞1，x[e x﹣（e﹣1）]＞1，0＜＜1，所以g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上单调递增；所以g（x）≥g（1）＝0，满足题意．综上所述：a≤．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】（1）动点P满足＝a（a＞0且a≠1），P点的轨迹为曲线C2．设P（x，y）M（x0，y0），所以：，则：，由于点M在曲线C1的图象上，则：，即：（θ为参数）．消去参数θ得：（x﹣2a）2+＝4a2（a≠1）．故曲线c2是以（2a，0）为圆心，2|a|为半径的圆．（2）：A点的直角坐标为（1，）．∴直线AO的普通方程为y＝，即：，设B点坐标为（2a+2a cosθ，2a sinθ），则B点到直线的距离：，＝，当时，．所以：，解得：a＝2．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）若a＝0，f（x）＝|x+1|﹣|x|＝，∴当x＜﹣1时，不等式即﹣1≥0，解得x∈∅．当﹣1≤x＜0时，不等式即2x+1≥0，解得x≥﹣，综合可得﹣≤x＜0．当x≥0 时，不等式即1≥0，恒成立，故不等式的解集为x≥0．综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．（5分）（Ⅱ）设u（x）＝|x+1|﹣|x|，则函数u（x）的图象和y＝x的图象如右图：由题意易知，把函数y＝u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y＝x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．（10分）。
湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题
【全国百强校】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列集合中，是集合{}2|5A x x x =<的真子集的是（ ）A ．{}2,5B ．()6+∞，C ．()0,5D ．()1,5 2．复数11i z i +=-（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i - 3．若3sin 5α=-，且α为第三象限角，则()tan 45α+等于( ) A ．7 B ．17 C ．1 D ．0 4．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >> 5．已知圆2220x y x my +-+=上任意一点M 关于直线0x y +=的对称点N 也在圆上，则m 的值为（ ）A ．1-B ．2C ．2-D ．16．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β”是“αβ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴的方程为（ ）A ．12x π= B ．3x π= C ．4x π= D ．2x π=8．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．49．函数22y cos x sinx ＝－ 的最大值与最小值分别为( )A ．3，－1B ．3，－2C ．2，－1D ．2，－210．某市国庆节7天假期的楼房认购量(单位：套)与成交量(单位：套)的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这7天的认购量与成交量作出如下判断：①日成交量的中位数是16;②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增量大于10月7日成交量的增量．上述判断中错误的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线1PF 与圆222x y a +=相切，且212PF F F =，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．43 C ．53 D ．2二、填空题12．向量(),2a m =，()1,2b =，若a b ⊥，则m =__________．13．[2019·雅礼中学]在集合{2,3}A =中随机取一个元素m ，在集合{1,2,3}B =中随机取一个元素n ，得到点(,)P m n ，则事件“点P 在直线y x =上”的概率为________．14．若椭圆()222124x y a a +=>的离心率与等轴双曲线的离心率之积为1，则a =__________．三、解答题15．已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =. （1）求{}n a 的通项公式（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 的通项公式n b 及{}n b 的前n 项和n T . 16．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c2sin c A =且c b <. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若4b =，延长AB 至D ，使BC BD =，且5AD =，求ABC 的面积. 17．A 市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士－12369”的绿色环保活动小组对2017年1月－2017年12月(一月)内空气质量指数API 进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：（Ⅰ）若A 市某企业每天由空气污染造成的经济损失P (单位：元)与空气质量指数API (记为t )的关系为：0,0100{4400,1003001500,300t P t t t ≤≤=-<≤>，，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(]200,600P ∈元的概率；（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为A 市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=，PDC ∆和BDC ∆均为等边三角形，且平面PDC ⊥平面BDC ，点E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：//AE 平面PDC ；（Ⅱ）若PBC ∆,求三棱锥A EBD -的体积. 19．如图所示，在直角坐标系xOy 中，点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭到抛物线()2:20C y px p =>的准线的距离为54.点(),1M t 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点(),Q m n 在直线OM 上.（Ⅰ）求曲线C 的方程及t 的值；（Ⅱ）记d =，求d 的最大值.20．已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---（a R ∈）.（1）若曲线()()g x f x x =+上点(1,(1))g 处的切线过点(0,2)，求函数()g x 的单调递减区间；（2）若函数()y f x =在1(0,)2上无零点，求a 的最小值.参考答案1．D【解析】(0,5)A =, 真子集就是比A 范围小的集合;故选D;2．A【解析】分析：利用乘法公式，分子、分母同时乘以1i +，然后化简为a bi +的形式，b 为虚部.详解：()()()()112112i i i z i i i ++===-+ ，所以虚部为1， 故选A点睛：分式型复数化简，需要对分母利用平方差公式，分子分母同时乘一个式子， 然后化简为一般形式，注意虚部不包含i ，包含符号.3．A【解析】 因为35sin α=-，且α为第三象限角，所以4sin 3cos ,tan ,5cos 4αααα==-== ()tan45tan tan 457.1tan45tan ααα+∴+==- 本题选择A 选项.4．D【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，103111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b <<，133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．5．B【解析】分析：圆上任意一点关于某直线的对称点还在圆上，说明该直线必过圆心，根据圆心表达式求出圆心坐标，代入直线方程，即可求得m. 详解：由题意知，直线必过圆心，由圆心表达式可得圆心坐标为1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭， 代入直线0x y +=，解得2m =.故选B.点睛：圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=中，圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 圆的对称轴为过圆心的任意直线，可知直线过圆心.6．B【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项. 7． B分析：由左加右减，得出()g x 解析式，因为解析式为正弦函数， 所以令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，解出x ，对k 进行赋值，得出对称轴.详解：由左加右减可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 解析式为正弦函数，则令()262x k k Z πππ-=+∈， 解得：()32k x k Z ππ=+∈，令0Z =，则3x π= ，故选B. 点睛：三角函数图像左右平移时，需注意要把x 放到括号内加减，求三角函数的对称轴，则令x ωϕ+等于正弦或余弦函数的对称轴公式，求出x 解析式，即为对称轴方程.8．C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：3,PA PC PB BC ====则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.9．D分析：将2cos x 化为21sin x -，令()sin 11x t t =-≤≤，可得关于t 的二次函数，根据t 的取值范围，求二次函数的最值即可.详解：利用同角三角函数关系化简，22cos 2sin sin 2sin 1y x x x x =-=--+ 设()sin 11x t t =-≤≤，则()()22211211y t t t t =--+=-++-≤≤， 根据二次函数性质当1t =-时，y 取最大值2，当1t =时，y 取最小值2-.故选D.点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为2sin sin y A x B x C =++的形式，用换元法求解；另一种是将解析式化为()sin y A x k ωϕ=++的形式，根据角的范围求解.10．C【解析】分析：将数据按照大小顺序排列后，由于一共有7个数字，所以取第四个数字为中位数. 日均成交量为成交量的平均数，正相关为统计图中的点从左下分布至右上.认购量与成交量的增量均是第七天与第六天数据之差.详解：将成交量数据按大小顺序排列，中位数为26，所以①错； 平均成交量为1383216263816644.17++++++≈，超过44.1的只有一天，所以②错； 由图中可以看出，数据点并不是从左下分布至右上，所以③错；10月7日认购量增量为276112164-=，成交量增量为16638128-=，所以④对. 故选C.点睛：本题主要考察统计知识，需熟练掌握样本数据特征的计算以及变量的相关性的概念. 11．C【解析】设1PF 与圆相切于点M ，则因为212PF F F =，所以12PF F ∆为等腰三角形，设1PF 的中点为N ，由O 为12F F 的中点，所以1111124F M F N PF ==，又因为在直角1F MO ∆中，2222211F M FO a c a =-=-，所以1114F M b PF ==①又12222PF PF a c a =+=+②，222c a b =+③ 故由①②③得，53c e a ==，故本题选C 点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由几何关系得到114b PF =，由双曲线定义有122PF PF a =+，列方程即可求离心率的值.. 12．4- 【解析】分析：向量垂直即向量的乘积为0，根据向量乘法的坐标运算列式，即可解出m. 详解：由a b ⊥可得·1220a b m =⨯+⨯=，解得4m =-.点睛：本题考查向量的垂直关系以及向量的坐标运算，熟练掌握计算公式. 13．13P =【解析】分析：列出两集合中各取一个元素，两两结合的所有情况，再分别代入直线，求出点在直线上的情况，利用古典概型公式计算.详解：两集合中各取一个元素，两两结合的所有情况为：()2,1、()2,2、()2,3、()3,1、()3,2、()3,3，共6种情况，其中在直线上的为()2,2、()3,3，共2种情况，所以概率为2163=. 点睛：本题考查古典概型的计算以及点在直线上的判定方法，注意数据的抽取方式以及情况总数.14．【解析】分析：根据椭圆离心率公式表示出椭圆离心率e ，列出乘积为1的式子，即可求出a .详解：椭圆离心率c e a ===，则根据乘积为1列1=，解得a =±，因为2a >，所以取a =.点睛：本题考查离心率公式，等轴双曲线的概念以及,,a b c 之间点的关系.根据题意列式即可，需要熟练掌握双曲线有关概念，如共轭双曲线、等轴双曲线等. 15．（1）12n n a +=；（2）12n n b -=，21nn T =-． 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得，．化简得11322,,2a d a d +=+=解得11=1,2a d =，故通项公式1=1+2n n a -，即+1=2n n a ． （2）由（1）得141515+1=1==82b b a ，．设{}n b 的公比为q ,则3418b q b ==,从而2q．12n n b -=故{}n b 的前n 项和1(1)1(12)21112n n n n b q T q ．16．(Ⅰ) 3C π=． 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合正弦定理和大边对大角可得3C π=；(Ⅱ)结合题意首先求得sin A =然后利用面积公式可得ACD .试题解析： （Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，2sin sin A C A =，∵sin 0A ≠，∴sin C =， 又c b <，∴3C π=.（Ⅱ）设BC x =，则5AB x =-，在ABC 中，由余弦定理得()2225424cos3x x x π-=+-⋅⋅，求得32x =，即37,22BC AB ==， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC ABA C=，∴sin sin 14BC C A AB ==，∴ACD 的面积1sin 2S AC AD A =⋅⋅= 1452⨯⨯=. 17．（Ⅰ）39100. （Ⅱ）有95%的把握认为A 市本年度空气重度污染与供暖有关． 【解析】分析：（Ⅰ）根据经济损失求出t 的范围，根据t 的范围，求出相应的天数，与总天数作比即可求出概率；（Ⅱ）根据重度污染天数与供暖天数等求出各值，填入列联表，根据公式计算2K ，与95%所对应的的k 值3.841对比，若2K 大，则有95%把握，否则没有.详解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失(]200,600P ∈元”为事件A . 由2004400600t <-≤，得150250t <≤，频数为39， ∴()39100P A =. （Ⅱ）根据以上数据得到如表：2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有95%的把握认为A 市本年度空气重度污染与供暖有关．点睛：本题第一问考察古典概型，根据公式计算即可，第二问考察数据的综合分析，需要利用各类数据的和差填表，注意求2K 时要保留三位小数，且由于问题为能否有95%的把握，所以要与0.05所对应的值3.841对比. 18．（1）见解析；（2）14. 【解析】分析：（Ⅰ）证明线面平行，需在平面内构造一条线平行于已知直线，将直线AE 沿AD 平移，点A 至点D 处，则点E 应移至PC 中点处，故取PC 中点F ，连接EF 、FD . 若证//AE DF ，则需证明AD 、EF 平行且相等，AD 、EF 需要以BC 作为中间量. （Ⅱ）根据两个等边三角形和面面垂直，假设一边长为x ，表示PBC 的面积，解出x ，求出三棱锥底面ABD △的面积.因为E 为PB 中点，所以三棱锥E ABD -底面上的高为P 到底面距离的一半. 详解：（1）取PC 的中点F ，连接EF ，DF ；取BC 的中点G ,连接DG ， 因为BCD ∆是正三角形，所以90DGB ∠=.因为90ABC BAD ∠=∠=，所以四边形ABGD 为矩形， 从而12AD BG BC ==，//AD BC . 因为EF 为BCP ∆的中位线, 所以12EF BC =，//EF BC ，即AD EF =，//AD EF ， 所以四边形ADFE 是平行四边形，从而//AE DF ， 又DF ⊆面PDC ，所以//AE 面PDC .（2）取CD 的中点M ，连接PM ，则PM DC ⊥. 过点P 作PN BC ⊥交BC 于N .因为PM DC ⊥，面PDC ⊥面BDC ，面PDC ⋂面BDC DC = 所以PM ⊥面BCD .又因为BC ⊆面BCD ，所以PM BC ⊥. 又因为PN BC ⊥，PN PM P ⋂=，PN PM ⊆、面PMN ，. 所以BC ⊥面PMN ，又因为MN ⊆面PMN ，所以MN BC ⊥. 由于M 为DC 中点,易知14NC BC =.设BC x =，则PBC ∆的面积为2x =， 解得2BC =，从而1AD =，111324ABD V S PM =⋅⋅=.点睛：证明平行有三种方式，分别为平行四边形、中位线和相似，一般通过平移直线的方作辅助线，求三棱锥体积时，要注意改变底面，选择底面与高容易求的形式，同时注意可以将高转化为其他线段去求.19．（Ⅰ）()220y px p =>，1t =.（Ⅱ）1.【解析】分析：（Ⅰ）由抛物线准线方程及P 到准线的距离，可求得p ，进而求得抛物线方程，将点M 的坐标代入抛物线 ，即可求得t.（Ⅱ）求直线OM 方程，点Q 在直线OM 上，根据直线方程表示点Q 坐标，消去参数n ， 利用点差法表示出直线AB 斜率，进而求出直线方程，将直线AB 方程与抛物线方程联立，用弦长公式求弦长，从而将d 表示为关于m 的函数，根据m 范围求最值.详解：（1）()220y px p =>的准线为2p x =-，∴5124p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴12p =， ∴抛物线C 的方程为2y x =.又点(),1M t 在曲线C 上，∴1t =. （2）由（1）知，点()1,1M ，从而n m =，即点(),Q m m ， 依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为()0k k ≠.且()11,A x y ，()22,B x y ，由211222,,y x y x ⎧=⎨=⎩得()()121212y y y y x x -+=-，故21k m ⋅=， 所以直线AB 的方程为()12y m x m m-=-，即2220x my m m -+-=. 由22220,,x my m m y x ⎧-+-=⎨=⎩消去x ，整理得22220y my m m -+-=， 所以2=440m m ∆->，122y y m +=，2122y y m m =-.从而12AB y y =-==∴()11d m m ==≤+-=，当且仅当1m m =-，即12m =时，上式等号成立， 又12m =满足2440m m ∆=->.∴d 的最大值为1. 点睛：圆锥曲线的最值问题，一般是利用参数，表示最值，通过函数值域求最值， 或者设未知量构造基本不等式求最值，要注意等号成立的条件. 20．（1）()0,2；（2）24ln 2-． 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a 的值，从而求出g （x ）的递减区间即可；（2）问题转化为对x ∈（0，12），a ＞2﹣21lnx x -恒成立，令l （x ）=2﹣21lnx x -，x ∈（0，12），根据函数的单调性求出a 的最小值即可． 试题解析：（1）∵g （x ）=（3﹣a ）x ﹣（2﹣a ）﹣2lnx ，∴g′（x ）=3﹣a ﹣2x，∴g′（1）=1﹣a ， 又g （1）=1，∴1﹣a=1210--=﹣1，解得：a=2， 由g′（x ）=3﹣2﹣2x =2x x-＜0，解得：0＜x ＜2，∴函数g （x ）在（0，2）递减； （2）∵f （x ）＜0在（0，12）恒成立不可能， 故要使f （x ）在（0，12）无零点，只需任意x ∈（0，12），f （x ）＞0恒成立， 即对x ∈（0，12），a ＞2﹣21lnxx -恒成立，令h （x ）=2﹣21lnx x -，x ∈（0，12）， 则h′（x ）=()22221lnx x x +--， 再令m （x ）=22lnx x +﹣2，x ∈（0，12）， 则m′（x ）=()221x x--＜0，故m （x ）在（0，12）递减，于是m （x ）＞m （12）=2﹣2ln2＞0， 从而h′（x ）＞0，于是h （x ）在（0，12）递增，∴h （x ）＜h （12）=2﹣4ln2，故要使a ＞2﹣21lnxx -恒成立，只要a ∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f （x ）在（0，12）上无零点，则a 的最小值是2﹣4ln2．。
最新-长沙市雅礼中学2018年高二期末考试数学试卷 精品
长沙市雅礼中学2018年高二期末考试数学试卷数 学考生注意：本试卷共三道大题，22个小题，满分100分，时量120分钟 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．若直线，且//平面，则直线b 与平面的位置关系是A ．α⊂bB ．α//bC ．α⊂b 或α//bD ．b 与α相交或α⊂b 或α//b2．已知A （1，0，0），B （0，-1，1），λ+与的夹角为︒120，则λ的值为 A ．66±B ．66 C ．66- D ．6± 3．在空间四点中，无三点共线是四点不共面的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．若过点)1,2(-P 作圆222)1()3(r y x =++-的切线有且仅有一条，则圆的半径r 为 A ．29 B ．29 C ．大于29 D ．小于295．室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线 A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．垂直 6．点),(y x 在曲线⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 2y x （θ为参数，πθ<≤0）上，则x y的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33B ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,33C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,33D ．⎥⎦⎤⎝⎛-∞-33,7．已知矩形ABCD 的两边⊥==PA AD AB ,4,3平面ABCD ，且,534=PA 则二面角P BD A --的度数为A ．030 B ．045 C ．060 D ．0758．若椭圆)1(122>=+m y mx 与双曲线)0(122>=-n y n x 有相同的焦点P F F ,,21是两曲线的一个交点，且,90021=∠PF F 则21PF F ∆的面积是 A ．1 B ．21C ．2D ．49．用斜二测画法作出一个三角形的直观图，其直观图的面积是原三角形面积的 A ．21 B ．2 C ．22 D ．42 10．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于Q P ,两点，若线段PF 与FQ 的长分别为,,q p 则qp 11+等于 A ．a 2 B ．a 21 C ．a 4 D ．a4 11．已知空间四边形ABCD ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，那么下列等式正确的是A ．DC AB MA +=2 B ．MN 2121+=C ．+=+2D ．--=12．已知双曲线的中心在原点，且对称轴在坐标轴上，一个焦点为),0,7(F 直线1-=x y与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程为 A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x二、填空题（本题共4个小题，每题4分，共16分）13．若向量)5,,1(x -=与),8,2(y x -=共线且方向相同，则___________,==y x 。
湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高二下期中考试数学试题(理科)(无答案)
2017-2018学年度第二学期期中考试试卷高二数学(理科)(满分:150分 时量:120分钟)一、选择题(本小题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.若集合{}023|2＞x x x A -+=,集合{}22|＜x x B =,则B A 等于A.()31，B.()1-∞-，C.()11，-D.()13，- 2.下列函数中既是偶函数,又在()0，∞-上单调递增的函数是 A.32-=x y B.x y cos = C.x y 2= D.xx y 1-= 3.下图是函数()()00sin ＞，＞ωϕωA x A y +=图象的一部分,则该函数的个解析式为A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 32πx yB.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin 32πx yC.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 32πx yD.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=322sin 32πx y 4.命题“，，+∈∃∈∀N n R x 使得2x n ≥”的否定形式是A.，，+∈∃∈∀N n R x 使得2x n ＜B.，，+∈∀∈∀N n R x 使得2x n ＜C.，，+∈∃∈∃N n R x 使得2x n ＜D.，，+∈∀∈∃N n R x 使得2x n ＜5.若函数()x f y =同时满足下列3个性质,①最小正周期为π；②图象关于直线3π=x 对城；③在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-36π，π上是增函数，则()x f y =的解析式可以是 A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62cos πx y D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos πx y 6.设函数()()R x x f y ∈=的图象关于直线0=x 及直线1=x 对称,且[]10，∈x 时，()，2x x f = 则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-23f A.21 B.41 C.43 D.49 7.0＜a 是方程0122=++x ax 至少有一个负根的A.必要不充分条件B.充分必要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知()，，1010sin 55sin -=-=βααβα、均为锐角,则β等于 A.125π B.4π C.3π D.6π 9.，，，21352ln 2log -===c b a 则A.c b a ＜＜B.a c b ＜＜C.a b c ＜＜D.b a c ＜＜10.设奇函数()x f 在[]11，-上为增函数,且()，11=f 若[]，，11-∈∃x 使[]，，11-∈∀a 不等式()122--≤at t x f 成立,则t 的取值范围是A.22≤≤-tB.2121≤≤-tC.022=-≤≥t t t 或或D.02121=-≤≥t t t 或或 11.在平面直角坐标系内,若两点P 、Q 满足条件:①P 、Q 都在函数()x f y =的图象上；②P 、Q 两点关于直线x y =对称则称点对{}Q P ，是函数()x f y =的乙对“和谐点对”(注:点对{}Q P ，与点对{}P Q ，看作同一对“和谐点对”).已知函数()()()，＞⎩⎨⎧≤++=0log 02322x x x x x x f ,则此函数的“和谐点对”有 A.3对 B.2对 C.1对 D.0对12.设函数()x f f 在R 上存在导数()R x x f ∈∀'，有()()22x x f x f =-=,在[)∞+，0上()x x f 2＜'，若()()，m m f m f 8164-≥--,则实数m 的取值范围是 A.[)∞+，2 B.[)∞+，0 C.[]22，- D.(][)∞+-∞-，，22二、填空题(本大颶共4小题,每小题5分,共20分。
高二数学下学期期末考试试题文(含解析)
雅礼中学2018年上学期期末考试试卷高二文科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的、1、下列集合中,是集合的真子集的是( )Ａ、 B。
C。
D。
【答案】D【解析】, 真子集就是比Ａ范围小的集合;故选D;2、复数(为虚数单位)的虚部是( )A、 B。
Ｃ。
Ｄ。
【答案】A【解析】分析:利用乘法公式,分子、分母同时乘以,然后化简为的形式,为虚部、详解: ,因此虚部为1,故选A点睛:分式型复数化简,需要对分母利用平方差公式,分子分母同时乘一个式子,然后化简为一般形式,注意虚部不包含,包含符号、３。
在正项等比数列中,若,是方程的两根,则的值是( )A、B、 C。
D。
【答案】C【解析】分析:为、的等比中项,则,由韦达定理,求出,从而求出,因为数列为正项数列,则取正数、详解:因为、为方程的两根,由韦达定理,,为、的等比中项,则,解得,因为数列为正项数列,因此,故选C点睛:本题主要考察等比中项的公式,当结果为两个时,需要进行分析,防止多解,等比数列隔项符号相同、4、若,且为第三象限角,则等于( )A。
B、C。
Ｄ、【答案】A【解析】因为,且为第三象限角,因此本题选择A选项。
5。
已知,,,则,,的大小关系为( )A、B、 C、Ｄ、【答案】D【解析】分析:由题意结合对数的性质,对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,ｃ的大小关系。
详解:由题意可知:,即,,即,,即,综上可得:、本题选择D选项。
点睛:关于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但特别多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直截了当利用函数的单调性进行比较、这就必须掌握一些特别方法、在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再依照指数函数的单调性进行判断。
关于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确、６、已知圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上,则的值为( )Ａ、 B、Ｃ。
湖南省十大名校2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(含精品解析)
，
解得
.
故选：D.
点睛：巧妙解法几何法：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，直线被圆截得的
半弦长 ，弦心距 d 和圆的半径 r 构成直角三角形，即
12. 关于 的方程
的实数根个数为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】C
或者使用锐角三角函数.
【解析】分析：
详解：
甲、乙恰好分到一组的概率
.
故选：B.
点睛：本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图展示所有等可能的结果 ，再从中选出符合事件
A 或 B 的结果数目 ，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率.
4. 过点
且与
有相同渐近线的双曲线方程是 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析：设所求的双曲线方程是 线方程.
(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运 算的目的．
7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析：由三视图可知该几何体是一个圆柱截去了一部分，利用“割补法”补成一个完整的圆柱，
从而即可所求.
由目标函数
得
，
结合图象知直线在 A 处截距最大，z 最大，
由
，解得 ，
则
.
故答案为： . 点睛：线性规划问题的解题步骤： (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； (2)平移——将 l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置； (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．
湖南省长沙市高二下学期数学期末考试试卷(文科)
湖南省长沙市高二下学期数学期末考试试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·青铜峡期末) 曲线y=ex在A处的切线与直线x﹣y+1=0平行，则点A的坐标为（）A . （﹣1，e﹣1）B . （0，1）C . （1，e）D . （0，2）2. （2分）对于两个复数，，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理（）A . 缺少小前提，小前提是无理数都是无限不循环小数B . 缺少大前提，大前提是无理数都是无限不循环小数C . 缺少小前提，小前提是无限不循环小数都是无理数D . 缺少大前提，大前提是无限不循环小数都是无理数4. （2分） (2019高二上·金华月考) 经过坐标原点的直线与曲线相切于点 .若，则（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一下·鹤岗期末) 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：① ；② ；③ 面；④ 面 .其中恒成立的为（）A . ①③B . ③④C . ①②D . ②③④6. （2分）工人的月工资y（元）与劳动生产率x（千元）的回归方程为 =50+80x，下列判断正确的是（）A . 劳动生产率为1000元时，工资为130元B . 劳动生产率提高1000元，则工资提高80元C . 劳动生产率提高1000元，则工资提高130元D . 当月工资为210元时，劳动生产率为2000元7. （2分） (2018高二下·中山月考) 两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是（）窗口12过道345窗口6789101112131415……………A . 48，49B . 62，63C . 75，76D . 84，858. （2分）用反证法证明命题“+是无理数”时，假设正确的是（）A . 假设是有理数B . 假设是有理数C . 假设或是有理数D . 假设+是有理数9. （2分）执行如图的程序框图，若输人a=319，b=87，则输出的a是（）A . 19B . 29C . 57D . 7610. （2分）(2017·襄阳模拟) 已知复数z1=a﹣5i在复平面上对应的点在直线5x+2y=0上，复数z= （i 是虚数单位），则z2017=（）A . 1B . ﹣1C . ﹣iD . i11. （2分）函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是（）A . (－1,3)B . (－1,2)C . (－1,3]D . (－1,2]12. （2分）已知，则等于（）A . 1+2eB . 1-2eC .D . 2e二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·南宁月考) 曲线在点处的切线方程为________.14. （1分）(2020·泉州模拟) 在复平面中，复数对应的点分别为．设的共轭复数为，则 ________．15. （1分） (2015高三上·和平期末) 一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为________ cm3 ．16. （1分）(2017·榆林模拟) 已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，x﹣10245f（x）12 1.521下列关于函数f（x）的命题：①函数f（x）的值域为[1，2]；②如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值为2，那么t的最大值为4；③函数f（x）在[0，2]上是减函数；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．其中正确命题的序号是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高二下·南康期中) 等差数列中，，前项和为，等比数列各项均为正数，，且，的公比 .（1）求与；（2）证明： .18. （10分） (2020高三上·泸县期末) 司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命. 为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了名机动车司机，得到以下统计：在名男性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人；在名女性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人．参考公式与数据：参考数据：参考公式，其中 .（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数女性司机人数合计（2）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为，若每次抽检的结果都相互独立，求的分布列和数学期望．19. （10分） (2016高三上·吉安期中) 已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）当m≥ 时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx 的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．20. （5分） (2018高一下·大连期末) 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所花费的时间，为此进行了6次试验，收集数据如下：零件数（个）加工时间（小时）（Ⅰ）在给定的坐标系中划出散点图，并指出两个变量是正相关还是负相关；（Ⅱ）求回归直线方程；（Ⅲ）试预测加工个零件所花费的时间？附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.21. （15分） (2016高一上·烟台期中) 已知函数f（x）=（）x ，函数g（x）=log x．（1）若g（ax2+2x+1）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）当x∈[（）t+1 ，（）t]时，求函数y=[g（x）]2﹣2g（x）+2的最小值h（t）；（3）是否存在非负实数m，n，使得函数y=log f（x2）的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由．22. （5分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•ex定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2）．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）证明：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2 ，并确定这样的x0的个数．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
新版(精编-2)学年高二数学下学期期末考试试题 文(含解析)
雅礼中学2018年上学期期末考试试卷高二文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列集合中，是集合的真子集的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】, 真子集就是比A范围小的集合;故选D;2. 复数（为虚数单位）的虚部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用乘法公式，分子、分母同时乘以，然后化简为的形式，为虚部.详解：，所以虚部为1，故选A点睛：分式型复数化简，需要对分母利用平方差公式，分子分母同时乘一个式子，然后化简为一般形式，注意虚部不包含，包含符号.3. 在正项等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：为、的等比中项，则，由韦达定理，求出，从而求出，因为数列为正项数列，则取正数.详解：因为、为方程的两根，由韦达定理，，为、的等比中项，则，解得，因为数列为正项数列，所以，故选C点睛：本题主要考察等比中项的公式，当结果为两个时，需要进行分析，防止多解，等比数列隔项符号相同.4. 若，且为第三象限角，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，且为第三象限角，所以本题选择A选项.5. 已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6. 已知圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：圆上任意一点关于某直线的对称点还在圆上，说明该直线必过圆心，根据圆心表达式求出圆心坐标，代入直线方程，即可求得m.详解：由题意知，直线必过圆心，由圆心表达式可得圆心坐标为，代入直线，解得.故选B.点睛：圆的一般方程中，圆心坐标为，圆的对称轴为过圆心的任意直线，可知直线过圆心.7. 设，是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：分别由面面平行的判定定理和面面平行的性质判断充分与必要性，即可得出结论.详解：若证面面平行，则需一个平面内两条相交直线均与另一平面平行，题目中只有一条直线，所以为不充分条件；若由面面平行证线面平行，利用面面平行的性质，如果两个面互相平行，其中一个面平行于另一个平面里的任意一条直线，所以为必要条件.故选A.点睛：本题考查线面、面面平行的性质与判定，需熟练掌握定理的题设与结论，必要时可以借助笔和纸进行模拟演示.8. 已知，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由左加右减，得出解析式，因为解析式为正弦函数，所以令，解出，对k进行赋值，得出对称轴.详解：由左加右减可得，解析式为正弦函数，则令，解得：，令，则，故选B.点睛：三角函数图像左右平移时，需注意要把x放到括号内加减，求三角函数的对称轴，则令等于正弦或余弦函数的对称轴公式，求出x解析式，即为对称轴方程.9. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.10. 函数的最大值与最小值分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】分析：将化为，令，可得关于t的二次函数，根据t的取值范围，求二次函数的最值即可.详解：利用同角三角函数关系化简，设，则，根据二次函数性质当时，y取最大值2，当时，y取最小值.故选D.点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为的形式，用换元法求解；另一种是将解析式化为的形式，根据角的范围求解.11. 某市国庆节天假期的楼房认购量(单位：套)与成交量(单位：套)的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这天的认购量与成交量作出如下判断：①日成交量的中位数是;②日成交量超过日平均成交量的有天；③认购量与日期正相关；④月日认购量的增量大于月日成交量的增量．上述判断中错误的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：将数据按照大小顺序排列后，由于一共有7个数字，所以取第四个数字为中位数.日均成交量为成交量的平均数，正相关为统计图中的点从左下分布至右上.认购量与成交量的增量均是第七天与第六天数据之差.详解：将成交量数据按大小顺序排列，中位数为26，所以①错；平均成交量为，超过44.1的只有一天，所以②错；由图中可以看出，数据点并不是从左下分布至右上，所以③错；10月7日认购量增量为，成交量增量为，所以④对.故选C.点睛：本题主要考察统计知识，需熟练掌握样本数据特征的计算以及变量的相关性的概念.12. 已知，为双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设与圆相切于点，则因为，所以为等腰三角形，设的中点为，由为的中点，所以，又因为在直角中，，所以①又②，③ 故由①②③得，，故本题选C点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由几何关系得到，由双曲线定义有，列方程即可求离心率的值..第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量，，若，则__________．【答案】【解析】分析：向量垂直即向量的乘积为0，根据向量乘法的坐标运算列式，即可解出m.详解：由可得，解得.点睛：本题考查向量的垂直关系以及向量的坐标运算，熟练掌握计算公式.14. 在集合中随机取一个元素，在集合中随机取一个元素，得到点，则事件“点在直线上”的概率为__________．【答案】【解析】分析：列出两集合中各取一个元素，两两结合的所有情况，再分别代入直线，求出点在直线上的情况，利用古典概型公式计算.详解：两集合中各取一个元素，两两结合的所有情况为：、、、、、，共6种情况，其中在直线上的为、，共2种情况，所以概率为.点睛：本题考查古典概型的计算以及点在直线上的判定方法，注意数据的抽取方式以及情况总数.15. 若椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率之积为，则__________．【答案】【解析】分析：根据椭圆离心率公式表示出椭圆离心率e，等轴双曲线的离心率为，列出乘积为1的式子，即可求出.详解：椭圆离心率等轴双曲线离心率为，则根据乘积为1列式为：，解得，因为，所以取.点睛：本题考查离心率公式，等轴双曲线的概念以及之间点的关系.根据题意列式即可，需要熟练掌握双曲线有关概念，如共轭双曲线、等轴双曲线等.16. 已知，函数若对任意，恒成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：分段求不等式，将定义域分为、两部分，在两部分内分别化简不等式，化简为的形式，小于等于0恒成立，即在相应区间内最大值小于等于0.根据二次函数性质求解，最后两区间内的范围取交集.详解：当时，即恒成立，所以在区间内最大值小于等于0，根据二次函数性质，当时或时取最大值，即，解得；当时，即恒成立，所以在区间内最大值小于等于0，根据二次函数性质，当时取最大值，即，解得，取交集得.点睛：分段函数类不等式要分段求解，恒成立为最大值小于等于0，恒成立，为最小值大于等于0.同时需要注意区分恒成立与存在性问题的区别.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列满足，前项和.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设等比数列满足，，求的前项和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）已知数列为等差数列，且知与的值，设首项与公差，代入解方程即可；（Ⅱ）求出、即、，设首项与公比，列式解出.代入前n项和公式即可.详解：（Ⅰ）设的公差为，则由已知条件得，，化简得，，解得，，故的通项公式，即.（Ⅱ）由（1）得，.设的公比为，则，从而，故的前项和.点睛：本题综合考察等差等比数列的通项公式与前n项和公式，需要熟练掌握，代入公式，解得首项与公差公比即可.18. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，延长至，使，且，求的面积.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合正弦定理和大边对大角可得；(Ⅱ)结合题意首先求得，然后利用面积公式可得的面积是.试题解析：（Ⅰ）由正弦定理，得：，∵，∴，又，∴.（Ⅱ）设，则，在中，由余弦定理得，求得，即，在中，由正弦定理得，∴，∴的面积.19. 市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士－”的绿色环保活动小组对年月－年月(一月)内空气质量指数进行监测，如表是在这一年随机抽取的天的统计结果：（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失(单位：元)与空气质量指数(记为)的关系为：，，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率； （Ⅱ）若本次抽取的样本数据有天是在供暖季节，其中有天为重度污染，完成列联表，并判断是否有的把握认为市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考.参考公式：.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）有的把握认为市本年度空气重度污染与供暖有关．【解析】分析：（Ⅰ）根据经济损失求出t的范围，根据t的范围，求出相应的天数，与总天数作比即可求出概率；（Ⅱ）根据重度污染天数与供暖天数等求出各值，填入列联表，根据公式计算，与所对应的的k值3.841对比，若大，则有把握，否则没有.详解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失元”为事件.由，得，频数为，∴.（Ⅱ）根据以上数据得到如表：的观测值所以有的把握认为市本年度空气重度污染与供暖有关．点睛：本题第一问考察古典概型，根据公式计算即可，第二问考察数据的综合分析，需要利用各类数据的和差填表，注意求时要保留三位小数，且由于问题为能否有的把握，所以要与0.05所对应的值3.841对比.20. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，和均为等边三角形，且平面平面，点为中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若的面积为,求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】分析：（Ⅰ）证明线面平行，需在平面内构造一条线平行于已知直线，将直线沿平移，点至点处，则点应移至中点处，故取中点，连接、.若证，则需证明、平行且相等，、需要以作为中间量.（Ⅱ）根据两个等边三角形和面面垂直，假设一边长为x，表示的面积，解出x，求出三棱锥底面的面积.因为为中点，所以三棱锥底面上的高为到底面距离的一半.详解：（1）取的中点，连接，；取的中点,连接，因为是正三角形，所以.因为，所以四边形为矩形，从而，.因为为的中位线,所以，，即，，所以四边形是平行四边形，从而，又面，所以面.（2）取的中点，连接，则.过点作交于.因为，面面，面面所以面.又因为面，所以.又因为，，面，.所以面，又因为面，所以.由于为中点,易知.设，则的面积为，解得，从而，.点睛：证明平行有三种方式，分别为平行四边形、中位线和相似，一般通过平移直线的方作辅助线，求三棱锥体积时，要注意改变底面，选择底面与高容易求的形式，同时注意可以将高转化为其他线段去求.21. 如图所示，在直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为.点是上的定点，，是上的两动点，且线段的中点在直线上.（Ⅰ）求曲线的方程及的值；（Ⅱ）记，求的最大值.【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由抛物线准线方程及P到准线的距离，可求得，进而求得抛物线方程，将点M的坐标代入抛物线，即可求得t.（Ⅱ）求直线OM方程，点Q在直线OM上，根据直线方程表示点Q坐标，消去参数n，利用点差法表示出直线AB斜率，进而求出直线方程，将直线AB方程与抛物线方程联立，用弦长公式求弦长，从而将d表示为关于m的函数，根据m范围求最值.详解：（1）的准线为，∴，∴，∴抛物线的方程为.又点在曲线上，∴.（2）由（1）知，点，从而，即点，依题意，直线的斜率存在，且不为，设直线的斜率为.且，，由得，故，所以直线的方程为，即.由消去，整理得，所以，，.从而.∴，当且仅当，即时，上式等号成立，又满足.∴的最大值为.点睛：圆锥曲线的最值问题，一般是利用参数，表示最值，通过函数值域求最值，或者设未知量构造基本不等式求最值，要注意等号成立的条件.22. 已知函数.（Ⅰ）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调减区间；（Ⅱ）若函数在上无零点，求的最小值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，求得，解得的值，从而求出函数的单调减区间；（2）根据题意，把函数为零点转化为恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值即可．试题解析：（1）因为,所以, 所以．又,所以,得,由,得,所以函数的单调减区间为．（2）因为当时，,所以在区间内恒成立不可能．所以要使函数在区间内无零点，只要对任意的恒成立，即对恒成立，令,则．再令,则,所以在区间内为减函数，所以, 所以．于是在区间内为增函数，所以,所以要使恒成立，只要．综上，若函数在区间内无零点，则实数的最小值为．考点：利用导数研究曲线上某点的切线方程；利用研究函数的单调性与最值．【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究曲线上某点的切线方程、利用研究函数的单调性与最值，以及恒成立问题的求解等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与构造思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数转化为利用新函数的单调性与最值是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．。